Análise a posteriori da primeira atividade

Dezessete alunos foram autorizados pelos pais e participaram da primeira atividade envolvendo a pesquisa. Estes se subdividiram em seis grupos, sendo cinco de três alunos e um com dois. A formação dos grupos foi espontânea, sem a interferência do professor que apenas limitou a quantidade máxima de três componentes por grupo. Foi utilizada uma sala ampla que permitisse o posicionamento da câmera de vídeo de forma a focalizar todos os grupos.

A atividade se iniciou como planejado. O professor, no caso, o próprio pesquisador, introduziu os trabalhos com instruções gerais, entre as quais a solicitação de que os alunos explicitassem o máximo suas idéias, evitando respostas curtas do tipo sim ou não. Entre essas instruções foi definido o tempo disponível

para resolução da atividade, como exposto nos procedimentos metodológicos. Durante a resolução dos exercícios que compunham a atividade houve uma boa interação entre os componentes dos grupos. Dos seis grupos, dois não completaram plenamente a atividade, deixando de analisar as questões finais.

Todos os grupos completaram a tabela para os valores numéricos, mas ao contrário do pré–teste nenhum grupo encontrou, nessa primeira etapa, a lei de formação da seqüência. Isso nos permite concluir que conseguimos mobilizar como ferramenta os conhecimento envolvendo estratégias de contagem. As questões do primeiro item da atividade, em que se buscava evidenciar a dependência entre a quantidade de quadradinhos, provocou a divisão de opiniões entre os grupos mas a maioria (quatro dos seis grupos), concluiu que o número de quadradinhos coloridos depende do número de quadradinhos não coloridos.

Na questão sobre quais seriam os valores que formariam os conjuntos, dois grupos evidenciaram o fato da quantidade de quadradinhos não coloridos ser definido apenas por números pares maiores que oito. Apenas um grupo uniu os pontos na representação gráfica, embora nenhum dos grupos tenha conseguido explicitar, nessa etapa, o porquê de não se unir esses pontos. Apesar de não encontrar a expressão algébrica que determina a relação entre o número de quadradinhos coloridos e não coloridos, quase todos os grupos foram unânimes em dizer que se poderia prever a quantidade de quadradinhos não coloridos sabendo o número de quadradinhos coloridos. O motivo dessa certeza ficou evidenciado, na segunda etapa, quando os alunos expuseram verbalmente a regra utilizada para definir o número de quadradinhos não coloridos, quando se tem vinte quadradinhos coloridos. De acordo com os alunos “basta multiplicar vinte por dois e somar os seis que estão na ponta”. Percebe-se que os alunos tinham todas as informações para elaborar uma expressão algébrica, só não conseguiam representá-la. Isto nos permite concluir que não conseguimos mobilizar, plenamente, os conhecimentos relacionados às representações algébricas. Como vimos em nossa análise histórica, as dificuldades de se representar uma sentença matemática foi um dos grandes obstáculos que tiveram que ser superados para que o conceito de função fosse formalizado. Este obstáculo parece estar presente nos alunos participantes dessa pesquisa.

Finalizada a primeira etapa da atividade demos início à segunda parte, coordenada pelo professor, que buscou instigar os alunos no sentido de exporem

suas conclusões na resolução da atividade. O objetivo claramente definido era o de homogeneizar o conhecimento na sala obtendo a “explicitação–institucionalização local” do conhecimento gerado. A tabela e os gráficos foram reproduzidos na lousa por dois alunos indicados pelo professor.

Iniciadas as discussões, o professor solicitou a um dos grupos que comentasse a sua resposta na primeira questão. O número de quadradinhos não coloridos dependeria ou não dos quadradinhos coloridos? A posição do grupo foi clara em relação a esta dependência, mas não concordaram com a dependência contrária, se os quadradinhos coloridos dependeriam dos não coloridos. Auxiliados pelos demais alunos, que alertaram para o fato de que “para acrescentar quadrados coloridos temos que acrescentar não coloridos”, concluíram pela dependência.

Neste ponto o professor intervém e questiona sobre qual das duas dependências seria mais evidente. Após um breve intervalo de reflexão um dos alunos defende que a primeira, o número de quadradinhos não coloridos dependeria do número de quadradinhos coloridos, é mais evidente, no que é apoiado pelos colegas. A questão sobre o porquê de não se poder unir os pontos obtidos nos gráficos foi levantada pelo professor. Inicialmente os alunos não conseguiram se posicionar, mas quando questionados, pelo professor se existiria meio quadradinho, uma posição começou a se definir. O professor interveio novamente e iniciou parte da institucionalização. Relembrou das atividades em sala de aula em que se trabalhou o significado da união de dois pontos na representação gráfica. Aproveitando-se da abertura da discussão enfatizou que tanto a tabela quanto o gráfico seriam formas de “tentar” representar a mesma idéia associada à seqüência gerada na atividade.

A institucionalização anterior serviu de base para que se iniciasse a discussão sobre a expressão algébrica que permitiria a obtenção do número de quadradinhos não coloridos a partir dos coloridos. Como já foi destacado anteriormente os alunos não conseguiram definir essa expressão na primeira etapa da atividade. Reproduzimos a seguir os diálogos, extraídos da gravação realizada durante a atividade, que permitiram aos alunos obter a expressão. Nesse diálogo, identificamos por “P” as falas do professor e A as falas dos alunos .

P: Como eu posso saber quantos são os não coloridos quando tenho 50 coloridos?, A: cento e seis

A: O dobro de 50 mais seis.

P Como eu posso escrever a expressão o dobro mais seis. A: Eu tenho que escrever 2n + 6.

P: Logo, tenho como saber o número de não coloridos se tiver o número de colorido. P: Se NC for o número de quadradinhos não coloridos como podemos escrever essa expressão?

A: NC = 2n + 6

Observamos que os questionamentos do professor sobre como obter o número de quadradinhos não coloridos, quando temos cinqüenta quadradinhos coloridos, permitiu a percepção, por parte dos alunos, que essa regra na prática definia a expressão que permite calcular o número de quadradinhos não coloridos caso se tenha o número de quadrinhos coloridos. Situação semelhante pode ser observada em Moretti (1998 p. 108) em sua dissertação de Mestrado ao analisar a interação entre os alunos na determinação da expressão algébrica que permitisse obter a generalização de uma seqüência de pontos. Somente um dos 62 alunos pesquisados por Moretti, tinha conseguido obter a expressão, mas a interação entre eles permitiu que essa compreensão fosse possível para todos, reforçando a idéia de que o obstáculo citado anteriormente continua presente em nossos alunos.

O professor questionou sobre a possibilidade de obtenção do número de quadradinhos não coloridos para qualquer quantidade de quadradinhos coloridos. Os alunos afirmaram que isto seria possível, mostrando os dados da tabela. A formulação, pelo professor, da pergunta se poderíamos obter o número de quadradinhos coloridos conhecendo o número dos não coloridos provocou uma divisão entre os alunos. Alguns defendiam que sim, outros que não. Um dos alunos intervém mostrando na tabela que só seria possível se a quantidade de quadradinhos não coloridos fosse par e maior que seis e desta forma conseguiu convencer seus colegas. Quando questionado se poderíamos obter uma expressão que permitisse encontrar o número de quadradinhos coloridos, a partir dos não coloridos, um aluno questiona “Mas não é só isolar n na anterior” e após uma breve discussão obtém-se a expressão

2 6 − = NC

n . Cremos que um novo componente foi acrescido ao campo conceitual, como apresentado na página 25, relacionado à dependência entre duas grandezas: a importância de ter como prever o número de quadradinhos não coloridos a partir de qualquer quantidade de quadrinhos coloridos.

Finalizadas as discussões o professor, institucionalizou os objetos de trabalho da atividade. Definiu as relações de dependência entre as duas variáveis como sendo o objetivo principal da mesma. Procurou evidenciar que as duas dependências são possíveis, mas como os alunos já haviam concluído, a dependência dos quadradinhos não coloridos em relação aos coloridos se destaca. Institucionalizou as formas de representações utilizadas na atividade. Enfatizou que as formas de representações, tabela, gráfico e expressão algébrica tentavam dar sentido à idéia de dependência entre os dois conjuntos de valores gerados pela seqüência, mas a idéia principal era a dependência e não as representações.

Observando o resultado do desenrolar da atividade podemos destacar:

- Os alunos parecem ter mobilizado como ferramenta os conhecimentos que permitiram a contagem dos quadradinhos, a representação dos dados nos quadros numérico, na forma de tabela e da geometria analítica, na forma da representação gráfica.

- Os alunos tiveram dificuldades em expressar algebricamente a relação apresentada, mas conseguiram representar os dados graficamente sem grandes dificuldades.

- Os alunos fizeram uso dos dados, notadamente os representados na tabela, em suas análises e discussões

- A relação de dependência entre os dois conjuntos de valores parece ter sido percebida por eles.

A relação de dependência e as distinções entre as formas de representá-la são as novas ferramentas que cremos estejam disponíveis para os alunos para serem mobilizadas nas próximas atividades.