Os problemas selecionados para esse instrumento diagnóstico são problemas aditivos2.
Damm (2003) cita dois fenômenos que devemos levar em consideração para fazer uma análise a respeito do que consiste a tarefa de resolução:
2
Problemas aditivos são aqueles nos quais os enunciados, em geral, descrevem uma situação social ou econômica muito simples (jogo de bola de gude, compra, deslocamento etc.) e a resolução pede somente a utilização das operações de adição e subtração. (Damm, 2003, p. 35).
Capítulo 4 – Procedimentos Metodológicos Renata Siano Gonçalves
1. O primeiro fenômeno é que, por exemplo, para 5+3=8, podemos ter diferentes enunciados de problemas, seja porque as situações extramatemáticas evocadas no texto (jogo, compra, deslocamento etc.) são diferentes, seja pelo fato de que em uma mesma situação, temos descrições que fornecem mais ou menos explicitamente as informações pertinentes;
2. O segundo fenômeno é que a resolução de um problema exige uma conversão entre dois registros de representação, isto é, que o aluno passe do texto à escrita da operação aditiva a ser efetuada. Ora, para efetuar essa conversão é necessário:
• Selecionar, no enunciado, os dados pertinentes para a resolução: os números indicados, os valores que lhes são atribuídos lexicamente; • Organizar esses dados de tal forma que a operação matemática a ser
efetuada (no caso, adição e subtração) se torne evidente. (p.36) A autoracita ainda que:
Para fazer essa conversão, isto é, para selecionar os dados pertinentes dos problemas e para organizar de forma a obter a operação de adição ou subtração a ser efetuada, é preciso dispor, implícita ou explicitamente, de uma representação. Essa representação deve, ao mesmo tempo, permitir extrair os dados pertinentes e fornecer uma apreensão global da situação descrita, de tal forma que a conversão do texto (enunciado) no tratamento aditivo venha a ser feita naturalmente. (2003, p.36)
Decidimos propor essas situações-problema, pois é necessário que os alunos articulem as informações dadas no problema, Segundo Duval (2003), nos domínios ou nas fases da pesquisa em uma resolução de problema, um registro pode aparecer explicitamente privilegiado, mas deve existir sempre a possibilidades de passar de um registro a outro. Ele também tece comentários sobre a importância dessas transformações de representações:
Do ponto de vista matemático, a conversão intervém somente para escolher o registro no qual os tratamentos a serem efetuados são mais econômicos, mais potentes, ou para obter um segundo registro que serve de suporte ou de guia aos tratamentos que se efetuam em um outro registro.Em outros termos, a conversão não tem papel intrínseco nos processos matemáticos de justificação ou de prova, pois eles se fazem baseados num tratamento efetuado em um registro determinado, necessariamente discursivo (...). É por isso que a conversão não chama a atenção, como se se tratasse somente de uma atividade lateral, evidente e prévia à “verdadeira” atividade matemática. Mas, do ponto de vista cognitivo, é a atividade de conversão que, ao contrário, aparece como a atividade de transformação representacional fundamental, aquelas que conduz aos mecanismos subjacentes à compreensão. No entanto, essa diferença entre o estrito ponto matemático e o ponto de vista cognitivo não é muitas vezes levada em conta nas pesquisas em didática e no ensino de matemática. É preciso, então, se deter sobre aquilo que torna absolutamente necessário levar em conta o ponto de vista cognitivo nas
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60 análises das aprendizagens e naquelas dos processos de compreensão. (2003, p. 16)
Elaboramos questões fazendo uso do registro de representação semiótica na linguagem natural. Isso se justifica, pois há pesquisas que relatam que o aluno não consegue resolver problemas por não compreender o enunciado.
Damm afirma que:
As dificuldades, não são referentes a aspectos numéricos e pragmáticos, mas que elas se encontram na compreensão das relações de ordem temporal, indicadas no enunciado e no sentido dos verbos portadores de uma informação numérica e sobre os quais aparentemente se concentram prioritariamente as dificuldades. (2003, p. 37)
É necessária a preocupação dos professores no ensino da Matemática com relação linguagem na elaboração de um problema.
De acordo com este contexto, Brito nos diz que:
A compreensão do problema surge a partir da leitura da situação proposta que precisa apresentar lógica e coerência para o aprendiz.
Após a compreensão do enunciado verbal e representação do problema, o solucionador forma o espaço de solução de problema, ou seja, o conjunto de todas as operações possíveis sobre o estado inicial do problema, com a finalidade de encontrar o estado final desejado. As operações que o sujeito realiza sobre as informações obtidas no enunciado do problema dependem das estratégias utilizadas pelo sujeito na solução. (2006, p. 34) (grifo do autor)
O primeiro problema proposto apresenta dois jogadores que realizam quatro jogadas cada. A questão desse problema é responder quem foi o vitorioso, sabendo-se que o vencedor será aquele que fizer o maior número de pontos.
O objetivo desse problema é observar se os alunos associam os pontos ganhos como positivos e os pontos perdidos como negativos, ou seja, se fazem a conversão da linguagem natural para a numérica e verificar se os mesmos sabem operar com números inteiros.
Segundo Damm (2003, p. 41) o ponto importante nessa passagem do texto, sobre a escrita do tratamento aditivo é a escolha da operação “+” ou “-“. A evidência da dificuldade dessa escolha vai depender do caráter congruente ou não- congruente da passagem a ser efetuada.
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Diante desse contexto Duval nos diz que:
Para analisar a atividade de conversão, é suficiente comparar a representação no registro de partida com a representação terminal no registro de chagada. Esquematicamente, duas situações podem ocorrer. Ou a representação terminal transparece na representação de saída e a conversão está próxima de uma situação de simples codificação - diz-se então que há congruência -, ou ela não transparece absolutamente e se dirá que ocorre a não-congruência. (2003, p. 19)
Nas possíveis resoluções do primeiro problema apresentadas nos protocolos dos alunos, podemos esperar algumas respostas como: a soma dos valores absolutos dos pontos apresentados, sendo desconsiderados os sinais positivos e negativos dos números inteiros, como está exemplificado abaixo:
• Jogadas de Paula: perdeu 5 por +5 , ganhou 8 por +8, ganhou 9 por +9 e na última perdeu 9 por +9, obtendo como resultado a soma de todas as jogadas obtendo 31 pontos.
• Jogadas de Fabrício: ganhou 3 por +3, perdeu 6 por +6, ganhou 7 por +7 e na última jogada perdeu 9 por +9.
Podemos esperar também resoluções em que a passagem do texto escrito na linguagem natural para a Aritmética seja feita corretamente, mas podem encontrar dificuldades em operar com os Números Inteiros.
Segundo a professora da classe, nas atividades propostas por ela em sala, na apresentação desse assunto, ela não abordou situações-problema, mesmo assim acreditamos que os alunos por conviverem em situações semelhantes em seu cotidiano, poderão fazer a conversão do enunciado do problema representado no registro da língua natural para o registro simbólico numérico.
Diante desse contexto podemos citar os PCN:
Os números inteiros podem surgir como uma ampliação do campo aditivo, pela análise de diferentes situações em que esses números estejam presentes. Eles podem representar diferença, “falta”, orientação e posições relativas. As primeiras abordagens dos inteiros podem apoiar-se nas idéias intuitivas que os alunos já têm sobre esses números por vivenciarem situações de perdas e ganhos num jogo, débitos e créditos bancários ou outras situações. (1998, p. 66)
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62 O segundo problema aborda uma situação de deslocamento, em que duas pessoas se concentram no 10º andar e se deslocam para o segundo subsolo. O enunciado relata sobre o painel de um elevador onde aparece número positivo e negativo, sendo o andar térreo, indicado por zero.
O propósito é verificar se o aluno associa a ordem dos andares do prédio com os números inteiros, ou seja, se ele representa os andares acima do térreo com números positivos, o térreo como zero e os andares relativos às garagens com sinais negativos.
Duval apud Todesco nos diz que:
A aprendizagem matemática não consiste em uma construção de conceitos pelos estudantes, mas na construção da arquitetura cognitiva do sujeito epistêmico. Assim para que esses alunos consigam enfatizar o processo de aprendizagem é necessário que o mais cedo possível, que se apropriem de vários registros de representação para mudança de uma situação matemática. (2006, p. 125)
Nesse exercício esperamos que os alunos organizem e estabeleçam a posição relativa dos números. Alguns alunos podem até pensar em subtrair os números representados pelos andares como -2-(+10)=-12 e fazer a correspondência de que tal resultado representa descer 12 andares. Acreditamos que essa resposta aparecerá com pouca freqüência, pois teriam que associar os números que representam os andares abaixo do subsolo com números negativos e os números que representam os andares acima do térreo com números positivos e efetuar uma operação iniciando com dados do final do enunciado do problema.
Outros podem somar 10 andares com os 2 da garagens e apresentar o resultado 12, representando na forma de escrita “Elas desceram 12 andares”, o sinal negativo pode estar associado ao verbo descer. Essa resposta deve aparecer com mais freqüência, pelo fato de ter dez andares acima do zero e dois andares abaixo do zero, onde estão as garagens.
Podemos obter também como resposta esperada o aluno subtrair 2 de 10 andares, chegando ao resultado 8 andares.
C
A P Í T U L O 5
A N Á L I S E D O S P R O T O C O L O S D O S A L U N O S
Neste capítulo, descreveremos nossos resultados. Faremos uma análise das resoluções dos problemas realizados pelos alunos, orientados por nosso aporte teórico.
Como já citamos, Duval nos diz que:
os tratamentos são transformações de representações dentro de um mesmo registro:por exemplo, efetuar um cálculo ficando estritamente no mesmo sistema de escrita ou de representação dos números (...).
As conversões são transformações de representações que consistem em mudar de registro conservando os mesmos objetos denotados: por exemplo, passar da escrita algébrica de uma equação à sua representação gráfica. (2003, p. 16)
5.1 Análises dos resultados do 1º problema