UM EXEMPLO BEM SIMPLES

Num sítio há 10 animais, entre cabras e galinhas. Contando patas e pés são 26. Quantas são as cabras, quantas são as galinhas?

Os alunos mais jovens costumam resolver esse problema de uma forma muito simples, por tentativa e erro. Sabemos que há 10 animais, então chutamos os números, sendo a soma igual a 10:

CABRAS GALINHAS ANIMAIS PATAS E PÉS

4 6 4+6=10 4X4+2X6=28 (é muito)

5 5 5+5=10 4X5+2X5=30

(é muito, e mais ainda que 28 – precisa então ser menos que 4 cabras) 2 8 2+8=10 4x2+2x8=24 (é pouco – só podem ser 3 cabras)

3 7 3+7=10 4x3+2x7=26 (na mosca!)

Chegamos de forma inequívoca na resposta: 3 cabras e 7 galinhas.

Sempre surge a pergunta: “Se dá pra resolver assim, de forma simples, para que complicar, professor?” Algumas respostas possíveis, com perguntas:

- “E se for uma fazenda na África com búfalos, rinocerontes e avestruzes e dados o número de animais, patas e pés, e de chifres?”

- “E se tivermos números muito grandes e decimais na situação”.

Desafiando os meus alunos a resolver o problema, há uma solução encontrada por uma aluna chamada Talita (que depois fiquei sabendo pelo Prof. Rômulo Campos Lins que o Prof. Antônio José Lopes Bigode teve a mesma solução de um aluno do 3º ano do Ensino Fundamental):

- Imagine todos os bodes e galinhas na frente da sala. Mande as cabras ficarem de pé

- Olhando para o chão contaremos 20 patas e pés, 2 de cada animais, já que as cabras estão de pé. Quantas patas e pés faltam? 6!!! Ou seja, há 6 patas de cabra erguidas: ou seja, há 3 cabras, e por consequência 7 galinhas.

A resolução de Talita é uma resolução por aritmética, que faz as operações 26-20=6, 6:2=3 (número de cabras), 10-3=7 (número de galinhas). Veja que a lógica das 3 operações a serem resolvidas é bem complicada – e é preciso pensar muito para chegar nelas.

Uma solução simples e geral é a seguinte – equacionar os dados! Apesar de tecnicamente mais fácil resolver por aritmética, por equacionamento não é necessário utilizar tantos raciocínios, e o problema torna-se computacionalmente mais fácil.

Sendo x o número de cabras e y o número de galinhas, temos o sistema: { 𝑥 + 𝑦 = 10

4𝑥 + 2𝑦 = 26

Há 5 métodos mais conhecidos de resolução:

- os métodos tradicionais: adição, substituição e comparação.

- os métodos com uso de matrizes: Regra de Cramer e Método de Eliminação de Gauss (aprendidos no ensino médio)

Sistemas Lineares – O que é?

É muito comum na vida real os problemas poderem ser equacionados em termos de duas variáveis no formato ax+by=c, sendo x e y os valores desconhecidos e a, b e c valores reais.

Exemplos:

I. Temos duas pessoas cuja soma das idades é 25 anos. Sendo x e y as idades de cada pessoa, temos a equação x+y=25 (que é 1x+1y=25).

II. Vamos distribuir 100 litros de leite em recipientes de 1 litro e 2,5 litros. Chamamos a quantidade de recipientes de 1 litro de x e de recipientes de 2,5 litros de y, temos que x+2,5y=100.

III. Fiz um investimento em duas aplicações à juros simples respectivamente de 10% e 20% ao ano. Após 1 ano, as duas aplicações rendem R$ 10.000. Chamando uma aplicação de x e outra de y, temos que 0,1x+0,2y=10000,

IV. Comprei dois tipos de molhos em grandes quantidades. O primeiro molho custou R$ 1,50 e o segundo R$ 2,50. Gastei R$ 10.000,00. Chamando o primeiro molho de x e o segundo de y, temos a equação 1,5x+2,5y=10000.

Isso é extremamente útil para resolver problemas do cotidiano (de verdade mesmo!). Para resolver um sistema é preciso ter duas equações com duas variáveis (ou 3 equações e 3 variáveis, ou 4 equações e 4 variáveis, etc.

O problema do exemplo III, por exemplo, poderia ter a informação adicional de o capital inicial, dividido nas duas aplicações era de R$ 30.000,00, o que recaria num sistema com duas equações.

1ª equação: x+y=30.000 2ª equação 0,1x+0,2y=10.000

Isso pode ser escrito de forma simplificada como:

{ 𝑥 + 𝑦 = 30.000 0,1𝑥 + 0,2𝑦 = 10.000

Vamos concluir que a aplicação x vale R$ 3.000,00 e a aplicação y vale R$ 7.000,00.

Resolver esse tipo de problema por um método, um algoritmo, é um desafio muito antigo. Com duas variáveis é relativamente fácil, porém, imagine um sistema com muitas equações.

Veja um exemplo:

Nesse caso talvez nem fosse muito difícil resolver o sistema (até mesmo pois trata-se de um sistema homogêneo o exemplo, ou seja, sistemas onde os resultados de cada equação são iguais à zero).

Veja vários bons exemplos de aplicações no site:

http://www.feng.pucrs.br/~gacs/new/disciplinas/asl/apostilas/Aula01.pdf

56 Encontra-se primórdios da resolução de problemas com sistemas de equações lineares nos escritos do matemático hindu Bháskara Akaria, também chamado de Bháskara, que viveu entre 1114 e 1185, na Índia, em seu mais famoso livro, o Lilavati. Bháskara Akaria é também chamado de Bháskara II (o primeiro também é matemático, e também há um filósofo com o mesmo nome). Por Bháskara ter estudado um tipo de equação do 2º grau chamado “Equação de Pell”, no Brasil (e apenas aqui), a fórmula resolutiva da equação do 2º grau é chamada de Fórmula de Bháskara!

Bháskara Akaria

Fonte da imagem: http://matematicadasala.blogspot.com.br/2011/02/bhaskara.html

O conceito de sistemas lineares surge na China em 250aC com o livro “Nove Capítulos sobre Aritmética” sem utilização de equações (mas com a idéia de que ‘n’ incógnitas em um problema necessita de ‘n’ sentenças relacionando os dados, ou seja, as ‘n’ equações).

O problema foi enunciado da seguinte forma:

“Três fardos de uma boa colheita, dois fardos de uma colheita medíocre, e um fardo de uma colheita ruim foram vendidos por 39 dou. Dois fardos da boa, três da medíocre, e um da ruim foram vendidos a 34 dou; e uma da boa, dois da medíocre, e três da ruim foram vendidos a 26. Qual o preço recebido pela enda de cada fardo associado a boa colheita, a colheita medíocre e a colheita ruim?” [1]

Esse problema era resolvido por uma série de técnicas aritméticas, mas pode ser equacionado da seguinte forma:

Os chineses, porém, não utilizavam e nem conheciam os sistemas.

Em 1683, o japonês Seki Kowa associa os Sistemas Lineares a algo que se parece com os determinantes, dando os primórdios da Álgebra Linear. O conceito avançou em 1693 com Leibniz, com o estudo dos determinantes, em 1729 com Colin Maclaurin com a conhecida Regra de Cramer para resolver sistemas com várias equações e várias variáveis, e, a partir desse momento foram surgindo e sistematizando a Álgebra Linear.