Comportamento Tipo de uma Viga de Betão Armado sujeita à Torção
CAPÍTULO 5 – Comparação com Disposições Normativas
5.3 Análise da Resistência à Torção
Nesta secção pretende-se comparar os valores normativos do momento torsor resistente, previstos pelos diversos documentos normativos analisados ao longo do trabalho, com os valores obtidos nos ensaios das vigas de referência. Este estudo é feito através da relação entre o momento torsor resistente experimental ( ) e o momento torsor resistente calculado segundo os documentos normativos ( ) em função da resistência média do betão à compressão ( ) de modo a identificar os códigos que melhor estimam a referida resistência.
5.3.1 Código Americano, ACI 318R-89 [1]
Como já foi referido no Cap.3 e para o caso da torção, o código americano ACI 318R-89 é baseado na teoria da flexão enviesada. Segundo este código, a resistência à torção para vigas retangulares cheias e vigas retangulares vazadas com espessura superior a é determinada pela Eq.3.7, enquanto que para vigas retangulares vazadas com espessura compreendida entre e a resistência é determinada pela Eq.3.7. É de referir que, para a utilização de ambas as equações, todos os parâmetros devem ser introduzidos com unidades imperiais.
Para vigas cuja rotura prevista é frágil, a resistência teórica deverá ser calculada para a tensão limite máxima permitida para o betão à compressão. Assim, caso a condição
não seja verificada, a resistência teórica das vigas deve ser calculada através da Eq.3.3 com .
Os Quadros VI.1, VI.2, VI.3 e VI.4 do Anexo VI resumem os cálculos efetuados para a determinação dos valores previstos da capacidade torsional ( ) das vigas de referência, através das disposições do ACI 318R-89. Estes quadros apresentam também os valores experimentais do momento torsor resistente ( e a relação entre o valor do momento torsor resistente experimental e o correspondente valor teórico . As vigas de referência foram divididas pelos quadros consoante o tipo de secção (cheia e vazada) e o tipo de classe de resistência do betão à compressão (resistência normal e alta resistência). O objetivo desta separação foi diferenciar os resultados obtidos e verificar a adaptação das disposições normativas para cada grupo de vigas.
Com base nos valores das relações entre os parâmetros resistentes e para cada grupo de vigas foi ainda calculado o valor médio ( ), o desvio padrão amostral ( ) e o coeficiente de variação ( ) para cada conjunto de valores obtidos para a relação (Eq.5.1, 5.2 e 5.2,
respetivamente). Nas Eq.5.2 e 5.3, é o número de valores da amostragem, ou seja, o número de valores calculados para a relação .
(5.1)
(5.2)
(5.3)
O Quadro 5.7 apresenta um resumo das médias , desvios padrões e coeficientes de variação obtidos para a relação entre os valores experimentais e teóricos do momento torsor resistente das vigas de referência.
Quadro 5.7 – Valores estatísticos para a relação entre os valores experimentais e teóricos do momento
torsor resistente das vigas de referência (ACI 318R-89 [1])
Tipo de
secção Resistência do betão
Cheia Normal 1,126 0,195 17%
Cheia Alta 1,109 0,221 20%
Vazada Normal 1,413 0,388 27%
Vazada Alta 1,156 0,072 6%
A Fig.5.1 apresenta graficamente a relação em função da resistência do betão ( ) para os resultados obtidos nos Quadros VI.1, VI.2, VI.3 e VI.4 do Anexo V-
Fig.5.1 – Resistências experimentais comparadas com as previsões do ACI 318R-89 [1]. 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 0 20 40 60 80 100 120 Tr,exp / T r,c alc fcm[MPa] Cheia Vazada Secção
Da observação da Fig.5.1, o código americano ACI 318R-89 aparenta, no geral, ser conservativo para o cálculo da resistência das vigas à torção. Porém, existem algumas vigas em que a previsão da resistência à torção foi sobrestimada. Tais vigas apresentam taxas de armadura baixas a moderadas. Contudo, apesar de o momento torsor experimental ser inferior ao momento calculado, as vigas mostraram um comportamento dúctil. Já a resistência teórica das vigas T0 [25], A120a e B065b [23] foi sobrestimada em cerca do dobro da resistência registada nos ensaios. Estas vigas são constituídas por taxas de armadura baixas e moderadas, não existindo motivo aparente para apresentarem esta diferença de valores.
Na Fig.5.1 observa-se também que o ACI 318R-89 aparenta subestimar mais a capacidade resistente de vigas de secção vazada do que a resistência de vigas de secção cheia, designadamente para vigas de resistência normal. Além disso, para vigas de secção vazada, a tendência geral dos desvios aparenta passar por uma diminuição dos mesmos à medida que a resistência do betão à compressão aumenta, enquanto que para vigas de secção cheia tal tendência geral dos desvios parece ser fortemente menos acentuada.
Os valores estatísticos da relação entre momentos torsores resistentes (Quadro 5.7) ajudam a esclarecer as observações feitas tendo por base a Fig.5.1. No que toca a valores médios, o ACI 318R-89 subestima notoriamente a capacidade resistente das vigas de secções vazadas com
betões de resistência normal em cerca de 41% , 28% a mais do que em
vigas de secção cheia com o mesmo tipo classe de betão . Para vigas de secções vazadas com betões de alta resistência, o ACI 318R-89 volta a subestimar a sua
capacidade resistente mas apenas em 16% , 25% menos que as vigas de
secção vazada com betões de resistência normal e 5% mais que em vigas de secção cheia com betões de alta resistência ( ). Já a diferença entre valores médios previstos de vigas de secção cheia com diferentes tipos classe de betão é muito menor do que em vigas de secção vazada, rondando apenas os 2%. Dos quatro grupos de vigas, as vigas vazadas com betões de alta resistência apresentam o menor coeficiente de variação ( ). Note-se que, em geral, um limite máximo consensual do coeficiente de variação para se considerar que os resultados apresentam uma variabilidade bastante aceitável é de 10% [4]. Com exceção das vigas anteriormente referidas, todas as restantes apresentam uma dispersão de resultados notória. Designadamente, as vigas de secção vazada com betões de baixa resistência são as que apresentam o maior coeficiente de variação ( 7 ), ou seja, a maior dispersão de valores. Ainda assim, as tendências gerais anteriormente analisadas mantêm-se válidas.
À luz dos resultados desta secção, conclui-se que, no geral, o ACI 318R-89 está do lado da segurança na previsão do momento torsor resistente de vigas de betão armado à torção, apresentando no entanto desvios maiores para vigas de betões de resistência normal e desvios
mais pequenos para vigas de betões de alta resistência com ambos tipos de secções. Contudo para vigas de secção cheia, em especial vigas com betões resistência normal, o código aparenta não estar tanto do lado da segurança. Já para vigas vazadas com betões de alta resistência, o código apresenta valores mais ótimos para a resistência deste tipo de vigas.
5.3.2 Código Americano, ACI 318R-11 [2]
De modo diferente do ACI 318R-89 [1] e para o caso da torção pura, o código americano ACI 318R-11 é baseado na analogia da treliça espacial. Segundo este código, a resistência à torção para vigas retangulares cheias e vazadas é determinada pela Eq.3.20, cujo ângulo θ é conhecido através da resolução da Eq.3.22. Novamente, para a utilização da Eq.3.20 todos os parâmetros devem ser introduzidos com unidades imperiais.
Para vigas cuja rotura prevista é frágil, a resistência teórica para estas vigas deverá ser calculada para a tensão limite máxima permitida para o betão à compressão. Assim, caso a condição da Eq.3.17 não verifique, a resistência teórica ( ) deverá ser calculada através da Eq.3.17, tomando . Se a espessura da parede de uma secção vazada for inferior a , o primeiro termo da Eq.3.17 deverá ser substituído por .
Os Quadros VI.5, VI.6, VI.7 e VI.8 do Anexo VI resumem os cálculos efetuados para a determinação dos valores previstos da capacidade torsional das vigas de referência, através das disposições do ACI 318R-11. Cada quadro separa as vigas consoante o tipo de secção e o tipo de classe de resistência do betão à compressão.
O Quadro 5.8 apresenta um resumo das médias , desvios padrões e coeficientes de variação obtidos para a relação entre os valores experimentais e teóricos do momento torsor resistente das vigas de referência.
Quadro 5.8 -Valores estatísticos para a relação entre os valores experimentais e teóricos do momento
torsor resistente das vigas de referência (ACI 318R-11 [2])
Tipo de
secção Resistência do betão
Cheia Normal 1,406 0,379 27%
Cheia Alta 1,224 0,254 21%
Vazada Normal 1,435 0,294 20%
A Fig.5.2 apresenta graficamente a relação em função da resistência do betão ( ) para os resultados obtidos nos Quadros VI.5, VI.6, VI.7 e VI.8 do Anexo VI.
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 0 20 40 60 80 100 120 Tr,exp / T r,c alc fcm[MPa] Cheia Vazada Secção
Fig.5.2 -Resistências experimentais comparadas com as previsões do ACI 318R-11 [2].
À semelhança do ACI 318R-89 [1], o código ACI 318R-11 subestima a capacidade de resistente das vigas em estudo mas este é claramente mas conservativo do que o código anterior. Em alguns casos, o código volta a sobrestimar a resistência à torção. Todas as vigas cuja resistência foi sobrestimada são vigas de secção cheia e apresentam baixas taxas de armadura bem como um comportamento dúctil. As previsões das resistências destas vigas não se encontram do lado da segurança. Já as vigas cujas resistências foram subestimadas, o código em análise exagera a sua previsão para um maior número de vigas em estudo do que as observadas no ACI 318R-89 [1], em especial para vigas de secção cheia com betões de resistência normal.Estas previsões estão exageradamente do lado da segurança.
Na Fig. 5.2 é também observada uma grande dispersão dos pontos, tanto para vigas de betões de resistência normal como para vigas de betões de alta resistência. Esta dispersão é causada pela diferença de taxas de armaduras, sendo que as vigas com taxas de armadura elevadas geram maiores desvios. Apesar da dispersão notável de pontos, a tendência geral para a relação entre os valores experimentais e teóricos da resistência das vigas à torção é idêntica à tendência observada no código ACI 318R-89 [1].
Para esclarecer as observações feitas na Fig.5.2 é feita de seguida uma análise dos valores estatísticos obtidos da relação entre momentos torsores resistentes (Quadro 5.8). Para vigas de secções vazadas com betões de resistência normal, o ACI 318R-10 subestima a sua
capacidade resistente em cerca de 44% , 3% a mais do que em vigas de
secção cheia com a mesma classe de betão . Para vigas de secções vazadas com betões de alta resistência, o código volta a subestimar a sua capacidade
resistente em 36% , 8% menos que as vigas de secção vazada com betões de resistência normal e 14% mais que em vigas de secção cheia com betões de alta resistência ( ). Diferente do código ACI 318R-89 [1], a diferença entre valores médios previstos de vigas de secção cheia com diferentes tipos classe de betão é superior à das vigas de secção vazada, rondando os 19%. Desta vez, nenhum dos quatro grupos de vigas apresenta um valor de coeficiente de variação ótimo. Todos os valores do coeficiente de variação apresentam dispersões notáveis sendo que as vigas de secção vazada com betões de alta resistência possuem a menor dispersão de valores ( ) e as vigas de secção cheia com betões de resistência normal possuem a maior dispersão de valores ( ).
À luz dos resultados desta secção, conclui-se que o ACI 318R-11 é mais conservativo do que o ACI 318R-89 [1] e apresenta uma melhoria significativa da previsão da resistência de vigas de secção cheia. No entanto, os desvios apresentados por este código são maiores do que os desvios apresentados no código anterior, em especial para vigas com taxas de armadura elevadas.
5.3.3 Código Europeu, MC90 [9]
O código europeu MC90 define a resistência à torção ( ) de uma viga como sendo o menor valor das resistências e obtidas através da força de compressão resistente ( ) e da força transversal resistente ( ), respetivamente, e relativas a uma parede que compõem a viga tubular equivalente. O momento torsor resistente obtém-se a partir da
Eq.3.27 igualando e (pela Eq.3.31) e em que é
calculado através da Eq.3.32. O momento torsor resistente obtem-se a partir da Eq.3.27
igualando e e em que é calculado através da Eq.3.35. O
ângulo θ é calculado através da Eq.3.36.
No caso de vigas com rotura frágil, a resistência teórica deverá ser calculada apenas com base na força . Note-se que, ao determinar o valor mínimo das resistências obtidas a partir de e , está implícita a separação teórica entre vigas que possuem uma rotura dúctil de vigas que possuem uma rotura frágil.
Os Quadros VI.9, VI.10, VI.11 e VI.12 do Anexo VI resumem os cálculos efetuados para a determinação dos valores previstos da capacidade torsional das vigas de referência, através das disposições do MC90. Cada quadro separa as vigas consoante o tipo de secção e o tipo de classe de resistência do betão à compressão.
O Quadro 5.9 apresenta um resumo das médias , desvios padrões e coeficientes de variação obtidos para a relação entre os valores experimentais e teóricos do momento torsor resistente das vigas de referência.
Quadro 5.9 –Valores estatísticos para a relação entre os valores experimentais e teóricos do momento
torsor resistente das vigas de referência (MC90 [9])
Tipo de
secção Resistência do betão
Cheia Normal 0,990 0,212 21%
Cheia Alta 0,800 0,132 17%
Vazada Normal 1,098 0,260 24%
Vazada Alta 0,856 0,129 15%
A Fig.5.3 apresenta graficamente a relação em função da resistência do betão ( ) para os resultados obtidos nos Quadros VI.9, VI.10, VI.11 e VI.12 do Anexo VI.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 0 20 40 60 80 100 120 Tr,exp / T r,c alc fcm[MPa] Cheia Vazada Secção
Fig.5.3 -Resistências experimentais comparadas com as previsões do MC90 [9].
Ao contrário dos códigos americanos, o código europeu MC90 é mais conservativo para vigas de secção cheia do que para vigas de secção vazada. Nalguns casos, o código sobrestima a resistência as vigas. As vigas cuja resistência prevista foi sobrestimada são, na sua maioria, vigas de secção cheia que apresentam taxas de armadura baixas a moderadas e um comportamento dúctil. Estas previsões não estão do lado da segurança. Já as vigas cujas resistências foram subestimadas são, na sua maioria, vigas de secção cheia com betões de resistência normal com taxas de armadura variável. Estas previsões estão, em alguns casos, exageradamente do lado da segurança.
Na Fig. 5.3 é observada uma dispersão de pontos mais pequena que a observada nos códigos americanos. A tendência geral dos desvios para os dois tipos de secção passa, novamente, por uma aparente diminuição dos mesmos à medida que a resistência do betão à compressão aumenta. Vigas com baixas taxas de armaduras tendem a apresentar valores
inferiores à unidade enquanto que vigas com taxas de armadura elevadas tendem a apresentar desvios maiores e com valores acima da unidade.
Os valores estatísticos da relação entre momentos torsores resistentes (Quadro 5.9) esclarecem novamente as observações feitas na Fig.5.3. Para vigas de secções vazadas com betões de resistência normal, o MC90 subestima a sua capacidade resistente em cerca de 10%
, 10% a mais do que em vigas de secção cheia com o mesmo tipo classe de betão . Ao contrário dos códigos americanos, para vigas de secções vazadas com betões de alta resistência, o código subestima a sua capacidade resistente em 14% , não estando do lado da segurança. Para vigas de secção cheia com betões de alta resistência, o código também subvaloriza a capacidade resistente das vigas em cerca de 20% ( ). A diferença entre valores médios previstos de vigas de secção cheia com diferentes tipos classe de betão é cerca de 19%. Quanto ao coeficiente de variação, nenhum dos quatro grupos de vigas apresenta um valor de coeficiente de variação ótimo. Todos eles apresentam dispersões notáveis sendo que as vigas de secção vazada com betões de alta resistência apresentam a menor dispersão de valores ( ) e as vigas de secção vazada com betões de resistência normal apresentam a maior dispersão de valores
( ).
À luz dos resultados nesta secção conclui-se que, apesar de que, no geral, o MC90 se encontra do lado da segurança. No entanto, comparativamente aos códigos americanos, o MC90é, no geral, menos conservativo.
5.3.4 Código Europeu, MC10 [10]
Para vigas de secção cheia, o código europeu MC10 limita a resistência à torção ( ) de uma viga através da Eq.3.45. Já para vigas de secção vazada, Para tal substitui-se na Eq.3.38 por ou e o menor valor desses dois momentos, passa a ser o momento de calculo das vigas vazadas. O ângulo θ é determinado pela Eq.3.47.
Os Quadros VI.13, VI.14, VI.15 e VI.16 do Anexo VI resumem os cálculos efetuados para a determinação dos valores previstos da capacidade torsional das vigas de referência, através das disposições do MC10. Cada quadro separa as vigas consoante o tipo de secção e o tipo de
O Quadro 5.10 apresenta um resumo das médias , desvios padrões e coeficientes de variação obtidos para a relação entre os valores experimentais e teóricos do momento torsor resistente das vigas de referência.
Quadro 5.10 – Valores estatísticos para a relação entre os valores experimentais e teóricos do momento
torsor resistente das vigas de referência (MC10 [10])
Tipo de
secção Resistência do betão
Cheia Normal 1,255 0,331 26%
Cheia Alta 0,765 0,332 43%
Vazada Normal 0,636 0,244 38%
Vazada Alta 0,516 0,163 32%
A Fig.5.4 apresenta graficamente a relação em função da resistência do betão ( ) para os resultados obtidos nos Quadros VI.13, VI.14, VI.15 e VI.16 do Anexo VI.
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 0 20 40 60 80 100 120 Tr,exp / T r,c alc fcm[MPa] Cheia Vazada Secção
Fig.5.4 - Resistências experimentais comparadas com as previsões do MC10 [10].
Da observação da Fig.5.4 e da análise dos resultados obtidos, é clara a desvalorização da capacidade resistente das vigas, em particular das vigas de secção vazada. Estas possuem uma ampla gama para a taxa de armadura e apresentam um comportamento dúctil. Estas previsões não estão do lado da segurança. Por outro lado, o código sobrestima mais a resistência das vigas de secção cheia com betões de resistência normal. As taxas de armadura destas vigas são na maioria taxas elevadas e apresentam comportamento dúctil. Para muitas destas vigas, as previsões estão exageradamente do lado da segurança.
Na Fig. 5.4 é observado uma dispersão notável de pontos, sobretudo para as vigas de resistência normal. A tendência da dispersão de pontos mantem-se em relação aos códigos anteriores.
Para esclarecer as observações feitas na Fig.5.4 é feita de seguida uma análise dos valores estatísticos obtidos da relação entre momentos torsores resistentes (Quadro 5.10). Para vigas de secções vazadas com betões de resistência normal, o MC10 sobrestima a sua capacidade resistente em cerca de 36% , 62% menos que o valor de resistência previsto para vigas de secção cheia com o mesmo tipo classe de betão . Para vigas de secções vazadas com betões de alta resistência, o código volta a sobrestimar a sua capacidade resistente em 48% , 10% menos que as vigas de secção vazada com betões de baixa resistência e 23% mais que em vigas de secção cheia com betões de alta resistência ( ). A diferença entre valores médios previstos de vigas de secção cheia com diferentes tipos classe de betão é muito maior do que entre vigas de secção vazada e ronda os 50%. Os quatro grupos de vigas apresentam um coeficiente de variação notável, confirmando a dispersão observada na Fig. 5.4. As vigas de secção cheia com betões de resistência normal têm a menor dispersão de valores ( ) enquanto que as vigas de secção cheia com betões de alta resistência possuem a maior dispersão de valores
( ).
À luz dos resultados nesta secção conclui-se que, para além da notável dispersão de resultados, o MC10 tende a subestimar a resistência à torção de secções vazadas, independentemente da classe de resistência do betão. Para as secções cheias, observa-se uma grande dispersão de resultados, com diversas vigas cuja resistência é notavelmente sobrestimada ou subestimada.
5.3.5 Código Europeu, EC2 [11]
O código limita a resistência das vigas através do menor valor dos momentos torsores resistentes obtidos pelas forças de corte entre (soma das Eqs. 3.41 e 3.42) e
(Eq.3.43). Obtido o momento torsor através da Eq.3.49, compara-se esse valor com o momento torsor máximo permitido pelo código (Eq.3.53). O ângulo θ é calculado através da Eq.3.55.
Os Quadros VI.17, VI.18, VI.19 e VI.20 do Anexo VI resumem os cálculos efetuados para a determinação dos valores previstos da capacidade torsional das vigas de referência, através das disposições do EC2. Cada quadro separa as vigas consoante o tipo de secção e o tipo de
O Quadro 5.11 apresenta um resumo das médias , desvios padrões e coeficientes de variação obtidos para a relação entre os valores experimentais e teóricos do momento torsor resistente das vigas de referência.
Quadro 5.11 -Médias para a relação entre os valores experimentais e teóricos do momento torsor
resistente das vigas de referência (EC2 [11])
Tipo de
secção Resistência do betão
Cheia Normal 1,093 0,201 18%
Cheia Alta 1,096 0,138 13%
Vazada Normal 1,139 0,445 39%
Vazada Alta 0,908 0,175 19%
A Fig.5.5 apresenta graficamente a relação em função da resistência do betão ( ) para os resultados obtidos nos Quadros VI.17, VI.18, VI.19 e VI.20 do Anexo VI.
Fig.5.5 - Resistências experimentais comparadas com as previsões do EC2 [11].
Pela análise dos resultados obtidos e da observação da Fig.5.5, no geral, o código europeu