Análise a posteriori da terceira atividade

Doze alunos participaram dessa atividade, formando quatro grupos de três alunos. Não se observaram dificuldades de interpretação da atividade por parte dos alunos que conseguiram completar corretamente os dados solicitados na tabela. Julgamos que isto, em parte, se deveu a observações realizadas no pré-teste com alterações na construção da tabela. Na proposta original a primeira linha da tabela era denominada de largura x e a segunda linha largura l. As alterações na estrutura da tabela, com a utilização dos termos largura comprimento em vez de largura x e largura l parece ter sanado essa dificuldade de interpretação. Dessa forma as dificuldades observadas no pré-teste com referência à determinação do comprimento da horta não ocorreu facilitando o desenrolar da atividade. A percepção de que o valor da área, que inicialmente aumentava, diminuía a partir de um certo valor, provocou uma certa inquietação nos alunos. Fato que foi superado com a confirmação pelos cálculos por todos os grupos, evidenciando que não havia erro. A segurança foi maior quando perceberam que uma das questões levantava exatamente essa possibilidade.

As questões envolvendo a dependência entre as grandezas também não geraram problemas de interpretação, uma vez que já haviam sido trabalhadas nas atividades anteriores. Mas a questão envolvendo a confiabilidade7 de uma relação que apresentasse duas correspondências, questão esta que não apresentou problemas de compreensão no pré-teste, não foi compreendida pelos alunos envolvidos na atividade. A compreensão só foi obtida quando foram questionados pelo professor sobre qual seria o significado da expressão “confiar em um resultado”. Após uma breve discussão, concluíram, de forma quase unânime, que a relação que apresentava maior confiança nos resultados era a área dependendo da largura. Instados a se posicionar sobre a importância da unicidade para que não exista dúvida sobre a validade da previsão, os alunos foram categóricos na necessidade dessa unicidade. A definição da expressão algébrica que determina a área a partir da largura da horta só foi obtida por um dos grupos. Os demais não obtiveram a expressão desejada, o que nos leva a concluir que nem todos alunos conseguiram

7 _{Como observamos na análise a prióri re-elaboramos a atividade buscando maior rigor na formulação do}

enunciado da questão. Entretanto mantemos em nossa análise a situação que realmente foi proposta para os alunos uma vez que essa alteração pode ter interferência nos resultados dessa pesquisa.

mobilizar plenamente os conhecimentos envolvendo as representações algébricas e as relações de equivalência nessa atividade.

Um dos grupos não conseguiu finalizar a quarta questão. Dos três grupos que finalizaram dois não parecem ter lido com atenção o enunciado, visto que em vez de responder à questão formulada, deram como resposta valores numéricos. A resposta do item “d” da quarta questão, em que se questionava “A que se referia a atividade” entretanto pode ser considerada satisfatória, com o grupo que obteve a expressão algébrica, explicitando que a atividade analisava a variação da área da horta à medida que variamos sua largura.

A segunda etapa da atividade, equivalente à terceira fase Explicitação- institucionalização local da dialética, foi coordenada pelo professor que leu os enunciados das questões e solicitou para que os alunos expusessem suas respostas. As questões iniciais não apresentaram dificuldade, com os alunos tendo obtidos os dados da tabela com facilidade e elaborado as representações gráficas solicitadas. Durante as discussões, todos alunos concordaram que tanto a área dependia da largura, quanto a largura dependia da área mas “A área dependendo da largura é mais evidente”, afirmaram os alunos. O debate sobre a confiabilidade em uma relação que apresenta mais de uma correspondência para uma determinada variável parece ter atingido o objetivo desejado. Aparentemente os alunos compreenderam a necessidade de se ter resposta única para que se possa confiar no resultado.

Na questão referente a qual dos gráficos a análise era mais simples, apenas três grupos responderam e de forma breve sem justificar sua posição. Dois dos grupos optaram pela primeira representação, em que a largura está disposta no eixo das abscissas e o terceiro pela segunda representação. Registramos a seguir o diálogo entre o professor e os alunos na discussão envolvendo essa questão. Identificaremos por “AD” os alunos que compunham o grupo que mais participou dessa discussão, o mesmo grupo que obteve a expressão algébrica para a área, e por “A” os alunos dos demais grupos.

P: Em qual dos gráficos a análise é mais simples? A: Os dois são equivalentes, a idéia é a mesma.

P: Mas os gráficos estão em posição diferentes. Essa mudança de posição não altera nada? A: Não, muda só a forma da figura.

P: Em qual dos gráficos a relação é a mais “confiável”?

AD: Na primeira. Mostrando com a mão o gráfico com a largura na abscissa.

P: No segundo gráfico temos as mesmas variáveis, então por que o primeiro é o mais confiável?

A: Porque ela dificulta um pouco a visão, parece que vai para frente.

P: Analisando os dois gráficos, qual deles parece me trazer mais informação? A: Esse. (apontando para gráfico com a largura na abscissa)

P: Todos concordam que o gráfico com a largura na abscissa é melhor para analisar? A: Sim.

AD: O segundo gráfico ( com a largura no eixo das ordenadas) confunde um pouco, porque quando a x = 48 tem dois valores iguais.

P: Qual ponto?

AD: O ponto de abscissa dois tem o mesmo valor que no de abscissa doze. (Se referindo ao gráfico em que a largura está na abscissa.)

P: Então em qual dos dois gráficos a análise é mais simples.? AD: No primeiro.

Observa-se desse diálogo que inicialmente consideravam que as duas representações eram equivalentes, aparentando não terem compreendido a questão, mas à medida que vão sendo questionados cria-se a percepção, por parte dos alunos envolvidos na discussão, que analisar o gráfico em que a variável largura está disposta no eixo das abscissas parece trazer mais informações que a representação contrária.

Como observamos da análise dos registros referentes à primeira etapa da atividade, apenas um dos grupos obteve a expressão que permite obter a área da horta. No desenvolvimento das discussões, esse grupo teve papel fundamental para uma determinação coletiva dessa representação, visto que a primeira resposta sobre qual era essa expressão foi: Área igual a base vezes altura. Ao serem questionados qual seria base para a largura 8 m responderam rapidamente: 12 m. registando-se o seguinte diálogo:

P: Como eu posso saber que a base mede 12 m. AD: Porque a base é 28 - l

P: Todos concordam com o AD. Silêncio!

AD: Duas vezes o lado. P: Logo como fica a fórmula. A: A = l ( 28 – 2 l ).

A conclusão final não foi do grupo “AD” cujos alunos participavam ativamente das discussões, mas não se pode dizer que não tenha sido um de seus componentes que tenha passado a informação para os demais colegas. Este diálogo permitiu a homogeneização do conhecimento como proposto pela terceira fase da dialética. O debate envolvendo a quarta questão também foi decisivo, visto que como comentado anteriormente, não parece ter ficado clara a questão para alguns alunos. A intervenção do grupo que respondeu corretamente a questão, direcionou a discussão de forma a atingir o objetivo desejado. Isso permitiu ao professor institucionalizar a idéia da variação como a chave da atividade e as representações como formas de se trabalhar essa idéia.

Na fase final da atividade, o professor institucionalizou a dependência da área da horta em função de sua largura. Destacou a importância da confiança nos resultados como elemento importante para se efetuar previsão num fenômeno envolvendo variação. Ressaltou também que além da necessidade da correspondência ser única, existe a necessidade de se ter certeza da existência dessa correspondência para qualquer valor envolvido no fenômeno. Embora não se tenha formalizado a relação funcional, já estamos preparando as bases para que isto seja feito nas atividades seguintes. Cremos estar seguindo os passos da superação dos obstáculos históricos. A relação funcional parece ter sua base construída a partir dos estudos das relações envolvendo variação pelos filósofos de Oxford e Paris. Aliado a esse estudo temos a criação de uma representação gráfica para estas variações por Oresme e o desenvolvimento da representação algébrica por Viète. Considerando estes aspectos, o professor, na institucionalização, introduziu a notação A(l) na expressão que permitia calcular a área da horta e dessa forma fez uso da expressão A(l) = l ( 28-2l).

Na institucionalização, o professor reafirmou o papel das representações dos objetos matemáticos como forma de se ter acesso a eles, mas procurou evidenciar a variação entre a área da horta dependendo da variação da largura como sendo o objetivo principal da atividade.

Considerando os resultados da aplicação da terceira atividade parece que podemos inferir que as alunos tenham:

- Mobilizado como ferramenta os conhecimentos envolvendo o cálculo da área de um retângulo, embora não de forma plena, visto que boa parte dos grupos não obtiveram a expressão geral que definisse a área da horta;

- Percebido a relação de dependência da área em relação ao lado;

- Percebido que a dependência do lado em relação à área envolve dificuldades maiores que as da atividade anterior, visto que apresenta duplicidade de resposta para a maioria das áreas da horta;

- Compreendido a necessidade de que qualquer que seja o valor que se deseja definir, a correspondência deva existir e seja única.

A unicidade na correspondência e a distinção entre esta e as formas de representação da dependência são as ferramentas que procuramos enfatizar nesta atividade. Procuramos fazer uso de uma variação em que uma das variáveis apresentava dupla correspondência, uma mesma área correspondendo a dois valores para a largura da horta. Desta forma procuramos pôr em discussão a falta de “confiança” em se determinar a medida do lado a partir da área.