Num prédio onde mora a tia de Ana há 10 andares e 2 subsolos. No painel do elevador aparecem números negativos, positivos e zero. A garagem usada pela tia de Ana fica no segundo subsolo. Quantos andares elas teriam que descer se fossem do décimo para o segundo subsolo? Justifique sua resposta.
Diante dessa situação-problema consideraremos correta a resolução representada da forma: segundo subsolo por (-2) e o décimo andar por (+ 10), resolvendo -2 – (+10) poderá obter -12, mas não consideraremos incorreta caso o aluno faça a soma dos andares como (+10) + (+2) obtendo como resposta “desceram 12 andares”.
No primeiro caso, o aluno faz a conversão do enunciado do problema no registro da língua natural para o registro simbólico numérico, quando representa o segundo subsolo por (-2) e o décimo andar por (+10). No segundo caso, o aluno poderá pensar no deslocamento dos andares desconsiderando os sinais, mas obtendo como resposta “desceram 12 andares”.
Vamos apresentar um panorama geral dos resultados do problema 2.
Alunos Problema 2 Bárbara Luiz Fabiana Talita Yandra Laís Alan Andressa Porcentagem de acertos 37,5%
Legenda: Correto Incorreto Tabela 6 – Resultados do Problema 2
Capítulo 5 – Análise dos Protocolos dos Alunos Renata Siano Gonçalves
72 Entre os erros mais freqüentes do 2º problema, vamos apresentar alguns protocolos que melhor ilustrem esses erros.
Aluna: Bárbara
Figura 11 - Resolução realizada no Aplusix
Na resolução desse problema, podemos dizer que provavelmente a aluna somou 10 andares mais dois andares (subsolos), obtendo como resultado 12 andares. Analisando o resultado obtido: 10, provavelmente subtraiu 2 andares (subsolos) dos 12 andares que já havia calculado. Essa foi uma suposição feita por nós pesquisadores.
Resolvemos fazer uma entrevista para verificar se realmente a aluna pensou dessa forma.
Diálogo entre a pesquisadora e a aluna:
Pesquisadora: Como você pensou para encontrar o resultado 12?
Bárbara: Ah, o prédio tem 10 andares acima do térreo e duas garagens, então tem 12 andares.
Pesquisadora: E o resultado 10 como você encontrou?
Bárbara: Se no prédio tem 10 andares e 2 garagens, então desceu 10 andares.
Ela usou a ferramenta para justificar seu resultado
Capítulo 5 – Análise dos Protocolos dos Alunos Renata Siano Gonçalves
No estudo dos demais protocolo, verificou-se que além desse há mais 37,5% dos protocolos com a mesma resposta.
A resposta apresentada por “10” deve–se provavelmente pelo fato do aluno, na escola, estar habituado a realizar uma operação matemática mesmo não entendendo o problema proposto.
Segundo Silva (2002), a relação professor-aluno está subordinada a muitas regras e convenções que funcionam como se fossem cláusulas de um contrato. Esse conjunto de cláusulas, que estabelecem as bases das relações que os professores e os alunos mantêm com o saber, constitui o chamado contrato didático.
BROUSSEAU apud SILVA estabelece que:
Chama-se contrato didático o conjunto de comportamentos do professor que são esperados pelos alunos e o conjunto de comportamentos do aluno que são esperados pelo professor (...). Esse contrato é o conjunto de regras que determinam, uma pequena parte explicitamente mas sobretudo implicitamente, o que cada parceiro da relação didática deverá gerir e aquilo que, de uma maneira ou de outra, ele terá de prestar conta perante o outro. (1986, p. 43-44)
Observando os dois problemas resolvidos por esta aluna, podemos notar que na análise do 1º problema, ela não teve dificuldades em fazer a conversão do enunciado do problema, do registro de representação da língua natural para o registro de representação numérico e provavelmente também não teve dificuldades em operar com os inteiros. No segundo problema, não associou as garagens abaixo do térreo com os sinais negativos. Podemos observar essa informação por meio dos cálculos e por meio da sua resposta dada no registro de representação linguagem natural.
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74 Aluno: Luiz
Figura 12 - Resolução realizada no Aplusix
A resolução apresentada pelo aluno na forma numérica 10 + 2 = 12 e em seguida, explicitação na língua natural “Ela desceu 10 andares e mais 2 subsolos” justificando seu raciocínio na resolução do problema. Parece-nos que o aluno considerou que além de ter descido os 10 andares até o térreo essas pessoas tiveram que descer mais dois andares para chegar onde desejavam, o que pode ser representado pela adição como fez o aluno.
Diante dos protocolos estudados, além desse, tivemos mais 25% com o mesmo resultado. Diante desse resultado, podemos dizer que esses alunos não realizaram a conversão do enunciado do problema, associando os andares abaixo do térreo como negativos, mesmo tendo como resposta 12 andares. Somaram 10 andares acima do térreo e mais dois abaixo do térreo obtendo o resultado 12.
Salientamos que nenhum aluno usou os sinais citados no enunciado do problema para representar os andares do prédio.
Podemos dizer que, a maioria dos protocolos estudados apresenta dificuldades na mudança de registro, ou seja, fazer a conversão do enunciado do problema no registro de representação da língua natural para o registro de representação numérica.
A este respeito Duval (2003) nos diz que:
Numerosas observações nos permitiram colocar em evidência que os fracassos ou os bloqueios dos alunos, nos diferentes níveis de ensino, aumentam consideravelmente cada vez que uma mudança de registro é necessária ou que a mobilização simultânea de dois registros é requerida.
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No caso de as conversões requeridas serem não-congruentes, essas dificuldades e/ou bloqueios são mais fortes. Falando de outra maneira, o sucesso, para grande parte dos alunos em matemática, ocorre no caso dos monorregistros. Existe com que um “enclausuramento” de registro que impede o aluno de reconhecer o mesmo objeto matemático em duas de suas representações bem diferentes. Isso limita consideravelmente a capacidade dos alunos de utilizar os conhecimentos já adquiridos e suas possibilidades de adquirir novos conhecimentos matemáticos, fato esse que rapidamente limita sua capacidade de compreensão e aprendizagem. (p. 21)
Como salientamos nas palavras de Duval(2003), é muito importante envolver o aluno em atividades que permitem articular ao menos dois registros de representação diferentes, isto favorece a compreensão em matemática.
Aluna: Yandra
Figura 13 – Resposta aluna Yandra
De acordo com os protocolos estudados podemos dizer que somente essa aluna teve como resposta 11. Durante as investigações, pedimos inúmeras vezes que não esquecessem de justificar suas respostas. Essa aluna não recorreu a outro recurso, como por exemplo, uma folha de papel para rascunho, ou outro material do nosso conhecimento, para a resolução do problema, usou somente o programa Aplusix.
Diante de sua justificativa “Ela não precisa descer o andar dela ela precisa descer onze”, fizemos uma entrevista com a aluna para verificar como pensou inicialmente.
Diálogo entre a pesquisadora e a aluna:
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76 Yandra: Se o elevador tem 10 andares mais duas garagens, então a soma
dos andares dá 12. Pesquisadora: E o resultado 11?
Yandra: Elas desceram 11 andares por que não precisa contar o andar onde elas estão.
Podemos dizer que essa aluna não reconhece o décimo andar como posição inicial, de acordo com nossas experiências essas respostas acontecem quando envolvemos atividades com a reta numérica.
Para ilustrar melhor o que acabamos de dizer, daremos um exemplo de uma situação problema extraído da pesquisa da dissertação de Todesco (2006, p. 167).
Figura 14 – Problema proposto por Todesco (2006, p.)
Podemos verificar na resposta do item b, essa natureza de erro. Aluna: Andressa
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Percebemos diante do rascunho feito pela aluna que ela teve a necessidade de representar o problema fazendo uma conversão no registro figural, não algoritmizável, representando os andares de um prédio.
Podemos ressaltar que o programa Aplusix possui suas limitações nesse aspecto, pois não disponibiliza de um ambiente em que o aluno represente seu raciocínio por meio de figuras de uma forma espontânea e criativa.
Diante da justificativa dessa aluna “porque há dez andares no prédio”. Podemos dizer que possivelmente não associou garagens ou subsolos como andares de um prédio.
Diante dessas respostas, vale a pena comentar que muitas vezes, nós educadores, preparamos atividades que nos parecem ser familiares para nossos alunos, pensando que os mesmos por morar nas grandes cidades não teriam dificuldades em resolver uma situação-problema como esta. Acredito que a maioria desses alunos já utilizou um elevador, mas isso não significa que associem todas as situações-problema do dia-a-dia com conteúdos estudados em sala de aula.
Diante deste contexto podemos citar Megid:
Os professores geralmente julgam que é bom explorar o “cotidiano”, pois os alunos já têm um conhecimento sobre ele. Isso traz vitalidade às discussões, permitindo explorar melhor as coisas ao nosso redor. No entanto, falta-nos a percepção sobre muitos aspectos deste cotidiano. (2003, p.167)
Mesmo que este tipo de problema seja uma sugestão para introdução ao estudo dos números inteiros, cabe aos professores preparar situações didáticas3
que permitam o aluno fazer conexões com situações cotidianas e conteúdos escolares.
3
Situações didáticas: é um conjunto de relações estabelecidas explicitamente e ou implicitamente entre um aluno ou um grupo de alunos, num certo meio, compreendendo eventualmente instrumentos e objetos, e um sistema educativo(o professor) com a finalidade de possibilitar a estes alunos um saber constituído ou em vias de constituição (...) o trabalho do aluno deveria, pelo menos em parte, reproduzir características do trabalho científico propriamente dito, como a garantia de uma construção efetiva de conhecimentos pertinentes. (FREITAS, 2003, p. 67)
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78 Diante dos protocolos estudados podemos ressaltar que 37,5% tiveram respostas consideradas corretas. Eles realizaram a operação de adição, somando 10 andares com mais 2 do subsolo obtendo 12 andares e responderam que “desceram 12 andares”. Nenhum aluno representou com sinal negativo o 2º subsolo (-2) e para o 10º andar (+10), fazendo a operação -2-(+10) obtendo -12.
Damm esclarece melhor esse tipo de dificuldade que os alunos enfrentam nos problemas aditivos, ela nos revela que a presença ou ausência de verbos antônimos, isto é, de polarização contrária (ganha/perde, sobe/desce) no enunciado, reforça ainda mais a não-congruência num problema aditivo.
Um problema aditivo é estritamente congruente quando, de um lado, existe a correspondência e, do outro, não exige a inversão e os verbos que fornecem a informação numérica e exprimem uma transformação forem antônimos, as passagens a serem efetuadas podem ser não-congruentes. Os resultados de várias pesquisas efetuadas, após o trabalho de Vergnaud e Durand (1976), mostram que os problemas congruentes e não- congruentes correspondem a duas categorias de problemas separados por uma barreira longa e difícil de ser ultrapassada para a grande maioria dos alunos da escola primária, e mesmo para aqueles em níveis de escolarização mais adiantados. (2003, p. 42)
Diante dos resultados dos protocolos dos alunos dos dois problemas podemos ressaltar a importância de trabalhar com no mínimo dois registros de representação para o estudo da compreensão em matemática.
Segundo Duval,
[...] não podemos analisar as produções dos alunos unicamente por meio de critérios matemáticos, procurando reconstruir de maneira mais ou menos hipotética os procedimentos utilizados. Os mecanismos de compreensão não ressaltam somente justificações feitas pelos alunos – eles dependem de um funcionamento cognitivo que se deve e pode descrever. (2003, p. 24)
Diante dos protocolos estudados tanto aqueles realizados na folha de papel como no ambiente computacional nos permitem verificar as dificuldades encontradas pelos alunos nas resoluções dos problemas envolvendo números Inteiros.
Ressaltando as resoluções dos protocolos do primeiro problema, podemos concluir que, mesmo a professora da classe não tendo abordado o assunto
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envolvendo situações-problema, a maioria dos alunos, mais de 50% fizeram a conversão do enunciado do problema do registro de representação na língua natural para o registro simbólico numérico. Podemos ressaltar o índice de acertos pelo fato de ser um problema com enunciado de um jogo lúdico em que os alunos se confrontam com situações semelhantes em seu cotidiano.
Observando o tratamento realizado no registro simbólico numérico dos protocolos estudados do 1º problema, podemos dizer que não tivemos um mesmo desempenho na conversão. Os resultados confirmam menos de 50% de acertos na realização dos cálculos com as operações de adição e subtração envolvendo os Números Inteiros. Podemos concluir que é indiscutível a importância de retomar o conteúdo dos Números Inteiros, pois os resultados mostram as dificuldades que os alunos encontraram em operar com esses números.
Nos resultados dos protocolos estudados do 2º problema, podemos concluir que os alunos tiveram dificuldades em relacionar os andares do prédio com os Números Inteiros, acreditamos que por esses alunos morarem em residências térreas e provavelmente o contato com elevadores e prédios não fazerem parte do dia-a-dia deles pode ser a origem dessas dificuldades, mas por outro lado 37,5% dos protocolos mostram que os alunos souberam trabalhar o conceito de deslocamento, quando somaram +10 com +2 e obtiveram +12 e suas respostas foram “desceram 12 andares”.
Não pudemos obter uma conclusão mais refinada como no 1º problema em relação ao tratamento no registro numérico do 2º problema, pelo fato dos dados do problema não serem favoráveis para esta análise, a maioria dos alunos respondeu esse problema por meio do registro de representação na língua natural.
Como já mencionado nesse trabalho, a dissertação de Nieto (1994), documentos como PCN (1998) e outras dissertações e artigos relatam que os alunos possuem um maior desempenho nas atividades quando são apresentadas de uma forma contextualizada.
C
O N S I D E R A Ç Õ E S
F
I N A I S
O objetivo desse trabalho foi propor problemas no registro de representação na língua natural envolvendo operações de adição e subtração com Números Inteiros por meio de um ambiente computacional, utilizando um programa de álgebra chamado Aplusix.
Nosso trabalho foi de natureza experimental e de acordo com nossos estudos está focalizado no processo de ensino-aprendizagem.
O trabalho teve como aporte teórico a teoria dos registros de representação semiótica de Raymond Duval que nos ajudou a direcionar a análise das resoluções e resultados apresentados nos protocolos. Essa teoria nos permitiu realizar o estudo da conversão do enunciado do problema no registro da língua natural para o registro simbólico numérico, e os tratamentos apresentados pelos alunos por meio dos seus protocolos.
Utilizamos as ferramentas do programa Aplusix para editarmos os problemas para os alunos resolverem e para analisarmos os resultados obtidos.
Durante nosso trabalho percebemos a motivação e o envolvimento dos alunos em trabalharem no ambiente computacional.
Diante da proposta em trabalhar com o computador, tivemos a intenção de colaborar com o processo de ensino-aprendizagem dos Números Inteiros, proporcionando desta forma, mais uma ferramenta para envolver os alunos, motivá-los e instigá-los nesse percurso à aprendizagem e favorecer ao professor de uma certa forma a busca constante de meios favoráveis para o ensino.
Considerações Finais Renata Siano Gonçalves
Diante de um trabalho realizado com a participação de um programa educacional podemos dizer que é importante conhecer e saber utilizar com objetivo as ferramentas oferecidas por ele. Com esse propósito, disponibilizamos um manual detalhado do mesmo, o qual se encontra no apêndice desse trabalho. O tempo que disponibilizamos para a elaboração do manual do Aplusix foi de aproximadamente um ano.
Diante dos nossos estudos com o programa Aplusix podemos ressaltar algumas vantagens em trabalhar com o programa visando o processo de ensino- aprendizagem. Iniciaremos ressaltando a importância da autocorreção das resoluções dos exercícios propostos a qual favorece uma maior independência do aluno em relação ao professor; outra ferramenta que consideramos importante é a ferramenta videocassete que oferece ao professor a oportunidade em observar o processo de desenvolvimento do raciocínio obtido pelo aluno durante a resolução dos exercícios propostos; não podemos deixar de ressaltar a importância que teve em nosso trabalho a ferramenta AplusixEditor, por meio desta ferramenta é que pudemos propor atividades no registro na língua natural para a realização da nossa pesquisa.
Pudemos perceber também algumas desvantagens, ou seja, algumas ferramentas que o programa não proporciona e que sentimos falta, por exemplo: o programa não permite o uso de construções de desenhos, representações que muitas vezes os alunos precisam para expor o seu raciocínio; outra fonte que o programa poderia obter é um ambiente em que os alunos pudessem pesquisar, relacionar e comparar teorias juntamente com suas propriedades favorecendo a pesquisa e o estudo dos conteúdos selecionados pelo Aplusix.
Podemos dizer então que os programas possuem suas limitações Pachoal e Lanzoni nos dizem que:
[...] é preciso que o professor seja cuidadoso e tenha uma visão crítica sobre as limitações do uso dessas tecnologias no ensino da matemática. É importante saber o momento mais adequado para a introdução ou uso do computador, da calculadora ou de outro recurso. A leitura, a escrita com lápis e papel e os cálculos e raciocínios orais, não podem ser abandonados, pois ainda continuam sendo importantes no ensino e na aprendizagem da matemática escolar. (2006, p. 188)
Considerações Finais Renata Siano Gonçalves
82 Os autores concluem que:
A máquina mostra-se limitada, pois não substitui o intelecto humano. O computador pode, se conveniente, substituir o lápis e o papel no momento dos cálculos e dos registros, mas não fornece justificativas ou argumentos lógico-matemático para as conjecturas estabelecidas.
[...] o computador pode, de um lado, trazer vantagens ao ensino e à aprendizagem matemática do aluno, mas, de outro, não dispensa a presença do professor, nem as explorações e o trabalho com lápis e papel. (2006, p. 186-187)
Antes de iniciar nossos estudos com esses alunos, já tínhamos o conhecimento de que a professora da classe já tinha trabalhado exercícios envolvendo Números Inteiros, mas não exercícios contextualizados. Justamente foi isto que nos motivou a realizar uma pesquisa com resoluções de problemas, para verificarmos como os alunos resolvem problemas no registro de representação na língua natural.
Diante de vários estudos em artigos, livros, dissertação sobre problemas envolvendo Números Inteiros relata-se a importância do professor iniciar a sua proposta de ensino com situações-problema, pois sabemos que a formalização do conceito de números negativos acontece antes mesmo do período escolar, quando alguém comenta sobre temperatura abaixo de zero, em jogos que relacionam pontos ganhos e perdidos ou até mesmo em casa, quando se escuta alguém dizer sobre saldos de contas bancárias com valores negativos.
Se os Números Inteiros estão tão presentes na vida dos alunos, então porque muitos alunos têm dificuldades em trabalhar com esses números? Dificuldades estas encontradas nos alunos tanto no Ensino Fundamental como no Ensino Médio que prosseguem por vários anos no decorrer dos estudos.
Talvez uma das respostas já tenha sido apresentada no decorrer desse trabalho, como já dissemos provavelmente um dos empecilhos é o professor apresentar os Números Inteiros com atividades descontextualizadas, focalizando o ensino nos estudos das operações.
Em nossos estudos, nos deparamos com pesquisadores que sugerem propostas de introduzir os Números Inteiros antes do Ensino Fundamental II. As
Considerações Finais Renata Siano Gonçalves
pesquisas apresentadas por Nieto (1994), Passoni (2003), Todesco (2006), apresentam resultados favoráveis para a introdução do assunto antes da 6ª série.
Em nosso trabalho, de acordo com os resultados dos protocolos no 1º problema, em que o enunciado se referia a um jogo de cartas que deveriam representar os pontos ganhos pelo sinal (+) e pontos perdido pelo sinal (-), podemos dizer que a maior dificuldade dos alunos foi operar com esses números do que representar os pontos ganhos e perdidos por seus respectivos sinais. O aluno vem para a escola com uma bagagem de experiências que pode ser aproveitada e relacionada com o assunto abordado em sala de aula, favorecendo uma aprendizagem mais significativa.
Outro fator importante que detectamos em nossa pesquisa, é que nem sempre todos os problemas são familiares para nossos alunos como por exemplo: o problema dos painéis e andares de um elevador, que parece ser simples pelo fato de estarmos muito próximos do contato com elevadores, mas para muitos alunos, isto não faz parte do “mundo” em que vivem.
Diante dos resultados gerais dos protocolos das resoluções dos problemas podemos dizer que mesmo o índice de acertos do problema do “prédio” ser maior que o índice de acertos do problema do “jogo das cartas” podemos ressaltar que 56,5% dos alunos souberam fazer a conversão corretamente, relacionando os