Descrição da intervenção letiva

Nesta secção apresento descrições sucintas e reflexões sobre as aulas lecionadas, cujos planos se encontram no Anexo 2.

Aula I 16 de fevereiro de 2018

A minha intervenção letiva foi iniciada dia 16 de fevereiro de 2018, tendo sido repartida em dois blocos de 50 minutos cada. Para esta aula, defini como tópico estudar os ângulos ao centro e inscrito. A aula foi apoiada, essencialmente, na resolução e discussão da tarefa proposta aos alunos (Ficha de trabalho I).

O primeiro bloco de aula focou-se na resolução coletiva do primeiro exercício da tarefa e no trabalho autónomo e posterior discussão da segunda questão da mesma. Optei por discutir coletivamente o primeiro exercício, por se tratar de uma revisão de noções prévias necessárias para dar continuidade ao trabalho no estudo da unidade considerada. Os alunos envolveram-se bastante na atividade realizada, embora revelando não se recordar de algumas definições – como a de setor circular e a de corda. Para contornar essa dificuldade, optei por apoiar o questionamento oral com desenhos efetuados no quadro. Por exemplo, para definir corda, os alunos afirmaram que a mesma não poderia conter o centro da circunferência. Assim, optei por desenhar um diâmetro na circunferência e questionar “um diâmetro é uma corda? os extremos

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do diâmetro estão ou não sobre a circunferência?”. Os alunos responderam que sim, sendo que um referiu que o diâmetro seria, portanto, uma corda.

No que à segunda questão concerne, ao monitorizar o trabalho autónomo dos alunos, apercebi-me que alguns utilizaram processos distintos de resolução, pelo que considerei pertinente incluir esses elementos na discussão. Para tal, optei pelo questionamento oral, perguntando a diversos alunos que estratégias de resolução utilizaram e porquê, pedindo comentários dos colegas. Este processo permitiu aos alunos relembrar conceitos de anos escolares anteriores (medida das amplitudes dos ângulos internos de polígonos regulares, medida da amplitude de arcos compreendidos entre os lados de um polígono regular) e corrigir/modificar algumas das ideias apresentadas inicialmente.

O segundo bloco desta aula focou-se na resolução autónoma das questões 3 e 4, e sua posterior discussão, tendo os alunos sido igualmente participativos e atentos. Durante a monitorização do trabalho autónomo dos alunos, no que à questão 3 diz respeito, apercebi-me que muitos consideraram que as medidas das amplitudes dos ângulos seriam diferentes porque tal era observável através da imagem presente no enunciado da tarefa. Como tal, decidi interromper o trabalho autónomo e esclarecer os alunos que a imagem apenas serve de apoio ao problema e a sua observação não constitui uma justificação matematicamente aceitável. Com a resolução e discussão a questão 3, os alunos concluíram que a medida da amplitude do ângulo inscrito é sempre metade da medida da amplitude do seu ângulo ao centro correspondente. Os alunos foram alertados para o facto de a conclusão que retiraram ser verdadeira para o caso geral, não podendo, ainda assim, concluir isso com base num exemplo único, sem uma demonstração matemática que o sustente.

Para esta aula, tinha definido que iria demonstrar, em conjunto com a turma, que a medida da amplitude do ângulo inscrito é metade da medida da amplitude do ângulo ao centro. No entanto, como alguns alunos não puderam comparecer nesta segunda aula, porque houve um torneio de futebol na Escola, optei por deixar a demonstração para a aula seguinte, alertando-os, no entanto, para a necessidade de provar a relação encontrada.

Com a resolução da questão 4, os alunos recordaram a classificação de triângulos quanto aos lados – sendo que isso foi questionado durante a discussão e os alunos foram unânimes em responder, sendo que nenhum levantou dúvidas –, relacionaram a medida da amplitude do ângulo inscrito com a medida da amplitude do

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seu arco capaz e, na última alínea, resolveram um exercício de consolidação. No que diz respeito à relação da medida da amplitude do ângulo inscrito com a medida da amplitude do seu arco capaz, os alunos mostraram ter algumas dificuldades na compreensão do que era pedido, não conseguindo utilizar as conclusões retiradas das questões anteriores como um auxílio na resolução da nova questão. Através do questionamento oral, tentei remeter o pensamento dos alunos para as conclusões retiradas anteriormente, algo que resultou, uma vez que estes conseguiram concluir o pretendido.

No final da aula, os alunos foram alertados para o facto de, na questão 4, um dos lados do ângulo inscrito conter o centro da circunferência, pelo que isso nem sempre acontece. Decidi mostrar, recorrendo ao Geogebra, os outros casos possíveis para a posição do ângulo inscrito, para que os alunos compreendessem que a medida da amplitude deste ângulo é sempre metade da medida da amplitude do seu arco capaz, independentemente da posição do mesmo. Por fim, discuti a questão dos arredondamentos porque um aluno reparou que, para certas medidas de amplitude, o

software apresentava valores arredondados.

Um dos aspetos que considerei ter de melhorar foi a escolha dos alunos a participar durante o questionamento oral: a minha tendência, durante esta aula, foi a de selecionar apenas os alunos que mostraram interesse em responder, em vez de tentar incentivar todos os alunos a participar ativamente, construindo uma cultura de argumentação, que era o desejado. Ainda, durante a monotorização do trabalho autónomo, notei que se gerou algum barulho incomodativo porque alguns alunos terminaram mais cedo do que o previsto e, apesar de lhes ter dado tarefas extra para realizarem, deveria ter gerido este momento de uma melhor forma. Notei que, nesta fase, é bastante complicado dar assistência a todos os alunos, porque a turma é grande e tem tendência a demorar a iniciar o trabalho autónomo. Uma forma de minimizar a distração da turma, será, futuramente, não despender tanto tempo para o trabalho autónomo.

A aula decorreu de acordo com o planeado, embora não tenha sido demonstrado que a medida da amplitude do ângulo inscrito é metade da medida da amplitude do ângulo ao centro.

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Aula II 19 de fevereiro de 2018

A segunda aula da minha intervenção letiva foi realizada dia 19 de fevereiro, do presente ano, tendo uma duração de 50 minutos. Para esta aula, defini como objetivo o de estudar as propriedades dos ângulos estudados na aula anterior, apoiando-me na resolução e discussão da tarefa proposta para este efeito (Ficha de trabalho II). Uma vez que na aula anterior não teria conseguido realizar a demonstração a que me tinha proposto, considerei esse aspeto nesta aula.

Os primeiros vinte minutos da aula focaram-se numa pequena revisão das conclusões retiradas da aula anterior e na demonstração de que a medida da amplitude do ângulo inscrito é metade da medida da amplitude do seu arco capaz. Decidi rever os conteúdos tratados na aula anterior como forma de esclarecer dúvidas e consolidar ideias.

Uma vez iniciada a demonstração, os alunos mostraram ter algumas dificuldades em compreender a sua simbologia e a demonstração, em si. Para contornar essa situação, apoiei-me na imagem da questão 4 da tarefa anterior (tendo-a projetado no quadro) e utilizei diversas cores de marcador para assinalar os ângulos a que me ia referindo durante a demonstração e questionando sempre os alunos sobre as suas dúvidas em diferentes passos da mesma. Para contornar a questão da dificuldade em compreender a simbologia, considero que utilizar letras gregas para definir os ângulos é mais vantajoso do que utilizar a notação normalmente utilizada, embora não o tenha feito para esta demonstração, por lapso. Ainda assim, os alunos mostraram-se interessados em participar e contribuíram com sugestões proveitosas, que utilizei para clarificar a demonstração. Este momento revelou ser mais moroso que o previsto, pois registou-se algum barulho incomodativo, o que obrigou a algumas paragens da aula para se alertar os alunos de que o barulho estaria a interferir com o decorrer da mesma e com a compreensão do que estaria a ser realizado. No entanto, a maioria dos alunos mostrou ter compreendido a demonstração pois, quando interpelados através do questionamento, souberam esclarecer os colegas e explicar como se chegou à conclusão pretendida.

Finalizado este momento, os alunos dispuseram de quinze minutos para realizar a ficha de trabalho. Ao monitorizar o trabalho autónomo dos alunos, constatei que a maioria não resolveu a segunda questão da ficha, cujo objetivo era concluir que as medidas das amplitudes dos ângulos inscritos seriam a mesma; dos que resolveram a

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questão, um par de alunos concluiu que a medida da amplitude dos ângulos era metade da medida da amplitude do arco 𝐴𝐵̂ , como se estes fossem ângulos ao centro e não inscritos, algo que aproveitei para a discussão. Durante a discussão desta questão, optei por questionar os alunos que consideraram que a amplitude dos ângulos era metade da amplitude do arco 𝐴𝐵̂ , porque achei importante que percebessem que isso seria verdade se os ângulos fossem ao centro, o que não era o caso; de facto, foram os restantes alunos da turma que alertaram os colegas para esse facto, fazendo uma analogia com o estudado na aula anterior, evidenciando uma aprendizagem significativa nesse sentido.

Os últimos quinze minutos de aula focaram-se na discussão das duas primeiras questões. Apesar de a maioria dos alunos ter resolvido a última questão, as dificuldades que emergiram durante a discussão das anteriores, impediram a discussão da mesma.

Em relação à primeira questão, os alunos utilizaram todos o mesmo processo de resolução, pelo que pude observar do seu trabalho autónomo e pelas respostas dadas durante a discussão. Apenas um aluno referiu a isometria como forma de justificar o que se pedia, mas não concluiu que isometria seria (rotação de centro O e amplitude de 180º). Esta ideia foi explorada durante a discussão, em que esse aluno indicou que existia uma isometria, não se recordando qual seria.

Para esta discussão decidi, ainda, explorar a ideia de que as cordas seriam geometricamente iguais pelo critério de igualdade dos triângulos LAL, como forma de relembrar os alunos do mesmo.

O último objetivo de aprendizagem para esta aula não terá sido cumprido, uma vez que a demonstração inicial e a discussão das primeiras questões se estendeu mais do que o previsto, devido às dificuldades evidenciadas pelos alunos, em justificar. Este aspeto obrigou-me a refletir sobre as planificações das aulas, em termos de gestão de tempo, e sobre a previsão de dificuldades dos alunos. Considero que estas duas dinâmicas estão interligadas, porque uma boa previsão de dificuldades ajuda a uma melhor gestão do tempo; como não previ muitas das dificuldades evidenciadas pelos alunos durante a demonstração, este processo acabou por atrasar a aula. Futuramente, creio ser essencial prever as dificuldades que os alunos possam ter durante a demonstração de um qualquer resultado matemático, algo que não considerei para esta aula.

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Durante esta aula, notei também que os alunos, em certos momentos, se distraíram com ruídos exteriores à sala de aula, pelo que, por diversas vezes, tive de os alertar para esse facto.

Em relação à aula anterior, considero que geri melhor a participação dos alunos, tentando incentivar todos a participar, principalmente quem não colocava o braço no ar. Quando tinha a certeza que um aluno com dificuldades tinha uma resposta correta (pelo observado durante o trabalho autónomo), questionava-o de forma a existir um reforço positivo.

Aula III 21 de fevereiro de 2018

A terceira aula da minha intervenção letiva foi realizada dia 21 de fevereiro, do presente ano, tendo uma duração de 50 minutos. Para a concretização desta aula apoiei- -me na resolução e discussão da ficha de trabalho III.

Os primeiros quinze minutos da aula focaram-se numa pequena revisão das conclusões retiradas das aulas anteriores e na discussão da terceira questão da tarefa proposta durante a aula anterior. Decidi iniciar a discussão da questão da tarefa da aula anterior, questionando quem teria colocada a alínea [A] como verdadeira, pedindo uma justificação para essa opção. Em seguida, pedi aos alunos que comentassem, especificando porque estariam de acordo ou contra. Os alunos terão sido unânimes em concluir que o triângulo era um triângulo retângulo. No entanto, todos responderam que seria triângulo “porque teria um ângulo de 90º”, não compreendendo que a justificação pretendida passava por compreenderem que o ângulo seria inscrito num arco de 180º de amplitude. Para que o compreendessem, decidi questionar “Que ângulo, de entre os estudados nas últimas duas aulas, é este? O que podem concluir sobre a sua medida de amplitude?”. Neste instante, houve um pequeno conjunto de alunos que conseguiu explicar que o ângulo tinha 90º de amplitude por se tratar de um ângulo inscrito num arco com 180º de amplitude.

Quanto à classificação quanto aos lados, apenas uma aluna notou que o triângulo seria isósceles para uma certa posição de V. Uma vez que me apercebi desse facto, pedi à aluna que explicasse, no quadro, a sua resolução para os colegas.

De seguida, foram dados quinze minutos aos alunos para realizarem, autonomamente, a ficha de trabalho. No entanto, esses quinze minutos estenderam-se para vinte pois, do que pude observar da monitorização do trabalho autónomo, os alunos tendem a despender tempo a explicar aos colegas de carteira as conclusões que

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retiram, não escrevendo, de imediato, a resposta, pelo que me pediam, por diversas vezes, mais tempo para poderem registar o que tentavam explicar ao colega. Da monitorização do trabalho dos alunos durante esta fase, notei ainda que os mesmos se preocuparam em conseguir justificar os seus raciocínios, apresentando justificações mais completas do que anteriormente, e conectando melhor as ideias, entre si.

Durante o momento em que circulei pela sala, a fim de esclarecer dúvidas, fui, por diversas vezes, questionada sobre o significado de mediatriz, pelo que decidi interromper o trabalho autónomo para questionar a turma “quem sabe qual a definição de mediatriz? O que vos faz lembrar a palavra mediatriz?”. Os alunos concluíram que seria uma reta que contém o ponto médio de um segmento. Uma vez que nenhum aluno referiu o facto de a mediatriz ser uma reta perpendicular ao segmento, decidi, no quadro, desenhar um segmento de reta, identificar o seu ponto médio e traçar, sobre o mesmo, uma reta oblíqua, tendo questionado “Esta reta é a mediatriz deste segmento? Porquê? Para ser mediatriz o que falta garantir?”. Os alunos foram unânimes em responder que a reta teria de formar um ângulo de 90 graus com o segmento. Como nenhum aluno referiu que os pontos se encontram à mesma distância dos extremos do segmento, decidi perguntar “Se eu colocar um ponto sobre e mediatriz o que é que se pode dizer sobre a distância entre esse ponto e os extremos? Porquê?”. Um aluno respondeu prontamente que os pontos estão à mesma distância dos dois extremos, tendo explicado aos colegas a sua conclusão.

Os últimos quinze minutos de aula focaram-se na discussão das questões 1.1. e 1.2. Apesar de a maioria dos alunos ter resolvido a ficha na sua totalidade, a demora durante o trabalho autónomo em registar conclusões e a quantidade de contribuições dadas durante a discussão das questões anteriores, impediram a discussão da ficha de trabalho na sua íntegra.

Em relação à alínea b) da questão 1.1., os alunos responderam distintamente: (a) a mediatriz seria aquela, pois, continha o ponto médio de ambos os segmentos e era perpendicular aos dois; (b) a mediatriz seria aquela porque 𝑂𝐴̅̅̅̅ = 𝑂𝐵̅̅̅̅ ; (c) a mediatriz seria aquela porque esta dividia a circunferência em duas partes iguais. Em relação às duas últimas observações, levantaram-se questões pertinentes, entre os alunos: houve quem dissesse que o facto de 𝑂𝐴̅̅̅̅ = 𝑂𝐵̅̅̅̅ não seria suficiente para justificar o pretendido, porque isso advém do facto de r ser mediatriz, e quem dissesse que a circunferência ficaria dividia em duas partes iguais, exatamente por r ser mediatriz, pelo que essa também não poderia ser uma justificação, pois “não se pode

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justificar começando por usar a hipótese de que r é mediatriz, porque isso é o que queremos justificar”. Desta discussão, foi notória a importância que os alunos começaram a mostrar em justificar adequadamente os seus raciocínios, recorrendo a argumentos matemáticos válidos.

O surgimento de variadas justificações tornou este momento bastante interessante, porque os alunos discutiram entre si a validade das justificações encontradas. Da discussão das questões 1.1.e 1.2., os alunos concluíram que qualquer reta que contenha o centro da circunferência e seja perpendicular a uma corda, a bisseta, sendo um eixo de simetria da circunferência.

O último objetivo de aprendizagem não terá sido cumprido, uma vez que as alíneas 1.3. e 1.4. terão ficado por corrigir, devido ao trabalho autónomo se ter estendido por mais tempo que o previsto, algo que, uma vez mais, terei de considerar futuramente; talvez seja conveniente introduzir melhor a ficha de trabalho a ser explorada, esclarecendo dúvidas sobre conceitos que os alunos não se recordem de anos anteriores.

Aula IV 23 de fevereiro de 2018

A quarta aula da minha intervenção letiva foi realizada no dia 23 de fevereiro, do presente ano, tendo sido repartida em dois blocos, com 50 minutos cada. Para esta aula, baseei a lecionação na resolução e discussão da ficha de trabalho IV.

Os primeiros dez minutos de aula focaram-se na revisão oral das conclusões retiradas das aulas anteriores, pelo que os alunos mostraram estar atentos, nas aulas, conseguindo enunciar as relações encontradas até ao momento.

Os vinte minutos seguintes, foram destinados à discussão, em grupo turma, das alíneas 1.3. e 1.4. da questão da aula anterior. Da resolução destas alíneas, os alunos mostraram ter conhecimento sobre isometrias e eixos de simetria, identificando, de imediato, o diâmetro como eixo de simetria. Além do mais, houve quem constatasse que as cordas [AF] e [BE] não seriam paralelas “porque não se encontram sempre à mesma distância uma da outra, logo tocam-se no infinito”. Ainda durante esta discussão, foi relembrado, por mim, o critério de igualdade LAL, como estratégia de resolução da alínea 1.4.

Uma vez que nesta aula seria introduzido um novo ângulo (o de segmento), antes do trabalho autónomo, despendi quinze minutos para introduzir o mesmo, tendo pedido a um aluno que lesse a definição que se encontrava na ficha de trabalho. Este

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momento gerou alguma confusão entre os alunos, uma vez que o ângulo se define utilizando uma corda e uma reta tangente à circunferência. No quadro, desenhei um ângulo de segmento, à medida que ia lendo, devagar, a definição, e esclarecendo as dúvidas que emergiam. Este momento contribuiu para que os alunos esclarecessem o que não tinham compreendido sobre a definição sendo que apenas prossegui com a aula quando tive a confirmação de não existirem mais dúvidas – ainda assim, durante a monitorização do trabalho autónomo, perguntei aos alunos, individualmente, se não tinham dúvidas sobre a definição abordada.

O trabalho autónomo teve uma duração de vinte minutos e, do que consegui observar, os alunos mostraram-se interessados, uma vez mais, em resolver a ficha de trabalho e trabalharam, maioritariamente, em conjunto com o colega de carteira. Da observação do trabalho autónomo, notei que a maioria dos alunos não se recordava que uma reta tangente forma um ângulo reto com o diâmetro de uma circunferência, com vértice no ponto de tangência, sendo que esta dificuldade impedia a continuação do trabalho. Como tal, decidi interromper os alunos e devolver a pergunta à turma “Quando uma reta é tangente a uma circunferência, o que podemos afirmar sobre o ângulo que esta forma com o diâmetro da circunferência?”. Os alunos responderam que a reta tangente forma um ângulo reto com o diâmetro da circunferência.

Ainda, notei que alguns alunos continuaram a considerar que um ângulo tem sempre a mesma amplitude do seu arco associado, como se essa propriedade se verificasse não apenas para o ângulo ao centro, mas para todos os ângulos – várias vezes, questionei os alunos “Essa conclusão é verdade para todos os tipos de ângulos? O que viste sobre a relação entre a medida da amplitude do ângulo inscrito e a medida de amplitude do seu arco capaz?”. Estas questões ajudaram os alunos a relembrar que tal acontecia para os ângulos ao centro, tendo de verificar se para este também seria assim.

Uma vez que observei que dois pares de alunos consideraram o João como tendo razão (nenhum aluno considerou que a Joana tinha razão), decidi iniciar a discussão pedindo a esses pares que apresentasse as suas ideias, pedindo comentários aos colegas. Como estes foram os únicos alunos a considerar que o João teria razão,