A partir desta sec¸˜ao, at´e o final do cap´ıtulo, apresentaremos os nossos resultados quanto ao de- senvolvimento de conceitos e procedimentos combinatoriais para representac¸˜ao e an´alise de siste- mas simb´olicos fechados, que podem ser distinguidos dos demais por n˜ao virem acompanhados de uma referˆencia expl´ıcita. Nesta sec¸˜ao demonstraremos como as propriedades inerentes a um ssf X (particularmente, o fato de possuir uma linguagem fatorial), d˜ao origem a conceitos que definem X unicamente, al´em de conduzirem `a determinac¸˜ao de algoritmos que permitem a especificac¸˜ao de representac¸˜oes finitas para a linguagem B(X) de X (grafos direcionados m´ınimos), como tamb´em
3.9 Conjuntos Proibidos e Conjuntos de Restric¸˜ao 61
para o monoide sint´atico de B(X). Para facilitar a notac¸˜ao, consideremos L = B(X) e L′ seu com- plemento com relac¸˜ao aA∗. Podemos interpretarL′como a restric¸˜ao global deX, ou seja, o conjunto de palavras em A∗ que n˜ao ocorrem em sequˆencias bi-infinitas de X. De fato, o conjunto F defi- nido no in´ıcio deste cap´ıtulo est´a contido em L′. Apesar de especificado atrav´es das propriedades topol´ogicas deX, o conjunto F manter´a sua func¸˜ao de especificar unicamenteXse a ele for inclu´ıdo qualquer elemento emA∗que possua um fator emL′. A seguir demonstraremos que s´o precisamos de um subconjuntoO de L′ para especificarmos se uma palavra pertence ou n˜ao a L, queO especifica unicamente X, assim como X especifica unicamenteO, al´em de demonstrarmos que O ´e m´ınimo. Como ficar´a claro pelo desenvolvimento que segue, o conceito de relac¸˜ao de ordem parcial tem papel essencial na determinac¸˜ao destes resultados, cujo emprego j´a inicia-se com a Definic¸˜ao 8.
Definic¸˜ao 8. Seja(X,SP) um conjunto ordenado induzido pela relac¸˜ao de ordem parcialSPdada por
uSP w⇔ u ∈ S(P(w)), onde u, w ∈ X. O que significa queu ´e um fator de w.
Definic¸˜ao 9. O conjunto proibido irredut´ıvelO de L ´e a colec¸˜ao de todos os elementos minimais do
conjunto parcialmente ordenado(L′, SP).
Lema 18. SejaL uma linguagem fatorial, ent˜ao L′ =A∗· O · A∗. O que permite-nos interpretarO
como um gerador deL′.
Demonstrac¸˜ao: ComoL ´e fatorial eO ⊆ L′, ent˜aoA∗ · O · A∗ ⊆ L′. Consideremos agorau∈ L′. Ent˜ao h´a um elementov ∈ (L′,
SP) tal que vSP u. Ressaltamos que como uma relac¸˜ao de ordem parcial ´e reflexiva, ent˜ao u pode ser igual a v. Uma vez que o conjuntoO ´e a colec¸˜ao de todos os elementos minimais em (L′,
SP), ent˜ao t SP u para pelo menos um elemento t ∈ O. Pode-se escrever u como u1tu2, onde necessariamenteu1, u2 ∈ A∗, ent˜aou ∈ A∗ · O · A∗, e finalmente,
L′ ⊆ A∗ · O · A∗.
Teorema 19. Seja L uma linguagem fatorial em A∗. Consideremos o conjunto ΨL′
= {X ⊆
A∗| L′ =A∗· X · A∗} dos geradores de L′, e o conjunto ordenado(2A∗
,I). Ent˜ao, O =^{X ⊆ A∗ : L′ =A∗· X · A∗}.
Ou seja, o conjuntoO ´e o glb do conjunto ΨL′ em(2A∗
,I).
Demonstrac¸˜ao: Seja X ⊆ A∗ um gerador de L′, ou sejaL′ = A∗ · X · A∗. Ent˜ao, aplicando o Lema 18,O = {ε} · O · {ε} ⊆ A∗· O · A∗ =A∗· X · A∗, logoO ⊆ Σ∗· X · Σ∗. Do que segue que
para todou ∈ O h´a pelo menos um v ∈ X que satisfaz v SP u. ComoO ´e a colec¸˜ao de todos os elemento minimais, h´at∈ O tal que t SP v. Observac¸˜oes que nos permitem afirmar que u = u1vu2 andv = v1tv2, vi, ui ∈ A∗. Disto segue queu = u1v1tv2u2, decorrendo da minimalidade deu e t
queu = t. Portanto, u = v e u ∈ X. Do que conclui-se que O ⊆ X.
Na Definic¸˜ao 10 apresentamos um tipo de restric¸˜ao que ´e dependente do contexto, em outras palavras, uma palavra s (u) s´o est´a proibida de seguir (anteceder) uma palavra w, dado que w ´e antecedido (seguido) pela palavra u (s). Como um exemplo, se uws ∈ O ent˜ao uw, ws ∈ L e uws ∈ L′, portanto s ´e proibida de seguir w quando esta ´e precedida por u. Como consequˆencia da Definic¸˜ao 10, demonstraremos no Lema 20 que um conjunto de restric¸˜oes condicionais ´e um subconjunto de O, o que ´e empregado na Proposic¸˜ao 21 juntamente com uma relac¸˜ao de ordem apropriada para demonstrar que este conjunto (como definido) ´e o elemento minimum do conjunto de geradores.
Definic¸ ˜ao 10. O conjuntoOw dew-proibic¸˜oes associado a L ´e a colec¸˜ao de elementos minimais do conjunto ordenado(Ow,SP), onde Ow ={L · w · L}\{L ∪ (L · w · Cw)∪ (Dw · w · L)}.
Como uma breve explicac¸˜ao para a express˜ao deOwapresentada na Definic¸˜ao 10, consideraremos os dois casos poss´ıveis: (i) uwv ∈ L ou (ii) uwv ∈ L′. O caso (i) ´e eliminado pela exclus˜ao dos elementos de A∗ no conjunto L. No caso (ii) estamos interessados em selecionar as palavras que satisfazem uw, wv ∈ L; quando inclu´ımos o termo L · w · Cw eliminamos todas as palavras satisfazendo wv /∈ L, enquanto a inclus˜ao de Dw · w · L elimina todas as palavras satisfazendo uw /∈ L. Desta forma, o conjunto resultante s´o cont´em os termos desejados. Como uma observac¸˜ao adicional, se w /∈ L ent˜ao Ow ´e trivialmente determinado. Portanto, este caso ser´a exclu´ıdo das an´alises subsequentes.
Lema 20. Para todou = u1. . . un∈ Ow,u∈ Owse, e somente se,u ∈ O e w SP (u2. . . un−1).
Demonstrac¸˜ao: Sejaswt∈ Ow, como resultado do Teorema 19 h´av ∈ O satisfazendo v SP swt, sendo que para v = v1. . . vn, decorre de sw, wt ∈ L que w SP (v2. . . vn−1). Assim v = s′wt′, ondes′, t′ ∈ A+, o que permite-nos concluir quev ∈ O
w. Como supomos queswt ´e um elemento minimal deOwev = s′wt′ ∈ Ow, podemos concluir quev = swt uma vez que s′wt′ SP swt, como consequˆenciaOw ⊆ O. Por fim, para todo u ∈ O e w SP (u2. . . un−1) temos necessariamente que u∈ Ow, j´a queu ´e minimal em L′ eOw ⊆ L′, podemos concluir queu ∈ Ow.
Teorema 21. SejaL uma linguagem fatorial emA∗. Consideraremos o conjuntoΨOw ={X ⊆ A∗ :
Ow = L· X · L} dos geradores de Ow, e o conjunto ordenado(2A
∗
,I). Ent˜ao Ow =^{X ⊆ A∗ : Ow = L· X · L}.
3.9 Conjuntos Proibidos e Conjuntos de Restric¸˜ao 63
Ou seja, o conjuntoOw ´e o glb do conjuntoΨOw em(2A
∗
,I).
Demonstrac¸˜ao: Sejav ∈ O e w SP v, ent˜ao decorre do Lema 20 que v∈ Owe portanto para todo K satisfazendo Ow = L· K · L, h´a pelo menos um elemento u, tal que, u SP v. Como K ⊆ L′ ev ´e minimal emL′, conclu´ımos quev = u. Do que decorre queO
w ⊆ K.
A Proposic¸˜ao 17 evidencia como a existˆencia de um elemento alg´ebrico com propriedades es- pec´ıficas tem implicac¸˜oes na estrutura da linguagem. A seguir demonstraremos como uma classe de ideais pode ser empregada para construc¸˜ao de representac¸˜oes combinatoriais e na determinac¸˜ao do pr´oprio monoide sint´atico. Inicialmente, podemos especificar um ideal `a direita no monoide sint´atico de uma linguagemL (fatorial e com um elemento nulo) para todo elemento a∈ ML, como especifi- cado em (3.23).
Ia ={x ∈ ML : ax = 0}. (3.23)
O fato de Ia ser um ideal `a direita segue de considerarmos L uma linguagem fatorial. De forma complementar, a existˆencia de um elemento nulo ´e garantida ao considerarmos que L n˜ao ´e uma linguagem livre, o que, caso contr´ario, implicaria que para quaisquer x, w ∈ L seria verificado que xw ∈ L. Apesar de sua relevˆancia em muitos casos de interesse (e.g., quando A ´e um grupo), quando estamos interessados em estudar as restric¸˜oes do sistema (no contexto apresentado neste trabalho) as linguagens livres tornam-se um caso trivial. A seguir avaliaremos os reflexos do conceito alg´ebrico de ideal `a direitaIasobre a linguagemL associada.
Definic¸˜ao 11. SejaX uma linguagem arbitr´aria e w∈ A∗. O contexto `a direita (resp., `a esquerda) de w com relac¸˜ao a linguagem X ´e definido como sendo o conjunto
R(w, X) ={u ∈ A∗ : wu∈ X} (resp., L(w, X) = {u ∈ A∗ : uw∈ X})
Considerando L uma linguagem fatorial, no Lema 22 demonstramos com o contexto `a direita R(w, L′) de uma palavra w ∈ A∗sobre a linguagem complementarL′ =A∗\L est´a relacionado com o ideal `a direitaI[w]de um elementoϕ(w) do monoide sint´atico de L.
Lema 22. Sejaa∈ ML, ent˜aoϕ−1L (a)⊆ R(w, L′) se, e somente se, a∈ I[w].
Demonstrac¸˜ao: Sejau∈ ϕ−1L (a)⊆ R(w, L′), segue da definic¸˜ao de contexto `a direita que wu /∈ L e portanto [w][u] = [wu] = 0, seguindo-se que a ∈ I[w]. Consideremos agora que a = [u] ∈ I[w], segue da definic¸˜ao de I[w]apresentada em (3.23) que [w][u] = [wu] = 0 e portanto u ∈ R(w, L′), seguindo-se queϕ−1
L (a)⊆ R(w, L′).
Como consequˆencia de (3.23) o elemento nulo do monoide sint´atico de uma linguagem fatorial sempre pertencer´a ao ideal `a direitaI[w]de uma palavraw∈ A∗. Contudo, sabemos da Proposic¸˜ao 15
que o elemento nulo deMLcorresponde ao complemento deL emA∗, o que implica necessariamente na inclus˜aoϕ−1L (0) = L′ ⊆ R(w, L′), para qualquer w∈ A∗. O que nos permite particionarR(w, L′) em um conjunto trivial, a saber L′, comum a todas as palavras w ∈ A∗, e C
w = R(w, L′)\L′ constitu´ıdo por palavras da linguagemL. Segue desta definic¸˜ao que para w /∈ L tem-se Cw∪L′ =A∗, e portanto Cw = L, sendo uma consequˆencia direta de wv /∈ L para todo v ∈ A∗. Desconsiderando este caso trivial, para todov ∈ Cw observa-sewv ∈ L′ev ∈ L, decorrendo do fato de L ser fatorial que sempre existir´a uma palavrau ∈ L′satisfazendou∈ (S(w)\{ε}) · (P (v)\{ε}), ou seja, u n˜ao ´e fator dew nem de v. Seguindo um desenvolvimento similar `aquele empregado na determinac¸˜ao dos conjuntos O e Ow, demonstramos que Cw pode ser unicamente caracterizado por um subconjunto minimum definido atrav´es de uma relac¸˜ao de ordem parcial adequada.
Definic¸ ˜ao 12. Seja(X,P) um conjunto ordenado induzido pela relac¸˜ao de ordem parcialP dada por
uP w⇔ u ∈ P(w), onde u, w ∈ X. O que significa queu ´e um prefixo de w.
Definic¸ ˜ao 13. O conjunto de restric¸˜oes `a direitaCw de uma palavraw ∈ A∗ ´e formado por todos os elementos minimais do conjunto ordenado(Cw,P).
Lema 23. Paraw∈ A∗, tem-se que C
w ={Cw· L}\L′. PortantoCw ´e um gerador de Cw.
Demonstrac¸˜ao: Consideremos u ∈ {Cw · L}\L′, assim u = tv para algum t ∈ Cw, como as linguagens consideradas s˜ao fatoriais ewt /∈ L ent˜ao wu /∈ L, seguindo-se que u ∈ Cw, e portanto {Cw · L}\L′ ⊆ Cw. Agora, consideremos queu ∈ Cw, como a relac¸˜ao P ´e reflexiva, o conjunto {t ∈ Cw : tP u sobre (Cw,P)} possui pelo menos um elemento, e portanto, com pelo menos um elemento minimal. Conclu´ımos queu∈ {Cw · L}\L′, o que implica na inclus˜ao Cw ⊆ {Cw· L}\L′. Na Proposic¸˜ao 24 ´e estabelecida a relac¸˜ao entre o ideal `a direitaI[w]de uma palavraw ∈ A∗ e o conjunto de restric¸˜oes `a direitaCw da mesma palavra. Em s´ıntese, fica demonstrado que a imagem de Cw porϕLpode ser interpretada como um conjunto de geradoresI[w].
Proposic¸˜ao 24. Para todow∈ A∗, tem-se queϕ
L(Cw)· ML= I[w].
Demonstrac¸˜ao: Consideremosu∈ C(w), do que decorre a inclus˜ao {u·L}\L′ ⊆ C
w, e empregando o Lema 22 obtemosϕL({u · L}\L′) ={ϕL(u)· ML}\{0} ⊆ I[w]. Como o elemento nulo0 pertence a I[w], para todo w ∈ A∗, conclu´ımos que ϕL(Cw) · ML ⊆ I[w]. Agora, consideremos que a ∈ I[w]\{0}, o que implica na inclus˜ao ϕ−1L (a)⊆ R(w, L′)\L′ = Cw, que por sua vez, juntamente com
3.9 Conjuntos Proibidos e Conjuntos de Restric¸˜ao 65
o Lema 23, permite-nos concluir que para todou ∈ ϕ−1L (a) observa-se P(u) ∩ Cw 6= ∅. Portanto, {ϕL(u)·ML}\{0} = ϕL({u·L}\L′)⊆ ϕL({Cw·L}\L′) ={ϕL(Cw)·ML}\{0}. Do que conclu´ımos
queI[w]⊆ ϕL(Cw)· ML.
Teorema 25. Consideremos w ∈ A∗ e C
w seu conjunto de restric¸˜oes `a direita. Consideremos o
conjunto ΨCw
= {X ⊆ A∗ : C
w = {X · L}\L′} dos geradores de Cw, e o conjunto ordenado (2A∗ ,I). Ent˜ao Cw = ^ {X ⊆ A∗ : C w ={X · L}\L′}.
Ou seja,Cw ´e o glb do conjuntoΨCw em(2A
∗
,I).
Demonstrac¸˜ao: SejaX ∈ A∗satisfazendo C
w ={X · L}\L′. Comoε∈ L ent˜ao Cw =Cw· {ε} ⊆ {Cw · L}\L′ = {X · L}\L′. O que permite-nos concluir que se u ∈ Cw ent˜ao u ∈ {X · L}\L′, havendo necessariamente t ∈ X e v ∈ L satisfazendo u = tv. Reciprocamente, observa-se que X\L′ = X·{ε}\L′ ⊆ {X ·L}\L′ ={C
w·L}\L′, havendo, dessa forma,t′ ∈ Cwev′ ∈ L satisfazendo t = t′v′eu = t′v′v. ComoC
w ´e o conjunto de todos os elementos minimais em(Cw,P), temos que u = t′ e portantov′v = ε, seguindo-se imediatamente que t = u. Conclu´ımos que u∈ X, e portanto
Cw ⊆ X.
De maneira similar, podemos considerar um ideal `a esquerdaJano monoide sint´atico da lingua- gem para todoa∈ ML. Sendo dado por
Ja ={y ∈ ML : ya = 0}. (3.24)
Como desenvolvido para o caso de restric¸˜oes `a direta, partindo de (3.24) (com evidente semelhanc¸a a (3.23)), podemos introduzir os conceitos rec´ıprocos, mas agora com referˆencia “ `a esquerda ”, `aqueles introduzidos a priori. Este processo torna-se ainda mais evidente se considerarmos a linguagem
reversa de L, determinada por L̺ = ̺(L), onde ̺ ´e a func¸˜ao reversa definida em (3.22). Neste caso, o desenvolvimento e m´etodos s˜ao idˆenticos, mas agora considerando palavrasw̺emA∗, o que permite-nos especificar o ideal `a direita[w̺] no monoide sint´atico M
L̺ = (ML)̺, como realizado
na Sec¸˜ao 3.6. Desta forma, iremos definir o contexto `a direita de w̺ com respeito a linguagem L̺ ouL′̺. Esta abordagem permite-nos importar os resultados desenvolvidos paraw ∈ A∗, derivando conclus˜oes rec´ıprocas para o ideal `a esquerda J[w] no monoide ML, como tamb´em seu contexto `a esquerda com respeito as linguagensL e L′.
Como realizado anteriormente para o caso do contexto `a direita, podemos particionar o contexto `a esquerdaL(w, L′) em um conjunto trivial L′, comum a todow ∈ A∗, e um conjunto que depende dew, especificado como Dw = L(w, L′)\L′. Como antes, desta definic¸˜ao segue que para v ∈ Dw tem-sevw∈ L′ev ∈ L. Como L ´e fatorial, existe uma palavra u ∈ L′ satisfazendou∈ (S(v)\{ε}) ·
(P (w)\{ε}), e portanto u n˜ao ´e fator de w nem de v. De maneira rec´ıproca ao caso “ `a direita ”, a seguir enunciamos os resultados que tˆem como implicac¸˜ao a caracterizac¸˜ao do conjunto de restric¸˜oes `a esquerdaDw como o elemento minimum do conjunto de geradores de Dw considerando o conjunto ordenado(2A∗
,I), com excec¸˜ao da Proposic¸˜ao 26 onde ´e estabelecida a relac¸˜ao entre os conjuntos de restric¸˜oes `a direita e `a esquerda. A seguir, as definic¸˜oes rec´ıprocas a Definic¸˜ao 12 e Definic¸˜ao 13 s˜ao apresentadas, respectivamente.
Definic¸ ˜ao 14. Seja(X,S) um conjunto ordenado induzido pela relac¸˜ao de ordem parcialS dada por
uS w⇔ u ∈ S(w), onde u, w ∈ X. O que significa queu ´e um sufixo de w.
Definic¸ ˜ao 15. O conjunto de restric¸˜oes `a esquerdaDw de uma palavraw ∈ A∗ ´e formado por todos os elementos minimais do conjunto ordenado(Dw,S).
Na Proposic¸˜ao 26 estabelecemos a relac¸˜ao entre os conjuntos de restric¸˜aoDweCw̺, associados `as
linguagensL e L̺, respectivamente. Em termos computacionais, este resultado permite-nos analisar o mapeamento inverso de uma func¸˜ao bijetiva empregando as ferramentas desenvolvidas para an´alise de seu mapeamento direto, esta abordagem ser´a exemplificada nos cap´ıtulos que versam sobre a codificac¸˜ao do fluxo geod´esico.
Proposic¸˜ao 26. Sejau∈ A∗, ent˜aou∈ D
w com relac¸˜ao aL se, e somente se, u̺∈ Cw̺ com relac¸˜ao
aL̺.
Demonstrac¸˜ao: Segue diretamente da definic¸˜ao de linguagem reversa que vw ∈ L se, e somente se, w̺v̺ ∈ L̺. Portanto, para estabelecermos o resultado s´o precisamos demonstrar que u ´e um elemento minimal de Dw se, e somente se, u̺ ´e um elemento minimal de Cw̺, considerando as
relac¸˜oes de ordem parcialS eP, respectivamente.
Sejau∈ Dw, do que segue queu̺ ∈ Cw̺. Se supusermos queu̺n˜ao ´e um elemento minimal de
Cw̺, ent˜ao dever´a existirv̺∈ Cw̺,v̺P u̺. Do que decorre quev S u, al´em do que v ∈ Dw. Da
suposic¸˜ao inicial queu̺n˜ao ´e um elemento minimal deC
w̺, segue quev̺´e um prefixo pr´oprio deu̺.
Consequentemente,v tamb´em ´e um prefixo pr´oprio de u, implicando que u /∈ Dw, uma contradic¸˜ao. Conclu´ımos que(Dw)̺ ⊆ Cw̺. De maneira an´alogo,(Cw̺)̺⊆ Dw.
Os resultados que seguem s˜ao rec´ıprocos aos Lemas 22 e 23, a Proposic¸˜ao 24, e ao Teorema 25, respectivamente.