“A Geometria tem dois grandes tesouros: um é o teorema de Pitágoras; o outro, a divisão de um segmento em média e extrema razão. O primeiro pode ser comparado com uma medida de outro; o segundo podemos chamar de jóia preciosa.”
Kepler
Considere um segmento de reta abaixo:
Desde muito tempo, artistas, filósofos e matemáticos perceberam uma belíssima proporção, a chamada mais tarde de
Proporção Divina, a Regra de Ouro dos Gregos.
Esta proporção constituía em dividir a reta acima em média e
extrema razão, ou seja, em colocar uma porporção AB:BC::BC:AC, ou
seja, a parte menor esta para maior, assim como a parte maior esta para o todo. Proporção Divina, Regra de Ouro, Secção áurea.
A constante de proporcionalidade desta proporção é chamado de número de ouro. Aliás, há duas versões do número de ouro: ele e seu inverso (visto que, nos dois casos, temos a mesma proporção, apenas permutando-se os elementos). Porém, matemáticos mais modernos decidiram que o número de ouro seria o valor maior que 1, e o outro número seria o complemento áureo.
Por isto, chamaremos AB=y, BC=x, e BC/AB=x/y (maior sobre o menor) de número de ouro. E o outro valor y/x será o Complemento Áureo.
Perguntamos: será um número fixo, uma proporção constante. E a resposta é: sim.
Prepare-se para conhecer o mais antigo número irracional conhecido pelos homens (porém, não percebido como irracional na Grécia Antiga): o número de ouro, ou phi (). (Também usa-se ).
Bem. AB=y, BC=x, AC=x+y. Então y/x=x/(x+y). Como pretendemos calcular o valor da razão x/y, e é isto que nos importa (pois este é o número de ouro), vamos chamar y=1, e aí teremos x/y=x.
Bem: 1 1 0 1 1 2 2 x x x x x x x
Resolva a equação do 2º grau e você encontrará os seguintes
valores para 2 5 1 , 2 5 1
. Como agora nos interessa o valor
maior que 1, temos que o número de ouro é
2 5 1
(o outro número é negativo).Phi, o Número de Ouro, é um número irracional, mas
algébrico (diferente do pi e do número de neper, que são
transcendentes). O valor de phi é de aproximadamente 1,61803398749895.
Isto quer dizer que o segmento pequeno é 1,618... vezes menor que o segmento grande.
Este número aparecerá em várias ocasiões surpreendentes, na música, na natureza, na arte, na arquitetura, no corpo humano, e haverá uma incrível e surpreendente conexão com a seqüência de Fibonacci, algo, aparentemente improvável.
O site “Matemática Essencial, diz que o Número de Ouro chama-se Phi em virtude do escultor grego Phidias.
RAZÃO ÁUREA, ARTE E ARQUITECTURA
Encontramos em abundância em obras de arte e na arquitetura o Retângulo de Ouro. Egípcios (como na construção das pirâmides) e Babilônicos já conheciam a Divina Proporção, e possuem construções baseadas nela.O exemplo mais clássico e nó Parthenon, tempo Grego construído por volta de 430aC. Nele, tanto por fora quanto por dentro podemos encontrar várias vezes a Razão Áurea e Retângulos de Ouro, veja a figura.
Para maiores informações você pode ver o filme belíssimo “Donald no País da Matemágica”, que dá detalhes sobre o Número Áureo, e fala bastante sobre o Parthenon. Verá o aluno como é incrível a quantidade de retângulos áureos que possui esta construção.
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Nas artes, o exemplo mais clássico foi a Monalisa, de Leonardo Da Vinci, quadro mais famoso do mundo, feito totalmente baseado na divina proporção. Diz-se que Leonardo se inspirou no livro “A Divina Proporção” do Monge Luca Paccioli para construir a sua Gioconda, que até hoje impressiona no Museu do Louvre, em Paris.
Em seus trabalhos o pintor contemporâneo Piet Mondrian usou amplamente o retângulo áureo:
Um exemplo clássico de edifício atual que usa a razão áurea é o prédio das Nações Unidas em Nova Iorque.
Dizem que os Stradivarius, violinos famosos foram construídos obedecendo a proporção divina. As sonatas de Mozart também seguem regras harmoniosas da Regra de Ouro. As construções de Phidias, os trabalhos de Seurat. Poderíamos citar muitos outros exemplos.
Link recomendado:
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm41/introducao.htm 5.11 RAZÃO ÁUREA E NATUREZA
Nautilus, molusco marinho
O texto abaixo é do site “Matemática Essencial”:
Anexando dois quadrados com lado=1, teremos um retângulo 2x1, sendo o lado maior igual à soma dos lados dos quadrados anteriores. Anexamos agora outro quadrado com lado=2 (o maior lado do retângulo 2x1) e teremos um retângulo 3x2. Continuamos a anexar quadrados com lados iguais ao maior dos comprimentos dos retângulos obtidos no passo anterior. A sequência dos lados dos próximos quadrados é: 3,5,8,13,... que é a sequência de Fibonacci.
Usando um compasso, trace um quarto de círculo no quadrado de lado L=13, de acordo com o desenho ao lado. De acordo com o desenho ao
lado, trace quartos de círculos nos quadrados de lado L=8, L=5, L=3, L=2, L=1 e L=1.
Com as concordâncias dessas curvas, obtemos uma espiral como a do
Nautilus marinho. Você acha que o "Nautilus" estudou Matemática para
construir a sua casa?
Leonardo da Vinci, em seus estudos de Anatomia, trabalhou com um modelo padrão (O canon) para a forma de um ser humano, utilizando Vitrúvio como modelo. Tais dimensões aparecem na gravura abaixo. A notação a:b=c:d é uma proporção.
O arquiteto suíço, Lê Corbusier construiu um esquema das proporções do corpo humano que chamou de Modulor:
Este esquema segue a regra de ouro.
A Sociedade Fibonacci pediu aos casais que participassem de uma experiência pedindo que eles medissem a altura da mulher até o umbigo e dividisse pela respectiva altura. Em quase todos os casos o número se aproximou de 0,618 (inverso da razão áurea).
Aulas 38 Porcentagem
EXERCÍCIOS OBRIGATÓRIOSSite Matematiquês:
1) R$ 38,00 correspondem a quanto por cento de R$ 70,00?
2) R$ 80,00 são 23% de quanto?
3) Um produto passou de R$ 1,23 para R$ 1,35. De quanto foi o aumento percentual?
4) Um produto que custava R$ 23,50 teve aumento de 29,8%. Qual é o novo preço?
5) Um produto custava R$ 50,00 em Janeiro. Em Fevereiro seu preço subiu 8%, em Março o preço caiu 6%, em Abril o preço subiu 3% e em Maio o preço subiu 6%. Qual é o preço desse produto de mês a mês, de Janeiro a Maio?
EXERCÍCIOS OPCIONAIS
6) Um artista foi contratado para uma festa em uma cidade. Você é o tesoureiro e, portanto, o responsável pela emissão dos recibos e fechamento do caixa. O valor cobrado pelo artista foi de R$ 16.000,00. Somando-se os impostos, o percentual a ser descontado totalizou 35%. Com estas informações, responda:
a) Qual o valor a ser declarado no recibo? b) E o valor a ser pago em impostos?
7) Uma prova de triatlo compreende três etapas: natação, ciclismo e corrida. Em uma dessas provas, dos 170 atletas que iniciaram a competição, dez a abandonaram na etapa de natação; dos que
continuaram, 25% desistiu ao longo da etapa de ciclismo; e, dos que começaram a terceira e última etapa, 20% abandonaram a corrida.Quantos atletas terminaram a corrida?
8) A população de pobres de um país, em 1991, era de 4.400.000, correspondendo a 22% da população total. Em 2011, este número aumentou para 5.400.000, correspondendo a 20% da população total. Indique a variação percentual da população do país no período. 9) Num grupo de 400 pessoas, 30% são homens e 65% das mulheres têm mais de 20 anos. Quantas mulheres ainda não comemoraram seu 20° aniversário?
POR MIL
Na matemática, a expressão de um número por
mil ou permilagem é uma maneira de o expressar
como uma fração de 1 000, ou como a décima parte de 1%. Se escreve com o símbolo ‰ (Unicode U+2030), símbolo similar ao da porcentagem (%) com um 0 ao
final.
No Windows pode-se gerar com a combinação de teclas Alt+0137 no teclado numérico. No Mac
OS com Shift+Alt+5. No HTML se obtém com "‰" ou com '‰'.
Um 1 por mil se define como:
1‰ = 10−3= 1⁄
1000 = 0,001 = 0,1%
1% = 10‰
Exemplos donde o uso de números expressados por mil é comum:
Taxas de natalidade e de mortalidade. Se no ano x a taxa de natalidade foi de 12‰, significa que de 1 de janeiro do ano x a 1 de janeiro do ano x+1 por cada mil habitantes nasceram 12 filhos.
Salinidade marinha. Por exemplo, "a salinidade média é de 35‰".
Controle de alcoolemia
Raio das curvas de traçados de carretas e vias férreas.
Espaço para Visto
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Aulas 39 e 40 Porcentagem
1) (UFLMG) Uma pesquisa eleitoral estudou a intenção de votos nos candidatos A, B e C, obtendo os resultados apresentados no gráfico. Coloque V(verdadeiro) ou F(falso) nas afirmativas:
( ) O candidato B pode se considerar eleito. ( ) O número de pessoas consultadas foi de 5400. ( ) O candidato B possui 30% das intenções de voto.
( ) Se o candidato C obtiver 70% dos votos dos indecisos e o restante dos indecisos optarem pelo candidato A, o candidato C assume a liderança.
( ) O candidato A ainda tem chances de vencer as eleições.
2) (UDESC SC/2014) Em março de 2013 o Governo Federal anunciou a retirada dos impostos federais que incidiam sobre todos os produtos da cesta básica. Alguns itens, como leite, feijão, arroz e farinha, já não tinham nenhum desses impostos, mas no sabonete, por exemplo, havia incidência de 12,5% de PIS-Cofins e de 5% de IPI.
Fonte: Adaptada de: <http://g1.globo.com/economia/noticia/2013/03/dilma-anuncia-na-tv- desoneracao-total-de-produtos-da-cesta-basica.html>.
Após o anúncio, o supermercado X remarcou os preços dos seguintes produtos da cesta básica: carnes, café, óleo, açúcar e creme dental. Os novos preços não continham mais os impostos federais de acordo com a Tabela. Suponha que, antes da remarcação, cinco quilos de açúcar custavam R$ 11,43, três litros de óleo custavam R$ 12,02 e um creme dental custava R$ 8,10. Logo após a alteração de preços, se você comprasse cinco quilos de açúcar, três litros de óleo e um creme dental no supermercado X, você pagaria:
Espaço para Visto
EXERCÍCIOS OPCIONAIS
1) Calcular 30% de 80%
2) Sobre uma compra de R$ 37,00 foi concedido um abatimento de R$ 7,40. Qual foi a taxa porcentual do desconto sobre o preço da compra?
3) Em um concurso estão inscritos 275 candidatos, dos quais, apenas 176 são homens. Qual a taxa porcentual de mulheres inscritas?
4) Um comerciante vendeu uma certa mercadoria por R$ 27,75, correspondendo a 75% do preço de tabela. Qual é o preço de tabela dessa mercadoria?
5) Uma certa peça de um carro, cujo preço era de R$ 175,00 foi vendida com um acréscimo de 20% sobre esse preço de tabela. Qual era o preço de tabela dessa mercadoria?
6) Um relógio avaliado em R$ 85,00 foi vendido com um desconto de 10% sobre esse preço. Qual foi o preço de venda?
7) Uma jóia cujo preço de custo era de R$ 7200,00 foi vendida por R$ 8640,00. De quantos por cento foi o lucro sobre o preço de custo?
8) Uma certa mercadoria vendida por R$ 450,00 apresentou um lucro de R$ 90,00. De quantos por cento foi o lucro sobre o preço de venda?
9) Um rádio vendido por R$ 360,00 deu um lucro de 30% sobre o preço de venda. Qual era o preço de custo desse rádio?
10) Determinar de quantos por cento sobre o custo é o lucro de 20% sobre a venda.
11) Uma certa mercadoria que custa R$ 84,00 é vendida com um prejuízo de 20% sobre o preço de venda. Qual é o preço de venda dessa mercadoria?
12) Uma certa mercadoria é vendida com o prejuízo de 20% sobre o preço de venda. Sendo o prejuízo de R$ 140,00, calcular o preço de custo.
13) Uma certa mercadoria de preço inicial de R$ 450,00 é vendida com os aumentos sucessivos de 18% e 20%. Qual o último preço de venda?
14) (FUVEST) Atualmente 50% das gaivotas de certa região são brancas e 50% são cinzentas. Se a população da espécie branca aumentar 40% ao ano e a da espécie cinzenta aumentar 80% ao ano, qual será, aproximadamente, a porcentagem de gaivotas brancas daqui a dois anos?
a) 50% b) 38% c) 26% d) 14% e) 9%
15) Uma certa mercadoria custa R$ 60,00 e é vendida com os descontos sucessivos de 20% e 15%. Qual o segundo preço de venda?
16) A cada mês que passa, o valor de uma certa mercadoria desvaloriza 40% em relação ao seu valor anterior. O valor dessa mercadoria no primeiro mês é R$ 250,00. Qual o valor dessa mercadoria no quinto mês?
17) Calcular:
a) 38% de 60% b) 24% de 135%
18) (FUVEST) (10%)2
a) 100% b) 20% c) 5% d) 1% e) 0,1%
19) Em um jantar de 16 convidados, faltam 3. Qual a taxa porcentual de ausentes?
20) Uma certa mercadoria cujo preço era R$ 125,00, foi vendida com um desconto de R$ 20,00. Qual é a taxa porcentual do desconto sobre o preço inicial?
21) Em uma sala de aula de 150 alunos, somente 144 estão presentes. Qual é a taxa porcentual de ausentes?
22) Um exército de 15000 soldados perdeu em um combate exatamente 1 200 combatentes. Qual a taxa porcentual dos sobreviventes em relação ao exército?
23) Uma pessoa vendeu um automóvel por 70% do preço de mercado. Sabendo-se que ele recebeu a importância de R$ 245 000,00 pela venda, qual é o preço de mercado desse carro?
24) Em uma competição esportiva participaram rapazes e moças. Sabe-se que 34% dos participantes são moças e 1650 são rapazes. Quantos atletas participaram dessa competição?
25) Uma certa jóia, cujo preço era de R$ 125 000,00, foi vendida com um acréscimo de 40% sobre esse preço. Qual foi o preço de venda?
26) Um retângulo tem área de 250 m2. Se um lado deste retângulo é
acrescido de 16%, obter a área desse outro retângulo.
27) Uma jóia é avaliada em R$ 3390,00 e vendida com um desconto de 20%, sobre esse preço. Qual é o preço de venda dessa jóia?
28) Um automóvel cujo preço é R$ 136 000,00 foi vendido com um prejuízo de 25% sobre esse preço. Qual é o preço de venda?
29) Um iate foi vendida por R$ 1 064 000,00. De quantos porcento foi o lucro sobre o preço de custo, que era R$ 950 000,00.
30) (FUVEST) Uma certa mercadoria, que custava R$ 12,50, teve um aumento, passando a custar R$ 13,50. A majoração sobre o preço antigo foi de:
a) 1,0% b) 10,0% c) 12,5% d) 8,0% e) 10,8%
31) Um livro vendido por R$ 120,00 deu um lucro de R$ 36,00 sobre o preço de venda. De quantos por cento foi o lucro?
32) Uma máquina fotográfica foi vendida por R$ 950,00, dando um lucro de R$ 114,00. Qual é a taxa porcentual do lucro sobre o preço de venda?
33) Calcular o preço de custo de um uniforme escolar que, vendido por R$ 1600,00, deu um lucro de 15% sobre o preço de venda.
34) Uma geladeira vendida por R$ 85 000,00 deu um lucro de 20% sobre o preço de venda. Qual era o preço de custo dessa geladeira?
35) Determinar de quantos por cento sobre o custo é o lucro de 75% sobre a venda.
36) (FUVEST) Um vendedor ambulante vende seus produtos com um lucro de 50% sobre o preço de venda. Então seu lucro sobre o preço de custo é de:
a) 10% b) 25% c) 33,333...% d) 100% e) 120%
37) Uma televisão que custou R$ 2860,00 foi vendida com um prejuízo de 10% sobre o preço de venda. Qual foi o preço de venda?
38) Determinar de quantos por cento sobre o custo é o prejuízo de 100% sobre a venda.
39) Um comerciante vendeu um rádio com o prejuízo de R$ 400,00, correspondente a 10% sobre a venda. Qual o custo desse rádio?
40) Um vendedor teve um prejuízo de R$ 250,00, equivalentes a 16% sobre a venda de uma mercadoria. Qual o preço de custo?
41) Uma certa mercadoria foi comprada e revendida sucessivamente por dois negociantes. O primeiro obteve um lucro de 10% sobre o respectivo preço de compra. O segundo a negociou sofrendo um prejuízo de 10% sobre o respectivo preço de compra. Calcular o preço pelo qual o primeiro a adquiriu, sabendo que o segundo a transferiu ao comprador por R$ 2079,00.
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42) (FUVEST) O preço de certa mercadoria sofre anualmente um acréscimo de 100%. Supondo que o preço atual seja de R$ 100,00 daqui a três anos o preço será:
a) R$ 300,00 b) R$ 400,00 c) R$ 600,00 d) R$ 800,00 e) R$ 1000,00
43) (FUVEST) No dia 1º de Setembro, foi aberta uma caderneta de poupança e depositada uma quantia x. No dia 1º de dezembro do mesmo ano o saldo era de Cr$ 665 500,00. Sabendo que, entre juros e correção monetária, a caderneta rendeu 10% ao mês, qual era a quantia x, em milhares de cruzeiros?
a) 650 b) 600 c) 550 d) 500 e) 450
44) (FUVEST) Um país contraiu em 1829 um empréstimo de 1 milhão de dólares, para pagar em cem anos à taxa de juros de 9% ao ano. Por problemas de balança comercial, nada foi pago até hoje, e a dívida foi sendo “rolada”, com capitalização anual de juros. Qual dos valores abaixo está mais próximo do valor da dívida em 1989? Para os cálculos adote (1,09)8=2.
a) 14 milhões de dólares b) 500 milhões de dólares c) 1 bilhão de dólares d) 80 bilhões de dólares e) 1 trilhão de dólares
45) Um produto cosmético que custa R$ 400,00 é vendido com os descontos sucessivos de 15%, 10% e 20%. Qual o último preço de venda?
46) (FUVEST) A cada ano que passa, o valor de um carro diminui 30% em relação ao seu valor anterior. Se v for o valor do carro no primeiro ano, o seu valor no oitavo ano será:
a) (0,7)7.v b) (0,3)7.v c) (0,7)8.v d) (0,3)8.v e) (0,3)9.v
47) (FUVEST) Uma certa mercadoria é vendida nas lojas A e B, sendo R$ 20,00 mais cara em B. Se a loja oferecesse um desconto de 10%, o preço nas duas lojas seria o mesmo. Qual o preço na loja A?
48) (FUVEST) Numa certa população, 18% das pessoas são gordas, 30% dos homens são gordos e 10% das mulheres são gordas. Qual a porcentagem de homens na população?
49) (FUVEST) Uma empresa que produz um único artigo está procurando determinar o volume de vendas (em cruzeiros) para o mês de março de 1977, para que seu lucro neste mês represente 30% do total das vendas. Para produzir tal artigo, a empresa tem dois tipos de despesas: uma despesa fixa e uma despesa variável. A despesa fixa foi estimada em Cr$ 120 000,00, enquanto a despesa variável deverá ser igual a 40% do total das vendas. Qual o volume de vendas que realiza as expectativas do empresário?
50) (UNICAMP) Um fabricante de televisores oferece como “vantagem” a devolução do dinheiro pago pelos seus produtos dois anos após a compra. Sabe-se que com uma inflação anual de 900% os preços das mercadorias sobem ,em um ano, dez vezes o seu valor original. Supondo uma inflação anual de 900% nesses dois anos, se ao invés de devolver o dinheiro o fabricante desse, no ato da compra, um desconto equivalente ao dinheiro a ser devolvido, de quanto por cento deveria ser esse desconto?