MATEMÁTICA – 3º BIMESTRE/2015
7ºANO
Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães
3º BIMESTRE
ESCOLA NOVA CRIANÇA E CIA
2015
Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães
Mestre em Educação Matemática – UNESP (Rio Claro) – Capes 6
Licenciado em Ciências / Matemática – Guaxupé
Licenciado em Pedagogia (Administração e Supervisão Escolar) – Jaboticabal
Especialista em Matemática – UFSJ
Especialista em Matemática - Guaxupé
Especialista em Metodologia do Ensino da Matemática – Jaboticabal
Aprovado em 1º lugar em 2003 em concurso com 250.000 concorrentes
Ex-elaborador de questões para o ENEM/ENCCEJA - INEP
Teleconferencista e Produtor de Material Didático pelo IESDE Brasil
Ex-formador de Professores de Matemática na Rede Federal
Professor desde 1994
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INTRODUÇÃO
Esse material foi elaborado durante 20 anos de trabalho docente, e, muitas vezes são
inspirados em outros livros e textos coletados na Internet.
Foi organizado para ser utilizado na Escola Nova em Monte Santo de Minas nos meses de
agosto, setembro e primeira semana de outubro, para as disciplinas de Matemática e Geometria
do 7º ano, pelo Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães, no ano de 2015.
Os gabaritos e roteiros de estudos serão entregues separadamente. Todos os vistos serão
feitos nesse material, onde há razoável espaço para resolução.
Os conteúdos trabalhos são os conteúdos tradicionais do 7º ano / 6ª série, abordados no
mesmo nível de profundidade que a maior parte dos livros didáticos.
Matemática exige dedicação e um certo esforço. Percebemos que no Brasil e no Mundo os
estudantes demonstram muita dificuldade na disciplina, e, se esta for estudada com mais dedicação
pode fazer uma diferença muito grande em vestibulares, concursos e processos seletivos no futuro.
O conteúdo de Matemática precisa ser aprendido cedo, na hora certa, e exige dedicação do
aluno e apoio da família para que o estudante tenha tempo e local para estudar. Recomendamos
também acesso à Internet para assistir vídeos sobre os assuntos e estudar.
A autonomia é muito importante para aprender Matemática. Além de ficar atento à todas as
aulas, os estudantes devem em casa e sozinhos treinar uma grande quantidade de exercícios.
Não é produtivo o professor corrigir todos os exercícios em sala de aula, pois é a quantidade
de exercícios necessárias para um bom aprendizado demanda tempo superior ao possível. O aluno
tem que aprender a estudar sozinho e utilizar os momentos de aula para tirar dúvidas, socializar
idéias, aprimorar o conhecimento e aprender com o professor os caminhos para o aprendizado.
O fracasso do ensino da Matemática no Brasil e no Mundo está na insistência das fórmulas
prontas e repetitivas. A Matemática exige além do treino também raciocínio autônomo, análise dos
problemas, interpretação, etc.
É um questionamento comum o aluno dizer que tem outras matérias e não somente a
Matemática. Sobre isso, temos algumas argumentações em favor da grande quantidade de
exercícios:
A Matemática demonstra ser a disciplina onde os estudantes no Brasil demonstram maior
dificuldade, talvez pela sua profundidade e nível de abstração.
A carga horária de Matemática (incluída a Geometria) corresponde a cerca de ¼ do currículo
da turma.
A Matemática exige não apenas o estudo, mas ‘acostumar-se’ com as técnicas e regras, o
que exige treino, domínio e disciplina.
Notamos que os alunos com melhor desempenho nas provas não são os estudantes com
mais facilidade, talento ou aptidão, mas aqueles que tem disciplina de estudo, dedicação e
perseverança.
Então vamos aproveitar as oportunidades!
Muzambinho/Monte Santo de Minas, 31 de julho de 2015
“UM NOVO ENSINO DE MATEMÁTICA”
Texto de Luís Márcio Imenes e Marcelo Léllis, Retirado do Manual do Professor do livro de Matemática dos dois (1997) POR QUE MUDAR?
Todos conhecem o velho medo da Matemática. Ele pode até ter diminuído, pois, com o mundo em mudança, o ensino naturalmente progride. Mas, mesmo hoje, a Matemática ensinada da maneira tradicional é a disciplina que apresenta o mais baixo desempenho dos alunos e é, ainda, a que mais reprova. Isso acontece no Brasil e no mundo inteiro!
Tanta dificuldade exigia um remédio. Há tempos, psicólogos, pedagogos, professores e matemáticos de várias nacionalidade vêm estudando as causas do fracasso do ensino da Matemática e as maneiras de evitá-lo. Formou-se um movimento internacional dedicado à educação matemática, com propostas de mudanças bem-sucedidas nos conteúdos e nos métodos de ensino.
ONDE FALHA O ENSINO TRADICONAL?
É importante conhecer as principais causas do fracasso do ensino tradicional, para não repetir os mesmos erros: 1. A programação é mal distribuída.
2. Desconsidera o desenvolvimento cognitivo do aluno.
3. Há conteúdos que nem desenvolvem o raciocínio e nem têm aplicações práticas.
4. O enfoque do ensino tradicional é incorreto. Gasta-se mais tempo treinando cálculos mecânicos do que trabalhando com idéias. É um duplo erro: na época das calculadoras e dos computadores, o treino de cálculo perde importância; gastando tempo demais com mecanismos, os alunos não aprendem a pensar.
O objetivo de todos nós, professores de Matemática, é desenvolver o raciocínio lógico do aluno. Só que, no ensino tradicional, isso não se dá plenamente!
E COMO CONSERTAR?
O movimento de educação matemática, além de detectar os problemas, também busca soluções. Ele vem mudando currículos e formas de ensinar nos Estados Unidos, França, Espanha e também no Brasil.
Atualmente, é consenso entre os educadores matemáticos que, no ensino bem-sucedido, os alunos precisam compreender aquilo que aprendem e que essa compreensão é garantida quando eles participam da construção das idéias matemáticas. É uma mudança significativa!
No passado, professor bom era o que explicava tudo muito bem.
Com as novas idéias, professor bom é aquele que prefere ajudar o aluno a descobrir, construir, pensar, em vez de dar tudo pronto.
Sempre se falou que a Matemática deveria desenvolver o raciocínio, mas isso nunca ocorria para a maioria dos alunos. Agora, finalmente, estamos chegando lá. Muitas inovações já atingiram as salas de aula, graças aos esforços de dedicados pesquisadores na área de educação matemática.
TEXTOS QUE ABORDAM A BAIXA QUALIDADE DO ENSINO DA MATEMÁTICA EVIDÊNCIAS PARA UMA MUDANÇA
Educadores, pais, cientistas, políticos. Muitos colaboram, involuntariamente para o fracasso do Ensino da Matemática, resistindo em mudar. Temos que mudar, a prova cabal da necessidade de mudança é a situação que se encontra o ensino internacional. Na avaliação PISA, com vários países, o Brasil ficou no vergonhoso último lugar em conhecimento matemático. Muitas pesquisas apontam deficiências da aprendizagem e analfabetismo funcional, além de má formação de professores e da péssima qualidade de livros didáticos. A mudança desta situação, que afeta toda a sociedade, começa com a mudança do ensino da Matemática.
O livro “Exame de Textos: Análise de livros de Matemática para o Ensino Médio”, lançado pela Sociedade Brasileira de Matemática, pelo Instituto de Matemática Pura e Aplicada do CNPq e pela Fundação Vitae, em 2001 fazem críticas ao modo de ensinar no Ensino Médio. Não só na parte escrita, mas refletindo-se na forma de se ensinar. O livro foi organizado por Elon Lages Lima, mais renomado professor de Matemática do Brasil.
Sobre o programa da maior parte dos livros do Brasil, ele fala algumas citações duras “Apresentação obscura”, “Mistifica e deseduca”, “Um acúmulo de impropriedades”, “definida incorretamente”, “anacrônica”, “o livro em questão não contribui positivamente para o aprendizagem da Matemática”, “erros conceituais, definições e notações inconvenientes, imprecisão, obscuridade, confusão de conceitos e até mesmo contradições”, “desconexão entre conceitos apresentados em uma seção e suas aplicações”, “não estimula o raciocínio dedutivo e indutivo”, etc... Na página 180, ao analisar o livro Giovanni e Bonjorno – volume 1, faz a importante citação:“Uma pergunta que fica é se algum aluno poderá gostar de Matemática, tendo estudado por um livro que lhes sonega as aplicações interessantes e a estrutura lógico-dedutivo da Matemática, dando a impressão que a Matemática reduz-se à aplicações de fórmulas misteriosas, obtidas a partir da observação de uns poucos exemplos. Além disto, o presente livro pode estimular em alguns professores de Ensino Médio o mau hábito de refugiar-se atrás de um algebrismo mecânico e estéril, ao invés de enfrentar, junto com seus alunos, as questões desafiadoras que constituem a beleza e a utilidade da Matemática”.É fundamental revermos urgentemente nossos livros e materiais didáticos, pois, em sua maioria são materiais que
4 sonegam aplicações interessantes e a estrutura lógico-dedutiva da Matemática, e tem poder destruidor. Tal material é negativo em 100% dos casos. Se ensinar – o que é improvável, pois nó máximo pode levar à decoreba – ensina fazendo a pessoa odiar Matemática – e com razão.
TEXTO I
O caderno SINAPSE do jornal “A Folha de São Paulo”, publicou em 25/02/2003, uma grande matéria, com chamada de capa, com o nome “A Matemática que conta” – “brasileiro não é bom de cálculo, mostra pesquisa; pedagogia velha é a nova vilã da história”. Com 7 páginas sobre o alto grau de analfabetismo matemático do brasileiro.
A pesquisa aponta que 79% dos brasileiros são analfabetos em Matemática. 32% apenas conseguiram realizar apenas tarefas como: anotar um número de telefone ditado, ver horas no relógio e verificar datas num calendário. Só 44% foram capazes de realizar operações elementares de subtração e adição com dinheiro. 3% foram considerados analfabetos totais, não conseguindo sequer anotar um telefone.
A reportagem entrevista Ubiratan D’Ambrósio, Célia Carolino Pires, Maria Ignez Diniz, Antônio José Lopes Bigode e Luís Márcio Imenes, entre outros e considera a pedagogia tradicional como grande vilã. Veja alguns trechos, que seguem das constatação das assustadoras estatísticas de analfabetismo funcional (só uma parte do texto):
Essa comparação permitiu que, no meio acadêmico, os resultados da pesquisa sobre conhecimento matemático não fossem considerados tão ruins. Para alguns educadores, porém, essa percepção complacente em nada contribui para tornar realidade a ambição do desenvolvimento científico-tecnológico do país. É o caso do professor Antônio José Lopes, ou Bigode, como é chamado.
Autor de livros didáticos para o ensino fundamental, Bigode procura desenvolver uma conceituação mais exigente para o analfabetismo funcional em matemática. “Nossa situação é um caos estrutural”, afirma Bigode.
O problema não está restrito ao Brasil, mas aqui a situação é particularmente grave. Em comparações internacionais, como a realizada pelo Educacional Testing Service, dos Estados Unidos, o Brasil sempre desponta entre as últimas posições. Para Bigode, há consenso sobre a causa do problema: a falha na educação. “A matemática da escola não diz nada para o aluno sobre o mundo que o cerca.”
A crítica vem dos tempos da matemática moderna, que, concebida nos EUA, marcou profundamente o sistema educacional brasileiro até a década de 80. “A herança da matemática moderna foi um ensino centrado no cálculo mecânico, carente de significado e construído em degraus estanques”, avalia o professor Luis Imenez. A crítica ao movimento [da Matemática Moderna] é quase uma unanimidade no meio acadêmico, mas há quem faça ressalvas. “Não era um movimento intrinsecamente errado, mas foi abortado ainda no seu início, pois ninguém se preocupou em preparar os professores e a sociedade”, diz o pesquisador Ubiratan D’Ambrósio. “Esse é um problema comum em todas as reformas: só depois pensam na formação do professor.”
Na tradição brasileira, a formação do professor depende sobretudo do livro didático. Esse material de apoio tem sido renovado. Nos últimos cinco anos, surgiram diversos livros produzidos a partir de concepções mais modernas. Muitos são recomendados pelo Ministério da Educação. Mas há resistência de pais como de professores educados à moda antiga.
Alguns não se conformam, por exemplo, com a pouca importância que hoje se dá às frações [nota do autor: isto não é um fato verdadeiro]. Muito implicam com a liberação do uso da calculadora em sala de aula, algo que Bigode não abre mão. “O aluno precisa aprender a usá-la com inteligência”, diz. “Qual é o sentido de ensinar, hoje, como calcular à mão a raiz quadrada de 2?”, pergunta. Autores contemporâneos tentam a concordar com ele. Acham que o aluno deve perder menos tempo com contas e investir mais na resolução criativa de problemas, usando o raciocínio e aprendendo a fazer relações contextualizadas. A partir dos avanços da pedagogia, os matemáticos têm usado diferentes recursos, como jogos, histórias, informática, relações culturais, ligações com o cotidiano e modelos matemáticos associados a situações reais.
A forma tradicional de ensinar matemática deixou muitas vítimas pelo caminho. Poucas conseguiram reagir, como o artista plástico Antonio Peticov, que repetiu cinco vezes a 2ª série do ensino fundamental por não saber matemática. “Tive um professor que disse, no primeiro dia de aula, que toda a classe seria reprovada”, lembra. “A matemática tem de ser ensinada docemente, senão trava qualquer pessoa.”
A ironia é que Peticov, ao contrário do que seu registro escolar sugere, tem especial talento para números: tornou-se famoso internacionalmente por desenvolver uma arte baseada em diversos conceitos matemáticos, como a regra de ouro – um parâmetro de proporcionalidade que foi um paraidgma estético da arte clássica. Seu interesse levou-o a ser convidado a integrar o seleto grupo da Lewis Carroll Society, que reúne especialistas em matemática recreativa.
Autor de “Alice do País das Maravilhas”, Carroll não dispensava lições de matemática e lógica em seu texto. Em certos momentos, Alice está perdida e pergunta aonde deve ir. A resposta que obtém é também uma pergunta: “Para onde você quer ir?”. Ela diz: “Para qualquer lugar”. “Ora, então tome qualquer caminho” é a solução que recebe para o seu problema. “Essa é uma linda lição de lógica matemática”, diz Peticov.
Da mesma opinião compartilha o cineasta e arquiteto José Roberto Neffa Sadek, hoje superintendente do Itaú Cultural. Depois de sofrer na mão de professores, Sadek persistiu em sua paixão e se tornou diretor de um dos projetos mais premiados do vídeo educativo brasileiro, a série “Arte & Matemática” (2001).
Para atender a aluno como esses, pesquisadores vêm se empenhando nos últimos 20 anos em abrir novas portas para o aprendizado, como a etnomatemática, que se baseia no respeito às raízes culturais do aluno, e outras ramificações da ciência matemática. “O grande desafio é fazer essa pesquisa chegar à sala de aula”, diz a matemática Célia Maria Carolino Pires, da SBEM.
Veja o gráfico publicado:
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Um dos grandes paradigmas do ensino da Matemática no Brasil é o da “Resolução de Problemas”. Este paradigma ficou claro com a obra do matemático George Pòlya, “A Arte de Resolver Problemas” (“How to solve it”, no original), traduzido para o Português pela Editora Interciência. Este livro, feito por um matemático profissional valoriza o método heurístico e valoriza o aprendizado das resolução de problemas como elemento mais importante da Educação Matemática.
Paulo Freire, em toda sua carreira, centraliza o problema do ensino de sua pedagogia, na “problematização”.
Nos anos 80, um dos livros do ano do NCTM – National Council of Teachers of Mathematics, Conselho de Professores de Matemática dos Estados Unidos, tem o título “Problem solving in school mathematics” (“Resolução de Problemas na Matemática Escolar”), traduzido para o português pelo prof. Hygino H. Domingues, pela Atual Editora. Este livro trata de 22 artigos sobre o paradigma da Resolução dos Problemas.
Na apresentação do livro, o prof. Hygino faz o comentário: “Nas últimas décadas, a preocupação com o ensino da matemática traduziu-se em alguns movimentos bem definidos. Nos anos 60, foi a “matemática moderna”, que buscou soluções no formalismo e nas estruturas. Nos anos 70, o “retorno ao básico”, de certa forma uma reação diante do malogro da matemática moderna. Para os anos 80, muitos educadores matemáticos eminentes chegaram a eleger a “resolução de problemas” como a grande prioridade do ensino da matemática”. O prof. Hygino fala da “matemática
6 moderna” nos anos 60, mas esta vigorou no Brasil até os anos 80 em alguns livros didáticos. Fala no “retorno ao básico” (“back to basics”), mas o Brasil, devido a pedagogia tecnicista da Ditadura Militar, não conheceu este movimento. E fala, sobre a “resolução de problemas”, que para muitos educadores, é a grande
prioridade, mas, devemos ressaltar que este não é o único paradigma.
Muitos professores acreditam que o ensino da Matemática se deve fazer exclusivamente através da resolução depor problemas. É um engano. Este é apenas um dos vários paradigmas existentes.
Não nos aprofundaremos no tema. Procure vários livros, principalmente os acima citados, para conhecer mais sobre o assunto. Na RPM 7, está publicado em língua portuguesa o artigo O ensino por meio de problemas, de George Pólya.
É importante ressaltar neste paradigma, que um conceito é bastante defendido e utilizado por Pólya e seus seguidos: o conceito de Heurística. Heurística é o estudo dos caminhos e meios da descoberta e invenção; estuda, especialmente na resolução de problemas essas etapas que se apresentam naturalmente, com freqüência e que têm alguma probabilidade de nos conduzir à solução.
Pólya faz inúmeras citações importantes sobre a resolução de
problemas, que devemos considerar: “A Matemática não é um esporte para espectadores...” “A resolução de problemas tem sido a espinha dorsal do ensino da Matemática desde a época do papiro de Rhind. A obra de Euclides pode ser considerada como uma grande proeza pedagógica: dissecar o grande tema da Geometria em problemas manejáveis.” Sobre Pòlya, Elon Lages Lima diz: “O trabalho de Pólya sobre o ensino da Matemática é maravilhoso simplesmente porque não propõe truques, fórmulas miraculosas, ou muito menos pomposas teorias pseudo-psicológicas.”
TEXTO
A ARTE DE RESOLVER PROBLEMAS Como resolver um problema?
PRIMEIRO – Você tem de entender o problema.
ENTENDENDO UM PROBLEMA – Qual é a incógnita? Quais são os dados? Quais são as condicionantes? É possível satisfazer as condicionantes? Estas são suficientes para determinar a incógnita? Ou insuficientes? Ou redundantes? Ou contraditórias? Esboce uma figura. Introduza uma notação conveniente.
SEGUNDO – Ache a ligação entre os dados e a incógnita. Você poderá ser obrigado a considerar problemas auxiliares, no caso de não encontrar uma ligação imediata. Finalmente, você deverá traçar um plano de resolução.
ARQUITETANDO UM PLANO – Você já viu antes? Ou o viu numa forma ligeiramente diferente? Você conhece um
problema correlato? Você conhece um teorema que possa ser útil?
Observe a incógnita! E tente se lembrar de um problema que tenha a mesma incógnita ou uma semelhante.
Eis um problema correto com o seu já resolvido antes. Você seria capaz de usá-lo? Seria capaz de usar o resultado desse problema? E seu método? Seria preciso introduzir algum elemento auxiliar a fim de tornar possível seu uso? Você seria capaz de reformular o problema? Seria capaz de reformulá-lo uma vez mais, de maneira diferente? Retorne às definições.
Se você não é capaz de resolver o problema proposto, tente resolver um correlato a ele. Você seria capaz de imaginar um problema correlato mais simples? E um problema mais geral? E um caso particular dele? E um problema análogo? Você seria capaz de resolver parte do problema? Mantenha apenas algumas das condicionantes, desprezando as outras; então, até que ponto a incógnita fica determinada e qual seu novo campo de variação? Você seria capaz de deduzir algo de útil dos dados? Seria capaz de imaginar outros dados, convenientes para a determinação da incógnita? Você seria capaz de mudar a incógnita ou os dados, ou ambas as coisas, de maneira a aproximá-los entre si?
Você usou todos os dados? Usou todas as condicionantes? Levou em conta todas as noções essenciais que o problema encerra?
TERCEIRO – Execute seu plano.
EXECUTANTO O PLANO – Ao executar seu plano de resolução, verifique cada passo. Você é capaz de ver claramente que um determinado passo é correto? É capaz de provar que ele é correto?
QUARTO – Examine a solução obtida.
FAZENDO UM RETROSPECTO – Você é capaZ de verificar o resultado? E o argumento? Você é capaz de obter o resultado de outra maneira? Pode perceber isso num relance? Você é capaz de usar o resultado, ou o método, noutro problema?
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Aulas 1 e 2
Resolução de Problemas com Equações do 1º
Grau
Exemplo 1:
O triplo de um número somado com 8 resulta 32. Que número é este. x - um número 3x - o triplo de um número Sentença: 3x+8=32 Resolução 3x+8=32 3x=32-83x=24x=24/3x=8
Conclusão: como x=8, o número é 8. Resposta: o número procurado é 8. Exemplo 2:
A soma do dobro de um número com 17 é igual a 45. Calcular esse número.
Número procurado: x Equação: 2x+17=45
Resolução: 2x+17=45 2x=45-172x=28x=28/2x=14
Conclusão: o número procurado é 14 Resposta: O número procurado é 14. Exemplo 3:
A metade de um número aumentada de 15 é igual ao dobro do mesmo número menos 45. Determinar esse número.
Número procurado: x
Equação: x
2 152x45
Solução da Equação: x=40
Conclusão: o número procurado é 40 Resposta: o número procurado é 40.
Exemplo 4:
A soma de dois números é 420. O maior deles é igual ao menor mais 60. Determinar os dois números?
Número menor: x Número maior: x+60 Equação: x+x+60=420 Solução da Equação: x=180
Conclusão: o número menor é 180, então o número maior é x+60=180+60=240.
Resposta: Os números são 180 e 240 Exemplo 5:
Natália e Giovana são amigas. A soma de suas idades é 35. Descubra quantos anos tem cada uma, sabendo que Natália tem três anos menos que Giovana.
Idade de Natália: x Idade de Giovana: x+3
Equação: x+x+3=35 Solução da Equação: x=16.
Conclusão: Natália tem 16 anos, e Giovana, x+3=16+3=19 anos.
Resposta: Natália tem 16 anos e Giovana, 19. Exemplo 6:
A Soma de dois números é 56. O maior deles é igual ao triplo do menor. Determinar os dois números.
Número maior: x Número menor: 3x Equação: x+3x=56
Resultado da Equação: x=14
Conclusão: o número menor é 14, enquanto o maior é 3x=3.14=42
Exemplo 7
A soma de dois números é 97, e a diferença entre eles é 31. Quais os dois números? (Um segundo modo de resolver.)
Número maior: x Número menor: x-31 Equação: x+x-31=97 Solução da equação: x=64
Conclusão: o número maior é 64, e o menor é x-31=64-31=33
Resposta: Os números procurados são 64 e 33.
Exemplo 8
A soma de três números é 47. Sabe-se que o segundo supera o primeiro em 7 unidades, e o terceiro supera o segundo em 3 unidades. Determinar os três números.
1º Número: x 2º Número: x+7 3º Número: x+7+3=x+10
Equação: x+x+7+x+10=47 Solução da Equação: x=10
Conclusão: o 1º número é 10, o 2º número é 10+7=17 e o 3º número é 17+3=20.
Resposta: Os números são 10, 17 e 20
EXERCÍCIOS OBRIGATÓRIOS – PARA CASA
1. O triplo de um número somado a 4 é igual a 25. Calcule esse número.
Incógnitas: _________________________________ Equação Correspondente:
Resolução:
Resposta:_____________________________________
2. A diferença entre o triplo de um número e 90 é igual a este número somado com 48. Qual é o número?
Incógnitas: _________________________________ Equação Correspondente:
Resolução:
Resposta:_____________________________________
3. Comprei uma geladeira por R$ 60,00. Dei R$ 180,00 de entrada e o resto será pago em 3 prestações mensais iguais. Qual é o valor de cada prestação?
4. Uma tábua de comprimento 100 cm deve ser repartida em duas partes. O comprimento da parte maior é igual ao triplo do comprimento da menor. Determinar o comprimento de cada uma das partes.
5. A metade de um número mais a sua terça parte e mais 10 é igual ao próprio número. Que número é esse?
10 6. O triplo de um número é igual à terça parte do mesmo
número aumentada de 80. Qual é este número?
7. Alexandre adquiriu um terreno para a construção de uma casa que ocupará 2/5 do terreno. Os 300 m2 restantes serão destinados a área livre. Qual a área do terreno? Qual a área da casa?
8. A soma de dois números é 45. O maior deles supera o menor em 7 unidades. Quais são os dois números?
9. Num terreno de 800 m2, a área construída tem 180 m2 a mais que a área livre. Determine a área construída e a área livre.
10. A soma de dois números é 56 e sua diferença é 14. Quais são esses números?
11. Reparta 281 em duas parcelas de forma que a diferença entre elas seja 31.
12. Angélica comprou um vestido e uma bolsa, pagando pelos dois R$ 52,00. O preço do vestido é igual ao dobro do preço da bolsa mais R$ 10,00. Quanto Angélica pagou pelo vestido?
13. Uma indústria, em expansão, produziu, em fevereiro e março, 500 unidades de um certo produto. Em março, o número de unidades produzidas foi o triplo do número de unidades produzidas em fevereiro. Qual foi a produção da fábrica em cada um desses meses?
14. No primeiro bimestre deste anos, Susana ficou com nota 6,0. Essa nota é a média aritmética das três provas realizadas. Na segunda prova, ela obteve 2 pontos mais que a primeira e, na terceira, sua nota foi o dobro da primeira. Quais as notas obtidas por ela?
EXERCÍCIOS OPCIONAIS (Caderno)
1) A diferença entre o triplo de um número e 20 é igual a 34. Calcule o número.
2) A soma da metade de um número com 20 é igual a 50. Qual é esse número?
3) Um terreno de 900 m2 de área foi reservado para a construção
de uma escola. Essa escola deverá ter 8 salas de aula do mesmo tamanho e um pátio de 260 m2 de área. Qual deverá
ser a área de cada sala de aula?
4) Somando 8 anos ao dobro da idade de Simone, obtemos 20 anos. Qual é a idade de Simone?
5) O quádruplo do número de meninos da 6ªD menos 6 é igual a 26. Quantos são os meninos da 6ª D?
6) Num estacionamento encontram-se 15 carros e x motos, perfazendo um total de 100 rodas. Quantas motos estão estacionadas? Qual é o total de veículos?
7) Júnior e Luís jogaram na mesma equipe de basquete. No último jogo dessa equipe, os dois marcaram juntos 52 pontos. Júnior marcou 10 pontos a mais que Luís. Quantos pontos Júnior marcou nessa partida?
8) Em uma prova do campeonato mundial de Fórmula-1, Nelson Piquet desiste ao completar os 2/5 do percurso total da prova. Se tivesse corrido mais 40 km, teria cumprido a metade do percurso total. De quantos km é o percurso total da prova? 9) 2/3 da idade de Strauss, mais 24 anos, é igual ao dobro da
sua idade. Determine a idade de Strauss.
10) 2/5 da quantia que recebo como mesada são depositados em caderneta de poupança. Ainda me restam R$ 600,00. Qual é a quantia que recebo como mesada?
11) A terça parte da mediada da base de um retângulo menos 5 m é igual a 10 m. Qual é a medida da base desse retângulo? 12) Um número menos 12 é igual a ¾ do mesmo número. Qual é
esse número?
13) O triplo de um número menos 40 é igual à sua metade mais 20. Qual é esse número?
14) Sabe-se que 3/5 da idade de Vânia menos 15 é igual a 9. Qual é a idade de Vânia?
15) Thalita comprou 5/8 de um terreno; um mês depois comprou mais 240 m2 e assim ficou com o terreno todo. Qual a área
desse terreno?
16) Hoje, numa classe, o número de meninos presentes é igual ao número de meninas. Isso aconteceu porque faltaram 5 meninas e 1 menino. Quantos alunos tem essa classe se o número de meninas é 5/9 do número de alunos?
17) Gisele comprou dois livros, um de matemática e outro de história, pagando ao todo R$ 45,00. O livro de matemática custou R$ 5,00 a mais que o livro de história. Qual o preço do livro de matemática.
18) A soma de dois números é 77. O maior supera o menor em 7 unidades. Quais são esses números?
19) Um número é o triplo de outro. Somando os dois, temos 84. Quais são esses números?
20) Um terreno de 720 m2 será dividido em 2 lotes, sendo que a
área de um é o dobro da área do outro. Qual a área do terreno maior?
21) Daniela tem 3 anos mais que Fernanda. A soma de suas idades é 33. Qual a idade de Daniela?
22) Somando dois números consecutivos, obtemos 195. Quais são esses números?
23) A soma da idade de um pai e de um filho é 51 anos e a diferença entre as suas idades é 21 anos. Qual é a idade de cada um?
24) Num jogo de basquete uma equipe ganhou da outra por uma diferença de 7 pontos. As duas somaram 189 pontos. Quantos pontos fez a equipe vencedora
25) A soma das idades de Luana e Otávio é igual a 30. Sabendo que existe uma diferença de idades de 6 anos à mais para Otávio, determine a idade de Luana.
26) A soma de dois números é 81. O maior deles é igual ao dobro do menor. Quais são esses números?
27) Um terreno de 500 m2 foi repartido em duas partes. A área da
parte menor é igual à quarta parte da área da parte maior. Determine a área de cada uma das partes.
28) Repartir 196 em 3 parcelas, de modo que a segunda seja o dobro da primeira e a terceira seja o dobro da segunda. 29) Num concurso de música popular foram distribuídos R$
450,00 em prêmios. O segundo colocado recebeu o dobro do terceiro e o primeiro, o triplo do segundo. Qual foi o prêmio do primeiro colocado?
30) Comprei 2 calças e 3 camisas por R$ 130,00. As camisas têm o mesmo preço. Uma das calças custou tanto quanto 2 camisas e a outra calça custou a metade do preço das 3 camisas. Qual foi o preço de cada camisa e de cada calça? Calcule dois números sabendo que a soma deles é 108, e a diferença entre eles é 32.
31) A quantia de R$ 60,00 foi repartida entre Luana e Angélica. Sabe-se que a diferença entre as quantias recebidas por Luana e Angélica foi de R$ 12,00, nessa ordem. Qual a quantia que Angélica recebeu?
32) São distribuídos 29 livros como prêmio de uma gincana realizada por três equipes. As equipes P e R receberam a mesma quantidades de livros, enquanto a equipe L recebeu dois livros a mais que a equipe P. Quantos livros recebeu cada equipe?
33) Thalita tinha 2 anos quando Strauss nasceu, e Strauss tinha 7 anos quando Alexandre nasceu. A soma das idades atuais dos três é 46 anos. Qual é a idade atual de cada um? 34) A soma de três números é 150. O segundo é o triplo do
primeiro e o terceiro tem 10 unidades a mais do que o segundo. Quais são esses números?
35) A coleção de medalhas que as irmãs Daniela, Fernanda e Luana conquistaram no atletismo soma 142 medalhas. Fernanda tem o quádruplo de medalhas de Daniela e Luana tem o triplo das de Fernanda, mais 6 medalhas. Quantas medalhas conquistou cada uma?
36) Um livro de matemática tem 260 páginas. A parte de álgebra é o triplo da de geometria, e a parte de aritmética tem 20 páginas menos que a de álgebra. Quantas páginas tem a parte dedicada à geometria?
37) A soma de três números inteiros consecutivos é 228. Calcule esses números.
Espaço para Visto
12
Aula 3
Resolução de Problemas com Equações do 1º
Grau
Resolução de Problemas com Equações do 1º Grau Exemplo 9:
Pensei em um número, dobrei, somei 10, multipliquei por 4, tirei 40, dividi por 2, deu 20. Em que número pensei?
Observe a montagem da Equação: Pensou no número x Dobrou: 2x Somou 10: 2x+10 Multiplicou por 4: 4(2x+10)=8x+40 Tirando 40: 8x+40-40=8x Dividindo por 2: 8x/2=4x
Como o número resultante foi 20: 4x=20 Solução da equação: x=5
Resposta: Pensei no número 5
EXERCÍCIOS OBRIGATÓRIOS
1. Pensei em um número. Multipliquei por 3 e somei 4. Deu 40. Em que número pensei?
2. Pensei em um número. Somei 10. Multipliquei o resultado por 3 e subtraí 20. Deu 70. Em que número pensei?
3. (FUVEST-80) A soma de um número com sua quinta parte é igual a 2. Qual é o número?
4. Comprei uma bicicleta, a prazo, por R$ 108,00. Dei R$ 24,00 de entrada e vou pagar p restante em três prestações mensais, iguais. Qual é o valor de cada prestação?
5. (FAAP-SP-80) Um comerciante, no final do anos, distribuiu uma parte do seu lucro entre seus três empregados. O primeiro recebeu 2/5 da parte do lucro mais R$ 50,00; o segundo recebeu 3/7 da parte do lucro mais R$ 70,00; o terceiro recebeu R$ 90,00. Qual foi a parte do lucro distribuída?
6. Uma indústria em expansão admitiu 500 empregados durante os três primeiros meses do anos. Em janeiro admitiu 80 empregados, e em março admitiu o triplo de empregados admitidos em fevereiro. Quantos empregados foram admitidos em cada um desses dois meses?
7. Numa prova de matemática, um aluno acertou 5/8 das questões, e errou 6 questões. Quantas questões tinha a prova?
EXERCÍCIOS OPCIONAIS
1) Pensei em um número. Multipliquei por 4. Subtraí 10. Dividi por 10. Deu 5. Em que número pensei?
2) Pensei em um número. Multipliquei por 5. Dividi por 2 e tirei o número em que tinha pensado. Deu 6. Em que número pensei? 3) A soma do quádruplo do número com 17 é igual a 65. Calcule
esse número.
4) Ao triplo de um número adicionamos 12, e o resultado é igual ao quíntuplo do mesmo número. Qual é esse número?
5) A soma da metade de um número com 21 é igual ao dobro do mesmo número menos 9. Determine esse número.
6) Uma casa com 130 m2 de área construída tem três dormitórios
do mesmo tamanho. Qual é a área de cada dormitório se as outras dependências da casa ocupam uma área de 70 m2?
7) Calcule o número tal que a soma da metade com a quinta parte do número seja igual ao próprio número diminuído de 12. 8) Um aluno acertou 7/10 do número de questões de uma prova de
Matemática. Sabendo-se que errou 15 questões, qual o número de questões da prova?
9) Uma pesquisa foi feita sobre a preferência na leitura de três jornais. Verificou-se que a metade dos entrevistados lia o jornal A, a terça parte lia o jornal B, e 400 outras pessoas liam o jornal C. Quantas pessoas foram entrevistadas?
10) A soma de dois números é 140. O maior deles supera o menor em 18 unidades. Calcule esses números.
11) Daniela tinha 5 anos, quando Luana nasceu. Atualmente, a soma das suas idades é 45 anos. Calcule a idade de cada uma. 12) Zico e Tita foram os principais goleadores do Flamengo no último campeonato, e marcaram juntos 26 gols. Zico fez 4 gols a mais que Tita. Quantos gols fez cada um?
13) Num terreno de 1200 m2 , a área construída deve ter 300 m2 a
mais que a área destinada a jardins. Qual será a área construída?
14) Uma escola ocupa um terreno de 6000 m2 de área. Sabe-se que
a área construída é o quádruplo da área livre existente. Calcule a área construída e a área livre da escola.
15) Calcule dois números inteiros e consecutivos cuja soma é 95. 16) A soma de dois números é 117 e a diferença entre eles é 47.
Calcule os dois números.
17) Num jogo de basquete, os quadros A e B marcaram juntos 154 pontos. O quadro A foi o vencedor por diferença de 12 pontos. Qual foi a contagem final deste jogo?
18) Numa eleição para o Cento Cívico de uma escola concorrem duas chapas, A e B. Votaram 960 alunos, e a diferença entre o número de votos da chapa A e da chapa B foi de 80 votos. Quantos votos obteve a chapa A
19) Numa indústria, o número de mulheres é igual a 3/5 do número de homens. Se fossem admitidas mais 20 mulheres, o número destas ficaria igual ao número de homens. Quantos homens e quantas mulheres trabalham na fábrica
20) Luana comprou uma calça e uma camisa, pagando, ao todo R$ 47,00. O preço da calça foi o dobro do preço da camisa, mais R$ 8,00. Quanto Luana pagou pela calça?
21) A soma de três números é 46. O segundo tem 4 unidades a mais que o primeiro, e o terceiro tem 5 unidades a mais que o segundo. Calcule esses três números
22) Devo repartir R$ 30,00 entre três pessoas, A, B e C. Sabe-se que A e B devem receber quantias iguais, e C deve receber R$ 6,00 a mais que a. Qual a quantia que devo dar a cada pessoa? 23) Um terreno de 2100 m2 de área deve ser repartido em três lotes,
de tal forma que o segundo lote tenha o dobro da área do primeiro, e o terceiro tenha 100 m2 a mais que o segundo. Qual
deverá ser a área de cada lote?
24) Três alunos disputam o cargo de representante da 6ª Série D que tem 43 alunos. Sabendo-se que o vencedor obteve 6 votos a mais que o segundo colocado, e que este obteve 5 votos a mais que o terceiro colocado, pergunta-se quantos votos obteve o vencedor.
25) Distribuíram-se 360 bolinhas em três urnas. Sabendo-se que a segunda tem o dobro de bolinhas da primeira, e a terceira tem o triplo de bolinhas da segunda. Quantas bolinha foram colocada em cada urna?
26) O triplo de um número somado a 9 é igual a 30. Qual é esse número?
27) O triplo de um número somado ao próprio número é igual a 68. Qual é esse número?
28) A soma de um número com a sua terça parte é igual a 24. Qual é esse número?
29) A soma de um número com 2/5 dele é igual a 49. Qual é esse número?
30) Na 6ª D, o número de meninos é igual a 2/5 do total de alunos da classe. Se forem matriculados mais 6 meninos, o número de meninos ficará igual ao número de meninas. Quantos alunos tem a classe?
31) A diferença entre o dobro de um número e a sua terça parte é igual a 80. Qual é esse número?
32) Um terreno de 600 m2 foi dividido em dois lotes. Um lote tem 100
m2 mais que o outro. Qual é a mediada de cada lote?
33) A soma de dois números inteiros e consecutivos é 61. Quais são esses números?
Espaço para Visto
14 REPOSITÓRIO PARA TREINO
317) A soma de dois números pares consecutivos é 126. Quais são esses números?
318) Determine dois números ímpares consecutivos cuja soma seja 60.
319) Determine três números inteiros consecutivos cuja soma seja 24.
320) A soma de dois números é 85. O menor é 2/3 do maior, menos 5. Calcule os dois números.
321) Comprei livros de Orígenes Lessa e Vinícius de Moraes, num total de 22 livros. O número de livros de Orígenes é igual ao triplo dos de Vinícius, menos 10. Quantos livros de Orígenes foram comprados? E de Vinícius?
322) Edson, comprou, para a Unidade Municipal de Esportes, bolas de vôlei e de basquete, num total de 59 bolas. O número de bolas de vôlei compradas é igual ao triplo de bolas de basquete, menos 5. Quantas bolas de basquete foram compradas? E de vôlei?
332) No revezamento 4x100 m, as atletas Luana, Angélica, Thalita e Vânia obtiveram a marca de 56 segundos. Os tempos das três primeiras foram expressos por números inteiros e consecutivos e o tempo da quarta foi de 14 segundos. Qual o tempo de cada uma?
333) Um terreno de 670 m2 foi repartido em dois lotes, sendo que cada
um deles tem 30 m2 a mais que o outro. Qual é a área de cada lote? 334) Na eleição para o Centro Cívico, votaram 943 alunos. A chapa B teve 7 votos a mais que a chapa C, a vencedora, teve 5 votos a mais que a chapa B. Quantos votos teve a chapa vencedora?
335) Reparta R$ 260,00 entre três pessoas, de modo que a primeira receba o dobro da segunda e a terceira R$ 20,00 mais que a segunda.
336) Devo pagar R$ 540,00 em duas prestações, sendo que a segunda prestação é a metade da primeira. Qual é o valor de cada prestação?
337) A soma da idade de três irmãos é 28 anos. Quando o segundo nasceu, o primeiro tinha 3 anos e quando o terceiro nasceu, o segundo tinha dois anos. Qual é a idade atual de cada um?
338) Num concurso, um prêmio de R$ 600,00 foi distribuído entre três pessoas, da seguinte maneira: o segundo colocado recebeu o dobro do terceiro, e o primeiro, o triplo do terceiro. Quanto recebeu o primeiro colocado?
TESTES DE VESTIBULAR
339) Daniela tem 18 anos e Fernanda 15 anos. Há quanto tempo a idade de Daniela era o dobro da idade de Fernanda?
a) 3 anos b) 6 anos c) 9 anos d) 12 anos
340) Luana e Rafaela compraram um violão por R$ 84,00. Rafaela entrou com ¾ do valor dado por Luana. O valor dado por Luana foi:
a) R$ 36,00 b) R$ 42,00 c) R$ 48,00 d) R$ 72,00
341) Numa propaganda de calça jeans, cada manequim recebeu R$ 25,00 mais que cada figurante. Participaram da propaganda 2 manequins e 9 figurantes, que receberam um total de R$ 270,00. Cada figurante recebeu:
a) R$ 750,00 b) R$ 450,00 c) R$ 300,00 d) R$ 200,00
342) Uma unidade de esportes recebeu bolas de vôlei e de basquete, num total de 80 bolas. O número de bolas de vôlei é triplo do número de bolas de basquete diminuído de 4. O número de bolas de vôlei e de bolas de basquete é, respectivamente:
a) 61 e 19 b) 59 e 21 c) 63 e 21 d) 57 e 23
343) Num campeonato de futebol de salão, as três primeiras equipes classificadas, A, B, C, marcaram 115 gols. A equipe A marcou 12 gols mais que a equipe C e 8 gols mais que a equipe B. A equipe B marcou:
a) 45 b) 37 c) 33 d) 29
344) O coral de uma escola tem 122 vozes. Os números de vozes tenor e baixo são, nessa ordem, números pares consecutivos. A soma dos números de vozes soprano e contralto é o triplo do número de vozes tenor. Então o número de vozes tenor é:
a) 18 b) 24 c) 26 d) 72
345) Luana já conquistou 71 medalhas em atletismo. O número de medalhas de prata é o dobro do número de medalhas de bronze e 11 menos que as medalhas de ouro. O número de medalhas de outro já conquistadas por Luana é:
a) 12 b) 24 c) 35 d) 60
346)O triplo de um número menos a sua metade é igual a 25. O número é:
a) 10 b) 12 c) 20 d) 30
347) A soma de um número com 3, e o quociente deste mesmo número por 3 são iguais. Logo, este número é:
a) 9/2 b) -9/2 c) 9/4 d) -9/4
348) Luana tem hoje 36 anos, e seu filho, 6 anos. Dentro de quantos anos, a idade de Luana será igual ao quádruplo da idade de seu filho?
a) 8 anos b) 6 anos c) 4 anos d) 2 anos
349) Um terreno de 480 m2 foi comprado para construir um pavilhão.
Este pavilhão deverá ter 5 salas do mesmo tamanho e um pátio cuja área deve ser igual ao triplo da área de cada sala. Logo, cada sala terá uma área de:
a) 60 m2 b) 80 m2 c) 70 m2 d) 50 m2
350) Um reservatório está cheio de água até 4/7 de sua capacidade total. Como faltam ainda 12000 l para enchê-lo, podemos afirmar que a capacidade total do reservatório é de:
a) 84 000 l b) 56 000 l c) 28 000 l d) 42 000 l
351) Luana quer repartir uma certa quantidade de balas entre as crianças de uma creche. Se der 15 balas a cada criança, sobram 10 balas e se der 16 balas a cada criança, ficam faltando 10 balas. Luana tem para repartir:
a) 300 balas b) 290 balas c) 320 balas d) 310 balas
352) A diferença entre um número e 2 é igual ao quociente do mesmo número por 2. Esse número é:
a) 4/3 b) -4/3 c) ¾ d) -¾
353) A diferença entre o triplo de um número e a sua metade é igual a 25; esse número é:
a) 50 b) 25 c) 20 d) 10
354) Numa partida de basquete, o quadro A marcou 6 pontos a mais que o quadro B. Os dois quadros fizeram juntos 170 pontos. Então, a contagem do jogo foi favorável ao quadro A por:
a) 86 a 80 b) 88 a 82 c) 90 a 80 d) 87 a 83
355) Num terreno, a área construída corresponde aos 3/5 da área do terreno e a área livre é de 320 m2. Então, a área do terreno é de:
a) 480 m2 b) 600 m2 c) 800 m2 d) 900 m2
356) Uma pessoa quer distribuir R$ 50,00 entre seus folhos. O mais novo deve receber a metade do que recebe o mais velho, mais R$ 5,00. Então, o filho mais novo deve receber:
a) R$ 30,00 b) R$ 20,00 c) R$ 15,00 d) R$ 25,00
357) Numa cidade, existem dois jornais, A e B. Numa pesquisa de opinião, verificou-se que 2/5 dos entrevistados preferiam o jornal A e 300 pessoas preferiam o jornal B. Quantas pessoas foram entrevistadas?
a) 400 pessoas b) 500 pessoas c) 520 pessoas d) 600 pessoas
358) Saullo, André e Silas têm juntas, 63 anos. Saullo e André têm a mesma idade, enquanto Silas é 3 anos mais velho que os dois. Logo Silas tem:
a) 21 anos b) 20 anos c) 23 anos d) 24 anos
359) Uma escola tem 200 alunos. O dobro do número de meninos é igual ao triplo do número de meninas. Então, na escola há: a) 120 meninos b) 80 meninos
c) 150 meninos d) 50 meninos
360) A soma da metade de um número com 7 e a diferença entre o mesmo número e 3 são iguais. Qual é esse número?
Aula 4
Resolução de Problemas com Equações do 1º
Grau
Resolução de Problemas com Equações do 1º Grau e a Geometria
O perímetro de um retângulo é 30 cm. A medida da base supera a medida da altura em 3 cm. Determinar as dimensões desse retângulo:
x+3
x
x
x+3
Medida da altura: x Medida da base: x+3 Equação: x+(x+3)+x+(x+3)=30
Resposta da equação: x=6
Conclusão: a altura mede 6 cm, a base mede x+3=6+3=9cm.
Resposta: As dimensões do retângulo são 6cm e 9cm.
A área de um trapézio mede 50 m2. A medida da base menor é 8m, e a medida da altura é 5m. Calcular a medida da base maior.
Medida da base maior: x Fórmula:
A
(
B
b h
).
2
Equação: ( x8).5 2 50 Resposta da equação: x=12 Conclusão: B=12Resposta: A base maior mede 12 m.
EXERCÍCIOS OBRIGATÓRIOS
1. O perímetro de um retângulo é 60 cm. A medida da base é igual ao dobro da medida da altura. Calcule as dimensões do retângulo.
2. O perímetro de um triângulo é 27 cm. As medidas dos lados são expressas por três números inteiros e consecutivos. Quais as mediadas dos lados do triângulo?
16 3. Num terreno retangular, a lateral mede 12 m a
mais que a frente. Se o perímetro do terreno é 76 m, calcule as suas dimensões.
4. Um terreno tem a forma de um trapézio com uma área de 270 m2. A base maior mede 20 m, e a altura mede 15 m. Quanto mede a base menor?
5. A área de um triângulo é 27 m2. Se a medida da altura é 6m, determine a medida da base.
6. A área de um terreno retangular é 360 m2. Sabendo que o terreno tem 12 m de frente, calcule a medida de sua lateral.
7. A fórmula F 9 5c 32
, pode ser usada para converter a temperatura lida em um termômetro que mede em graus centígrados para a temperatura lida em termômetro que mede em graus Fahrenheit (este, usado nos Estados Unidos). Encontre a temperatura em graus centígrados, sabendo que, num determinado dia, os termômetros registravam 104 graus Fahrenheit.
EXERCÍCIOS OPCIONAIS
1) Um terreno retangular tem 108 m de perímetro. O comprimento é o dobro da largura. Calcular a área desse terreno.
2) As medidas dos lados de um triângulo são números inteiros e consecutivos. Determine a medida de cada lado, sabendo que seu perímetro é 36 cm.
3) O perímetro de um retângulo é 176 m. Calcule as medidas dos lados, sabendo que o comprimento é o triplo da largura. 4) A base de um retângulo tem 8 cm mais que a largura. Seu
perímetro é igual ao perímetro de um quadrado com 19 cm de lado. Quanto mede a base desse retângulo?
5) A base de um triângulo mede 18 cm. Os outros dois lados são números ímpares consecutivos. Calcule o menor desses lados, sabendo que seu perímetro é 54 cm. 6) Um triângulo tem 126 cm2 de área. Sua altura mede 9 cm.
Calcule a mediada da base.
7) Num trapézio, a base menor e os lados oblíquos tem a mesma medida. A base maior mede o dobro da base menor. Calcule a mediada dos lados oblíquos, sabendo que o perímetro mede 60 cm.
8) Um terreno retangular com x+10 metros de comprimento e x metros de largura foi dividido em lotes; um é quadrado, de lado x e outro retangular, com 240 m2 de área. Qual o valor
de x?
9) Um terreno retangular com x+10 metros de comprimento e x metros de largura foi dividido em dois lotes: um é quadrado, de lado x e outro retangular, com 240 m2 de área.
Qual é o valor de x?
10) Um retângulo tem 36 m de perímetro. O comprimento tem 2m mais que a largura. Quais são as medidas desse retângulo.
11) Um triângulo tem 72 cm de perímetro. As medidas de seus lados são expressas por três números inteiros e consecutivos. Calcule essas medidas.
12) A altura de um triângulo mede 12 cm. Calcule as mediada da base, sendo que sua área é de 90 cm2.
13) Para calcular o perímetro de um retângulo, usamos a fórmula p=2c+2l, onde p indica o perímetro, c indica o comprimento e l indica a largura. Se o perímetro de um retângulo mede 60 cm e o comprimento é igual ao dobro da largura, determine o comprimento e a largura desse retângulo.
14) O volume de um tanque cilíndrico, pode ser calculado usando-se a fórmula V=.r2.h, onde V indica o volume, r
indica a medida do raio da base e h indica a altura do cilindro. Calcule a altura desse tanque cilíndrico que tem um volume de 1884 m3 e um raio de base 10m. Use =3,14.
15) Para calcular o volume de um paralelepípedo retângulo, pode usar a fórmula V=abc, onde V indica o volume, a indica o comprimento, b indica a largura e c indica a altura. Se o volume de um paralelepípedo é 4800 cm3, calcule o
comprimento se o peralelepípedo tem 8 cm de largura e 20 cm de altura
16) Quanto mede a base menor de um trapézio onde a base maior mede 20 m, a altura mede 15 m e a área é 270 m2?
Espaço para Visto
O EPITÁFIO DE DIOFANTO
Aula 5
Equações Impossíveis e Identidades
Equações impossíveis e identidadesAté agora foi possível determinar a raiz da equação dada. Existem, porém, equações que não têm nenhuma raiz e outras que têm infinitas raízes.
Observe os seguintes exemplos. a) Equação 3x-9=3x 3 9 3 3 3 9 0 9 x x x x x
Não existe nenhum número que multiplicado por 0 resulte 9.
Essa equação não tem solução. Dizemos, então, que é uma equação impossível. Logo: S=. b) Equação 3x+5=3x+5 3x 5 3x 5 3x 3x 5 5 0x 0
Qualquer número racional multiplicado por zero é igual a zero.
A equação tem infinita soluções.
Equações que se reduzem à forma 0x=0 são chamadas identidades.
Logo: S=IR. Espaço para Visto
18 EXERCÍCIOS OBRIGATÓRIOS
Resolva as equações (e escreva se são identidades ou equações impossíveis se for o caso):
1) 3x-9=3x 2) 3x-2(x-4)=x+8 3) 2(x+5)-4(x+2)=2(1-x) 4) 2 1 2 1 2 x x 5) 6 1 + 5x = 2 1 -x + 3 2 + x 6) 5x=3x+8 EXERCÍCIOS OPCIONAIS
Resolva as equações (e escreva se são identidades ou equações impossíveis se for o caso):
1) 2x-7=2x-7 2) 4(x+3)=4x-15 3) 5(x+3)=5x+15 4) 3(2x+1)-4x=2(x+5) 5) 5(y-2)-2(y+1)=3(y-6) 6) 12 x) -5(1 = 3 1 + 2x -4 1 + x 7) 7x+3=4+5x 8) 7x+6=4x+10+3x 9) 5(x+1)-2(x-3)=10-(2x+3) 10) x 10 1 + 2 = x 5 1 -4 3 + x 2 1 11) 3(x+1)+x=4x+10 12) 4 x -1 + 2 1 = 10 4 -x -5 x 13) 5(2x-3)-4(x-1)=6x-11 14) 3(2y-1)-2(y-2)=4(y+3)
15) 1 8 2 3 4 -x x
Espaço para Visto
Auto Estudo 1
Verificando se um valor é resultado da equação
Raízes de uma equaçãoResolver uma equação é determinar o seu conjunto verdade.
O conjunto verdade de uma equação depende de seu conjunto universo, que é um conjunto numérico.
Vamos esclarecer isso. Considere a equação x2=25.
Se o conjunto universo for U=IN, então V={5}
Se o conjunto universo for U=Z, então V={-5, 5}
Se o conjunto universo for U={..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, ...}, então V=, pois não existe número pertencente ao conjunto universo cujo quadrado dê 25.
Os elementos do conjunto verdade de uma equação são chamados raízes da equação.
Exemplos:
a) O conjunto verdade da equação x+3=5, com U=IN, é V={2}
Então 2 é a raiz dessa equação.
b) O conjunto verdade da equação 2x+1=-9, com U=Z, é V={-5}
Então -5 é a raiz dessa equação
c) O conjunto verdade da equaçaõ x2=9, com U=IR,
é V={-3, 3}.
Então -3 e 3 são raízes dessa equação.
Para verificar se um número é raiz de uma equação, substituímos a variável pelo número dado. Se a sentença obtida for verdadeira, o número será raiz da equação; caso contrário, não.
Exemplos:
a) Para verificar se o número 5 é raiz da equação x+2=7, sendo U=IR, substituímos x por 5. Assim, temos:
5+2=7 7=7 (V) Logo: 5 é raiz da equação x+2=7
b) Para verificar se o número -3 é raiz da equação 2x+15=9 (como não foi dado o conjunto universo, supomos U=IR), substituímos x por -3.
Assim, temos:
2(-3)+15=9
-6+15=9 9=9 (V)
Logo -3 é raiz da equação 2x+15=9
c) Para verificar se o número 4 é raiz da equação 3x+2=5, substituímos x por 4.
Assim, temos:
3.(4)+2=5 12+2=5 14=5 (F)
Logo: 4 não é raiz da equação 3x+2=5
d) Verificar quais números do conjunto {-2, 3/2,2} são raízes da equação 2x2-7x+6=0. Verificando para x=-2 2x2-7x+6=0 2.(-2)2-7.(-2)+6=0 2.4+14+6=0 8+14+6=0 28=0 (F) O número -2 não é raiz. Verificando para x=2 2x2-7x+6=0 2.( 2)2-7.(2)+6=0 2.4-14+6=0 8-14+6=0 0=0 (v) O número 2 é raiz. Verificando para x=3/2 2x2 7x 6 0 2. 3 2 2 7. 3 2 6 0 2.9 4 21 2 6 0 9 21 12 2 0 0 2 0 0 0 (V) O número 3/2 é raiz.
20 EXERCÍCIOS OBRIGATÓRIOS
Verifique:
a) Se o número 6 é raiz da equação 2x+3=15
b) Se o número -5 é raiz da equação 4y+8=y+17
c) Se o número½ é raiz da equação 3x+½=2
d) Se o número 2 é raiz da equação 3x2-5x-2=0
EXERCÍCIOS OPCIONAIS 1)Verifique se
a) Se o número 2 é raiz da equação 4a-5=1 b) Se o número 4 é raiz da equação 2(x+1)-4=5 c) Se o número 3/2 é raiz da equação 2x-1=2 d) Se o número -5/3 é raiz da equação 6x+2=3x-3
2) (XXV Olimpíada Brasileira de Matemática – Nível 2 – 1a fase – 2003) Na figura, o número 8 foi obtido somando-se os dois números diretamente abaixo de sua casinha. Os outros números nas três linhas superiores são obtidos da mesma forma. Qual é o valor de x?
42 8
3 5 x 6
A) 7 B) 3 C) 5 D) 4 E) 6
3) (ENCCEJA – Ensino Fundamental – 2002) Em virtude de um vazamento no banheiro de sua casa, uma pessoa terá que fazer uma reforma nas instalações hidráulicas. Consultou uma firma especializada e obteve duas propostas: Proposta I: R$ 4.000,00 independente do tempo gasto na obra.
Proposta II: R$ 2.000,00 de sinal e mais R$ 100,00 por dia gasto na obra. Para que essa pessoa gaste menos ela deve escolher a proposta
(A) I, se a obra durar 18 dias. (B) I, se a obra durar 22 dias. (C) II, se a obra durar 18 dias. (D) II, se a obra durar 22 dias. 4) (ENCCEJA – Ensino Fundamental – 2002) Considere a balança em equilíbrio representada na figura. O número representado pela letra x é
(A) 7. (B) 6. (C) 5. (D) 4.
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5) (ENCCEJA – Ensino Fundamental – 2002) Os números indicados na figura obedecem a uma determinada “lei”. Descobrindo essa “lei” é possível argumentar que os valores X, Y e Z são: (A) X = 61; Y = 1 e Z = 3.
(B) X = 61; Y = 10 e Z = 14. (C) X = 9; Y = 1 e Z = 3. (D) X = 9; Y = 10 e Z = 14.
O PROBLEMA DAS ABELHAS
A obra de Bháskara tornou-se célebre, e o nome de Lilaváti, a noiva malograda, surge imortal na história da matemática. Pelo que se refere à matemática, Lilaváti faz exposição metódica da numeração decimal e das operações aritméticas sobre números inteiros; estuda minuciosamente as quatro operações, o problema da elevação ao quadrado e ao cubo, ensina a extração da raiz quadrada, e chega até mesmo ao estudo da raiz cúbica de um número qualquer. Aborda depois as operações sobre números fracionários, com a conhecida regra da redução das frações ao mesmo denominador.
Para os problemas, adotava Bháskara enunciados graciosos e até românticos. Eis um dos problemas do livro de Bháskara:
“Amável e querida Lilaváti, de olhos doces como os da tenra e delicada gazela, dize-me qual o número que resulta da multiplicação de 135 por 12”.
Outro problema, igualmente interessante, que figura no livro de Bháskara refere-se ao cálculo de um enxame de abelhas: !A quinta parte de um enxame de abelhas pousou na flor de Kadamba, a terça parte numa flor de Silinda, o triplo da diferença entre estes dois números voa sobre uma flor de Krutaja, e uma abelha adeja sozinha, no ar, atraída pelo perfume de um jasmim e de um pandnus. Dize-me, bela menina, qual o número de abelhas”.
Bháskara mostrou em seu livro que os problemas mais complicados podem ser apresentados de uma forma viva e até graciosa.
Fonte: O Homem Que Calculava, Malba Tahan. Resolva o Problema das Abelhas
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22
Aulas 6 e 7 - Inequações
Resolução prática de inequações do 1º grau com uma variável
A resolução de inequações do 1º grau com uma variável é feita procedendo de maneira semelhante à resolução de equações, ou seja, transformando cada inequação em outra inequação equivalente mais simples, até se obter o conjunto verdade.
Exemplo 1
Resolver a inequação 5x+3>2x+15, sendo U=IR. Passamos 2x para o primeiro membro e +3 para o segundo membro: 5x-2x>15-3
Reduzimos os termos semelhantes: 3x>12 Passamos 3 dividindo e temos: x>4 Logo: S={xIR | x>4}.
Exemplo 2
Resolver a inequação: 4(x-2)<2(3x+1)+5, sendo U=IR.
Simplificando temos -2x<15.
Multiplicamos por -1, devemos mudar o sentido da desigualdade: 2x>-15 x>-15/2 Logo : S={xIR | x>-15/2}. Exemplo 3 Resolver a inequação x 3 3 2x 1 2 12 , sendo U=IN.
Resolvendo a inequação encontramos x<81/8. 81/8 é igual à 10,125. Os números naturais menores que 10,125 são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10.
Logo V={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Exemplo 4
Encontrar o maior número inteiro que satisfaz a inequação: 5x 2 x 3 6 2x 1 . Encontramos a solução x<-9/2.
Como -9/2=-4,5, devemos achar o maior número inteiro menor que -4,5. Este número é -5.
Exemplo 5
Verificar se os números -2 e 2 são soluções da inequação 6-5x>0.
Verificando para x=-2
Temos 16>0 (sentença verdadeira) O número -2 é solução.
Verificando para x=2
Temos -4>0 (sentença falsa) O número 2 não é solução. EXERCÍCIOS OBRIGATORIOS Resolva as inequações 1) x+2>5 2) -2x+1<-9 3) 2(x+1)<10 4) 3(x-1)-2x>10 5) x-4(x-1)>19
6) 5(x-2)<3(x-1) 7) x 2 1 5 3 x 8) x 4 6 x 2 8 9) x 4 3 5 x 10 1 2 10) 3(x 1) 2 3 11) 1 2 1 3 1 1 3 1 2 x x EXERCÍCIOS OPCIONAIS 1) x-4(x-1)>19 2) 5(x-2)<3(x-1) 3) x+5>4(2x-1)-3x 4) 7x-3(x-2)-2>0 5) 2(x-4)+8<x 6) 2(3x-1)-4(x+2)<5x-1 7) 3(2x-1)<5x+7 8) 3(x-2)-5(x-1)<-2 9) 5x+3(x-2)>-3 10) -(x+3)>-(2x-1) 11) x 5 x 5 1 12) x 6 1 2 x 9 13)x 3 1 x 1 2 14) x 2 10 1 1 x 4 15) x 5 1 4 2 x 2 16) x 1 4 x 6 x 2 3 0 17) x 1 6 x 2 9 2 3 18) x 7 5 x 10 1 19) x 2 1 3 x 20) 2(1 x) x 2 21) x 5 2 3(1 x) 22) x 1 4 x 2 3 0 23) 1 3(x 2) x 2 1
Aula 8
Inequações
EXERCÍCIOS OBRIGATÓRIOS1) Resolva a inequação 3-5(1-2x)<x, sendo U={-1,0,1}. 2)Determine o conjunto verdade da inequação 3(x-2)<-2x+5, sendo U={-2,-1,0,1,2,3}
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24 3) Dê a soma dos elementos do conjunto verdade da inequação
x 1 12 5 x 18 x 3 9 7 36 , sendo U=Z-*.
4) Resolva a inequação 3x-2(6-2x)<x-3(1-x), sendo U=IN.
5) Encontre o maior número inteiro que satisfaz a inequação 2x-3(x+2)<9-2(x-1).
6) Encontre o menor número inteiro que satisfaz a inequação x 4 4x 5 1 . EXERCÍCIOS OPCIONAIS
102) Qual o menor número inteiro pertencente ao conjunto verdade da inequação 1 3x 1 2 2x 3 x 1 4 ?
103) Identifique os números do conjunto {-3, -1, 0, 1, 3} que são soluções da inequação 5x-3(2x-1)>3x-5.
104) Verifique, sem resolver a inequação, quais dos números -2, 0, 2 e 3 são soluções de 4x-10<x-4.
105) Qual o menor número inteiro que é solução da inequação x 2
3 x
2?
106) Qual o maior número inteiro que é solução da inequação 5-2(x-3)>x-2(x-1)?
107) Qual o maior número inteiro que é solução da inequação 5x 1 6 x 2 1?
108) Resolva a inequação 3(2x-6)<4(2x-2), sendo U=Z- . 109) Quais elementos do conjunto {-3, 0, 3} são soluções da
inequação 5x-2<2x+3?
110) Verifique quais dos números 4, 5 e 6 são soluções da inequação 2x+4<5x-11.
Aulas 9 e 10
Revisão para Prova
EXERCÍCIOS DE REVISÃO OBRIGATÓRIOS1) Um número é somado com 17 e o resultado é multiplicado por 15. No final, obtém-se 60. Qual é o número?
Resposta: -13
2) Uma montadora tem dois modelos de certo veículo: o sedan (ou “carro de passeio” com 4 portas) e a perua. O segundo modelo custa R$ 7.000,00 a mais
que o primeiro. Se os dois juntos custam R$ 52.000,00, qual é o preço do sedan? Dica: represente por x o preço do sedan e por x+7.000 o da perua. Resposta: 22.500 reais.
Espaço para Visto
3) O volume do bloco retangular é 28 m3. Seu
comprimento é 4 m, e sua largura, 2 m. Qual é a sua altura?
Resposta: 3,5 metros
4) Dei a Mário a mesma quantidade de figurinhas que ele tinha. Cada um de nós ficou com 150. Quantas ele tinha antes? E eu?
Resposta: ele tinha 75 e eu 225.
5) Distribua a herança de 342 moedas de ouro entre Harum, Mustafá e Ibn-Saud, três herdeiros árabes, de modo que Harum receba x, Mustafá o dobro de Harum e Ibn-Saud o triplo de Mustafá. (Cuidado: esse triplo não é 3x!)
Resposta: Harum 38, Mustafá 76 e Ibn-Saud 228
6) O programa A arca da felicidade, do famoso animador Juju Literato, um prêmio de R$ 270,00 foi distribuído deste modo: a menor parte para o terceiro colocado, R$ 50,00 a mais para o segundo colocado e o dobro dessa última quantia para o campeão. Quanto receberá cada premiado?
26 7) Utilizando-se de equações, preencha as pirâmides
mágicas:
8) Descubra três números consecutivos que somados resultem em 131.
9) Preencha o quadrado mágico, sabendo que a soma é 69:
10) Somando a terça parte da idade de Jack com 28 o resultado será a sua idade. Qual é a idade dele? Resposta: 42 anos.
11) No conjunto IN, o conjunto solução da inequação 4x-1<2+3x é:
a) S={1,2,3} b) S={1,2} c) S={0,1,2,3} d) S={0,1,2}
12) O número -5 pertence ao conjunto solução da inequação:
a) -3x+8 <29 b) -3x+8<-7 c) -3x+8<20 d) -3x+8<0
13) No conjunto IN, o conjunto verdade da inequação 2 3 x 1 2 2x 4 2 é: a) {..., 2, 3, 4} b) {0, 1, 2, 3, 4} c) {6, 7, 8, 9, 10} d) {6, 7, 8, ...}
14) Resolva as equações e inequações: a) 4x-3=4x+6 b) 6(x-2)-4=6x-16 c) 𝑥+2 3 + 1 4= 𝑥 2 d) 5(𝑥 − 3) − 6𝑥 < −4𝑥 + 6 e) 5 3(𝑥 − 4 3) + 3𝑥 2 ≥ −6 − 𝑥 4
Aula 11
Prova
RESERVADO PARA IMPRESSOES SOBRE A PROVA
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Espaço para Visto
