Sistemas dinâmicos de eventos discretos com aplicação ao fluxo geodésico em superfícies hiperbólicas

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Universidade Estadual de Campinas

Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação

Departamento de Telem´atica

Sistemas Dinâmicos de Eventos Discretos com Aplicação

ao Fluxo Geod´esico em Superf´ıcies Hiperb´olicas

Autor: Daniel Pedro Bezerra Chaves

Orientador: Prof. Dr Reginaldo Palazzo J´unior

Tese de Doutorado apresentada à Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação como parte dos requisitos para obtenção do t´ıtulo de Doutor em Engenharia Elétrica. Area de concentração:´ Telecomunicações e Telemática.

Banca Examinadora

Prof. Dr Reginaldo Palazzo J´unior

UNICAMP

Prof. Dr. Jos´e Roberto Rios Leite

UFPE

Prof. Dr. Cecilio Jos´e Lins Pimentel UFPE

Prof. Dr. Henrique Lazari

UNESP

Prof. Dr. Carlos Eduardo Cˆamara

FATEC-AM

Campinas, SP

2011

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Chaves, Daniel Pedro Bezerra

C398S Sistemas dinˆamicos de eventos discretos com

aplicação ao fluxo geodésico em superf´ıcies hiperbólicas /Daniel Pedro Bezerra Chaves. – Campinas, SP:[s.n.], 2011.

Orientadore: Reginaldo Palazzo J´unior.

Tese de Doutorado - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação.

1. Sistemas dinâmicos. 2. Grupos fuchsianos. 3. Geometria hiperbólica. 4. Teoria da informação. 5. Teoria dos autômatos. I. Palazzo Júnior, Reginaldo. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação. III. T´ıtulo

T´ıtulo em Inglˆes: Discrete event dynamical systems with application to the geodesic flow on hyperbolic surfaces

Palavras-chave em Inglˆes: Dynamical systems, Fuchsian groups, Hyperbolic geometry, Information theory, Automata theory ´

Area de concentração: Telecomunicações e Telemática

Titulação: Doutor em Engenharia Elétrica

Banca Examinadora: José Roberto Rios Leite, Cecilio José Lins Pimentel, Henrique Lazari, Carlos Eduardo Câmara

Data da defesa: 05/12/2011

Programa de Pós Graduação: Engenharia Elétrica

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Resumo

Neste trabalho apresentamos um método de descrição combinatorial para o fluxo geodésico sobre uma região hiperbólica compacta, tendo como objetivo associar a sequências de codificação, parâmetros topológicos oriundos destas superf´ıcies. Isto permite conjugar conceitos topológicos e combinatoriais oriundos das superf´ıcies estudadas com conceitos de teoria da informação e codificação.

Demonstramos como a propriedade de completude de um sistema dinâmico de eventos discretos invariantes no tempo se reflete na topologia do espaço de trajetórias do sistema, quando especificadas por sequências bi-infinitas e descritas sobre um alfabeto finito. A mesma estrutura obtida pelo pro-cesso de codificação do fluxo geodésico, e a qual passamos a chamar de sistema simbólico fechado (ssf).

Identificamos como um ssf pode ser caracterizado globalmente, através do seu conjunto de res-trições irredut´ıveis, ou localmente, por conjuntos de resres-trições dependentes do contexto. Ambas derivadas de relações de ordem parcial. Disto determinamos métodos de representação do ssf.

Através da relação entre os métodos de codificação aritmético e geométrico, propomos processos de codificação sobre superf´ıcies hiperbólicas, determinando como as representações m´ınimas das sequências código do fluxo geodésico podem ser constru´ıdas a partir das propriedades topológicas e combinatoriais da superf´ıcie.

Palavras-chave: Sistemas Dinâmicos, Dinâmica Simbólica, Linguagem Formal, Conjunto de

Restrições, Grafos Direcionados, Fluxo Geodésico.

Abstract

In this work we present methods for a combinatorial description of the geodesic flow on a hyper-bolic compact surface, with the intent of identifying how the topological parameters of the surface may be associated with discrete sequences. This approach allows to conjugate the topological and combinatorial properties of a surface with concepts of information theory and coding.

We determine the intrinsic topological property of complete and time-invariant discrete dynami-cal systems whose trajectories are bi-infinite sequences over a finite alphabet. The same structure generated by the geodesic flow coding methods, that we call shift space.

We show how a shift space can be completely characterized by the irreducible forbidden set and locally by the constraint sets, and how both can be obtained through partial order relations. As consequence of these results, some constructions to represent the shift spaces are proposed.

Methods for coding source sequences on hyperbolic surfaces are proposed, based onΓ-piecewise and common-sets relations that exist between these methods. We conclude by specifying a construc-tion procedure for presentaconstruc-tions of arithmetic codes that is related with the topological and combina-torial properties of the hyperbolic surface.

Keywords: Dynamical Systems, Symbolic Dynamics, Formal Language, Constraints Set,

Direc-ted Graph, Geodesic Flow.

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Agradecimentos

Ao meu orientador Professor Doutor Reginaldo Palazzo J´unior pela oportunidade e incentivo para o desenvolvimento deste trabalho.

A Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP) pelo apoio financeiro (Bolsa DR-II, processo 06/60976-8) concedido durante o per´ıodo de março de 2007 a fevereiro de 2011, sem o qual não seria poss´ıvel a realização do Programa de Doutoramento em Engenharia Elétrica.

A receptividade e acolhimento da FEEC / UNICAMP.

Aos Professores Cecilio José Lins Pimentel e José Roberto Rios Leite pela parceria e comentários relevantes durante a realização do trabalho.

Aos membros da banca pelos comentários e sugestões para o enriquecimento deste trabalho. Aos colegas de pós-graduação pelo apoio.

Pela ajuda e est´ımulo constante dos meus pais.

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Aos meus pais e irm˜as

DEDICO

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Sum´ario

Lista de Figuras xv

Lista de Tabelas xvii

Lista de S´ımbolos xix

Trabalhos Publicados Pelo Autor xxi

1 Introduc¸ ˜ao 1

2 Sistemas Dinâmicos, Códigos e Dinâmica Simbólica 5

2.1 Estrutura B´asica . . . 10

2.1.1 Linearidade . . . 10

2.1.2 Invariante no tempo . . . 10

2.1.3 Simetria . . . 10

2.2 O Conceito de Mem´oria . . . 11

2.2.1 Concatenação e mapa não-antecipativo . . . 11

2.2.2 Completude . . . 12

2.2.3 Extens˜ao da mem´oria . . . 13

2.2.4 Dividindo vari´aveis . . . 15

2.2.5 Sistema de vari´aveis de estado . . . 15

2.2.6 Sistemas autˆonomos, control´aveis e essenciais . . . 16

2.3 Leis de Evoluc¸˜ao . . . 17

2.3.1 A lei de evolução induzida por uma representação via espaço de estados . . . 19

2.3.2 Lei de evoluc¸˜ao de um sistema determin´ıstico . . . 20

2.3.3 Fluxos . . . 21

2.3.4 Exemplos de casos cont´ınuos e discretos . . . 24

2.4 A Topologia de Sistemas Dinˆamicos Discretos Invariantes no Tempo e Completos . . 29

2.4.1 Homeomorfismo e codificac¸˜ao . . . 33

2.5 A Dinâmica Simbólica dos Sistemas Dinâmicos . . . 34

3 Dinâmica Simbólica e Autômatos 37 3.1 Monoide e Semigrupo . . . 38

3.2 Relações e Congruências . . . 41

3.3 C´alculo de Divis˜ao . . . 44

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3.4 Linguagens Regulares . . . 47

3.5 Autˆomato M´ınimo . . . 50

3.6 Morfismo Sint´atico e Monoide Sint´atico . . . 55

3.7 Conceitos sobre Relac¸˜ao de Ordem Parcial . . . 58

3.8 Alguns Conceitos Sobre Linguagem Formal . . . 59

3.9 Conjuntos Proibidos e Conjuntos de Restric¸˜ao . . . 60

3.10 Cálculo dos Conjuntos Proibidos e Conjuntos de Restrições . . . 67

3.11 Obtenção da Estrutura Algébrica através dos Conjuntos de Proibições e Restrições . 71 3.12 O Autômato Minimal de uma Linguagem FPR . . . 83

4 Geometria Hiperb´olica 87 4.1 Conceitos Preliminares . . . 87

4.2 O Plano Hiperb´olico . . . 89

4.3 Grupo de Isometrias do Plano Hiperb´olico . . . 92

4.4 Grupo Fuchsiano . . . 95

4.5 Superf´ıcies Hiperb´olicas e Regi˜oes Fundamentais . . . 97

5 C´odigos Geod´esicos 105 5.1 Conceitos Preliminares . . . 106

5.2 C´odigos de Koebe-Morse e Artin: Estudo de caso . . . 110

5.2.1 O método de codificação de Koebe-Morse . . . 111

5.2.2 O m´etodo de expans˜ao do bordo . . . 112

5.2.3 Representação do fluxo geodésico . . . 113

5.2.4 Aplicando os conceitos . . . 115

5.3 Codificação do Fluxo Geodésico . . . 116

5.3.1 Determinando uma regi˜ao fundamental apropriada . . . 116

5.3.2 C´odigo de Koebe-Morse . . . 117

5.3.3 C´odigo de Artin . . . 119

5.4 Representação Geométrica e Aritmética do Fluxo Geodésico . . . 122

5.4.1 Estendendo o conjunto de sequˆencias c´odigo . . . 124

5.5 Estrutura e Entropia do SFT Inerente ao C´odigo Aritm´etico . . . 126

5.5.1 Definindo a estrutura da regi˜ao fundamental . . . 127

5.5.2 Maior ssf-completo . . . 128

5.5.3 Entropia Topol´ogica . . . 130

6 Representaç ão de Códigos Geodésicos 133 6.1 Ciclos de Vértices . . . 134

6.2 Representação Simbólica de Pontos sobre∂D2 _{. . . 136}

6.3 Códigos de Artin para o Caso da Tesselação_{{12, 4} . . . 145}

7 Conclus˜oes 153 7.1 Encaminhamentos e Trabalhos Futuros . . . 154

(13)

SUM ´ARIO xiii

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Lista de Figuras

2.1 Modelo apresentado por Willems. . . 6

2.2 Modelo Cl´assico. . . 6

2.3 Modelo do comportamento t´ermico do circuito el´etrico. . . 7

2.4 Relação entre as posiçõesw~1ew~2. . . 7

2.5 Representação de um sistema controlável. . . 16

2.6 Somador completo serial representado via espac¸o de estados. . . 27

2.7 Autˆomato do sistema de eventos discretos associado ao somador completo serial. . . 28

3.1 Diagramas de comutação das expressõesRCRB = RBC,LXRC = RCLX, eLXB = LXLB. . . 46

3.2 A_{C-trie. . . .} 76

3.3 A_{D-trie. . . .} 76

3.4 AutˆomatoΣ(_{O) obtido atrav´es do algoritmo L-A}UTOMATON. . . 78

3.5 O autˆomato_{M(O). . . .} 85

4.1 Exemplo de geod´esicas em H2. . . 90

4.2 Exemplo de geod´esicas em D2. . . 91

4.3 Angulo hiperbólico. . . .ˆ 92 4.4 Triângulos hiperbólicos. . . 92

4.5 Tesselação_{{8, 4}, mostrando a identificação de arestas realizada pelos geradores. . . 103}

4.6 Tesselação_{{8, 4}, mostrando ação transitiva de Γ, onde ¯g = g}−1. . . 104

5.1 Fluxo geod´esico sobre D2. . . 107

5.2 Regi˜ao fundamental. . . 108

5.3 Curvas fechadas emM. . . 108

5.4 Codificação do fluxo geodésico. . . 109

5.5 Esfera com trˆes buracos. . . 110

5.6 Cobertura deM em D2_{. . . 111}

5.7 Imagem das arestas deF , com v´ertices pares, sobre a superf´ıcie associada. . . 118

5.8 Geodésica através de um vértice. . . 118

5.9 Geod´esica em_{T . . . 118}

5.10 Poss´ıveis deformações de uma geodésica orientada quando intercepta um vértice. . . 122

5.11 Poss´ıveis discrepˆancias entre os conjuntos_{A e R. . . 123}

5.12 Modelo de sistema para sequˆencias c´odigo restritas a_{A ∩ R. . . 124}

5.13 Modelo de sistema para sequˆencias em_{R. . . 126}

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5.14 Regi˜ao fundamental. . . 128

6.1 Relação entre ciclo de vértices e sequência de geradores. . . 135

6.2 L-ciclo consecutivos. . . 138

6.3 R-ciclo consecutivos. . . 138

6.4 Configurac¸˜ao ao considerar-se umR-ciclo como fator de uma L-cadeia. . . 139

6.5 Configuração ao considerar-se uma sequênciagg−1 _{como fator de uma}_{L-cadeia. . . 139}

6.6 Região fundamental e identificação de arestas da tesselação_{{12, 4}. . . 146}

6.7 Autômata inicial parcial do código para tesselação_{{12, 4}. . . 149}

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Lista de Tabelas

2.1 RELACIONANDO CONCEITOS DEMEMORIA.´ . . . 14

2.2 FORMAS APRESENTADAS PARA REPRESENTAC¸ ˜AO DE SISTEMAS DINAMICOS.ˆ . . . 29

3.1 CLASSES DE EQUIVALENCIAˆ A` DIREITA. . . 74

3.2 CLASSES DE EQUIVALENCIAˆ A` ESQUERDA. . . 74

3.3 REPRESENTANTES DAS CLASSES NAO NULAS E PARES ORDENADOS˜ (ij)ASSOCIADOS. . 82

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Lista de S´ımbolos

Σ - Sistema dinˆamico

B - Comportamento de um sistema dinˆamico

Σa - Sistema dinˆamico com vari´aveis latentes

ΣS - Sistema dinâmico na forma de espaço de estados Σ∂ - Sistema dinâmico descrito por lei de evolução Bcompl _- _{Complementação de}_B

(X, σ) - Sistema simb´olico fechado (ssf)

X - Conjunto de sequˆencias bi-infinitas de um ssf

σ - Func¸˜ao deslocamento

(w)i - Conteúdo da posiçãoi de w

d(x, y) - Distância entre os pontosx, y em um espaço métrico M CAZ

k (u) - Conjunto cilindro

B(X) - Linguagem deX

(S,·) - Semigrupo com operac¸˜ao “_·”

1 _- _{Elemento identidade de um monoide}

A∗ _- _{Monoide livre com base}_A

ϕ - Morfismo

r - Relação de equivalência ∼r - Relação de equivalenciar

X/r - Conjunto quociente deX por r

Σa _- _{Autˆomato acess´ıvel}

L - Linguagem ou comportamento de um autˆomato

ϕL - Morfismo sint´atico de L

(X,₎ - Conjunto parcialmente ordenado V Y - Maior limite inferior deY , se existir W Y - Menor limite superior deY , se existir FPR - Fatorial prolong´avel e regular

FTR - Fatorial transitiva e regular S(·) - Conjunto de sufixos P(·) - Conjunto de prefixos

O - Conjunto proibido irredut´ıvel Ow - Conjunto minimal dew-proibic¸˜oes

R(w, L) - Contexto à direita dew com relação a linguagem L L(w, L) - Contexto à esquerda dew com relação a linguagem L

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Cw - Conjunto de restrições à direita dew Dw - Conjunto de restrições à esquerda dew Ci - i-ésimaC-classe de equivalência

Di - i-´esimaD-classe de equivalˆencia

T - trie (tree like automaton)

(G,·) - Grupo com operac¸˜ao “_·”

G1× G2 - Produto direto dos gruposG1 comG2 G1×

σ G2 - Produto semi-direto deG1porG2 com homomorfismoσ X/G - Conjunto de órbitas deX sobre ação de G

H2 _- _{Modelo do semi-plano superior do plano hiperbólico} D2 _- _{Modelo do disco de Poincaré do plano hiperbólico}

∂H2 _- _{Fronteira de H}2

∂D2 _- _{Fronteira de D}2

µ(A) - Area hiperb´olica de uma regi˜ao´ A contida em H2 _{ou D}2 SL(2, R) - Grupo especial linear

PSL(2, R) - Grupo especial linear projetivo Isom(H2₎ _- _{Grupo de isometrias de H}2

Tr(T ) - Traço de uma transformação de MöbiosT

Γ - Grupo fuchsianoΓ

Λ(Γ) - Conjunto limite deΓ

Dp(Γ) - Regi˜ao de Dirichlet paraΓ com centro em p Γ0 - Conjunto sim´etrico de geradores deΓ

SM - Fibrado tangente unit´ario de uma superf´ıcieM

T - Tesselac¸˜ao L D - Conjunto deL D-ciclos L H - Conjunto deL H-ciclos R H - Conjunto deR H-ciclos L S - Conjunto deL S-ciclos L H C - Conjunto deL H-cadeias

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Trabalhos Publicados Pelo Autor

1. D. P. B. Chaves, R. Palazzo Jr., J. R. R. Leite. “Properties of an Arithmetic Code for Geodesic Flows”.

Journal of Physics: Conference Series, vol. 285, pp. 1-10, 2011.

2. D. P. B. Chaves, R. Palazzo J´unior. “Presentations of Constrained Control Sequences for Symbolic Models of Systems”. Anais of The 2nd International Multi-Conference on Complexity, Informatics and Cybernetics (IMCIC 2011), Orlando, EUA, pp. 72-77, Marc¸o 2011.

3. D. P. B. Chaves, R. Palazzo J´unior. “Properties of an arithmetic code for geodesic flows”. Proceedings of

the Dynamics Days South America, S˜ao Jos´e dos Campos: INPE, Brasil, Julho 2010.

4. D. P. B. Chaves, R. Palazzo J´unior. “About the syntatic monoid ofFP-languages”. Proceedings of The XXI

School of Algebra, Bras´ılia: UNB, Brasil, Julho 2010.

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Cap´ıtulo 1

Introduc¸˜ao

Ao restringirmos as propriedades de uma estrutura matemática, ou equivalentemente, tornarmos seu comportamento mais r´ıgido e suas propriedades mais inflex´ıveis, muitas vezes abrimos caminho para resultados que descrevem-na com uma riqueza de detalhes estonteante, conduzindo o obser-vador à perplexidade e contemplação que muitas vezes o inibem de perceber de forma imparcial as implicações inexoráveis, a saber, a rigidez do modelo e a limitação de sua abrangência.

Este fato foi reconhecido por Willems, sendo o elemento motivador para a proposição de uma abordagem mais geral para sistemas dinâmicos [1], que tem como premissa reconhece-los como es-truturas que apresentam comportamento e propriedades espec´ıficos, o que torna meritório os esforços visando seu entendimento e aplicação, mas que não faz uso de pré-suposições que visam estabelecer condições de necessidade para aplicação de ferramentas anal´ıticas poderosas.

Empregando a abordagem de Willems, Forney e Trott interpretaram um código sobre grupo _C como um sistema dinâmico [2] (o código _{C pode ser um código de bloco, código convolucional,} reticulado, código de treliça, código geometricamente uniforme, sistema linear discreto no tempo, entre outros), que quando completo, permite a caracterização consistente do código a partir de um diagrama de treliça ou codificador minimal. Como decorrência dessa abordagem, os autores determi-naram métodos sistemáticos para construção de codificadores, além de especificarem parâmetros bem definidos para avaliação do desempenho e complexidade do código e do codificador. Esta abordagem também permitiu que fossem generalizados alguns resultados para um maior conjunto de tipos de códigos, que antes só haviam sido determinados para sistemas sobre corpos e invariantes no tempo.

Um ponto fundamental ressaltado em [2] é a necessidade da completude dos códigos sobre grupo para a efetiva construção dos codificadores. Este fato foi reconhecido por Rossin, Sindhushayana e Heegard em [3], ao proporem a extensão dos códigos de Slepian [4] para códigos sobre treliça. Neste trabalho os autores partem do caso introduzido por Slepian, a saber, consideram uma semente x₀ _{∈ R}n _{e um grupo finito de transformações lineares}_{G a partir do qual definem o código de grupo}

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de Slepian_G(x0). Como extens˜ao natural para o caso de uma trelic¸a bi-infinita, consideram o produto direto bi-infinito_GZ

de_{G, gerando o c´odigo de grupo sobre trelic¸a G}Z

(x0). Os grupos de treliça não triviais surgem quando consideramos a ação sobre x0 de subgrupos próprios Λ de GZ, neste caso, para que possamos garantir a determinação de codificadores paraΛ(x0) e respectivos decodificadores não catastróficos, como demonstrado em [3], é necessário queΛ seja um sistema simbólico fechado sobre grupo, o caso central abordado em [2]. Entre os vários problemas em aberto identificados pelos autores, destacamos a necessidade de métodos algor´ıtmicos para a construção de sistemas simbólicos fechados sobre grupos que representem todas as simetrias de um código de grupo sobre treliça.

Assim como os códigos de Slepian estabeleceram os elementos geminais para posterior introdução por Forney dos códigos geometricamente uniformes [5], os conceitos apresentados em [3] formam a base para a generalização dos códigos geometricamente uniformes para espaços de sequências em [6]. A generalização dá-se pela substituição da estrutura euclidiana por um sistema simbólico fechado homogêneoYque sofre a ação de um sistema simbólico fechado sobre grupoX, nesse caso dizemos queX é o sistema simétrico deY.

Muitos dos resultados relevantes em [2, 3, 6] são estabelecidos pela aplicação de representações minimais canônicas através de grafos direcionados dos sistemas simbólicos fechados sobre análise. Essa é uma abordagem comum no desenvolvimento da teoria de dinâmica simbólica, que com a ex-tensão de seu escopo para aplicações de natureza combinatorial, passou a adotar resultados e métodos oriundos da teoria de autômato para abordar problemas de natureza algor´ıtmica, e a adotar álgebra linear como ferramenta para determinar parâmetros globais invariantes a conjugação dos sistemas simbólicos fechados, como a entropia topológica. Nesse contexto, como primeira contribuição, in-troduzimos no Cap´ıtulo 3 um método combinatorial derivado da estrutura topológica dos sistemas simbólicos fechados, obtido pela aplicação de relações de ordem parcial. Ao contrário dos métodos anteriores, que aplicam ferramentas oriundas da teoria de autômato em dinâmica simbólica, deriva-mos uma ferramenta combinatorial baseada na teoria de autômata e linguagens formais a partir das propriedades topológicas intr´ınsecas dos sistemas simbólicos fechados. Como resultados dos concei-tos apresentados, além de propormos novos métodos para a determinação de representações canônicas minimais, pudemos especificar o monóide sintático do sistema simbólico fechado e um método para implementarmos sua operação a partir de autômatos. Acreditamos que a maior relevância deste re-sultado reside tanto no potencial das ferramentas introduzidas para análise e determinação de sis-temas simbólicos fechados com propriedades espec´ıficas estabelecidas pelas aplicações citadas nos parágrafos anteriores, como para construção de codificadores para estes sistemas.

Em seguida, consideramos a possibilidade de associar às sequências código especificadas por um sistema simbólico fechado propriedades topológicas herdadas possivelmente da estrutura algébrica subsequente à topologia da superf´ıcie. Essa abordagem é motivada pelos trabalhos desenvolvidos no

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3

grupo de pesquisa que visam estabelecer um modelo para sistema de comunicação concebido sobre um espaço hiperbólico. Como referência inicial, citamos a extensão do conceito de códigos geo-metricamente uniformes para espaços hiperbólicos [7]. A partir desse trabalho, vários outros foram desenvolvidos que estenderam os resultados, ou inovaram com a aplicação da geometria hiperbólica a outros elementos constituintes de um sistema de comunicação t´ıpico. Em nosso trabalho, procuramos identificar formas de atribuir a nossas sequências código propriedades topológicas de uma superf´ıcie hiperbólica (de gênero maior que dois). Estas propriedades se refletem nas classes homotópicas ob-tidas a partir de uma dada superf´ıcie, que por sua vez deverão induzir padrões nas sequências código obtidas a partir dessas curvas. Estas relações são verificadas no processo de codificação geométrico, aqui denominado código de Koebe-Morse [8]. No entanto, as sequências códigos obtidas por este processo são demasiadamente complexas, no sentido de não possuirem uma representação através de grafo direcionado. Como alternativa, há os códigos aritméticos, aqui denominados códigos de Artin, que apesar de não refletirem de forma tão evidente as propriedades topológicas da superf´ıcie, é sabido (apesar de não determinado na literatura) que possuem uma representação através de grafos direcionados. A partir de resultados apresentados em [8], propomos no Cap´ıtulo 5 duas poss´ıveis abordagens que conduzam a representações de sequências código do fluxo geodésico, ambas basea-das na determinação de uma representação para o código de Artin. Assim, no Cap´ıtulo 6 desenvolve-mos um método baseado unicamente nos ciclos de geradores da região fundamental para construção de uma representação minimal para o código de Artin, exemplificando nosso método através dos códigos propostos em [9]. Estes resultados estabelecem elementos iniciais necessários a aplicação da abordagem de Willems e teoria de dinâmica simbólica, assim como realizado em [2, 3, 6], para análise e proposição de códigos e codificadores aos quais possamos atribuir propriedades de natureza topológica.

A seguir apresentamos uma breve descrição dos tópicos e resultados apresentados nos cap´ıtulos que compõem a tese. Onde todos os resultados não referenciados explicitamente, decorrem do desen-volvimento do nosso trabalho.

No Cap´ıtulo 2 empregando a abordagem topológica para dinâmica simbólica, na Proposição 6 formalizamos a equivalência entre sistemas dinâmicos invariantes no tempo e completos, introduzidos em [1], e sistemas dinâmicos simbólicos fechados (ssf), este último o objeto central de estudo da teoria de dinâmica simbólica.

No Cap´ıtulo 3 demonstramos como as propriedades topológicas de um ssf podem ser representa-das combinatorialmente através de um conjunto irredut´ıvel de sequências proibirepresenta-das, especificado por uma relação de ordem parcial apropriada. A mesma idéia que permite-nos determinar um conjunto irredut´ıvel de sequências proibidas para o ssf pode ser estendido para a determinação de um conjunto irredut´ıvel de sequências proibidas para qualquer fator de uma sequência em ssf. Demonstramos

(26)

como essas caracterizaç ões combinatórias global e local, respectivamente, podem ser empregadas para a construção de estruturas algébricas (monóide sintático) e representações m´ınimas (autômato m´ınimo) para o ssf. Resultados que estabelecem os fundamentos para aplicação dos ssf em sistemas de codificação realizáveis.

No Cap´ıtulo 4 apresentamos os elementos necessários para apreciação dos resultados posteriores sobre códigos geodésicos. Em particular, apresentamos os conceitos fundamentais sobre geometria hiperbólica bidimensional, com ênfase no modelo do disco de Poincaré. Explicitamos a relação que há entre as propriedades algébricas e topológicas dos elementos do grupo fuchsiano e as propriedades topológicas da superf´ıcie hiperbólica associada.

No Cap´ıtulo 5 apresentamos as duas classes de códigos do fluxo geodésico, os aritméticos e os geométricos. Explicitamos a diferença entre estas e o reflexo dessa nas propriedades do código, prin-cipalmente na complexidade do código gerado, o que é transcrito na capacidade ou não de representar-se o código através de um grafo direcionado rotulado. Nossa abordagem é barepresentar-seada em [8], que permite uma clara comparação entre estes métodos de codificação. Nas Seção 5.5 derivamos propri-edades estruturais e determinamos a topologia do caso particular apresentado em [9], a saber, de uma tesselação regular_{{8g − 4, 4}, onde g é o gênero da superf´ıcie. Cuja importância deve-se a} possibili-dade de especificar-se explicitamente a medida invariante do fluxo geodésico associado às respectivas superf´ıcies.

No Cap´ıtulo 6, empregando os resultados apresentados no Cap´ıtulo 3, derivamos um método sim-ples, baseado nas propriedades topológicas do grupo fuchsiano associado a superf´ıcie, para gerar uma representação m´ınima para o código do fluxo geodésico discutido no Cap´ıtulo 5. É sabido que esse código possui uma representação, contudo, até onde sabemos, sua determinação (não necessariamente m´ınima) empregando os métodos disponibilizados na literatura envolve etapas cuja complexidade é exponencial em relação ao número de estados. Nosso método de determinação de uma representação m´ınima não necessita de cálculos adicionais, a não ser a determinação de um subconjunto finito de sequências proibidas decorrentes das propriedades topológicas do grupo fuchsiano associado à su-perf´ıcie, seguido pela determinação dos vértices e ramos da apresentação derivados diretamente do conjunto de proibições.

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Cap´ıtulo 2

Sistemas Dinâmicos, Códigos e Dinâmica

Simb´olica

Considerando uma abordagem clássica, a descrição dos sistemas dinâmicos é realizada pela especi-ficação da evolução do seu espaço de estados. Como exemplo notório e importante, têm-se o estudo dos sistemas dinâmicos no contexto de equações diferenciais. Nesta abordagem é pressuposto que o estado evolui de maneira autônoma, ou seja, o caminho descrito no espaço de estado só depende do estado inicial e das leis de movimento. Portanto, a não ser para algumas situações bem definidas em sistemas mecânicos e elétricos, a abordagem clássica não deixa claro como as variáveis de estado de-vem ser especificadas. Além do que, esta abordagem não formaliza como influências externas dede-vem ser incorporadas, equivalendo a uma evolução do sistema com base unicamente nas forças internas. Decorre da suposição que o estado evolui de forma determin´ıstica, que o sistema encontra-se iso-lado do ambiente, contudo não existem sistemas isoiso-lados. A abordagem clássica assume que a forma como o ambiente influencia o sistema é conhecida, como também as condições de contorno e como são geradas as influências externas. Em s´ıntese, ao modelar-se um sistema dinâmico real através de uma abordagem clássica, em última instância, deparamo-nos com a imposs´ıvel suposição de termos que modelar o ambiente.

Um contraponto aos métodos clássicos é apresentado por Willems em [1]. Inspirado em abor-dagens t´ıpicas de teoria de circuitos, controle e processamento digital de sinais, como também de ciência da computação; sua abordagem considera o sistema dinâmico como uma caixa preta que re-cebe est´ımulos do meio (entradas), e como reação a estes produz uma sa´ıda. O conceito é similar ao empregado em teoria de controle, incorporando variáveis de estado a estrutura especificada pelas entradas e sa´ıdas. O sistema dinâmico passa a ser visto como um objeto que está inserido em seu meio e interage com este, no entanto é abstra´ıdo deste, como ilustrado na Figura 2.1. Nesta abordagem, desejamos determinar a evolução de certos atributos em função do tempo, para isso o conjunto de

(28)

Modelo do Sistema DinâmicoΣ Meio Desconhecido w Variáveis de Interação

Figura 2.1: Modelo apresentado por Willems. Modelo do Sistema DinâmicoΣ Modelo do Meio w Variáveis de Interação

Figura 2.2: Modelo Cl´assico.

tantes de tempo relevantesT é selecionado e o conjunto W onde os valores de tais atributos podem ser observados. As leis que regem a evolução da dinâmica no tempo determinam quais trajetórias podem ocorrer e quais não podem, especificando o comportamento do sistema.

Nesta abordagem, quaisquer relações que especifiquem a dinâmica (e.g., as equações do modelo) são empregadas como os elementos básicos para o processo de análise, determinando as considerações iniciais a partir das quais a análise deve prosseguir, e que devem ser empregados na fundamentação teórica do sistema dinâmico. Quaisquer pré-considerações sobre o modelo devem ser justificadas pelo aparato teórico empregado na modelagem. Esta visão contrasta com a clássica, onde o meio também é visto como um sistema dinâmico espec´ıfico, o que torna poss´ıvel considerar-se o sistema dinâmico sobre análise como autônomo, como consequência o meio deve ser modelado, como ilustrado na Figura 2.2.

Em consonância com a proposta apresentada, um sistema dinâmico é interpretado como uma fam´ılia de regras que restringem o conjunto de sinais produzidos pelo sistema dinâmico, e por-tanto, que determinam o comportamento do sistema. O conjunto de todos os sinais compat´ıveis com estas regras definem o comportamento do sistema. No entanto, regras e modelos derivados de princ´ıpios fundamentais conterão invariavelmente variáveis adicionais àquelas modeladas, denomi-nadas de variáveis latentes. Algumas variáveis latentes podem ter propriedades importantes relacio-nadas a captura da estrutura da memória do sistema, o que conduz ao importante conceito de estado do sistema dinâmico. Estes elementos são ilustrados no Exemplo 1.

Definiç ão 1. Um sistema dinâmicoΣ é definido por uma tripla Σ = (T, W,_B)

ondeT _{⊆ R é o tempo; W é um conjunto abstrato chamado de alfabeto de sinais; e B ⊆ W}T _{é o}

comportamento.

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Usual-7 RL RC C L V I Sistema Meio

Figura 2.3: Modelo do comportamento t´ermico do circuito el´etrico.

~ w2 ~ w1 m L F~ ~1_z

Figura 2.4: Relação entre as posiçõesw~1 ew~2.

mente,T é igual a R ou R+no caso de sistemas em tempo cont´ınuo, e Z ou Z+no caso de sistemas em tempo discreto, também sendo definido em intervalos de R e Z. O conjuntoW especifica os atributos do sistema dinâmico que são formalizados como elementos de um conjunto, sendo estes atributos as variáveis cujas evoluções no tempo estão sendo descritas. Tais atributos são uma combinação de variáveis observadas e das variáveis que propiciam a interação do sistema com o meio. O comporta-mento_{B constitui a fam´ılia de trajetórias descritas no tempo com valores no alfabeto W . Assim, os} elementos de_{B são as trajetórias compat´ıveis com as regras ou leis que governam o sistema, de outra} forma, são sinais definidos no tempo compat´ıveis com o modelo do sistema dinâmico. Em muitas aplicações_{B é determinado através de equações diferenciais, a diferença ou integrais. Neste caso,} podemos considerar um mapa b : WT _{→ E com E = {0, 1}, ou ainda, de forma mais geral, um} espaço vetorial onde_{B = b}−1(0). Denotando as equações que especificam o sistema por equações de

comportamento.

Exemplo 1. A análise do comportamento térmico de um circuito elétrico é um caso t´ıpico de

constru-ção de um modelo dinâmico a partir de princ´ıpios f´ısicos fundamentais ou princ´ıpios primeiros1_{. O}

circuito interage com o meio externo através de suas portas externas, o que é descrito pela corrente I através do circuito e a tensão V nos seus terminais externos. Desta forma, obtemos queW = R2 _e T = R. Para especificar o comportamento térmico do circuito, serão introduzidas a corrente através dos ramos e a tensão sobre os ramos do circuito Figura 2.3, de forma a serem satisfeitas as equações constituintes em (2.1).

V_R

C = RC IRC; VRL = RLIRL; C ˙VC = IC; L IL = VL (2.1)

(30)

Al´em de satisfazer a lei de Kirchhoff para corrente (2.2) e a lei de Kirchhoff para tens˜ao (2.3). I _{= I}_R

C + IRL; IRC = IC; IRL = IL (2.2)

V _{= V}_C_{+ V}_R

C = VL+ VRL (2.3)

Portanto, o comportamento da porta ´e formalmente definido em (2.4).

B ={(I, V) : R → R2|∃ (IRC, VRC, IRL, VRL, IC, VC, IL, VL) : R → R

8 satisfazendo as equac¸˜oes de comportamento (2.1), (2.2) e (2.3)_}.

(2.4)

Após a eliminação das variáveis IRC, VRC, IRL, VRL, IC, VC, IL, VL, obtém-se como equação de

comportamento a equac¸˜ao diferencial (2.5).

RCLCÏ + (L + RCRLC)˙I + RLI = LC ¨V+ (RC + RL)C ˙V+ V (2.5) Permitindo a especificação expl´ıcita do comportamento em (2.6).

B = {(I, V) : R → R2_{| satisfazendo a equac¸˜ao (2.5)}} _(2.6)

No Exemplo 1 a descrição das variáveis básicas V, I foi obtida a partir de princ´ıpios fundamentais. Contudo, o processo de modelagem envolveu variáveis auxiliares adicionais àquelas descritas, neste caso IRC, VRC, IRL, VRL, IC, VC, IL, VL, correspondendo às variáveis latentes. A inserção destas

variáveis ocorre essencialmente por tornarem-se convenientes na escrita das equações de movimento, ou por serem essenciais ao expressar as leis de constituição2ou de conservação3que definem o com-portamento do sistema. Variáveis latentes ocorrem invariavelmente quando o sistema modelado for tratado como uma interconexão de subsistemas, uma abordagem comum na determinação de mode-los. Este procedimento é mais uma vez exemplificado no Exemplo 2, onde as variáveis externas dos subsistemas tornam-se variáveis latentes para o sistema interconectado.

Exemplo 2. Considerando o pêndulo da Figura 2.4. Deseja-se modelar a relação entre as posições

~

w1da massa ew~2do suporte do pêndulo, podendo ser interpretado como o passo inicial no projeto de um controlador que estabilizew~1 em uma dada trajetória pelo emprego dew~2como controle. Como 2_{Expressas por relações entre quantidades f´ısicas que são espec´ıficas de um material ou substância, aproximando}

a resposta do material a forças externas. Ao serem combinadas com equações que expressam leis f´ısicas, permitem a solução de problemas f´ısicos como a resposta de um cristal a um campo elétrico. Em muitos casos são expressas por proporções simples, como é o caso da condutividade elétrica ou constante de elasticidade de uma mola.

3_{Especifica quando uma propriedade mensur´avel de um sistema f´ısico isolado n˜ao muda enquanto o sistema evolui,}

(31)

9

ocorre quandow~1 representa o centro de massa de um ve´ıculo lançador de satélites ew~2 a sa´ıda do sistema de propulsão. Para obtenção de um modelo para este sistema, inserimos a força ~F na barra de comprimento L e o fator de proporcionalidade a entre ~F e ~w1 − ~w2 como variáveis auxiliares. Obtém-se as equações de comportamento (2.7).

md 2_w_~ 1 dt2 = mg~1z+ ~F || ~w1− ~w2|| = L ~ F = a( ~w1− ~w2) (2.7)

Ondem e a massa do pêndulo, g é a constante gravitacional e ~1z é o vetor unitário na direçãoz. As equações em (2.7) especificam completamente o comportamento definido em (2.8).

B = {( ~w1, ~w2) : R→ R3× R3|∃ ~F : R → R3 ea : R→ R satisfazendo (2.7)}. (2.8) Assim como as tensões e correntes sobre os elementos resistivos, capacitivos e indutivos do Exem-plo 1 foram empregados como variáveis auxiliares à determinação de um modelo, a força ~F na barra do pêndulo e o fator de proporcionalidadea cumpre papel similar. Novamente, a análise do sistema envolve a interconexão de seus componentes constituintes, cujas especificações dos comportamentos através das relações entre variáveis de entrada e sa´ıda sabemos descrever, cujas descrições parciais envolvem variáveis latentes empregadas na determinação da solução global.

Não só na análise de sistemas reais, como também em abordagens puramente teóricas, as variáveis latentes assumem um papel relevante. Pois, assim como as variáveis de estado ou as variáveis livres, são necessárias na redução de equações de movimento à expressões puramente locais no tempo.

Em uma primeira análise, podemos considerar dois tipos de variáveis: as diretamente observáveis (expl´ıcitas) e as latentes (impl´ıcitas). Como exemplo, em termodinâmica a pressão, temperatura e volume são variáveis expl´ıcitas, enquanto a energia interna e entropia podem ser consideradas como variáveis latentes, cujo valor é deduzido a partir das variáveis expl´ıcitas. Em um contexto econômico, o número de vendas pode ser visto como uma variável expl´ıcita, enquanto a demanda dos consu-midores como uma variável latente. Especificar que variáveis são observáveis ou mensuráveis está relacionado a disponibilidade instrumental e tecnológica, sendo um conceito flex´ıvel que adequa-se aos objetivos da análise. O conceito de variáveis latentes é formalmente estabelecido na Definição 2.

Definição 2. O sistema dinâmico com variáveis latentes é uma quádrupla

(32)

comT, W já especificados na Definição 1; A é o conjunto de variáveis latentes e_Ba⊆ (W × A)T o

comportamento (estendido).

O sistemaΣa é chamado de um modelo com variáveis latentes para o sistema dinâmico induzido Σ = (T, W, PwBa), onde Pw : (W × A)T → WT satisfaz (Pww)(t) = Pw(w(t)), reduzindo-se a uma projeção quando aplicado a um elemento deW × A, ou seja, Pw(w, a) := w. Na abordagem considerada, pode-se interpretar_Bacomo o comportamento interno do sistema, enquantoPwBacomo o comportamento externo.

2.1 Estrutura B´asica

Muitos conceitos gerais em matemática podem ser aplicados a sistemas dinâmicos quando introduzi-dos através da Definição 1.

2.1.1 Linearidade

Um sistema dinâmicoΣ = (T, W,B) é dito linear se W é um espaço vetorial e B é um subespaço linear de WT_{, este último um espaço vetorial obtido pela adição ponto-a-ponto e multiplicação por} escalar.

2.1.2 Invariante no tempo

Um sistema dinâmicoΣ = (T, W,_{B) é dito invariante no tempo se T é um semigrupo aditivo em R} (_{∀ t}1, t2 ∈ T ⇒ t1 + t2 ∈ T ) e σtB ⊆ B para todo t ∈ T , onde σt é ot-deslocamento à esquerda, ou seja,(σt_{f )(t}′_{) := f (t}′_{+ t). Ambos os exemplos introduzidos acima são casos t´ıpicos de sistemas} invariantes no tempo.

2.1.3 Simetria

Seja Σ uma fam´ılia de sistemas dinâmicos. Cada elemento em Σ é um sistema dinâmico de acordo com a Definição 1. Seja _{G um grupo e G = (S}g, g ∈ G) um grupo de transformações em Σ, ou seja, cadaSg : Σ → Σ é uma bijeção com Sg1◦g2 = Sg1 ◦ Sg2. O par ordenado(Σ, G) é chamado

de estrutura de simetria. Um elemento Σ _{∈ Σ ´e dito G-sim´etrico se S}gΣ = Σ para todo g ∈ G. De modo informal, diz-se queΣ possui G como uma simetria. Como exemplo de simetrias comuns, pode-se citar:

(33)

2.2 O Conceito de Mem´oria 11

(1) SejaT =_{G um subgrupo aditivo de R e S}g(T, W,B) = (T + g, W, σgB). Neste caso, os sistemas sim´etricos s˜ao aqueles invariantes no tempo.

(2) Seja (Sw

g , g ∈ G) um grupo de transformações sobre W e Sg(T, W,B) = (T, W, SgB), onde SgB = {Sg(w(·)) : T → W |w ∈ B}. A simetria resultante sugere um comportamento que é invariante sobre algumas mudanças de sinal ou permutações dos componentes das variáveis externas, e.g., a permutação de part´ıculas em um sistema comn part´ıculas idênticas.

(3) Seja_{G = {0, 1} e considere S}1(T, W,B) = (−T, W, RB) onde R é a inversão do eixo do tempo: (Rf )(t) := f (_{−t). O sistema de simetria resultante é dito invers´ıvel no tempo, como exemplos,} têm-se os sistemas descritos por equações diferenciais contendo só derivados de ordem par. (4) Seja J uma involução sobre W (i.e., J = J−1). Considerando _{G = {0, 1} e S}1(T, W,B) =

(−T, W, JRB). A simetria resultante é algumas vezes chamada de reversão do tempo. A involução J é empregado para expressar que pode ser necessário alterar o sinal da velocidade, em alguns sistemas mecânicos, quando realiza-se uma reversão no tempo.

Nas considerações que seguem, nos restringiremos a explanação de sistemas invariantes no tempo, particularmente nos casos T = R ou Z. Esta consideração deve-se principalmente ao enfoque em dinâmica simbólica e a caracter´ıstica conceitual do texto, o que faz destes casos mais adequados para apresentação dos resultados.

2.2 O Conceito de Mem´oria

Um dos aspectos dos sistemas dinâmicos que justificam o grande esforço a estes dedicado pela co-munidade cient´ıfica é o fato de apresentarem memória, ou seja, a evolução futura do sistema ser influenciada pela sua evolução até o presente. Este aspecto é o que o diferencia de mapas e relações arbitrárias. As propriedades da estrutura de memória do sistema, nos permite classificá-lo em quatro tipos não excludentes.

2.2.1 Concatenação e mapa não-antecipativo

Quanto ao estudo de sistemas dinâmicos, o conceito de interação entre o passado e o futuro de fam´ılias de funções temporais assume papel fundamental, pela concatenação do passado e do futuro, e pelo modo como o passado e o futuro interagem com mapas.

(34)

SejamT _{⊂ R e W conjuntos. Para um dado mapa w : T → W definem-se os mapas:} w− := w|T ∩(−∞,0) (o passado estrito de w)

w−0 := w_|T ∩(−∞,0] (o passado e presente de w) w+:= w|T ∩[0,∞) (o futuro estrito de w) w0+ := w_|T ∩(0,∞) (o presente e futuro de w)

Para_{B ⊆ W}T, estes conceitos conduzem às extensões_B−,B−0_,_B0+_{, e}_B+_{de significado imediato.} Sejamw1, w2 : T → W e t ∈ T . As concatenações em t de w1, w2 : T → W , representadas por w1Λ

t−w2ew1Λ t+

w2, s˜ao definidas como

w1Λ t− w2 (t′) :=    w1(t′) para t′ < t w2(t′) para t′ ≥ t w1Λ t+ w2 (t′) :=    w1(t′) para t′ ≤ t w2(t′) para t′ > t Para_B1,B2 ⊆ WT obtˆem-se as extens˜oesB1Λ

t−B2 eB1Λ t+B2

de significado imediato.

Estas definições podem ser facilmente estendidas para os casos em que os mapas considerados já possuem restrições. Assim,w−₁ Λ

0− w₂0+ := w1Λ 0− w2ew−01 Λ 0+ w₂+ := w1Λ 0+

w2, etc. Sendo pertinente sali-entar que para o caso discreto(T = Z) observa-se Λ

(t+1)− = Λ t+

, de tal forma que n˜ao h´a a necessidade de introduzirem-se ambos Λ

t−

eΛ

t+

. Ressaltando a necessidade de ambos no caso cont´ınuo.

SejaT _{⊆ R, W}1 eW2conjuntos, como tamb´emB1 ⊆ W1T,B2 ⊆ W2T. Consideremos o mapaF : B1 → B2. O mapaF seja denominado n˜ao-antecipativo sew′1, w1′′ ∈ B1, t ∈ T, e w1′(t′) = w′′2(t′) parat′ _{≤ t ⇒ (F w}′

1)(t′) para t′ ≤ t . O mapa F ser´a chamado estritamente n˜ao-antecipativo se w′

1, w′′1 ∈ B1, t∈ T, e w′1(t′) = w1′′(t′) para t′ < t ⇒ (F w′1)(t′) = (F w′′1)(t′) para t′ ≤ t .

2.2.2 Completude

Relacionado com a possibilidade das equações de comportamento serem escritas através de equações a diferença, portanto, as equações de comportamento não podem se estender indefinidamente para o passado, no sentido _{−∞, como também para o futuro, no sentido +∞. Dito isso, um sistema} dinâmicoΣ = (T, W,_{B) é dito completo se,}

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Sendo chamado deL-completo se,

{w ∈ B} ⇔ {w|[t,t+L] ∈ B|[t,t+L]:∀ t ∈ T }.

Se um sistema éL-completo para todo L > 0, será chamado especificado localmente. Se um sistema é0-completo, será chamado especificado instantâneamente. Estas noções conduzem a interpretações intuitivas. Um sistema dinâmico discreto no tempo é governado pelo conjunto de equações a diferença

f (w(t + L), w(t + L− 1), . . . , w(t)) = 0, t ∈ Z,

se, e somente se, ele ´e L-completo. Para o mapa f : WL _{→ R pode-se tomar qualquer um que} satisfac¸af−1_{(0) =} _B|

[0,L] ∈ WL, o que formalmente equivale a especificar uma equação a diferença que defina o comportamento_{B = {w : Z → W | a equação a diferença é satisfeita para todo t ∈ Z}.} Neste contexto, o inteiro L ∈ Z+ é dito a latência. Similarmente, desconsiderando inicialmente maiores considerações sobre a continuidade da variedade considerada, um sistema cont´ınuo no tempo governado por um conjunto de equações diferenciais

f d n_w dtn (t), dn−1_w dtn−1 (t), . . . , w(t) = 0, t∈ R,

também é localmente especificado. Como é de se esperar, um sistema é especificado instantâneamente se, e somente se, ele é governado por leis não-dinâmicas, ou seja, se ele é governado por equações de comportamento da formaf (w(t)) = 0, t_{∈ T .}

2.2.3 Extens˜ao da mem´oria

Extensão de memória expressa o intervalo de tempo no qual há uma conexão entre o passado e o futuro. Mais formalmente, diz-se que um sistema dinâmicoΣ = (T, W,_{B) possui memória ∆-finita} (ou que sua memória possui extensão∆) se

w1, w2 ∈ B, e w1|[0,∆) = w2|[0,∆) ⇒ n w1Λ 0−w2 ∈ B o ,

sendo dito de memória finita se possui memória∆-finita para algum ∆ > 0; ou memória local se pos-sui memória∆-finita para todo ∆ > 0. Ao nos referirmos a extensão da memória, como geralmente adotado, referimo-nos implicitamente a∆min, o m´ınimo∆∈ Z+apresentando a propriedade acima. Quando a memória só é constitu´ıda do valor presente, ela recebe uma denominação proveniente da

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Tabela 2.1: RELACIONANDOCONCEITOS DEMEMORIA.´

Especificac¸˜ao

Instantˆanea =⇒

Especificac¸˜ao

Local ⇒ t-completo ⇒ Completo

⇓ ⇓ ⇓ Sem Memória ⇒ Markoviano ⇒ Memória Local ⇒ Memória t-finita ⇒ Memória Finita

teoria de processos estoc´asticos:Σ ´e dito Markoviano se

w1, w2 ∈ B, w1(0) = w2(0) ⇒ w1Λ

0−w2 ∈ B .

O sistema é dito sem memória se_{B é fechado sobre concatenação, i.e., se} w1, w2 ∈ B ⇒ w1Λ

0−w2 ∈ B .

Para o caso de sistemas dinâmicos discretos no tempo, os conceitos de completude e extensão de memória estão intimamente relacionados. Considerando um tal sistema Σ = (Z, W,B), se Σ é t-completo então, segue dos conceitos de completude e expansão de memória, este é completo e possui memóriat-finita, o que estabelece uma relação de implicação direta. Agora, com o objetivo de estabelecer a relação de implicação contrária, assuma que Σ possui memória t-finita e que w : T _{→ W possui a propriedade w|}[t′_,t′_+t) ∈ B|_[t′_,t′_+t) para todot′ ∈ Z. Neste caso, há w₁, w₂, w₃, w₄

satisfazendow1 Λ

(t′

−1)−w Λ_{(t′ +t)−}w2 ∈ B e w3_{(t′ )−}Λ w_{(t′+t+1)−}Λ w4 ∈ B. Segue de supormos que o sistema

´e de mem´oria t-finita que w1 Λ

(t′₋ 1)−w_{(t′+t+1)−}Λ w4 ∈ B. Logo, w|[t ′ ,t′ +t+1) ∈ B|[t′ ,t′ +t+1) para todo t′ _{∈ Z, consequentemente w|}

[t′_,t′_+t] ∈ B|_[t′_,t′_+t] para todot′ ∈ Z. Segue da definic¸˜ao de um sistema

L-completo que Σ é t-completo. Este resultado é resumido na Proposição 1.

Proposição 1. [1] SejaΣ = (Z, W,B) um sistema dinâmico discreto. Então Σ é t-completo ⇔ Σ é completo e possui memória t-finita .

Podendo ser demonstradas implicações associadas a conceitos distintos de memória, como espe-cificado na Tabela 2.1.

SeT = Z, e se Σ é completo, então as setas verticais da Tabela 2.1 também podem ser revertidas, o que seguirá da Proposição 1. Destes resultados, a n´ıvel de aplicação temos o resultado: Um sistema

discreto no tempo pode ser descrito através de uma equação a diferença com latênciaL se, e somente

(37)

2.2.4 Dividindo vari´aveis

A interação entre as variáveis latentes e a estrutura da memória de um sistema propicia elementos relevantes à análise dos sistemas dinâmicos. Inicialmente, consideramos o conceito onde o valor presente das variáveis latentes determinam o comportamento futuro da variável associada ao sinal ex-terno. SejaΣa = (T, W, A,Ba) um sistema dinâmico com variáveis latentes. Diz-se que as variáveis latentes dividem o comportamento externo se

(w1, a1), (w2, a2)∈ Ba, e a1(0) = a2(0) ⇒ n w1Λ 0−w2∈ PwBa o .

2.2.5 Sistema de vari´aveis de estado

Refere-se a variáveis latentes que parametrizam o conteúdo da memória do sistema. Se combinarmos a propriedade de divisão introduzida na Seção 2.2.4 com a Markoviana da Seção 2.2.3, obtém-se a importante classe de sistemas apresentada na Definição 3.

Definição 3. SejaΣS = (T, W, X,BS) um sistema dinâmico com variáveis latentes. Este será cha-mado um sistema dinâmico na forma de espaço de estados, com espaço de estados X, se o com-portamento _BS ⊆ (W × X)T satisfaz o que é chamado de axioma de estado. Significando que a implicação(w1, x1), (w2, x2)∈ BS, e x1(0) = x2(0) ⇒ (w1, x1)Λ

0−(w2, x2)∈ BS ´e verificada.

Neste casoPwBS ´e chamado de comportamento externo deΣS, enquanto(T, W, PwBS) o sistema

induzido porΣS. Reciprocamente,ΣS = (T, W, X,BS) é chamado de uma representação via espaço

de estados (ou realização via espaço de estados) de Σ = (T, W, PwBS). Por fim, Bx = PxBS será chamado de comportamento dos estados, ondePx : (W × X) → X é a projeção Px(w, x) = x. Em ocasiões onde for necessário considerar todos os estados de um sistema, considerar-se-a o sistema de

estadosΣx = (T, X,Bx).

Pode-se verificar que em um sistema de espaço de estadosx divide w, que (T, W, X,BS) é Mar-koviano, e que o sistema de estados Σx = (T, W,Bx) também é Markoviano. Percebe-se que em um sitema de espaço de estados x divide conjuntamente w e x. Os conceitos até então apresenta-dos, encontram-se entre os que apresentam-se como os mais prof´ıcuos para análise e modelagem de sistemas dinâmicos. A maioria dos modelos encontrados na f´ısica, economia, simulação dinâmica, controle e estimação dinâmicos, etc., são apresentados na forma de espaço de estados. Valendo res-saltar que o conceito de estado, de acordo com o meu entendimento, não deve ser interpretado como um princ´ıpio fundamental, mas com uma variável que deve ser constru´ıda de acordo com o modelo apresentado, ou seja, baseada em seu comportamento externo, ou do modelo que incorpora variáveis latentes. Esta é uma forma que conduz a determinação de modelos matemáticos a partir de princ´ıpios f´ısicos ou econômicos, portanto, o ponto de partida para de uma teoria matemática para dinâmica.

(38)

0 W t w− 1 w T σ−t_w0+ 2

Figura 2.5: Representação de um sistema controlável.

2.2.6 Sistemas autˆonomos, control´aveis e essenciais

As noções de sistemas autônomos e controláveis têm como objetivo classificar com que extensão o passado influencia o futuro. Em sistemas autônomos o passado especifica o futuro. Em sistemas controláveis o passado não influência o futuro “distante”.

Seja Σ = (T, W,_{B) um sistema invariante no tempo com T = R ou Z. Ele é dito autônomo se} há um mapaf :_B− _{→ B}0+ _{tal que para todo}_w_{∈ W}T _{tem-se que}_{{w = w}−_Λ

0−w

0+

∈ B} ⇔ {w− _∈ B e w0+ _{= f (w}−₎_{}. O sistema Σ ´e dito control´avel se para todo w}

1, w2 ∈ B h´a um t ∈ T , t ≥ 0, e umw : T ∩ [0, t) → W tal que w1Λ

0−wΛ_t−σ

−t_w

2 ∈ B, como mostrado na Figura 2.5. Como definic¸˜oes equivalentes, poder´ıamos ter definido f : B−0 _{→ B}0+

para sistemas autônomos, e quaisquer das concatenaçõesw1Λ 0−wΛ_t+σ −t_w 2,w1Λ 0+wΛ_t−σ −t_w 2 ouw1Λ 0+wΛ_t−σ −t_w

2para sistemas control´aveis.

Nesta abordagem, o conceito de controlabilidade é uma propriedade do comportamento externo do sistema dinâmico. Em um sistema dinâmico controlável é poss´ıvel direcionar o sistema para seguir qualquer trajetória futura, independentemente da trajetória passada.

Considerando as especificaç ões comuns de sistemas a dinâmicos através de equações diferença e diferenciais. Se uma equação a diferença possui uma solução para um valor de latência máximo, i.e., se é da forma

w(t + L) = f′_{(w(t + L}_{− 1), . . . , w(t)),}

então o sistema dinâmico resultante será autônomo. No caso cont´ınuo, um sistema dinâmico descrito pela equação diferencial

dn_w dtn (t) = f ′ dn−1w dtn−1 (t), . . . , w(t) ,

será autônomo (assumindo quef′ _{é suficiente cont´ınuo), tal que, a equação diferencial possui solução} única para toda a condição inicial

w(0),dw dt(0), . . . , dn−1_w dtn−1 (0) .

(39)

2.3 Leis de Evoluc¸˜ao 17

Os conceitos de linearidade, simetria, autonomia, controlabilidade, etc., inicialmente apresentados para sistemas dinâmicos definidos em função do seu comportamento externo, podem ser natural-mente extendidos para uma representação via espaço de estados de um sistema dinâmico, ou sistemas envolvendo variáveis latentes. Neste contexto, pode-se provar que um sistemaΣS = (T, W, X,BS) é autônomo se, e somente se, há um mapa ˜f : X → B0+

S tal que{(w, x) ∈ BS} ⇒ {(w, x)0+ = ˜

f (x(0))}. Este resultado é apresentado na Proposição 2.

Proposição 2. [1] Um sistema representado por um espaço de estados ΣS = (T, W, X,BS) é

autˆonomo se, e somente se, existe um mapa ˜f : X → B0+

S tal que{(w, x) ∈ BS} ⇒ {(w, x)0+ = ˜

f (x(0))}.

Considerando um sistema dinâmico invariante no tempo Σ = (T, W,B) com T = Z ou R. Ele será dito essencial se para todow ∈ W há um w ∈ B tal que w(0) = w. Em um sistema essen-cial todos os valores ou atributos externos ocorrerão. Como exemplo comparativo, em um sistema especificado instantâneamente, não ser um sistema essencial é o que determina as propriedades ou regras do sistema. Este conceito pode ser generalizado para o caso de sistemas com variáveis latentes. Neste caso, diz-se que um sistema é essencial nas variáveis latentes quando o sistema(T, W, PaBa) é essencial. Como as variáveis latentes são variáveis auxiliares, é natural assumir que o comporta-mento interno (nas variáveis latentes) é essencial, caso contrário, só precisamos redefinir o conjunto A. Quando as variáveis latentes são variáveis de estado, falaremos em sistemas que possuem espaço de estados essencial.

Retornando ao caso de um sistema controlável. O conceito apresentado aqui e o caso clássico de controlabilidade do espaço de estado são intrinsecamente relacionados. Seja Σx = (T, X,Bx) o sistema de estados de um sistema. Ou seja, assumiremos que ele é Markoviano. Diz-se que Σx é

estado controlável se, para todox0, x1 ∈ X, há um x ∈ Bx e umt ∈ T , t ≥ 0, tal que x(0) = x0 ex(t) = x1. O conceito de controlabilidade, como usualmente empregado na literatura de teoria de controle, de forma geral, corresponde ao conceito de estado controlável de um sistema de estados. O que é formalizado na Proposição 3.

Proposição 3. [1] SejaΣxessencial. Então ele é controlável se, e somente se, é estado controlável.

Além disso, seΣx é estado controlável, entãoΣ é controlável.

2.3 Leis de Evoluc¸˜ao

A maioria dos modelos práticos de sistemas dinâmicos estão na forma de equações a diferença ou diferencial. Sendo que equações a diferença ou diferenciais de maior ordem podem ser reduzidas a equações de ordem um pela redefinição das variáveis de latência ou derivadas como novas variáveis.

(40)

Portanto, restringir nossa abordagem ao caso de equações a diferença e diferenciais de primeira ordem não limita o escopo dos resultados aqui apresentados. Tais modelos são definidos automaticamente quando o sistema é representado na forma de espaço de estados.

Definiç ão 4. Uma lei de evolução discreta no tempo é definida como uma quádrupla

Σ∂ = (T, W, X, ∂)

ondeT _{⊆ Z o eixo do tempo, sendo que comumente T = Z; W ´e o alfabeto de sinais; X o espac¸o}

de estados; e∂ ⊆ X × W × X a relação próximo-estado.

A interpretação intuitiva de ∂ é dada por: (x0, w, x1) ∈ ∂ implica que se o sistema está no estadox0, então ele pode prosseguir para o estadox1 enquanto produz o valor de sinal externow. O

comportamento induzido por∂ é definido comoB∂ :={(w, x) : Z → W ×X| (x(t), w(t), x(t+1)) ∈ ∂ para todo t_{∈ Z}. Podendo ser verificado que B}∂ satisfaz o axioma de estado e que é invariante no tempo. Obtém-se de_B∂: O sistema na forma de espaço de estadoΣS = (Z, W, X,B∂) induzido por Σ∂; o comportamento externoB = PwB∂; e o sistema dinâmicoΣ = (Z, W, PwB∂) induzido por Σ∂. O que é denotado por

∂ _{⇒ B}∂ ⇒ B e Σ∂ ⇒ ΣS ⇒ Σ.

A versão cont´ınua no tempo análoga a uma relação próximo-estado é uma relação diferencial de

primeira-ordem. Neste caso, no lugar do pr´oximo estado onde o sistema ´e permitido estar,

especifica-se em que direc¸˜ao e com que velocidade ele pode prosespecifica-seguir.

Definiç ão 5. Uma lei de evolução cont´ınua no tempo é definida pela quádrupla

Σ∂ = (T, W, X, ∂)

onde T ⊆ R ´e um intervalo, o eixo do tempo, sendo que comumente T = R; W ´e o alfabeto de

sinais;X o espaço de estados, uma variedade cont´ınua; e ∂ ⊆ T X × W a relação campo-vetorial, ondeT X é o fibrado tangente de X.

Como caso mais comum, X pode ser pensado como um subconjunto aberto do Rn _{e identificar} T X com X _{× R}n_{. A interpretação a ser dada para tal estrutura é que} _{((x, v), w)} _{∈ ∂ significa} que quando o sistema está no estado x, ele poderá prosseguir com velocidade v enquanto produz o valor de sinal externow. Definindo o comportamento induzido por ∂ como _B∂ := {(w, x) : R → W _{× X| x é absolutamente cont´ınuo e ((x(t), ˙x(t)), w(t)) ∈ ∂ para todo t ∈ R onde ˙x(t) existe}.} Portanto, o comportamento de uma lei de evolução discreta no tempo pode ser vista como o conjunto de soluções de uma equação a diferença que é de primeira ordem em x e de ordem zero em w:

(41)

2.3 Leis de Evoluc¸˜ao 19

f (x(t), w(t), x(t + 1) = 0 (∂ = f−1_{(0)). Enquanto uma lei de evolução cont´ınua no tempo pode ser} vista como descrita por equações diferenciais que são de primeira ordem em x e de ordem zero em w: f (x(t), ˙x(t), w(t)) = 0 (∂ := f−1_(0)).

Como no caso discreto,_B∂ satisfaz o axioma de estado, al´em do que tamb´em verifica-se que:

∂ _{⇒ B}∂ ⇒ B e Σ∂ ⇒ ΣS ⇒ Σ.

Ao definir-se um sistema em termos de seu comportamento, em essencia, se estabelece uma regra, uma especificação, uma lei, através da qual pode-se verificar se uma trajetória em particular no tempo sobreW é ou não compat´ıvel com o sistema. Uma lei de evolução ∂, por outro lado, fornece uma

gram´atica, um procedimento, um algoritmo atrav´es do qual elementos de _{B podem ser gerados}4_.

Portanto, se um por (w, x) é compat´ıvel com o comportamento, isso pode ser verificado completa-mente através dos valores dos pontos adjacentes, ou seja, em função do comportamento local (onde o conceito de localidade foi considerado em relação ao tempo, no entanto, conceitos e idéias similares podem ser considerados no contexto espacial).

2.3.1 A lei de evolução induzida por uma representação via espaço de estados

Construção de leis de evolução que simulam um sistema representado via espaço de estados. Consi-derando, inicialmente, o caso discreto. SejaΣS = (Z, W, X,BS) um sistema representado via espaço de estados, discreto no tempo e invariante no tempo. A lei de evolução induzida porΣS é definida porΣ∂ = (Z, W, X, ∂), onde

∂ := {(x0, w, x1)∈ X × W × X|∃ (w, x) ∈ BS tal quex(0) = x0, x(1) = x1, e w(0) = w}.

(2.9)

Decorrendo do discutido na Seção 2.3 que ∂ induz um sistema via espaço de estados, o qual terá o comportamento representado por ¯_BS, observamos que BS ⊆ ¯BS. Um caso t´ıpico onde ocorre a inclusão estrita é o das Rq-sequências cuja soma dos quadrados existe,l2_{(Z, R}q_{) (podendo ser escrita} como o sistema (Z, Rq_{, 0, l}2_{(Z, R}q_{)). Neste caso ¯}_B

S é igual a (Rq)Z, o que inclui l2(Z, Rq) como um subconjunto estrito. Este caso conduz a questão: Quando _BS = ¯BS? Para um sistema dinâmico Σ = (T, W,B) a complementação de seu comportamento é definida por

Bcompl:=_{{w : T → W | w|}[t0,t1]∈ B|[t0,t1]para todo − ∞ < t0 ≤ t1 <∞}.

(42)

Podendo ser demonstrado que _Bcompl é o menor subconjunto de WT _{que é completo e contém} _B. Sendo uma consequência direta que _Bcompl será invariante no tempo e/ou linear se _{B for. Estes} conceitos definem os elementos necessários para a demonstração do Teorema 4.

Teorema 4. [1] Seja ΣS = (Z, W, X,BS) um sistema representado via espac¸o de estados e ¯BS o

comportamento da lei de evolução induzida por ele. Portanto, ¯_BS = BcomplS . Têm-se como

con-sequência que_{BS = ¯BS} ⇔ {ΣS é completo}. Ou seja, um comportamento BS só é integralmente

representado por uma lei de evolução se, e somente se, ele é completo.

Demonstração: Como consequência deΣS ser uma representação via espaço de estados, o com-portamento _BS é Markoviano. Portanto, BcomplS possui memória 1. Considerando os conceitos da Seção 2.2 e a Proposição 1, _B_Scompl pode ser descrito por equações de comportamento com latência de primeira ordem. Sejaf (x(t), w(t), x(t + 1), w(t + 1)) = 0, e f−1_{(0) =}_Bcompl

S |[0,1] =BS|[0,1] tal equac¸˜ao. Decorrendo do axioma de estado que_{{(x(t), w(t), x(t + 1)) ∈ ∂ e (x(t + 1), w(t + 1), x(t +} 2)) _{∈ ∂} ⇒ {(w(t), x(t)), (w(t + 1), x(t + 1)) ∈ B}S|[0,1]}.

Segue o resultado final do fato que∂ =_{(x0, w0, x1)|∃ w1tal quef (x0, w0, x1, w1) = 0}. Seja ΣS = (R, W, X,BS) um sistema dinâmico invariante e cont´ınuo no tempo, representado via espaço de estados, sendo X uma variedade diferenciável satisfazendo a implicação {(w, x) ∈ BS} ⇒ {x é absolutamente cont´ınuo}. A lei de evolução induzida por ΣS é definida por ∂ := {((x, v), w) ∈ T X × W | ∃(w, x) ∈ BS tal que(x(0), ˙x(0)) = (x, v) e w(0) = w}. Com a definição de ¯_BSsendo análoga àquele do caso discreto, valendo também a relaçãoBS ⊆ BScompl ⊆ ¯BS, contanto que condições relacionadas a continuidade também sejam satisfeitas, completando as de completude.

2.3.2 Lei de evoluc¸ ˜ao de um sistema determin´ıstico

Um sistema representado por um espaço de estadosΣS = (T, W, XBS) é dito determin´ıstico (com relação ao espaço de estados) se _{(w1, x1), (w2, x2) ∈ BS, x1(0) = x2(0), t ∈ T , e w1|[0,t) = w2|[0,t)} ⇒ {x1(t) = x2(t)}. Ou seja, nos sistemas determin´ısticos trajetórias de estados só podem bifurcar em decorrência da bifurcação da trajetória externa.

Uma consequência extensivamente aplicada no Cap´ıtulo 3 decorrente do conceito de determi-nismo restrito a sistemas descritos por leis de evolução discretas no tempo, sendo esta a representação de ∂ pelo grafo de uma função parcial5 _{δ : X} _{× W → X, significando que {(a, w, b) ∈ ∂} ⇔}

{(a, w) ∈ Dom(δ) e b = δ(a, w)}. Podemos introduzir dois mapas f : X × W → X e c : X × W → R tal quec(x, w) = 0 define o dom´ınio de δ e f corresponde a ação de δ no seu dom´ınio. O que fica expl´ıcito neste caso, é que uma lei de evolução discreta no tempo de um sistema determin´ıstico é