Pesquisamos alguns trabalhos envolvendo Números Inteiros. Dentre eles, o de Passoni (2002) intitulado (Pré-) Álgebra: Introduzindo os Números Inteiros Negativos (Mestrado em Educação Matemática da PUC-SP-2002). Passoni pesquisou as vantagens ou benefícios de se iniciar Números Inteiros por meio de problemas aditivos e propôs as representações algébricas, para crianças de 9 anos, que cursam a 3ª série do Ensino Fundamental.
Durante essa pesquisa Passoni usou problemas aditivos já propostos em um outro trabalho por Vergnaud (1976). O trabalho procurou mostrar que esses alunos podem resolver problemas com mais facilidade se for introduzido o conceito dos Números Inteiros, ressaltando suas representações algébricas.
O autor elaborou, então, uma seqüência de atividades, fundamentada na teoria de registros de representação semiótica de Raymond Duval, com base nos problemas de Vergnaud.
Segundo Passoni (2002), os resultados foram positivos, e afirma: “Temos convicção de que esse procedimento propiciou aos alunos a compreensão dos conceitos e algoritmos estudados” (p. 203).
Capítulo 3 – Análise de Propostas de Ensino do Conceito de Números Inteiros Renata Siano Gonçalves
44 Há ainda o trabalho que aborda números relativos de Jahn, PUC (1994) intitulado “Construção e Estudo do Funcionamento de um Processo de Ensino sobre o Caso Aditivo”. Essa pesquisa foi realizada com alunos de 5ª série de uma escola particular de São Paulo, sendo que essas crianças não tinham visto ou entrado em contato com números relativos na escola.
A pesquisa teve por objetivo a aprendizagem das operações aditivas em Z por meio de uma engenharia didática1, dando sentido a estes números pela
passagem do conhecimento espontâneo para o formal.
A problemática a que Janh (1994) se refere é que o início da álgebra na 6ª série, quando se apresenta equação do 1º grau, é o momento em que as incógnitas são introduzidas e inicia-se um trabalho de resoluções de equações e para que haja sucesso nesse trabalho, exige-se uma compreensão dos números inteiros e de operações com os mesmos.
A autora salienta ainda a importância da contextualização, ressaltando que os alunos erravam menos quando os exercícios estavam contextualizados. Nessa dissertação, Jahn comenta sobre as concepções dos alunos diante dos números inteiros. Ressalta que os números naturais sempre são representados por objetos e modelos empíricos, o que não acontece com os números inteiros.
Jahn comenta que:
A subtração sempre é abordada através de uma única situação, a de “tirar”, “retirar”, fazendo-se pouca alusão à subtração enquanto diferença entre dois números, isto é, em x – y qual deve ser o número que somado a y resulte x; numa subtração o subtraendo é sempre menor ou igual ao minuendo, não se pode subtrair mais do que se tem;
numa subtração o resultado sempre é menor que o minuendo (subtrair é diminuir)
numa multiplicação o produto sempre é maior que os fatores (multiplicar é aumentar)
[...] na resolução de problemas há uma valorização de palavras-chaves tais como: ganhou, perdeu, vendeu, etc. enquanto indicativos das operações a serem efetuadas, o que vem dificultar a resolução daqueles que exigem aplicação de operações inversas. (1994, p. 48)
1
Engenharia didática: [...] um conjunto de seqüências de atividades em classe, concebidas, organizadas e articuladas num determinado tempo, de modo coerente por um professor-engenheiro para realizar um projeto de aprendizagem para uma certa população de alunos. (DOUADY, 1993, p. 2)
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Ela relata ainda que o objetivo do trabalho foi alcançado na medida em que a engenharia didática apresentada proporcionou ao aluno uma boa concepção de números relativos e a evolução desses números enquanto operadores no caso aditivo.
Em suas conclusões a autora ressalta que é necessário um número maior de sessões para o amadurecimento e utilização de uma representação que a princípio é complexa e distante para os alunos.
Encontramos também a pesquisa realizada pela professora Maria Auxiliadora B. A Megid intitulada Construindo matemática na sala de aula: uma experiência com os números relativos. Como o próprio título ressalta, a autora propôs situações problemas envolvendo números negativos para alunos da 6ª série do ensino fundamental.
Em sua pesquisa, apresenta os números relativos com diferentes situações problemas envolvendo o cotidiano do aluno. Os problemas escolhidos foram:
ATIVIDADE 1 - Em qual cidade, de acordo com o mapa abaixo, a temperatura mínima foi mais baixa? E em qual a máxima foi mais alta? Diga qual foi a variação entre essas duas temperaturas.
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46 Em suas análises sobre as respostas dos alunos diante desses problemas, ressaltou alguns pontos:
Nesse problema todos os grupos responderam acertadamente qual foi a cidade teve a temperatura mínima e a máxima.
Nenhum dos alunos representou corretamente as variações das temperaturas em linguagem matemática, a operação de subtração, isto é: 23 - (- 2) = 23 + 2 = 25.
ATIVIDADE 2 - A seguir, há duas tabelas de fusos horários. Observando- as, responda: Quando são duas horas em Brasília, que horas são em:
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Nessa atividade, todos os alunos tiveram muita facilidade em responder. Todos acertaram.
ATIVIDADE 3 – a tabela seguinte descreve a situação dos países antes da Copa América. Significado das abreviações: J=Jogos; V=Vitórias; E=Empates; D=Derrotas; GP=Gols Pró (feitos pelo time); GC=Gols contrários; SG=Saldo de Gols.
a) Por que o equador está em 9º lugar, se fez mais gols que os concorrentes anteriores?
b) Como se faz para conseguir o saldo de gols de um time? Dê exemplos. Figura 3 – Atividade: Situação dos países antes da Copa América (p. 154)
Nessa 3ª atividade, as meninas tiveram mais dificuldades que os meninos, talvez pelo fato de não conseguirem calcular o número de gols. A professora ressalta que se surpreendeu pela falta de interesse das meninas pelo futebol. Os meninos ajudaram as meninas nesta fase.
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48 ATIVIDADE 4 - Depois de observar o quadro seguinte, faça um comentário, destacando quais foram os pontos que mais lhe chamaram atenção e diga qual a interpretação que você dá para a situação das contratações e demissões nos últimos dois anos.
Figura 4 – Atividade: Contratações e Demissões nos últimos dois anos (p. 155)
Nessa atividade os alunos responderam que o maior número de demissões havia acontecido em setembro. A autora relata que procurou abordar esse assunto em sala, mas não teve muito sucesso, os alunos não se interessaram sobre o tema.
ATIVIDADE 5 – Um construtor está encomendando um elevador para o prédio que acabou de construir. Este edifício tem 13 andares, sendo que dois deles ficam no subsolo e servirão para a garagem, além do andar que está no nível da rua onde ficará a portaria e o salão de festas. Dê sugestões para o quadro dos andares desse elevador. Faça desenho. (p. 155)
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Nessa última atividade os desenhos e suas justificativas foram de diversas formas descritas. Segundo a professora, esse problema foi importante para auxiliar a apresentação da reta numérica.
Após a aplicação das atividades, a professora Maria Auxiliadora discutiu-as em sala com os alunos. Fazendo-os refletir sobre as respostas apresentadas por eles. Ela ressalta que diante das discussões, das dúvidas levantadas pela classe antes de responder, ela perguntava se alguém tinha explicação para o problema levantado, abrindo assim a possibilidade para discussão. Os alunos se envolveram tornando o assunto mais significativo. A autora ressalta a importância do mediador saber o momento propício para institucionalizar o objeto matemático estudado.
Diante de suas considerações sobre as atividades, ressalta a importância da escolha de problemas, pois livros didáticos e professores apresentam situações-problema que consideram fazer parte do cotidiano do aluno. Ela ressalta a importância em abordar, assuntos que estão à nossa volta, porém não pode faltar para o mediador a percepção adequada da escolha das atividades que pertence ao universo percebido do aluno.
Após a aplicação e discussões dos problemas é que em sua experiência introduziu as operações com números inteiros, discutindo e associando as situações-problema anteriores.
Em suas experiências a Profª Maria Auxiliadora também ressalta a utilização de materiais concretos, atividades com jogos, atividades envolvendo situações do cotidiano-recortes de jornais, interpretação de gráficos, construção de tabelas e painéis, juntamente com o professor desenvolvendo seu papel de mediador de não lhes dar a resposta pronta, mas instigando-os a buscar, junto com os outros, as soluções ou saídas para os questionamentos.
Outro trabalho que gostaríamos de relatar é o trabalho intitulado Antecipação do Ensino dos Números Inteiros Negativos para a Quarta série do primeiro Grau: Um estudo das possibilidades de Solange dos Santos Nieto (1994) dissertação de mestrado pela Universidade Mackenzie em São Paulo.
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50 Este trabalho visa verificar se os alunos de séries anteriores à 6ª série do 1º grau, já se encontram preparados para assimilar os conceitos referentes aos Números Inteiros.
A pesquisa realizada por Nieto (1994) apóia-se na “Matemática Informal” aprendida fora do processo educacional, estudada por Carraher e Schliemann (1982) em suas pesquisas. Os autores separam seus testes em:
1-) Teste Formal: com lápis e papel resolviam operações aritméticas sem qualquer contexto e problemas que envolviam as mesmas operações aritméticas.
2-) Teste Informal: o sujeito era avaliado através de questões orais na própria barraca ou carrinho no qual ele trabalhava.
De acordo com os resultados desta pesquisa, Nieto (1994) ressalta que os alunos envolvidos na pesquisa de Carraher e Schliemann obtiveram 98,2% dos problemas resolvidos corretamente no teste informal e no teste formal apenas 36,8% resolveram corretamente as operações aritméticas, enquanto que nos problemas tiveram uma porcentagem de 73,7% de acerto.
Diante dos resultados do teste informal em que as crianças souberam resolver corretamente problemas relacionados com o seu cotidiano, Nieto (1994) ressalta a importância dos professores trabalharem problemas contextualizados antes das operações aritméticas isoladas de qualquer contexto.
Segundo Nieto (1994), o quadro não se repete quando estas crianças entram para a escola, estas diferenças se revertem fazendo com que elas passem a agir passivamente. Essa atitude só vem reforçar o conceito de o quanto à escola está afastada dessa clientela.
Nieto (1994) relata que o currículo escolar é considerado deficiente, pois não favorece o desenvolvimento crítico dos alunos. Nieto apud Mizukami (1986)
A escola é vista como “templo da sabedoria”. Não há preocupação com a formação do pensamento. O professor é agente, e o aluno, o ouvinte. A avaliação é medida através das informações que se conseguem reproduzir; enfim, a memorização é o elemento primordial. (p. 7)
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Os dados da pesquisa de Nieto foram coletados em três escolas diferentes. A escola A, representado por alunos de uma Escola Particular com turmas de 1ª à 4ª série, pertencentes a uma classe social média alta. A escola B é representada por alunos de uma Escola Pública Estadual de 1º e 2º graus com crianças de 1ª à 4ª série, pertencentes a uma classe social média. A escola C é representada por alunos de uma Escola Pública Municipal, pertencente a uma classe social média baixa.
A faixa etária das crianças envolvidas nesta pesquisa é de 10 e 12 anos. O material utilizado para a realização desta pesquisa foi no total 116 questionários aplicados aos grupos de alunos de 4ª série. Esse questionário foi distribuído da seguinte forma: 22 questionários para os alunos que representavam o grupo A, 57 questionários para os representantes do grupo B e 37 questionários para os alunos do grupo C.
Apresentaremos a seguir um dos problemas aplicados a esses alunos. A questão oito solicitava das crianças a representação das palavras “ganho” e “perda”, associados a símbolos matemáticos:
P(8) Com símbolos matemáticos, represente:
Ganhei cinco bolinhas _____________ Perdi cinco bolinhas ______________
Figura 5 – Atividade: Ganho e Perda
Segundo Nieto (1994), esses termos são comuns às crianças, pois fazem parte de seu cotidiano, como por exemplo, em jogos de quadra, em jogos de
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videogame, para saber a classificação do time de sua preferência, que é dada através de pontos ganhos e perdidos.
Nos resultados, conclui-se que nas três escolas as porcentagens de utilização dos símbolos, (+) para representar ganho e (-) para representar perda esteve acima de 54%.
Nieto (1994) após os resultados de sua pesquisa conclui apresentando argumentos quanto à possibilidade de antecipação da aprendizagem dos números negativos. Diante dos dados coletados, ressalta-se que as crianças já demonstram possuir conhecimentos sobre os números negativos.
Eles conceituam um número como quantidade, ou explicam com exemplos, o zero é o menor número que conhecem, porém duas escolas, A e B, acham possível ter-se menos do que nada.
Utilizam-se símbolos adequados para representar “perdas” e “ganhos” e dão conhecimento da noção de oposto como mostra os resultados do problema nove.
Nieto (1994) afirma que diante dessas conclusões as crianças investigadas podem aprender números negativos.
Diante dos trabalhos apresentados podemos perceber que tanto o resultados da pesquisa apresentada no trabalho do Passoni (2002) como no trabalho da Jahn (1994) e de Nieto (1994) verifica-se que as crianças já trazem consigo uma experiência com os números associados a jogos, reportagens, leituras que envolvem números negativos, enfim os trabalhos mostram a importância de se trabalhar com Números Inteiros antes das séries iniciais do Ensino Fundamental II.
O trabalho da Maria Auxiliadora como pesquisadora e professora nos permite ressaltar a importância da pesquisa no trabalho do professor.
C
A P Í T U L O 4
P R O C E D I M E N T O S M E T O D O L Ó G I C O S
Neste capítulo apresentaremos os nossos sujeitos de pesquisa, o instrumento diagnóstico e análises das atividades desenvolvidas pelos alunos.