Análise de dados

Atendendo aos objetivos deste estudo, optei por analisar os dados de acordo com as questões de investigação a ser respondidas ao longo do mesmo. Para tal, foram analisados: (a) os processos argumentativos utilizados pelos alunos na realização das tarefas propostas, as suas caraterísticas e as dificuldades evidenciadas na sua utilização, (b) os conhecimentos matemáticos mobilizados pelos alunos nas suas argumentações e as dificuldades evidenciadas nessa mobilização.

Da totalidade das produções escritas dos alunos, selecionei, para cada questão, uma amostra de resoluções que melhor evidenciam a diversidade de respostas dadas. A análise dos dados foi complementada pelos registos escritos das aulas, resultantes da observação participante, e pela informação recolhida da observação dos momentos de discussão, provenientes das gravações em vídeo das aulas. A análise dos dados contou, ainda, com as respostas dadas durante as entrevistas. Estas respostas permitiram, em primeiro lugar, destacar algumas das dificuldades sentidas pelos alunos, ao argumentar, tendo-se revelado uma mais-valia para o meu papel de investigadora, enquanto professora, e para a lecionação de aulas futuras.

As informações retiradas das respostas dadas pelos alunos contribuíram para a caraterização da turma, para o desenrolar da intervenção letiva e para, posteriormente a uma primeira análise das produções escritas, clarificar aspetos inerentes à análise dessas produções.

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4.5. Questões éticas

Em relação às questões de caráter ético envolvidas neste estudo, seguindo as orientações da Carta Ética do Instituto de Educação (2016), foram assegurados:

(a) O consentimento informado: os participantes deste estudo, devidamente autorizados pelos seus representantes legais (Anexo 4), foram informados sobre o objetivo do mesmo, dos dados a serem recolhidos e divulgados, da natureza voluntária da sua participação, da possibilidade de desistir e do tempo requerido no seu envolvimento.

(b) A confidencialidade e privacidade: no decorrer deste estudo foi assegurado o anonimato dos participantes, utilizando nomes fictícios para os designar, e nos documentos presentes em anexo não consta a identificação da turma onde o estudo foi realizado.

Ainda, foram asseguradas a transparência e o rigor, comprometendo-se a investigadora a, ao longo de todo este estudo, não plagiar, fabricar, falsificar ou distorcer os dados e resultados.

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5. Análise de dados

Ao longo deste capítulo apresento a análise dos dados recolhidos durante a minha intervenção letiva, organizada segundo as questões de investigação deste estudo. Uma vez que não pretendia ser exaustiva na apresentação da análise de dados, selecionei alguns excertos de resoluções dos alunos, e de diálogos em grupo turma, que considero que melhor evidenciam o trabalho realizado pelos alunos no que diz respeito à utilização de processos argumentativos e à mobilização de conhecimentos adquiridos em anos letivos anteriores e ao longo da unidade de ensino, assim como às suas dificuldades.

Primeiramente, analisei as justificações e explicações dadas, tendo como referencial as noções de justificação e explicação dadas por Whitenack e Yackel (2008) e Balacheff (2000). Tentei identificar as caraterísticas dos processos utilizados, no que à produção de argumentos diz respeito, e as dificuldades evidenciadas ao nível da argumentação. Tentei, igualmente, identificar as conjeturas formuladas pelos alunos, as suas conceções de conjetura, caso geral e demonstração e a importância dada por estes à demonstração, uma vez que esta é um processo argumentativo no qual os alunos evidenciam maiores dificuldades.

Por fim, analisei os conhecimentos que os alunos mobilizaram na resolução das tarefas, em particular na sua argumentação, e as dificuldades evidenciadas por estes, com especial enfoque nos conceitos de Geometria e no vocabulário geométrico utilizado, procurando perceber como os alunos articulam conceitos matemáticos prévios com os estudados durante a lecionação da unidade.

5.1. Processos de argumentação (explicação, justificação e

demonstração)

Na tarefa “Ângulo ao centro e ângulo inscrito”, é pedido explicitamente aos alunos que expliquem as suas estratégias de resolução. Na questão 2.1., todos os alunos determinaram corretamente as medidas das amplitudes dos ângulos ao centro 𝐴𝑂̂𝐵 e 𝐷𝑂̂𝐶. Em aula, foram unânimes em explicar que dividiram a circunferência em quatro e seis partes iguais, como estratégia de resolução.

Na figura 19 apresenta-se a resolução efetuada pelo par de alunos Aluno A e Aluno B. Este foi o único par de alunos que, por escrito, não se limitou a apresentar a sua conclusão.

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Da resolução apresentada, observa-se que os alunos concluíram que o ângulo 𝐴𝑂̂𝐵 tem 90º de medida de amplitude, tentando justificá-lo através da definição de ângulo reto (os alunos utilizaram a terminologia “retângulo” incorretamente). Quando questionados sobre a sua resolução, durante uma entrevista, os Alunos A e B explicaram que para o caso do quadrado “viram logo que era 90º” porque seria “evidente o ângulo ter 90º de amplitude porque era o ângulo de um quadrado”. Quando lhes pedi uma justificação que recorresse a uma propriedade, os alunos responderam “ah, as diagonais dos quadrados formam um ângulo reto entre si, é por isso”. Sobre os ângulos ao centro do hexágono, este par de alunos explicou que dividiram a circunferência em seis partes iguais, em conformidade com a estratégia utilizada pelos colegas de turma.

Quando lhes pedi durante uma entrevista, uma justificação, apoiada em alguma propriedade, que fundamentasse a sua estratégia, os alunos responderam que podiam fazê-lo por o hexágono ser regular e, portanto, poder dividir a circunferência em seis partes iguais, algo que não seria possível caso o hexágono não fosse regular.

Embora se consiga intuir o processo de resolução utilizado, a falta de cuidado ao apresentar as ideias, não existindo um encadeamento entre elas, por inexistência de frases que as interliguem, não permite compreender na totalidade o raciocínio utilizado pelos alunos, pelo que foi necessário recorrer ao questionamento oral para que estes pudessem explicar a estratégia utilizada – através da observação da sua produção escrita, não se compreende que estratégia os alunos utilizaram para determinar as medidas das amplitudes dos ângulos ao centro pedidas para o caso do quadrado.

Salienta-se, ainda, que a resolução apresentada mostra domínio ao nível do vocabulário geométrico utilizado, no que à representação de ângulo com centro num ponto diz respeito. Ainda assim, os alunos utilizam incorretamente o símbolo de igualdade, “=”, para exprimir a amplitude dos ângulos pedidos.

Figura 19- Exemplo de resolução da questão 2.1. da tarefa " Ângulo ao centro e ângulo inscrito ", pelo par de alunos Aluno A - Aluno B.

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Na questão 2.2., da mesma tarefa, os alunos são solicitados a determinarem a medida da amplitude de dois arcos de circunferência, justificando a sua resposta. Apenas um par de alunos não respondeu a esta questão e, na sua generalidade, os alunos determinaram corretamente as amplitudes pedidas, mas sem apresentar qualquer justificação para as suas conclusões.

Ao monitorizar o trabalho autónomo dos alunos, constatei que uma dificuldade evidenciada inicialmente em justificar consistia em considerarem que a justificação era demasiado óbvia, pelo que não seria necessária – os alunos basearam-se na evidência das suas intuições, não compreendendo a necessidade de apresentar uma justificação para a sua resposta, uma vez que a sua intuição lhes parecia ser suficiente e incontestável.

O par de alunos que não respondeu a esta questão evidenciou dificuldades ao nível da formulação de uma estratégia que lhes permitisse concluir o desejado. Este par de alunos disse não poder resolver a questão “porque o enunciado não tem valores…” apesar de terem respondido corretamente à questão precedente. Talvez por o nível de abstração necessário ser elevado, esta também foi uma dificuldade evidenciada inicialmente pela maioria dos alunos.

Na figura 20 apresenta-se um exemplo de uma resolução, desenvolvida pelo par de alunos Aluno E e Aluno F.

Apesar de não apresentarem qualquer justificação no sentido de fundamentar as medidas de amplitude por si apresentadas para esta questão, os alunos apresentam dois desenhos que, segundo os mesmos, permitem intuir sobre a estratégia utilizada – a divisão da circunferência em quatro e seis partes iguais, algo que foi, posteriormente, explicado pelos alunos, em aula:

Tentámos compreender se existia alguma propriedade que respondesse ao que queríamos. Acabamos por desenhar um quadrado dentro da circunferência porque pensamos que assim ficaria justificado…porque ele [o quadrado] divide a circunferência em quatro partes iguais. Fica 360º a dividir por 4, que dá o 90º, mas não sabemos se isso é uma propriedade ou

Figura 20 - Exemplo de resolução da questão 2.2. da tarefa “Ângulo ao centro e ângulo inscrito", pelo par de alunos Aluno E - Aluno F.

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não. Mas tentámos justificar utilizando o desenho. Fizemos igual para o hexágono. O que fizemos foi dividir… e podemos dividir porque são iguais [os comprimentos] e fica o arco igual ao ângulo. (Aluno F)

Quando entrevistado, o Aluno E acrescentou:

É igual ao anterior, porque ao dividirmos a circunferência em diferentes partes também dividimos em diferentes arcos… por exemplo, se estivermos a dividir aí no quadrado em 4 partes iguais, vemos que cada parte fica com 90º… cada ângulo com centro no O, vá. Mas os arcos também estão divididos em 4 arcos iguais e o total tem 360º…por isso ficamos com 90º na mesma em cada arco… por isso é que vai ser igual… é como se fossemos fatiar.

Efetivamente, a resolução destes alunos assenta na divisão da circunferência em quatro e seis partes iguais, como forma de determinar a amplitude dos arcos correspondentes. Parece ser evidente que os alunos compreendem a diferença entre os processos de explicação e justificação – o Aluno F aponta que o que “fizemos foi dividir”, referindo-se ao processo de resolução utilizado, e “podemos dividir porque (…)”, referindo-se ao porquê de o terem feito. É ainda de salientar que os alunos tentam, mesmo que implicitamente, enunciar uma propriedade geométrica para explicitar o seu raciocínio – o Aluno E refere que ao dividir a circunferência em “partes” iguais, os ângulos ao centro terão a mesma amplitude dos arcos correspondentes.

Ainda assim, é de referir que os alunos não apresentam evidências que explicitem os seus raciocínios, na sua expressão escrita – os desenhos que os alunos apresentam são as imagens presentes na ficha de trabalho, não sendo apresentada qualquer indicação de que a imagem pretende, efetivamente, justificar ou explicar o processo utilizado.

Apesar do raciocínio apresentado ser correto, os alunos não apresentaram uma justificação sobre o porquê de ser possível dividir a circunferência em quatro e seis partes iguais (porque o quadrado tem os lados todos iguais e o hexágono é regular), durante a aula. Um aluno levantou essa questão: “podemos fazê-lo porque o hexágono é regular… se fosse tipo com os lados todos diferentes já não dava”, algo que foi apontado como “desnecessário” por muitos alunos. Apesar do seu caráter óbvio, esta justificação seria importante, por se tratar de uma condição necessária para garantir a veracidade das conclusões apresentadas. O facto de os alunos considerarem desnecessária a apresentação de uma justificação nesse sentido, parece estar

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relacionada com a fraca apropriação que estes têm de alguns conceitos matemáticos. Com efeito, alguns alunos consideraram que mesmo se os lados fossem diferentes a circunferência poderia ser dividida em quatro e seis partes iguais e os resultados seriam idênticos aos encontrados: “ se fossem os lados diferentes também podíamos dividir e os resultados eram iguais… porque divide na mesma a circunferência “ (Aluno S).

Da resolução aqui apresentada, também é evidente a falta de rigor matemático com que os alunos apresentam as suas ideias, utilizando o símbolo da igualde, “=”, como forma de exprimir a ideia de que, por exemplo, o arco 𝐴𝐵̂ tem 90º de medida de amplitude. Contudo, os alunos mostram correta apropriação das nomenclaturas geométricas – neste caso, no que à representação de arco diz respeito.

Para a questão 2.3., pretendia-se que os alunos conjeturassem acerca da relação que existe entre a medida de amplitude do ângulo ao centro e a medida de amplitude do seu arco correspondente, baseando-se nas suas conclusões no decorrer da questão 2.

A maioria dos alunos da turma concluiu corretamente o pretendido, mas sem apresentar uma justificação. Em discussão grupo turma, os alunos foram unânimes em dizer que não apresentaram justificações por não considerarem “necessário” uma vez que “da observação do quadrado, se pode concluir o resultado desta [referindo-se à conjetura] ”. Parece ser evidente, para estes alunos, que a observação de um único caso permite concluir que existe uma relação entre os objetos matemáticos que se pretendem estudar. É de salientar que os alunos não referiram os ângulos para o caso do hexágono, focando-se exclusivamente na evidência do caso do quadrado. Não há evidências, excetuando dois alunos, que mostrem que os alunos se tenham questionado acerca da veracidade da sua conjetura, ou tenham tido curiosidade em testar a veracidade da mesma para mais alguns casos. Isto deve-se, talvez, à pouca experiência que os alunos têm com este tipo de atividade matemática, não revelando hábitos de formulação, teste (validação ou refutação) e demonstração de conjeturas por eles desenvolvidas.

Na figura 21 apresenta-se a conjetura desenvolvida pelos alunos Aluno E e Aluno F.

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Os alunos utilizaram os casos estudados nas alíneas anteriores, para o quadrado e para o hexágono inscritos na circunferência. Além destes, os alunos utilizaram o triângulo inscrito (neste caso, implicitamente, equilátero) numa circunferência, para observarem mais um caso. Parece evidente, para estes dois alunos, que a exploração de mais casos permite uma maior certeza naquilo que se conclui. Contudo, os alunos não apresentam cálculos que sustentem a sua afirmação quanto às medidas de amplitude calculadas, intuindo-se que determinaram as mesmas com recurso à divisão da circunferência em três partes iguais (um raciocínio também utilizado nas duas questões anteriores). Em aula, os alunos explicaram que lhes pareceu “insuficiente utilizar só dois casos”, explicando que, na sua opinião, a exploração de três casos já permitiria produzir uma conclusão com algum grau de certeza.

Os alunos não mostraram sentir necessidade de demonstrar a conjetura por eles encontrada, mesmo quando incentivados nesse sentido, dizendo que, através dos casos apresentados pelos colegas, “estava visto [provado] que funcionava para todos os casos existentes [caso geral] ”. Aparentemente, os alunos distinguem o caso particular do

caso geral, referindo-se a este último como uma “generalização dos exemplos” por

eles testados. No entanto, idealizam a demonstração do caso geral, de forma empírica, através da dedução, pela observação de diferentes casos.

Figura 21 – Conjetura apresentada pelo par de alunos Aluno E – Aluno F. Questão 2.3. da tarefa “Ângulo ao centro e ângulo ao inscrito”.

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Em relação à questão 3.1. da mesma tarefa, pedia-se aos alunos que concluíssem se determinados ângulos ao centro e inscrito têm a mesma medida de amplitude. Um par de alunos (Aluno I e Aluno J) respondeu que não, porque “as amplitudes dos ângulos são diferentes” sem justificar o porquê da sua conclusão, como se pode observar na figura 22.

Quando questionados, durante uma entrevista, sobre esta resolução, os alunos explicaram:

Aluno J: Pela imagem parece que não são iguais… um parece maior que o outro.

Professora: Qual parece ser maior?

Aluno J: O 𝐵𝑂̂𝐶…parece ser tipo o dobro ou assim.

Professora: Se me quisesses convencer que seria o dobro, como tentarias explicar? Pela imagem é suficiente?

Aluno J: Eu acho que é.

Professora: Se eu disser que a mim me parece o triplo, o que me respondes?

Aluno I: Oh… pelas imagens uma pessoa tira as conclusões que quer… não é por aí de certeza…

Com este diálogo pode concluir-se que, em primeira instância, os alunos utilizaram a imagem como referencial para responder à questão, não a assumindo como uma mera representação do objeto que se pretendia estudar. No entanto, quando confrontados com uma diferente perspetiva, os alunos conseguiram perceber que a imagem apenas oferece um apoio visual e não uma justificação matematicamente válida. Esta dificuldade parece estar relacionada com a ideia de que as imagens oferecem uma evidência irrefutável sobre o caso de estudo.

Da monitorização do trabalho autónomo realizado em aula, concluí que apenas um par de alunos (Aluno C e Aluno D) respondeu que as medidas das amplitudes são

Figura 22 – Exemplo de resolução da questão 3.1. da tarefa “Ângulo ao centro e ângulo inscrito”, pelo par de alunos Aluno I - Aluno J.

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as mesmas porque os ângulos estão inscritos no mesmo arco, não tendo procedido a quaisquer cálculos, como em seguida se apresenta:

Aluno C: Têm o mesmo arco. Por isso têm a mesma amplitude.

Professora: Então e se eu desenhar o ângulo 𝐵𝑂̂𝐶 [concâvo]? Tem a mesma amplitude?

Aluno C: Não, esse é claramente obtuso.

Professora: Mas partilha o mesmo arco que os outros. Como podes justificar? Aluno C: Pois, são diferentes…não é por terem o mesmo arco. Mas nem fizemos contas.

Em seguida, um par de alunos (Aluno I e Aluno J) com uma resolução correta interveio, respondendo que se poderia dividir a circunferência em três partes iguais, por o triângulo ser equilátero, e fazendo referência aos ângulos internos do triângulo – este processo de resolução foi utilizado pela maioria dos alunos da turma (Figura 23), excetuando os casos já aqui apresentados.

Da resolução apresentada, percebe-se que os alunos dividiram a circunferência em três partes iguais, não justificando porque o podem fazer (tal não era pedido), e consideraram 𝐵𝐴̂𝐶 como interno de [BAC], calculando a sua medida de amplitude e verificando que é diferente da do ângulo ao centro 𝐵𝑂̂𝐶. Uma vez mais, os alunos utilizam o símbolo da igualdade, “=”, para exprimir incorretamente as medidas de amplitude dos ângulos. É de notar que os alunos mostram dificuldade ao nível do rigor da linguagem com que apresentam as suas ideias, exprimindo relações de forma incorreta.

Ainda, houve um par de alunos que respondeu que os ângulos não teriam a mesma amplitude por um ser um ângulo ao centro e outro ser um ângulo inscrito. Uma vez que a relação entre estas amplitudes nunca tinha sido apresentada, perguntei aos alunos, durante o trabalho autónomo, o que a sua resposta significaria. Os alunos

Figura 23 – Exemplo de resolução da questão 3.1. da tarefa “Ângulo ao centro e ângulo inscrito”, pelo par de alunos Aluno I - Aluno J.

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responderam-me que talvez fossem diferentes porque seriam ângulos “de tipo” distintos, pelo que não poderiam ter a mesma amplitude ou “seriam do mesmo tipo”, mas não apresentaram quaisquer cálculos que lhes permitissem fundamentar a sua resposta.

Para a questão 3.2., os alunos são convidados, uma vez mais, a estabelecer uma relação geral entre as medidas das amplitudes do ângulo ao centro e inscrito. A maioria dos alunos relacionou corretamente as medidas pedidas, indicando que são iguais, sem evidenciar fundamentos que o sustentem. Em aula, referiram que “concluíram logo da alínea anterior”. No entanto, uma vez que na questão 2 os colegas referiram a importância do estudo de mais casos, alguns alunos referiram o mesmo:

Aluno P: Professora, nós usamos mais alguns casos para ver…como fizeram para a 2.

Professora: Que casos estudaram?

Aluno P: Nós pensámos que era metade porque na 3.1. vimos que era. Mas depois usámos os da pergunta 2. Tipo vimos que o 𝐵𝐶̂𝐷 no quadrado é o ao centro. Mas achámos estranho… porque esse também tem 90º… então o ao centro fica igual ao inscrito mas isso não é o que deu na 3.1.

Aluno B: Nós também tentámos usar a pergunta 2 mas também achamos que está mal porque fica 90º.

Deste diálogo, concluímos que os alunos tentaram, de facto, testar a relação que pensavam ter encontrado para outro caso: o do quadrado inscrito. Nenhum aluno se focou no hexágono, ou referiu esse caso, sem incentivo da minha parte. O erro dos alunos reside, neste caso particular, de considerarem incorretamente 𝐵𝑂̂𝐴 como ângulo ao centro correspondente ao ângulo inscrito por eles considerado. No entanto, é de salientar que os alunos apresentaram uma justificação (no caso do quadrado não funcionava) baseada num único contraexemplo, que, segundo os mesmos, refutava a sua primeira intuição. Os alunos não mostraram, no entanto, necessidade em obter uma

justificação matemática para o caso geral, parecendo, uma vez mais, convictos de que

o caso geral poderia ser deduzido empiricamente.

O problema 4, da mesma tarefa, tem como principal objetivo conduzir os alunos á conclusão de que a medida da amplitude do ângulo inscrito é metade da medida da amplitude do seu arco capaz. Para tal, os alunos têm de relacionar este problema com os anteriormente trabalhados durante a resolução e discussão em grupo turma.

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Para a questão 4.2., os alunos revelaram dificuldades ao nível da compreensão do enunciado, não conseguindo utilizar as conclusões retiradas dos problemas anteriores como um auxílio na resolução do novo problema. De facto, muitas vezes os alunos questionaram-me: “professora, o que é para fazer aqui?”, “como posso justificar se não tenho valores?” ou “não tenho dados para responder, porque isto não tem valores… com valores se calhar conseguia”. Com isto, percebi que os alunos têm dificuldade em interpretar e resolver problemas que não contenham dados concretos.