A Logística e a Aritmética

Na República, Platão mostra dois modos de conceber os números: o primeiro refere-se aos números presentes nas coisas sensíveis e que podem ser contadas, enquanto que o outro modo de compreender os números é acessível somente pela razão, conduzindo a alma para o alto e obrigando-a a pensar a respeito do próprio número.

“-Além disso, penso agora, depois do que eu disse sobre o estudo concernente aos cálculos, que nos é agudo e útil em muitos aspectos a respeito do que queremos, desde que se empregue para conhecer e não para comercializar. -De que modo?

-Assim: este estudo do qual estamos falando eleva notavelmente a alma e a obriga a discorrer acerca dos números em si, sem permitir jamais que alguém

ϲϲ ACLASSIFICAÇÃO DAS DISCIPLINAS MATEMÁTICAS E A MATHESIS UNIVERSALIS NOS SÉCULOS XVI E XVII

discorra propondo números que contêm corpos visíveis ou tangíveis. De fato, sabem sem dúvida que os experientes nessas coisas, se alguém tenta dividir a unidade em seu discurso, eles riem e não aceitam, e se tu fracionas [a unidade] e por sua vez multiplica, cuidando que o um que aparece não sendo [compreendido] como único, mas como contendo muitas partes.

-É verdade o que dizes.

-E se alguém te pergunta: “homens assombrosos, acerca de que números discorrem, nos quais a unidade se acha tal como vós a considerais, sendo em tudo igual a qualquer outra unidade sem diferir em nada nem contendo em si mesma parte alguma?” Que crês, Glauco, que responderás?

-Penso que isto: Que os números acerca dos quais falam só são possíveis ser pensados e não os podem manipular de algum modo.

-Tu vês então, meu amigo, que este estudo há de nos ser realmente formoso, posto que parece obrigar a alma a servir-se da própria inteligência para alcançar a própria verdade”42 _{(PLATÃO, 1986, pp. 354-355, tradução nossa).}

A distinção entre a natureza dos números também é tradicionalmente compreendida como duas ciências distintas: (i) a aritmética, como o estudo teórico dos números e (ii) a logística, como os cálculos práticos. Mas, qual a diferença entre elas?

“A resposta estaria na etimologia dessas palavras: a arithmetike vem de tekhne (τέχνη/ arte, habilidade) e arithmos (ἀριθμός/ número); a logistike vem de logos (λόγος), que por sua vez possui diversos significados, como palavra, medida, fórmula, argumento, razão, mas também cálculo. Logo, de acordo com esta visão, Platão estaria se referindo à arithmetike como uma “arte ou habilidade de contar” e não às relações que se pode estabelecer entre os números, como a sua soma ou multiplicação. A oposição se daria então, não no âmbito do estudo teórico dos números versus a computação, mas entre a contagem versus a computação” (BARBOSA, 2009, p. 39).

A logística, na República (524d-526c), é tida como uma ciência importante socialmente, tanto que Platão recomenda que o ensino dela deveria ser obrigatório para aqueles que vão ocupar os cargos do estado. Cito um trecho:

“-Seria conveniente, Glauco, estabelecer, por lei este estudo e persuadir aos que vão participar dos mais altos cargos do estado a que se apliquem a arte do cálculo, mas não como aficionados, e sim até chegar a contemplação da natureza dos números por meio da inteligência; e não para faze-los servir nas compras e vendas, como fazem os comerciantes e mercadores, mas com foco à guerra e para facilitar a conversão da alma desde a gênese até a verdade e a

42 _{“-Además pienso ahora, tras lo dicho sobre el estudio concerniente a los cálculos, qué agudo y útil nos es en muchos}

aspectos respecto de lo que queremos, con tal de que se emplee para conocer y no para comerciar. -¿De qué modo?

-Así: este estudio del que estamos hablando eleva notablemente el alma y la obliga a discurrir acerca de los Números e sí, sin permitir jamás que alguén discurra proponiendo números que cuentan con cuerpos visibles o tangibles. En efecto, sabes sin duda que los expertos en estas cosas, si alguien intenta seccionar la unidad en su discurso, se rien y no lo aceptan, y si tú la fraccionas ellos a su vez la multuplican, cuidando que jamás lo uno aparezca no como siendo uno, sino como conteniendo muchas partes.

-Es verdad lo que dices.

-Y si se les pregunta: ‘hombres assombrosos, ¿acerca de qué números discurris, en los cuales la unidad se halla tal como vosotros la consideráis, siendo en todo igual a cualquier otra unidad sin diferir en lo más mínimo ni conteniendo en sí misma parte alguna?’; ¿qué crees. Glaucón, que responderán?

-Pienso que esto: que los números acerca de los cuales hablan sólo es posible pensarlos,, y no se les puede manipular de ningún modo.

-Tú ves entonces, mi amigo, que este estudio ha de resultarnos realmente forzoso, puesto que parece obligar la alma a servirse de la inteligencia misma para alcanzar la verdad misma”.

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4. AS MATEMÁTICAS PURAS

essência”43 _{(PLATÃO, 1986, p. 354, tradução nossa).}

A logística também aparece em outras obras de Platão. Segue um trecho de

Górgias.

“...se sobre alguma das artes de que agora eu falara, alguém me perguntasse: “Sócrates, o que é a aritmética?”, lhe responderia, como tu agora, que é uma das artes que produz sua eficácia pela razão. Se, continuando a pergunta, me dissesse: “Sobre que objeto?”, lhe responderia que sobre o par e o impar e a quantidade de cada um. Se novamente me perguntasse: “O que é a logística?”, lhe diria que também é uma das artes que tem toda a sua eficácia na razão, e se insistir: “Sobre que objeto?”, lhe responderia como os que redigem as propostas na assembleia, que a aritmética é igual a logística, se referem ao mesmo, ao par e ao impar; se diferenciam somente que a logística examina as relações de quantidade do par e do impar com relação a eles mesmos e uns com os outros”44 _{(PLATÃO, 1983, pp. 30-31, tradução nossa).}

Segundo Platão, o objeto de estudo da aritmética e da logística é o mesmo, “o par e o ímpar” e Segundo Strycker (1950, p. 54), quando Platão trata do conjunto dos números pares e ímpares, um modo também comum nos pitagóricos, está designando a totalidade dos números inteiros. A aritmética estuda os números inteiros independentemente de sua grandeza, talvez para diferenciar a aritmética matemática da aritmologia ou “mística pitagórica dos números”, que via nos números de 1 a 10 uma explicação completa do universo sem que fosse necessário ir além. Já a logística examina a pluralidade dos números pares e ímpares em relação a eles mesmos e uns em relação aos outros.

“...a logística é a ciência das relações entre números inteiros, sejam pares, sejam ímpares. Ela é, em outras palavras, a teoria das relações não aplicada às variáveis geométricas contínuas, mas a quantidade descontinua ou “discreta”, ao objeto da aritmética, à pluralidade, ao par e ao impar, resumidamente: o número”45 _{(STRYCKER, S.J., 1950, p. 52, tradução nossa).}

A análise de Strycker (1950) o leva a concluir que a logística é parte da teoria das proporções de Eudoxo presente nos Elementos de Euclides, aplicada somente aos números inteiros.

43 _{“-Seria conveniente, Glaucón, estabelecer por ley este estúdio y persuadir a los que van a participar de los más altos}

cargos del Estado a que se apliquen al arte del cálculo, pero no como aficionados, sino hasta llegar a la contemplación de la naturaleza de los números por medio de la inteligencia; y tampoco para hacerlo servir en compras y ventas, como hacen los comerciantes y mercaderes, sino con miras a la guerra y a facilitar la conversión del alma desde la génesis hacia la verdad y la esencia”.

44 _{“...si sobre alguna de las artes de que ahora hablaba, alguien me preguntara: ‘Sócrates, ¿qué es la aritmética?’, le}

costestaria, como tú ahora, que es una de las artes que produce su eficacia por medio de la palabra. Si, continuando la pregunta, me dijera: ‘¿Sobre qué objeto?’, le contestaría que sobre lo par y lo impar y la cantidad de cada uno. Si nuevamente me preguntara: ‘¿Qué es el cálculo?’, le diría que también es una de las artes que tienen toda su eficacia en la palabra, y si insistiera: ‘¿Sobre qué objeto?’, le respondería, como los que redactan las propuestas en la asamblea, que en cuanto a lo demás es igual la aritmética que el cálculo, se refieren a lo mismo, a lo par y a lo impar; se diferencian solamente en que el cálculo examina las relaciones de cantidad de lo par y lo impar respecto a sí mismos y a unos con otros”.

45 _{“...la logistique est la science des rapports (λόγοι) entre nombres entiers soit pairs soit impairs. C’est, en d’autres}

termes, la théorie des rapports appliquée non aux grandeurs géométriques continues, mais à la quantité discontinue ou ‘discrète’, à l’objet de l’arithmétique, à la ‘pluralité’ (πλῆθος), au pair à l’impair, bref: au nombre”.

ϲϴ ACLASSIFICAÇÃO DAS DISCIPLINAS MATEMÁTICAS E A MATHESIS UNIVERSALIS NOS SÉCULOS XVI E XVII