Análise a posteriori da sexta atividade

Ao contrário das duas seções anteriores, em que tivemos uma grande ausência, nessa todos os alunos participantes do projeto estavam presentes. Como planejado, o professor distribuiu a folha constando a primeira parte da atividade e definiu o tempo de vinte minutos para discussão da mesma. Apesar de ter sido solicitado a formação de grupos com no máximo três alunos observou-se a interação entre eles que culminou com a fusão de dois deles. Dois grupos apresentaram relatórios separados, mas com conclusões idênticas. A variação não apareceu inicialmente como sendo a idéia central desenvolvida nas atividades. Nas anotações referente à pergunta, “Qual seria o princípio comum às atividades?”, as respostas giraram em torno das estratégias utilizadas na resolução das situações propostas. Um dos grupos respondeu que o princípio era o de “Mostrar diversas formas de resolver e representar um problema” , dois grupos apresentaram a mesma resposta “Tentar resolver os problemas de uma forma mais prática. Juntar todos os pontos

possíveis”. Quanto a unicidade os alunos ressaltaram a importância de se ter resposta única na correspondência entre duas variáveis pois “podemos resolver o problema de diferentes formas e ter certeza de que a resposta será a mesma”.

Quanto a necessidade de se conhecer o intervalo de validade da relação os alunos responderam que é fundamental “saber como a relação se comporta, podendo ter comportamento diferente em intervalos diferentes como na quarta atividade” Nenhum grupo conseguiu formular uma definição para a idéia trabalhada na atividade. A variação como idéia central não apareceu em nenhuma das tentativas de definição. Essas tentativas se restringiram à parte resolutiva dos problemas. Um dos grupos propôs a seguinte frase como definição. “Devemos fazer uso de tabelas e gráficos para resolver os problemas”. O grupo de alunos que não faltou a nenhuma das seções e que denominamos seus componentes por AD nos diálogos são os que parecem mais se aproximar da noção de dependência. De acordo com eles ”nos exercícios, sempre há dados diferentes, mas dependentes entre si”.

Para dar início à discussão nessa primeira etapa o professor colocou as três questões na lousa.

- Qual seria este princípio?

- Qual o papel da unicidade neste princípio?

- Qual o papel do intervalo de definição da relação neste princípio? Registando-se o seguinte diálogo:

P: O que nós estamos estudando nessas atividade são os gráficos, a tabela, as expressões algébricas?

AD: A dependência para obter as respostas. P: Então o que vocês acham?

A: Poderia ser para compreender a lógica por trás das atividades.

P: É, todos os problemas possuem uma lógica própria. Mas o que todas essas atividades tem em comum?

A: Todas tem o gráfico.

P: Todas tem o gráfico, a expressão algébrica, a tabela, mas será que é isso que queremos estudar?

AD: Todas tem algo mais.

P: Certo. O gráfico, a tabela as expressões algébricas, o modo com que o problema é apresentado são as formas de representar as idéias envolvidas. Mas qual seria a idéia central? AD: A variação.

P: Então. O princípio que está por trás de todas as atividades é a variação. A medida que uma grandeza varia isto leva a uma variação na outra. Observe que trabalhamos em cinco atividades e nas cinco as grandezas eram diferentes. Mas a idéia central sempre permanecia a mesma. À medida que uma delas variava a outra também sofria variação.

P: É importante que eu consiga prever como ocorrerá essa variação? AD: É

P: É importante que essa previsão seja única? A: Sim, se for única é mais fácil para trabalhar. P: E saber que valores utilizar?

A: É necessário

Observamos que inicialmente os alunos se concentram na resolução do problema mudando o foco para as formas de representação utilizada nas atividades. A percepção de que o objetivo estava na variação só é apresentada após o questionamento por parte do professor de qual seria a idéia central por trás das atividades. A importância de se prever o comportamento da variação a unicidade para qualquer que seja o valor escolhido no intervalo de definição da variação parece ter ficado mais claro para os alunos. Das respostas formuladas, o professor pediu que os alunos procurassem redigir uma única resposta que representasse todas as que foram apresentadas, concluindo-se ao final da discussão que a “unicidade é importante para se garantir que a resposta seja a mesma, independente de como tenha sido obtida.” O intervalo de definição da relação de acordo com os alunos nos permite “definir quais valores podemos utilizar para procurar a resposta desejada”. Finalizando essa primeira etapa o professor institucionalizou que uma relação de dependência que apresentava resposta única num intervalo previamente definido é chamado de função dentro da matemática.

Pediu então aos alunos que propusessem uma definição para este novo conceito matemático. Como nenhum grupo apresentasse sua definição o professor relembrou algumas característica do novo objeto anotando na lousa:

- Apresenta variação entre duas grandezas. - Queremos prever como se dará a variação. - É importante que a previsão tenha resposta única.

- Definir os valores que serão usados nessa previsão. Dando início ao seguinte diálogo:

P: função é...

A: uma relação de dependência de um x P: pode ser e o que mais?

A: por um y.

P: Então na atividade dos quadradinhos quem seria o x? A: O x seriam os quadradinhos não coloridos.

P: De acordo com a definição o x são os quadradinhos não coloridos e o y os quadradinhos coloridos, é ele que define a relação

P: Então função é uma dependência de um valor x por um valor y? P: Na atividade do aquecimento da água quem está em função de quem? AD: A temperatura em função do tempo.

P: Como podemos melhorar essa definição. ...

P: Será que esta definição está satisfatória, a unicidade está sendo considerada. A: função é uma dependência de um valor x para cada valor y.

P: Não poderia ser: Função é uma dependência entre duas grandezas com correspondência única para cada x e seu correspondente valor de y?

A: pode ser.

P: Que mais? Na terceira atividade, poderíamos ter uma horta com quinze metros de largura? AD: Não, a largura máxima era 13 metros.

P: Então.

AD: Função é uma correspondência válida dentro de intervalos definidos em dois conjuntos. P. Mas e a unicidade

AD: Função é uma relação de dependência entre duas grandezas de modo que se tenha correspondência única entre todos os valores em um intervalo definido da primeira como os valores da segunda.

Observamos que as definições foram sendo construídas ao longo das discussões com participação tanto do professor quanto dos alunos As opiniões dos alunos eram anotadas, discutidas e questionadas pelo professor.

Ao final da primeira versão o professor levantou a questão sobre a unicidade não estar sendo considerada Esse alerta levou à reestruturação da primeira versão dando origem uma segunda com o professor contribuindo na sua elaboração. Nessa versão ainda não existe a preocupação com a definição do domínio da função no

que são alertados sobre o que ocorreria, por exemplo, caso desejássemos uma horta com largura de quinze metros Os alunos retomaram a terceira atividade e identificaram que a largura máxima seria próximo de 14 metros, gerando uma discussão que resultou na terceira versão. Observamos que os alunos se esqueceram da variação nesta definição, o que foram alertados pelo professor, dando origem à quarta versão da definição. Percebe-se dessas discussões, envolvendo a primeira parte da atividade, que o alunos, principalmente o grupo AD, já possuem um certo domínio das informações básicas para a compreensão do conceito de função, embora não consigam explicitá-la espontaneamente.

Para leitura e resolução das questões na segunda parte da atividade, em que apresentava a definição de função e as convenções para este novo objeto, foram destinados trinta minutos. As discussões da etapa anterior resultou na reorganização dos alunos resultando na formação de apenas dois grupos. Como as discussões internas aos grupos envolvia a participação de quase todos os alunos, o professor julgou por bem não intervir nessa nova formação. Os dois relatórios apresentados ao final parecem demonstrar a compreensão da discussão anterior com todas as respostas podendo ser consideradas satisfatórias. A última questão em que se solicita o cálculo de algumas imagens utilizando a nova notação teve os quatro primeiros itens realizado corretamente pelos dois grupos, sem que tenha sido pedido auxílio ao professor. O uso dessa notação já tinha sido realizada nas atividades anteriores, o que nos permite explicar a facilidade na sua utilização por parte dos alunos. O item “e”, onde se questionava, “Qual largura da horta para que se tenha 98 m2 _{de área?” foi o único que apresentou resolução diferente nos dois relatórios.}

Ambos os grupos parecem ter compreendido que f(l) = 98, como foi registrado por um dos grupos em seu relatório, entretanto esse fez uso desse valor também para l numa das variáveis da função, registrando: 98 = x( 28 – 2 . 98), desenvolvendo a equação resultante. O segundo incluindo os alunos do grupo identificado por AD em nossos diálogos, realizou as substituições de forma correta mas não explicitou os cálculos realizados apresentando apenas o resultado final, l = 7 m.

Finalizado o prazo, o professor deu início às discussões utilizando as respostas dos alunos para realizar a institucionalização final. Dessa forma deu ao conceito de função o status de saber científico, passando assim para a quinta etapa da dialética ferramenta objeto a familiarização-reutilização numa situação nova de

forma a fixar o conceito disponibilizando como ferramenta para solução de novos problemas.