• Nenhum resultado encontrado

A argumentação matemática dos alunos do 9º ano de escolaridade no estudo da circunferência

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "A argumentação matemática dos alunos do 9º ano de escolaridade no estudo da circunferência"

Copied!
165
0
0

Texto

(1)

Universidade de Lisboa

A argumentação matemática dos alunos do 9.º ano de escolaridade no

estudo da Circunferência

Carolina Beatriz De Costa Rebelo E Da Costa Rodrigues

Mestrado em Ensino de Matemática

Relatório da Prática de Ensino Supervisionada orientado pela Professora Doutora Ana Cláudia Correia Batalha Henriques e coorientado pelo Professor Doutor Pedro Jorge

Santos Freitas

(2)
(3)

Universidade de Lisboa

A argumentação matemática dos alunos do 9.º ano de escolaridade no

estudo da Circunferência

Carolina Beatriz De Costa Rebelo E Da Costa Rodrigues

Mestrado em Ensino de Matemática

Relatório da Prática de Ensino Supervisionada orientado pela Professora Doutora Ana Cláudia Correia Batalha Henriques e coorientado pelo Professor Doutor Pedro Jorge

Santos Freitas

(4)
(5)

i

Agradecimentos

Começo por agradecer ao Professor Paulo Alvega por me “emprestar” a sua turma no decorrer deste ano letivo e pelos conselhos e experiência partilhada, que permitiram a escrita e desenvolvimento deste trabalho.

À turma na qual desenvolvi a minha intervenção, por uma primeira experiência de ensino tão rica e especial como a que me proporcionaram.

À Professora Ana Henriques, minha orientadora, pela cordialidade, simpatia, preocupação, dedicação e modo como me orientou e aconselhou no desenvolvimento deste trabalho. Obrigada pelas valiosas contribuições e sugestões, que me motivaram a superar as minhas dificuldades e a redigir o trabalho aqui apresentado. Um especial agradecimento pelas palavras de apoio e incentivo, que me permitiram encarar este trabalho com a seriedade necessária, mas sem me esquecer de ter uma atitude positiva face ao mesmo.

Ao Professor Pedro Freitas, meu coorientador, pela simpatia e cordialidade com que sempre me recebeu, o interesse e apoio na orientação deste trabalho, assim como as sugestões e comentários pertinentes, que me permitiram ter como base de ensino um contexto matemático coeso e sem erros de formalidade.

À professora Hélia Oliveira e ao professor Henrique Guimarães, meus professores neste ciclo de estudos, pela experiência partilhada e contribuição para o meu bom desempenho no decorrer do mesmo. Um especial agradecimento pelos conselhos e palavras de incentivo, face às adversidades encontradas.

Aos meus pais, irmão e irmã, pelo amor incondicional que sempre mostraram nutrir por mim. Em particular, um especial agradecimento à minha mãe que, sem nunca hesitar, reuniu todas as condições necessárias para que eu pudesse concretizar o meu sonho de infância, por vezes em detrimento próprio. Obrigada por me teres ajudado a erguer em todos os momentos de fraqueza e hesitação e por fazeres parte, com a boa disposição que te é caraterística, de todas as aventuras a que me proponho.

Às minhas colegas de mestrado e aos colegas do Mestrado em Ensino de Biologia e Geologia e Mestrado em Ensino de Físico-Química, pelo companheirismo no decorrer deste ciclo de estudos, amizade e experiências partilhadas. Um especial agradecimento à minha colega Dulce Matias pelo companheirismo, amizade e apoio demonstrados.

(6)

ii

À Marlène Cavaleira, minha amiga, por acreditar nas minhas capacidades enquanto professora, me incentivar em tudo aquilo a que me proponho profissionalmente e me mostrar, todos os dias, que ser professor é a profissão mais gratificante que existe.

Ao Rúben Simões, pelo companheirismo, amizade e amor incondicionais demonstrados ao longo deste ciclo de estudos e em todos os momentos por nós partilhados. Obrigada por todas as palavras de carinho, apoio e compreensão.

A todos os professores que comigo se cruzaram e, de uma maneira ou de outra, me inspiraram a sê-lo.

Por último, ao Vasco Manuel Moreira, meu antigo professor e grande amigo, a quem dedico este trabalho. Fica a promessa de honrar a tua memória, tentando ser tão boa professora como aquele que me mostraste ser durante os poucos anos em que os nossos caminhos se cruzaram. Fica a eterna lembrança da amizade, apoio incondicional e afeto que perpetuaram o caminho até então.

(7)

iii

Resumo

O estudo aqui apresentado foi realizado no âmbito da Prática de Ensino Supervisionada, no ano letivo 2017/2018, tendo tido como base a lecionação de um conjunto de nove aulas (6 aulas de 50 minutos e 3 aulas de 100 minutos), a uma turma do 9.º ano de escolaridade, na disciplina de Matemática.

Este estudo tem como objetivo caracterizar a argumentação matemática dos alunos de 9.º ano, na realização de tarefas propostas no âmbito da unidade de ensino

propriedades dos ângulos, cordas e arcos definidos numa circunferência. Em

particular, pretende-se analisar: (a) Que processos argumentativos são utilizados pelos alunos na realização das tarefas propostas e quais as suas características. Quais as dificuldades que evidenciam na utilização desses processos argumentativos e (b) Que conhecimentos matemáticos são mobilizados pelos alunos nas suas argumentações e quais as dificuldades que evidenciam na mobilização desses conhecimentos.

O estudo seguiu uma metodologia qualitativa e interpretativa a recolha de dados fez-se através de: (a) observação participante das aulas lecionadas, com registo áudio e vídeo; (b) recolha documental das produções escritas dos alunos na resolução das tarefas; e (c) entrevistas semiestruturadas, realizadas individualmente a cinco alunos da turma.

A análise dos dados sugere que os alunos se envolvem satisfatoriamente nos processos de explicação e justificação, embora inicialmente só o concretizam quando pedido explicitamente. No entanto, apresentam dificuldades ao nível da produção de demonstrações, e compreensão das mesmas, pelo que consideram que o caso geral pode ser obtido empiricamente. As dificuldades evidenciadas incidem, essencialmente, na comunicação matemática e na falta de rigor e coesão com que apresentam as suas ideias.

Os alunos mobilizaram diferentes conhecimentos geométricos, prévios e adquiridos durante a lecionação da unidade, mas evidenciam falta de apropriação e compreensão do vocabulário próprio da Geometria, o que provoca dificuldades ao nível da argumentação.

Palavras-chave: argumentação matemática, processos argumentativos, dificuldades dos alunos, Geometria, Ensino básico.

(8)
(9)

v

Abstract

This study was conducted as a supervised teaching practice report, as a part of my masters degree in Mathmeatics Teacher Education. The study took place during the scholar year of 2017/2018, based on a set of nine lessons (six lessons of fifty minutes and three lessons of one hundred minutes), in a 9th grade mathematics class.

The aim of this study was to characterize 9th grade students mathematical argumentation, when solving tasks involving the geometrical unit: properties of

angles, strings and arcs defined on a circumference. In particular, I intended to

analyse: (a) which argumentative processes do students use, when solving proposed tasks, and their characteristics. More specifically, which difficulties do they show when using those processes and (b) which prior knowledge do students use in their argumentations and which difificulties do they show when using that knowledge.

This study was conducted as a qualitative and interpretative approach and data collection included: (a) direct observation, (b) written documents produced by students and (c) five semi-structured interviews.

The results suggest that students produce explanations and justifications satisfactorily, although they only did it initially when explicity requested. However, they have difficulties producing proofs, and understanding them, as it is shown that they seem to believe that the validity of an affirmation can be concluded empirically. The difficulties that they show affect, mostly, in mathematical communication and lack of rigor and cohesion with which they present their ideas.

Students mobilize different geometrical knowledge, acquired during the teaching intervention and from other school years. They use this knowledge to argue using geometrical procedures. However, it seems that they lack of geometrical vocabulary understanding, and appropriation, which causes difficulties in using argumetation processes.

Keywords: mathematical argumentation, argumentative processes, students difficulties, Geometry, middle school.

(10)
(11)

vii

Índice

Agradecimentos ... i Resumo ... iii Abstract ... v Índice de Tabelas ... x Índice de Figuras ... xi 1. Introdução ... 1

1.1. Relevância do estudo e motivações pessoais ... 1

1.2. Objetivo e questões de estudo ... 4

1.3. Organização do estudo... 4

2. Enquadramento teórico ... 5

2.1. A argumentação em Matemática ... 5

2.1.1. Perspetivas de argumentação ... 5

2.1.2. Dimensões da argumentação ... 8

2.1.3. Modelos de argumentação comuns ... 9

2.1.3.1. O modelo de argumentação de Toulmin ... 9

2.1.3.2. O modelo de argumentação de Perelman ... 13

2.1.3.3. Seleção e ordenação de argumentos ... 15

2.1.4. A argumentação na aula de Matemática... 17

2.1.4.1. Significado de argumentar em Matemática ... 17

2.1.4.2. Argumentar, explicar e justificar ... 17

2.1.4.3. A argumentação e a demonstração matemática ... 18

2.1.4.4. Dificuldades evidenciadas pelos alunos em argumentar ... 20

2.1.4.5. O papel do professor na promoção da argumentação em sala de aula ... 22

2.2. A Geometria ... 24

(12)

viii

2.2.2. A aprendizagem da Geometria e as dificuldades dos alunos ... 25

2.2.2.1. Visualização espacial... 26

2.2.2.2. Dificuldades dos alunos ... 27

3. A Unidade de Ensino ... 31

3.1. Contexto Escolar ... 31

3.1.1. Caraterização da Escola... 31

3.1.2. Caraterização da turma ... 32

3.2. Ancoragem e Organização da Unidade de Ensino ... 34

3.2.1. A Circunferência no Programa do Ensino Básico ... 34

3.2.2. Planificação das atividades desenvolvidas em aula ... 37

3.3. Conceitos Matemáticos... 38

3.4. Estratégias de ensino ... 50

3.5. Tarefas ... 56

3.6. Avaliação ... 64

3.7. Descrição da intervenção letiva ... 65

4. Métodos e procedimentos de recolha de dados ... 85

4.1. Opções metodológicas gerais ... 85

4.2. Participantes no estudo ... 86

4.3. Métodos de recolha de dados ... 87

4.4. Análise de dados ... 89 4.5. Questões éticas ... 90 5. Análise de dados ... 91 6. Conclusões ... 129 6.1. Síntese do estudo ... 129 6.2. Principais conclusões ... 130 6.3. Reflexão final ... 135 7. Referências Bibliográficas ... 139

(13)
(14)

x

Índice de Tabelas

Tabela 1 – Planificação das atividades (parte 1 de 2) ... 37 Tabela 2 – Planificação das atividades (parte 2 de 2) ... 38

(15)

xi

Índice de Figuras

Figura 1- Representação elementar do modelo de argumentação de Toulmin

(adaptado de Gil e Martinho, 2014) ... 10

Figura 2 - Modelo de análise do micro argumento proposto por Toulmin (retirado de Gil e Martinho, 2014, p.320) ... 11

Figura 3 - Tipologia de argumentos segundo Perleman (Grácio, 2010) ... 14

Figura 4 – Classificações dos alunos a Matemática no final do 1.º período do ano letivo 2017/2018 ... 33

Figura 5 – Figura de apoio à demonstração I ... 41

Figura 6 – Figura de apoio à demonstração I ... 41

Figura 7 – Figura de apoio à demonstração II ... 42

Figura 8 – Figura de apoio à demonstração III ... 43

Figura 9 – Figura de apoio à demonstração IV ... 44

Figura 10 – Figura de apoio à demonstração IV ... 44

Figura 11 – Figura de apoio à demonstração IV ... 45

Figura 12 – Figura de apoio à demonstração V ... 45

Figura 13 – Figura de apoio à demonstração VII ... 46

Figura 14 – Figura de apoio à demonstração VIII ... 46

Figura 15 – Figura de apoio à demonstração IX ... 47

Figura 16 – Figura de apoio à demonstração X ... 48

Figura 17 – Figura de apoio à demonstração X ... 48

Figura 18- Figura de apoio à demonstração XI ... 49

Figura 19- Exemplo de resolução da questão 2.1. da tarefa " Ângulo ao centro e ângulo inscrito ", pelo par de alunos Aluno A - Aluno B. ... 92

Figura 20 - Exemplo de resolução da questão 2.2. da tarefa “Ângulo ao centro e ângulo inscrito", pelo par de alunos Aluno E - Aluno F. ... 93

Figura 21 – Conjetura apresentada pelo par de alunos Aluno E – Aluno F. Questão 2.3. da tarefa “Ângulo ao centro e ângulo ao inscrito”. ... 96

Figura 22 – Exemplo de resolução da questão 3.1. da tarefa “Ângulo ao centro e ângulo inscrito”, pelo par de alunos Aluno I - Aluno J. ... 97

Figura 23 – Exemplo de resolução da questão 3.1. da tarefa “Ângulo ao centro e ângulo inscrito”, pelo par de alunos Aluno I - Aluno J. ... 98

(16)

xii

Figura 24 – Resolução da alínea b) da questão 1, da tarefa "Propriedades sobre os Ângulos", pelo par Aluno E - Aluno F. ... 101 Figura 25 - Conjetura apresentada pelo par de alunos Aluno A – Aluno B. Questão 1.2. da tarefa “Ângulo de segmento”. ... 105 Figura 26 - Conjetura apresentada pelo par de alunos Aluno M - Aluno N. Questão 1.2. da tarefa "Ângulo de segmento". ... 105 Figura 27 – Exemplo de resolução da alínea 1.1. da tarefa “Ângulo ex-inscrito”, pelo par de alunos Aluno A – Aluno B. ... 108 Figura 28 – Exemplo de resolução da questão 1.1. da tarefa “Ângulos internos e externos de polígonos”, pelo par de alunos Aluno C - Aluno D. ... 109 Figura 29 – Exemplo de resolução da questão 1.3. da tarefa “Ângulos internos e externos de polígonos”, pelo par de alunos Aluno C – Aluno D... 110 Figura 30 – Casos estudados por um par de alunos da turma para formular uma conjetura, na questão 2.1. da tarefa “Ângulos internos e externos de polígonos” (Aluno K e Aluno L). ... 111 Figura 31 – Proposta de resolução, elaborada pelo Aluno J, da questão 2.2. da tarefa “Ângulos internos e externos de polígonos”, utilizando uma expressão algébrica. ... 113 Figura 32 - Exemplo de resolução do problema 1 da tarefa " Problemas geométricos”, pelo par de alunos Aluno F – Aluno I ... 119 Figura 33 – Exemplo de resolução do problema 1 da tarefa “Problemas geométricos”, pelo par de alunos Aluno G – Aluno H. ... 120 Figura 34 - Exemplo de resolução do problema 2.1. da tarefa " Problemas geométricos", pelo par de alunos Aluno A – Aluno C. ... 121 Figura 35 – Exemplo de resolução do problema 2.2. da tarefa “Problemas geométricos”, pelo par de alunos Aluno M – Aluno N. ... 121 Figura 36 – Exemplo de resolução (incorreta) do problema 1 da tarefa “Problemas envolvendo polígonos inscritos numa circunferência”, pelo par de alunos Aluno C - Aluno D. ... 123 Figura 37 – Exemplo de resolução do problema 1 da tarefa “Problemas envolvendo polígonos inscritos numa circunferência”, pelo par de alunos Aluno E – Aluno F. ... 125 Figura 38 – Resolução da questão 2 da tarefa “ficha de trabalho para casa”, pelo Aluno I ... 127

(17)

xiii

Figura 39 – Resolução da questão 2 da tarefa “Ficha de trabalho para casa”, pelo Aluno Q. ... 128

(18)

1. Introdução

O presente relatório refere-se à Prática de Ensino Supervisionada, realizada no âmbito do Mestrado em Ensino de Matemática, na Escola Secundária Padre Alberto Neto, em Queluz-Belas, numa turma do 9.º ano de escolaridade, no 2.º período do ano letivo 2017/2018.

Em relação à intervenção letiva, esta desenrolou-se por um período de nove aulas (3 aulas de 100 minutos e 6 aulas de 50 minutos), com início a 16 de fevereiro e término a 09 de março, e tendo por base a subunidade da Geometria: propriedades dos

ângulos, cordas e arcos definidos numa circunferência.

1.1. Relevância do estudo e motivações pessoais

A Geometria é um tema que, ao longo das sucessivas reformulações dos programas curriculares, continua a ter uma forte presença no ensino da Matemática, dada a sua importância para a aprendizagem dos alunos. De facto, a aprendizagem da Geometria proporciona ao aluno uma forma de este adquirir intuição e orientação espacial, cruciais para a vivência no mundo moderno – através da Geometria podemos estudar as formas, estruturas e simetrias do Mundo que nos rodeia (Gutiérrez & Jaime, 2011). A importância da Geometria no currículo emerge, essencialmente, das oportunidades de aprendizagem que esta proporciona, favorecendo o desenvolvimento de capacidades transversais, como a visualização espacial, o raciocínio e a argumentação matemática (NCTM, 2008).

A expressão argumentação matemática é usada neste estudo para designar um meio através do qual os alunos explicitam raciocínios de caráter justificativo, explicativo e demonstrativo na realização de tarefas na sala de aula de Matemática, destinando-se a convencê-los a aceitar ou rejeitar ideias matemáticas (Boavida, 2005). De acordo com o programa de Matemática do Ensino Básico (MEC, 2013a), ao nível do raciocínio matemático deve ser desenvolvida nos alunos a capacidade de argumentação apoiada em procedimentos, propriedades e conceitos matemáticos. Segundo Yackel & Hanna (2003), a ênfase no raciocínio matemático em todos os níveis de escolaridade atrai a atenção para a argumentação matemática: nas aulas nas quais se valoriza o raciocínio matemático, a argumentação torna-se um aspeto chave da atividade desenvolvida pelos alunos.

(19)

2

Esta ideia é igualmente defendida por Boavida, Paiva, Cebola, Vale e Pimentel (2008):

Conceder, na sala de aula, um lugar de destaque à argumentação em Matemática está intimamente associado à importância de os alunos desenvolverem a capacidade de raciocinar matematicamente (…) e de aprenderem Matemática com compreensão. (p.81)

Uma aula onde existam hábitos de argumentação sobre determinado raciocínio permite aos alunos construírem argumentos que lhes possibilitam a defesa das suas ideias, a análise crítica das ideias dos colegas e a discussão da sua legitimidade matemática (Boavida, 2005; Lopes, 2010). A argumentação identifica-se, assim, como uma parte integrante do raciocínio, desempenhando um papel fundamental da aprendizagem matemática (Boavida, Gomes & Machado, 2002; Simãozinho, 2014).

O estudo da argumentação como parte integrante da Educação Matemática e o aumento dos trabalhos de investigação nesta área está relacionado com a importância que o processo social tem na aprendizagem matemática e, também, no facto de a linguagem natural, mais do que a formal, ser a base do conhecimento e comunicação humana (Duval, 1999). Em particular, o valor da argumentação nas aulas de Matemática surge não só associado à justificação e explicação como formas de convencer os outros, mas também à discussão e avaliação das diferentes ideias que são expressas em sala de aula, mediante a realização das tarefas propostas (Gil e Martinho, 2014).

Portanto, são vários os documentos no âmbito da investigação em Matemática que têm vindo, ao longo dos anos, a destacar a importância e a necessidade de se envolver os alunos em atividades que promovam a argumentação, nas quais estes tenham de fundamentar e explicar raciocínios e em que “a descoberta do porquê de determinados resultados ou situações, a formulação, teste e prova de conjeturas” assumam um papel de destaque (Boavida, Paiva, Cebola, Vale & Pimentel, 2008, p.84). Quando um aluno expõe uma ideia à restante turma, os colegas podem sentir a necessidade de argumentar a favor ou contra, ou apenas melhorar as ideias apresentadas, gerando-se assim um diálogo argumentativo (Ponte, Boavida, Graça & Abrantes, 1997). A partir deste diálogo, o professor pode estabelecer uma ligação entre a cultura dos alunos, a cultura escolar e a cultura científica, enfatizando os argumentos que são baseados em justificações e evidências (Vieira & Nascimento, 2009), típicos da Matemática.

(20)

3

Wood (1999) salienta que ao envolver os alunos em atividades de argumentação, estes desenvolvem também a capacidade de comunicar, aprendendo a saber quando e como devem participar. Esta ideia é igualmente defendida por Vincent, Chick e McCrae (2005) que sublinham que o envolvimento dos alunos na argumentação potencia não só o seu conhecimento, mas também a sua capacidade reflexiva.

Reconhecida a sua importância, o desenvolvimento da capacidade de argumentação como forma de reforçar a autonomia nos alunos tornou-se um assunto discutido pela comunidade de educadores matemáticos, na última década. Para desenvolver o potencial argumentativo é essencial que, em sala de aula, se implementem atividades que permitam estimular a argumentação, através de processos de justificação e explicação de métodos, procedimentos e raciocínios (Douek & Pichat, 2003). No entanto, esta habilidade não tem sido, de um modo geral, suficientemente desenvolvida em sala de aula (Boavida, 2005), sendo que, por norma, cabe ao professor transmitir os conhecimentos e resultados, a fim de posteriormente aplicar e corrigir um conjunto de exercícios sobre o tema que foi abordado. Este modelo de ensino-aprendizagem causa no professor a falsa impressão de que o aluno sabe Matemática, não cumprindo a sua função em desenvolver o raciocínio do mesmo (Imenes, 1997, p.57).

Da minha experiência pessoal, também noto que a argumentação é uma capacidade ainda pouco desenvolvida em sala de aula, pelo que os alunos mostram ter alguma dificuldade em conseguir transmitir as justificações e explicações dos seus raciocínios, mesmo quando corretos. Uma vez que a Geometria é propícia ao desenvolvimento da capacidade de argumentação, e tendo em conta a sua importância para a aprendizagem, senti um particular interesse em estudar esta temática, sobretudo como um meio de contribuição para a minha prática letiva futura. Em particular, creio que este estudo me permitiu refletir sobre de que forma posso ajudar os alunos a superar as dificuldades detetadas, construindo em sala de aula uma cultura de argumentação que beneficie a aprendizagem de conceitos matemáticos essenciais para o sucesso à disciplina.

(21)

4

1.2. Objetivo e questões de estudo

Dada a importância da argumentação, referida acima, as minhas motivações pessoais e tendo em conta o tópico matemático abordado durante a intervenção letiva, este estudo tem por objetivo caracterizar a argumentação matemática dos alunos de 9.º ano, na realização de tarefas propostas no âmbito da unidade de ensino propriedades

dos ângulos, cordas e arcos definidos numa circunferência.

Com vista a responder a este objetivo, foram formuladas as seguintes questões de investigação:

1. Que processos argumentativos são utilizados pelos alunos na realização das tarefas propostas e quais as suas características? Quais as dificuldades que evidenciam na utilização desses processos argumentativos?

2. Que conhecimentos matemáticos são mobilizados pelos alunos nas suas argumentações? Em particular, quais as dificuldades que evidenciam na mobilização desses conhecimentos?

1.3. Organização do estudo

Este relatório estrutura-se ao longo de seis capítulos. O primeiro capítulo é uma introdução à problemática do estudo, onde apresento a sua pertinência bem como o objetivo e questões de investigação do mesmo. O segundo capítulo diz respeito ao enquadramento teórico da problemática estudada, sendo abordados os temas: Argumentação em Matemática e Geometria. O terceiro capítulo é dedicado à apresentação da unidade curricular lecionada, sendo apresentado o contexto escolar no qual decorreu o estudo e a ancoragem da unidade de ensino no programa de matemática vigente. Na unidade curricular constam também os conceitos abordados durante a lecionação, as estratégias de ensino e as tarefas adotadas, a avaliação das aprendizagens e uma descrição sucinta da intervenção letiva. No quarto capítulo são apresentadas as principais opções metodológicas, os participantes no estudo, os métodos de recolha e análise de dados e as questões éticas envolvidas no estudo. O quinto capítulo apresenta a análise dos dados recolhidos, tendo por base a problemática definida, o objetivo e questões de estudo. Por fim, no sexto capítulo, apresento as conclusões do estudo e uma reflexão pessoal, onde são discutidos os principais resultados e, ainda, as limitações do estudo, as dificuldades encontradas na sua realização e sugestões para possíveis investigações futuras.

(22)

5

2. Enquadramento teórico

Neste capítulo apresento o enquadramento da problemática estudada tendo como base orientações curriculares e literatura de referência das áreas da argumentação em Matemática e da Geometria.

Este capítulo encontra-se dividido em duas partes. A primeira é centrada na argumentação, onde discuto o seu conceito, as dimensões que a mesma comporta e os modelos argumentativos mais comuns que servem de base a diversos estudos sobre esta temática na área da Educação Matemática. Por fim, abordo o significado de argumentação em Matemática e discuto os conceitos de demonstração, justificação e explicação, em particular no que diz respeito às suas semelhanças e diferenças.

A segunda parte deste capítulo é centrada no ensino e aprendizagem da Geometria, onde refiro o seu desenvolvimento nos documentos curriculares, ao longo das últimas décadas, e discuto as principais dificuldades evidenciadas pelos alunos no decorrer da sua aprendizagem.

2.1. A argumentação em Matemática

2.1.1. Perspetivas de argumentação

Não existe uma noção consensual de argumentação, uma vez que são variadas as áreas do conhecimento que se debruçam sobre este tema. As primeiras teorias que surgiram sobre a argumentação têm origem num processo de retórica da antiga civilização grega. Segundo Oléron (1996), foi Aristóteles o primeiro autor a expor uma conceção da argumentação “como uma associação de um procedimento racional e de um percurso social” (p.5). Na visão Aristotélica, a argumentação surge simultaneamente como uma forma de raciocínio e como uma forma de persuasão (Boavida, 2005).

Grácio (1993) apresenta dois modos básicos de raciocínio adotados por Aristóteles: (a) o raciocínio analítico e (b) a argumentação dialética. O raciocínio analítico fundamenta-se em proposições que são evidentes – que garantem, por si só, a sua própria certeza – conduzindo a conclusões verdadeiras. Contrariamente a este, a argumentação de natureza dialética relaciona-se com a incerteza, com o verosímil, expressando-se através de argumentos sobre enunciados prováveis e aceites pela maioria. Os raciocínios dialéticos partem, portanto, de premissas geralmente aceites, resultando em inferências que podem não ser necessariamente válidas – são

(23)

6

argumentos mais ou menos convincentes cuja finalidade é a aceitação ou rejeição global (Boavida, 2005; Grácio, 1993).

Ainda na perspetiva de Grácio (1993), apesar de estes dois modos de raciocínio não serem desenvolvidos ou explorados na mesma medida, existe uma equiparação entre a sua importância, pelo que não “se excluem mutuamente, não se sobrepõem, não se substituem um ao outro” (p.12). Contudo, com os avanços da filosofia e do pensamento, esta equiparação perdeu-se, havendo uma primazia do raciocínio analítico, em detrimento da dialética. Segundo o autor, a contribuição de Perelman terá sido essencial para reabilitar a dialética proposta por Aristóteles.

De acordo com Perelman (1987), a argumentação surge como uma forma de “fornecer argumentos, ou seja, razões a favor ou contra uma determinada tese” (p.234), de forma a provocar ou aumentar a adesão de um auditório1 ao que se pretende,

modificando as suas convicções, por meio de um discurso. Portanto, a argumentação “necessita que se estabeleça um contacto entre o orador, que deseja convencer, e o auditório, disposto a escutar” (p.235) – esta depende do auditório que o orador pretende influenciar, sendo essencial que este seja capaz de se adaptar ao mesmo.

Esta perspetiva argumentativa de Perelman é defendida por outros autores que também sublinham a importância do caráter social e discursivo da argumentação. Por exemplo, Grize (1996) define argumentação como uma “atividade específica que visa intervir sobre as ideias, opiniões, atitudes, sentimentos ou comportamentos de alguém ou de um grupo de pessoas” (p.5), pelo que requer uma participação ativa daqueles a quem esta se dirige. De Chiaro e Leitão (2005), também apresentam uma perspetiva social e discursiva da argumentação definindo-a como uma atividade “que se realiza pela defesa de pontos de vista e consideração de perspetivas contrárias, com o objetivo último de promover mudanças nas representações dos participantes, sobre o tema discutido” (p.350). Para Grácio (2010), estamos perante argumentação quando uma experiência é objeto de discussão e interpretação – existe argumentação quando é provocada uma discussão que exija defesa ou crítica. Esta dinâmica argumentativa, na visão do autor, privilegia situações de interação entre diversas perspetivas sobre um mesmo tema, pelo que a argumentação permite uma mudança ou correção das diferentes afirmações que se estabelecem, de forma gradual. O resultado deste

1 Como sublinhado por Boavida (2005), não existe uma noção consensual sobre auditório. Para

efeitos deste estudo adotou-se a definição de Perelman (1993): “conjunto daqueles que o orador quer influenciar pela sua argumentação” (p.33).

(24)

7

processo é o argumento que se pode caraterizar como sendo um intercâmbio de ideias cujo principal objetivo é o de convencer o outro (Banegas, 1998).

Deste modo, uma situação carateriza-se como argumentativa quando um assunto suscita diversos pontos de vista e a sua validação ou refutação levanta questões pertinentes e produz razões (argumentos) que reforçam ou modificam as perspetivas assumidas perante a situação discutida (Fernandes, 2011).

A ideia de que se argumenta quando somos incitados a apresentar razões ou justificações que fundamentam ou contrapõem uma ideia, apresenta, no entanto, alguns constrangimentos (Angenot, 2008; Goodwin, 2005; Grácio, 2010). O primeiro diz respeito ao auditório a quem o argumentador se dirige, de forma a conduzir o discurso de modo a que a comunicação flua e se revele eficaz. A adaptação necessária ao auditório torna a atividade argumentativa sobre o assunto indissociável das outras duas dimensões da comunicação persuasiva: as caraterísticas do orador, que podem influenciar o processo discursivo, e o apelo sentimental do público-alvo (Grácio, 2010).

Outro constrangimento, decorre da natureza específica do assunto em causa: a persuasão varia consoante a natureza do problema a ser abordado (Grácio, 2010). Esta ideia decorre da definição de retórica como uma “capacidade de descobrir o que é adequado em cada caso com o fim de persuadir” (Aristóteles, 1998). No entanto, deverá ter-se em conta que a natureza dos assuntos é condicionada por fatores que nunca são totalmente antecipáveis e que os mesmos podem ser suscetíveis a uma variada gama de perspetivas (que envolvem a dinâmica interpretativa) do auditório:

O ponto fundamental, aqui, é que a forma de se enquadrar as questões e se definir os assuntos está, ela própria, em jogo na cena argumentativa e as perspetivas do outro podem ser sempre surpreendentes. Em muitos casos, somos até surpreendidos pelas nossas próprias perspetivas quando as avançamos sob a influência das perspetivas do interlocutor. (Grácio, 2010, p.15)

A seletividade do assunto é, portanto, um ponto fundamental do processo argumentativo. É “uma descoberta, no sentido de selecionar entre o disponível (…) não desdenhando a especificidade contextual de «cada caso» ” e «a quem nos dirigimos?» como um elemento essencial do ato de persuadir (Grácio, 2010, p.24).

(25)

8 2.1.2. Dimensões da argumentação

A argumentação comporta seis dimensões: (a) dimensão discursiva, (b) dimensão social, (c) dimensão dialógica, (d) dimensão dialética, (e) dimensão cognitiva e (f) dimensão epistémica (Leitão, 2000; Pedemonte, 2002; Fernandes, 2011).

A DIMENSÃO DISCURSIVA DA ARGUMENTAÇÃO. A natureza discursiva da

argumentação emerge do facto de esta se realizar recorrendo-se ao discurso oral, utilizando-se a linguagem natural como principal ferramenta de comunicação entre quem argumenta e o seu auditório (Pedemonte, 2002). A argumentação comporta uma atividade discursiva intencional (Balacheff, 2000), isto é, argumentar envolve a intenção de exercer uma influência sobre alguém (Perelman, 1993; Vargas, 2010), não pretendendo ser um mero exercício especulativo.

A DIMENSÃO SOCIAL DA ARGUMENTAÇÃO. A argumentação comporta uma

dimensão social porque se desenvolve como um conjunto de interações, mobilizando diversos intervenientes (Pedemonte, 2002): o locutor, que produz as asserções a ser discutidas, e o (s) interlocutor (es), a quem este se dirige.

A DIMENSÃO DIALÓGICA DA ARGUMENTAÇÃO.A argumentação desenvolve-se

segundo um diálogo, no qual são apresentados os argumentos, opiniões contrárias a essas e contra-argumentos.

A DIMENSÃO DIALÉTICA DA ARGUMENTAÇÃO.A argumentação pode ser vista

como uma tentativa de se justificar uma ideia, ou um enunciado, a partir daquilo que se crê como verdadeiro (Boavida, 2005): é um processo através do qual as inferências que se fazem se apoiam sobre os conteúdos enunciados. Os raciocínios envolvidos na argumentação podem não conduzir, necessariamente, a uma conclusão verdadeira. Ainda assim, têm por base ideias que são consideradas verdadeiras por quem argumenta, pelo que assume uma dimensão dialética (Pedemonte, 2002).

A DIMENSÃO COGNITIVA DA ARGUMENTAÇÃO. Segundo Leitão (2000), a

argumentação influencia o desenvolvimento cognitivo porque implica raciocinar: pensar pela argumentação envolve uma “indissociável combinação de conteúdos e formas de raciocínio” (p.10) que permitem organizar, validar e reelaborar os contextos sobre os quais a argumentação se desenvolve. Segundo a autora, o envolvimento dos diferentes participantes da argumentação, em discussões, permite analisar, rever posições e, por consequência, construir o conhecimento.

(26)

9

A DIMENSÃO EPISTÉMICA DA ARGUMENTAÇÃO. A argumentação desenvolve-se

sobre determinados assuntos, com caraterísticas do conhecimento, em domínios específicos. Esta depende, portanto, do (s) domínio (s) de conhecimento em que se desenvolve (Toulmin, 1958), das formulações conceptuais e padrões processuais de cada domínio (Leitão, 2000).

As diferentes dimensões da argumentação referidas concedem-lhe um valor enriquecedor no desenvolvimento do conhecimento: a argumentação pode ser definida como um fenómeno social, de natureza cognitiva e discursiva, com a finalidade de influenciar um auditório acerca de um determinado domínio epistémico. Uma vez que requer o confronto de diversos pontos de vista e ideias, assume uma natureza

dialógica, mas também dialética, porque pressupõe a oposição (Leitão, 2007).

2.1.3. Modelos de argumentação comuns

No campo educacional, a investigação da argumentação tem sido amplamente desenvolvida. As obras de Toulmin e Perelman têm influenciado fortemente este processo, servindo de base a diversos estudos que analisam e documentam diversas formas de aprendizagem que encorajam a argumentação e a criação de ambientes de sala de aula propícios à mesma. Em particular, estas obras tornaram possível a caraterização da argumentação ao nível das suas caraterísticas funcionais e estruturais (Boavida, 2005; Pedemonte, 2002).

2.1.3.1. O modelo de argumentação de Toulmin

O modelo de argumentação de Toulmin propõe a análise da microestrutura de um argumento, pelo que tem sido bastante difundido em trabalhos de investigação de educação na área da Matemática (Balacheff, 2000; Duval, 1999; Krummheuer, 1998; Pedemonte 2008).

Na sua forma elementar, o modelo de argumentação de Toulmin descreve a estrutura básica dos argumentos racionais dividindo-os em três dimensões: (a) os dados, (b) a conclusão e (c) a garantia. Estas dimensões articulam-se segundo uma seta que liga o dado factual à conclusão, através de uma lei de passagem (Figura 1).

(27)

10

De acordo com Toulmin (1958), uma afirmação pode ser contestada caso os dados em que se apoie não sejam válidos ou suficientemente fortes, uma vez que estes são a base para uma conclusão sólida. Caso se levantem questões quanto à natureza da validade das afirmações, será necessária uma nova argumentação que proporcione uma evidência aceitável das mesmas (Boavida, 2005). É, portanto, importante mostrar que a partir dos dados, a passagem que conduz à conclusão é oportuna e legítima. Para tal, devem ser utilizadas proposições (as garantias) – axiomas, teoremas, regras, princípios e/ou enunciados – que funcionem como uma autoridade racional e impeçam que a conclusão seja questionada (Toulmin, Rieke & Janik, 1984). As garantias funcionam, assim, como uma licença da inferência entre dados e conclusão.

Nesta perspetiva, um “argumento” é uma estrutura complexa de dados que envolve um movimento que parte de uma evidência (dados/fundamentos) e permite estabelecer uma afirmação (conclusão). O movimento de evidência para a afirmação é realizado com eficácia através da garantia, que permite essa conexão (Bello, 2004).

Segundo Pedemonte (2002), o modelo argumentativo elementar proposto por Toulmin tem como principal função captar a forma lógica de um discurso racional. Através deste modelo, os professores podem motivar os alunos a encontrar as evidências que suportam uma afirmação, traduzindo-se na ideia de que os argumentos dependem de um conjunto de relações que podem ser examinadas e especificadas (Bello, 2004).

De acordo com Krummheuer (1995), o esquema “dados-garantia-conclusão” é a “força mínima de argumentação” (p. 243) pelo que pode não ser suficiente para se analisar um discurso argumentativo, uma vez que as garantias podem variar quanto à sustentabilidade com que apoiam os dados:

Há diversas espécies de garantias, suscetíveis de conferir uma força variável às conclusões que elas justificam. Certas garantias autorizam--nos a aceitar uma conclusão sem equívoco, supondo--se que os dados apropriados estão reunidos – estas garantias habilitam-nos em casos propícios a qualificar a nossa conclusão por meio do advérbio “necessariamente”; outras autorizam-nos a passar dos dados às conclusões

Figura 1- Representação elementar do modelo de argumentação de Toulmin (adaptado de Gil e Martinho, 2014)

(28)

11

quer provisoriamente, quer enunciando condições, exceções ou reservas — casos em que podem intervir outros qualificadores modais como “provavelmente” ou “é verosímil que”. (Toulmin,1993, citado por Boavida, 2005, p.72)

Deste modo, o esquema representativo da argumentação é enriquecido com uma referência que explicita o grau de força que os dados conferem à conclusão, em virtude da garantia. Para tal, Toulmin propôs outros elementos com o objetivo de reforçar a conclusão: (a) o fundamento; (b) os qualificadores modais; e (c) as condições de exceção ou refutação. Estes elementos constituem o modelo de análise do micro argumento proposto por Toulmin (Figura 2).

O fundamento reforça a legitimidade da garantia, justificando a sua aceitação – funciona como uma “âncora” para a garantia, indicando por que motivo esta deve ser aceite como tendo autoridade. O qualificador modal designa a força que a garantia atribui à articulação que existe entre os dados e a conclusão. Por fim, as condições de refutação assinalam as circunstâncias em que poderá ser necessário anular a aceitabilidade da garantia, dando lugar a um novo discurso argumentativo (Boavida, 2005; Fernandes, 2011). As asserções que se formulam e as conclusões a que se chegam variam em função do problema que se pretende analisar. O tipo de factos a que se faz referência depende, também, da natureza da questão tratada (Boavida, 2005).

Através do seu modelo, Toulmin parece entender a argumentação como “um tipo de atividade que decorre de uma ação cujo valor ou validade é questionado, o que requer a apresentação de elementos justificativos” (Boavida, 2005, p.75). Neste contexto, o modelo que propõe constitui um modo útil de mostrar como se articulam os elementos essenciais do discurso argumentativo, e, em particular, como é que as argumentações secundárias se podem inserir numa argumentação principal. Como salienta Boavida (2005):

Figura 2 - Modelo de análise do micro argumento proposto por Toulmin (retirado de Gil e Martinho, 2014, p.320)

(29)

12

Por exemplo, se uma garantia é contestada nada impede de considerar o seu estabelecimento como uma argumentação secundária ou preparatória. De igual modo, se os dados forem postos em causa pode atribuir-se-lhe o estatuto de conclusão potencial. Assim, este modelo, em princípio, pode captar as estratégias usadas numa argumentação particular, o que poderá facilitar avaliá-las através dos cânones do campo onde a argumentação se inscreve e contribuir para trazer à tona as suas fraquezas e potencialidades. (p.75)

Efetivamente, o modelo de argumentação de Toulmin permite analisar a argumentação de acordo com os seus elementos, ao mesmo tempo que permite visualizar as ligações entre estes (Pedemonte, 2002).

Este modelo foi utilizado no âmbito da investigação em Educação Matemática inicialmente por Krummheuer (1995), na sua forma elementar, excluindo-se os qualificados e as refutações. O autor investigou a prática da argumentação coletiva2 em sala de aula, particularmente no que à Matemática diz respeito, analisando os seus dados com base nas interações argumentativas que surgiam.

Segundo Inglis, Mejia-Ramos e Simpson (2007), uma parte considerável das pesquisas efetuadas em Educação Matemática seguiram Krummheuer (1995), na utilização do modelo elementar de Toulmin. Poucos investigadores utilizaram o modelo na sua totalidade, incluindo os qualificadores modais e as refutações (Banegas, 1998; Aberdein, 2008). Ainda assim, a investigação de Krummheuer contribui para evidenciar as potencialidades deste modelo para analisar a natureza e a qualidade das comunicações de ideias em sala de aula (Nunes & Almouloud, 2013). De facto, Krummheuer (1995) sustenta que este modelo “ajuda a reconstruir a lógica (informal) das questões do dia-a-dia” (p.247) da aula de Matemática, sendo potenciador da aprendizagem em contextos de argumentação coletiva. Para Knipping (2004), este modelo permite analisar as argumentações individuais dos alunos e comparar a argumentação com a demonstração e a prova.

Através da análise do modelo de Toulmin, Pedemonte (2002) classificou a argumentação em três vertentes: (a) dedução, (b) indução e (c) abdução. Numa dinâmica dedutiva, a argumentação desenvolve-se através de uma inferência lógica,

2 Embora o modelo proposto por Toulmin tenha sido concebido para analisar frases individuais,

na sua obra não há qualquer referência à utilização do mesmo em situações educativas, ou que envolvam discursos coletivos. No entanto, Krummheuer (1995), baseando-se neste modelo, ampliou a noção de argumentação proposta por Toulmin do individual para o coletivo, focando a sua investigação na argumentação matemática (Boavida, 2005; Gil, 2012).

(30)

13

existindo uma coerente ligação entre os dados e a conclusão, cuja natureza é irrefutável. A argumentação dedutiva tem, assim, a mesma forma da demonstração dedutiva. Ainda assim, “a dedução por demonstração utiliza apenas objetos formais e baseia-se sempre numa teoria matemática. Em contrapartida, a argumentação dedutiva utiliza a linguagem natural e pode não se basear numa teoria matemática” (Magalhães, 2010, p.16).

Numa dinâmica indutiva, a conclusão obtém-se partindo de casos particulares, através de uma extensão dos dados. Nesta perspetiva, as garantias oferecem um forte apoio à conclusão. Na dinâmica abdutiva, a conclusão relaciona-se com os dados, na medida em que é inferida por representar a melhor explicação para os dados (Fernandes, 2011).

Apesar do modelo de Toulmin servir, como já referido, de base para diversos estudos, o mesmo apresenta algumas limitações (Boavida, 2005; Fernandes, 2011). Por exemplo, segundo Boero (1999), este modelo não aprofunda aspetos específicos da argumentação respeitante à atividade matemática, porque não aprofunda a estrutura linguística da sucessão de argumentos. Para Knipping (2004), o modelo não funciona para analisar a estrutura global dos processos de prova e demonstração, devido à complexidade das estruturas argumentativas existentes, à sobreposição de argumentos e ao desenvolvimento de diferentes justificações para a mesma conclusão (Boavida, 2005; Fernandes, 2011). De acordo com Pedemonte (2002), embora o modelo proposto por Toulmin permita representar os constituintes explícitos de uma argumentação, não permite representar aspetos implícitos da mesma e que estão na base do raciocínio. Ainda segundo Vieira e Nascimento (2008), em sala de aula, as falas dos alunos podem completar-se e as justificações apresentadas podem estar implícitas, sendo que a argumentação pode não surgir de forma ordenada como a indicada pelo modelo.

2.1.3.2. O modelo de argumentação de Perelman

O modelo de argumentação de Perelman surgiu na sua obra “Tratado da

argumentação. A Nova Retória” (Perelman & Olbrechts-Tyteca, 1999). Neste modelo,

a argumentação é tratada de acordo com os efeitos que produz no auditório: “é em função de um auditório que qualquer argumentação se desenvolve” (Perelman & Olbrechts-Tyteca,1999, citado por Boavida, 2005, p.38). De acordo com Grácio (1993), Perelman trouxe a questão da adesão à argumentação. A atenção da argumentação recai, assim, não sobre o valor dos argumentos, mas nos esquemas

(31)

14

argumentativos utilizados e na sua recetividade: “a atividade racional não é apenas cálculo (…), antes se encontra ligada à arte da persuasão, às técnicas discursivas que visam obter a adesão de um auditório” (Grácio, 1993, citado por Boavida, 2005).

O modelo de argumentação proposto por Perelman, permite identificar argumentos, classificá-los, e compreender a sua articulação, tentando medir a sua eficácia persuasiva. Perelman distinguiu três grupos de argumentos:

(a) argumentações quase-lógicas, (b) argumentações baseadas na estrutura do real e (c) argumentações que fundamentam a estrutura do real (Boavida, 2005; Fernandes, 2011).

A tipologia de argumentos proposta por Perelman apresenta-se sistematizada na figura 3.

As argumentações quase-lógicas são as que têm uma natureza próxima dos raciocínios formais, lógicos ou matemáticos, e caraterizam-se pelo “seu caráter não formal e o esforço mental de que necessita a sua redução ao formal” (Perelman & Olbrechts-Tyteca, 2005, p.220). Entre estas argumentações, encontram-se os que recorrem às estruturas lógicas, como a contradição, a identidade e a transitividade; e os que recorrem à invocação de relações matemáticas, como a relação entre a parte e o todo, do menor para o maior (Perelman & Olbrechts-Tyteca, 2005).

Na atualidade, a primeira reação face a argumentos quase-lógicos é o de assinalar as suas fraquezas, através da sua comparação com argumentos formais de raciocínio. No entanto, enquanto a linguagem formal assenta na univocidade dos símbolos que utiliza, os argumentos quase-lógicos dependem da interpretação dos enunciados tratados, “daí ser impossível empurrar para o absurdo quem utiliza esta

(32)

15

linguagem, pois este pode ser quase sempre evitado a partir da reinterpretação dos termos usados” (Boavida, 2005, p.44) pelo que “na antiguidade, quando o pensamento científico de feição matemática se encontrava menos desenvolvido, o recurso a argumentos quase lógicos era mais frequente” (Perelman, 1993, citado por Boavida, 2005, p.43).

Enquanto a argumentação quase-lógica é somente válida enquanto existir uma relação entre esta e certas estruturas lógicas, ou relações matemáticas, as

argumentações baseadas na estrutura do real constroem-se a partir do que o auditório

crê ser verdade, tendo por base ligações que existem entre os elementos do real, que aliam os fenómenos às suas consequências ou causas – ligações de sucessão – e as pessoas aos seus atos – ligações de coexistência (Perelman & Olbrechts-Tyteca, 2005; Fernandes, 2011); os argumentos baseados na estrutura do real valem-se da argumentação para “estabelecer uma solidariedade entre juízos admitidos e outros que se procura promover” (Perleman & Olbrecths-Tyteca, 1988, citado por Magalhães, 2010), isto é, partindo de ideias reconhecidas, para que se possa introduzir outras que se querem ver admitidas (Grácio, 2010).

Por fim, as argumentações que fundamentam a estrutura do real são as que recorrem ao caso particular: permitem generalizar o que é aceite, a partir do estudo de casos específicos (Perelman & Olbrechts-Tyteca, 2005). A credibilidade dos argumentos que fundamentam a estrutura do real reside, essencialmente, na sua capacidade em efetuar generalizações, procurando estabelecer regras e princípios (Grácio, 2010).

A distinção tripartida entre os argumentos quase-lógicos, baseados na

estrutura do real e nos que fundamentam a estrutura do real, assenta na ideia de que

cada um destes retira a sua credibilidade da possibilidade de fazer o auditório aderir ao que se pretende, através de diferentes formas de influência (Boavida, 2005; Grácio, 2010; Magalhães 2010).

2.1.3.3. Seleção e ordenação de argumentos

Na elaboração de uma argumentação, a escolha dos argumentos e a ordem pela qual estes são apresentados assume um papel de destaque: proceder a uma seleção e organização dos argumentos permite que o discurso argumentativo não se construa em torno de uma acumulação, sem sentido, de ideias – a organização dos argumentos

(33)

16

selecionados oferece uma maior força e irrefutabilidade aos mesmos (Boavida 2005; Gil, 2012).

Segundo Perelman (1993), a força e pertinência dos argumentos são noções da argumentação subjacentes à seleção de argumentos. A força de um argumento depende da adesão do auditório às premissas da argumentação: da relação de proximidade entre o auditório e a tese a ser defendida, das objeções do auditório e das maneiras com que o mesmo pode refutar a tese. Portanto, a força de um argumento está associada ao facto de este ser, ou não, aceite pelo auditório, bem como ao facto de resistir, ou não, às objeções colocadas (Duval, 1992-1993): a força de um argumento “depende da maneira como este é recebido, não se devendo perder de vista que o auditório, em função da eficácia do discurso, muda com o desenrolar deste” (Boavida, 2005, p. 53). A “pertinência dos argumentos apenas pode ser defendida por relação a auditórios que estabelecem acordos sobre uma metodologia, aceitam certos meios de prova e desvalorizam outros qualificando-os como irrelevantes” (Boavida, 2005, p.51). Portanto, a pertinência da argumentação faz-se de acordo com os conteúdos discutidos e os argumentos que os justificam (Duval, 1992-1993).

No que diz respeito à ordem pela qual os argumentos são apresentados, Duval (1992-1993) considera que existem três formas distintas de se ordenar a argumentação: iniciar a mesma com os argumentos mais fortes e terminar com os mais fracos, a ordem inversa, ou iniciar e terminar com argumentos fortes. Como a finalidade do discurso argumentativo é a adesão, o orador deverá adaptar a ordem dos argumentos de acordo com a finalidade dos mesmos: “cada argumento deverá surgir no momento em que maior força exerça. Mas como aquilo que persuade um auditório pode não convencer outro, este esforço de adaptação é permanente” (Perelman, 1993, citado por Boavida, 2005, p. 53).

Boavida (2005) sublinha que na teoria de argumentação de Perelman o efeito da argumentação depende dos vários tipos de argumentos que surgem durante o discurso argumentativo, conduzindo a uma teoria argumentativa essencialmente descritiva (ao invés da teoria de Toulmin, que se baseia na contestação da lógica formal). Também Grácio (2010) salienta que o modelo de argumentação de Perelman, apesar de interessante do ponto de vista do conhecimento sobre formas de argumentar, não esclarece sobre o uso dos argumentos, nem sobre o impacto que os mesmos podem ter sobre um auditório. Para este autor, há uma ausência de uma perspetiva normativa no modelo argumentativo de Perelman – um dos principais objetivos deste modelo é a

(34)

17

discriminação dos vários tipos de argumentos que podem surgir durante uma prática discursiva, contrariamente ao que acontece com o trabalho de Toulmin. Efetivamente, Toulmin procura identificar um esquema que permite interligar todos os elementos existentes em todos os raciocínios de justificação de asserções: quando um enunciado é posto em causa, o valor da argumentação é o de precisar o grau de verdade do mesmo (Boavida, 2005). Ainda assim, o valor do trabalho de Perelman é fortemente reconhecido e referido por vários investigadores que estudam a argumentação dentro da aula de Matemática (Balacheff, 2000; Duval, 1999; Pedemonte, 2002).

2.1.4. A argumentação na aula de Matemática

2.1.4.1. Significado de argumentar em Matemática

Como já referido, argumentar tem diferentes significados dependendo da área do conhecimento a que se refere. Em Matemática também nos podemos deparar com diferentes perspetivas sobre a argumentação (Monteiro & Santos, 2013). Para efeitos deste estudo considerou-se argumentação matemática como:

Conversações de caráter explicativo ou justificativo, centradas em Matemática, que assumem um papel preponderante na fundamentação de raciocínios, na descoberta do porquê de determinados resultados ou situações, na formulação, teste e prova de conjeturas e na resolução de desacordos através de explicações e justificações convincentes e válidas, de um ponto de vista matemático. (Boavida et al., 2008, p.84)

2.1.4.2. Argumentar, explicar e justificar

Ao caraterizar a argumentação em Matemática, Duval (1992-1993) abordou os conceitos de argumentação, explicação e justificação, explorando e analisando as relações existentes entre os mesmos. Para este autor, a principal diferença entre estes reside nas razões que motivam estas atividades e nas funções que estas desempenham em sala de aula.

A argumentação é produzida com o principal objetivo de justificar ou explicar uma afirmação (Duval,1992,1993) – a justificação e a explicação surgem, portanto, como uma parte integrante da argumentação. Esta ideia é salientada em diversos estudos realizados por Yackel (2001) e Whitenack e Yackel (2008), que consideram que a argumentação pode ser vista como um conjunto de justificações e explicações matemáticas que podem ser aceites, individual ou coletivamente, pelos diversos participantes do processo argumentativo.

(35)

18

Na perspetiva de Whitenack e Yackel (2008) ambas as atividades de “explicar e justificar são aspetos importantes do raciocínio” (p.85) e servem como uma ferramenta para o compreender. A explicação é motivada pela necessidade que o aluno, ou professor, sente em clarificar o seu raciocínio: produzem-se explicações matemáticas quando queremos clarificar aspetos do nosso pensamento que podem, ou não, ser entendidos por outros (Whitenack & Yackel, 2008). Portanto, uma explicação oferece uma ou mais razões para se tornar um fenómeno, resultado ou comportamento, compreensível. As razões apresentadas têm uma função meramente descritiva: contribuem para apresentar as relações nas quais o que se pretende explicar, ocorre (Duval,1992,1993). A justificação, por sua vez, é motivada pela necessidade que o aluno, ou o professor, sente em validar as suas ideias, expondo as razões que legitimam as mesmas ou determinada atuação ou acontecimento (Cobb, Yackel & Wood, 1992). Segundo o National Council of Teachers of Mathematics (NCTM, 2008), os alunos, desde as suas primeiras experiências de contacto com a Matemática, devem compreender que as afirmações devem ser justificadas, usando questões como “porque é que pensas que isto é verdade?” e “alguém acha que a resposta é diferente? Porquê?”. Desta forma, compreendem que todas as afirmações necessitam de ser validadas ou refutadas por evidências, baseados em conceitos, procedimentos e ideias matemáticas. Assim, a explicação pode ser entendida como um discurso cujo objetivo é o de tornar inteligível o caráter de verdade, adquirido pelo locutor, duma proposição ou de um resultado, apelando frequentemente à intuição. A justificação é a exposição de razões que legitimam determinada ação, comportamento ou acontecimento (Balacheff, 2000).

2.1.4.3. A argumentação e a demonstração matemática

Em Matemática, verifica-se uma tendência em relacionar a demonstração matemática3 com a argumentação, pelo que estas surgem frequentemente associadas, nomeadamente na sua distinção e/ou semelhança (Reid e Knipping, 2010).

Para Machado (2005), a argumentação e a demonstração diferem na medida em que esta última se constrói tendo por base raciocínios gerais, que decorrem de afirmações previamente aceites como verdadeiras (os axiomas, as definições e os

3 É usual, em Matemática, confundirem-se os termos prova matemática e demonstração matemática.

Para efeitos deste estudo consideraram-se as definições propostas por Balacheff (1999): a demonstração é um processo formal que segue regras bem definidas e que utiliza termos matemáticos e simbologia própria; a prova é reconhecida e aceite pelos outros, permitindo estabelecer a veracidade de uma afirmação de forma correta e aceite pela comunidade matemática, mas sem recorrer necessariamente a um elevado grau de formalismo.

(36)

19

teoremas) e desenvolve-se numa sequência de enunciados organizados, segundo regras determinadas por uma comunidade científica. A argumentação, por sua vez, relaciona--se com a prática discursiva, cujo objetivo é o de convencer e persuadir, apresentando um raciocínio espontâneo e natural e que se baseia em proposições sustentadas por premissas (Machado e Cunha, 2005).

Para Duval (1990), a argumentação emerge de uma interação social, em que é necessário convencer alguém ou contradizer algo – a argumentação surge, assim, como um raciocínio ordenado para fins de comunicação. A demonstração, por sua vez, está associada ao raciocínio dedutivo, a procedimentos formais da Matemática, e ao estabelecimento da verdade, opondo-se ao tipo de raciocínio exigido na argumentação. O raciocínio que emerge da argumentação tem regras implícitas que realçam não só estrutura da linguagem bem como as representações dos interlocutores. A demonstração deve ser entendida como um estabelecimento da veracidade de um dado resultado, combinando, através da dedução e segundo resultados da lógica proposicional, outros resultados já demonstrados ou admitidos (Duval, 1991).

Apesar de alguns autores considerarem que a demonstração tem caraterísticas particulares e, por consequência, diferentes da argumentação, outros consideram que a demonstração pode ser entendida como um processo particular de argumentação. Pedemonte (2002), analisou a argumentação em Matemática e a sua relação com a demonstração, recorrendo ao modelo de argumentação de Toulmin. A estrutura ternária proposta por este modelo legitima a comparação entre a estrutura da argumentação e da demonstração, levando a autora a considerar que a demonstração é, portanto, um caso particular da argumentação, sendo a garantia um axioma, uma definição ou um teorema de uma determinada teoria específica. De acordo com a autora, na construção de uma conjetura, um aluno pode devolver uma atividade argumentativa, justificando a plausibilidade da opção que tomou e, na fase demonstrativa, o aluno pode apoiar-se na ação anterior, organizando os argumentos que já produziu.

A diferença entre os dois conceitos reside, segundo a autora, na sua finalidade – a argumentação, como uma expressão de um raciocínio possível, através da tentativa de justificar enunciados a partir do que se acredita ser verdadeiro, tem como finalidade convencer, enquanto a demonstração tem como finalidade validar.

(37)

20

Para efeitos deste estudo adotou-se a perspetiva de Pedemonte (2002), encarando a demonstração como um processo particular da argumentação (bem como a justificação, a explicação, a formulação e o teste de conjeturas).

2.1.4.4. Dificuldades evidenciadas pelos alunos em argumentar

No que concerne aos processos argumentativos, são vários os estudos que apontam dificuldades destacadas pelos alunos. No que à demonstração matemática se refere, Hanna (1990) afirma que a abordagem formal à demonstração foi desenvolvida como um meio de eliminar a evidência intuitiva, uma vez que esta é uma potencial fonte de erro. Mas De Villiers (2001) salienta que os alunos têm dificuldades em compreender a necessidade da demonstração, especialmente em Geometria, quando os teoremas têm visualmente um caráter óbvio ou podem ser feitas empiricamente, pelo que a sua demonstração lhes parece inútil (Parzysz, 2006). De facto, são vários os estudos que referem que os alunos se baseiam na evidência das suas intuições e, portanto, têm dificuldade em compreender a necessidade e/ou utilidade não só da demonstração, mas também da justificação. Simãozinho (2014) refere, no seu estudo sobre a argumentação matemática dos alunos do 11.º ano, que estes “têm dificuldade em justificar afirmações que lhes pareçam óbvias, por acharem a justificação desnecessária” (p.118).

Esta ideia surge também num outro estudo realizado com alunos do 9.º ano de escolaridade, focado nas aprendizagens por estes realizadas, sobre o tópico “Circunferência”. A autora do estudo refere que os alunos apresentam dificuldades em compreender a importância de se produzirem justificações e demonstrações, e acrescenta que, mesmo quando compreendem essa importância, os alunos têm dificuldade em produzir uma demonstração, pela fraca frequência com que se envolvem nesta atividade:

A dificuldade que a maior parte dos alunos revelou em demonstrar os resultados a que chegaram parece dever-se à pouca frequência em que se envolvem nesta atividade. Os alunos tendem a ver os conceitos matemáticos como entes estáticos, sem conexão com outros conceitos, o que tende a impedi-los de articular os conhecimentos adquiridos anteriormente na demonstração de um resultado. (Capa, 2015, p.83)

De facto, a autora salienta que a atividade na qual os alunos evidenciaram ter mais dificuldades, foi a demonstração, referindo que “apenas um número reduzido de alunos é que a conseguiu efetuar, com a ajuda das sugestões da professora” (p.83).

(38)

21

Ao nível da justificação, a expressão oral e/ou escrita mostra-se como sendo a maior dificuldade dos alunos. Esta ideia é salientada por Junqueira (1995), num estudo com alunos do 9.º ano de escolaridade:

De um modo geral os alunos (…) revelaram muita dificuldade em exprimir-se, quer por escrito, quer oralmente, o que constituiu um entrave à sua capacidade de justificar as construções que faziam. (…) Mesmo uma análise superficial das respostas que escrevem nas diversas fichas, mostra que os textos dos alunos eram normalmente pouco claros e com bastantes erros. (…) Quase todos os alunos participantes reconheceram que lhes era difícil justificar (…) e atribuíram isso à dificuldade que sentiam em exprimir as suas ideias. Como eles próprios disseram, «tinham as ideias na cabeça, mas era-lhes difícil explicá-las». Para alguns alunos isso era consequência da pouca experiência que tinham em Geometria. (p.189-190)

Gil (2012), no seu estudo sobre a argumentação em sala de aula, também salienta as dificuldades sentidas pelos alunos quando confrontados com a necessidade em apresentarem justificações, referindo que estes têm tendência a exprimir as suas ideias de forma imprecisa:

Em relação às dificuldades dos alunos ao nível da interação discursiva (argumentação), é possível observar que estes manifestam dificuldades em apresentarem as justificações necessárias para os seus raciocínios (…) é possível identificar outras situações em que há a apresentação de garantias que não legitimam um passo de argumentação por falta de dados (…), e outras em que não há a apresentação de dados ou garantias que sustentem determinadas conclusões. (p.627)

Também Lopes (2010), no seu estudo sobre o desenvolvimento da argumentação com o apoio de ambientes de Geometria Dinâmica, salienta as dificuldades evidenciadas pelos alunos aquando da comunicação dos seus raciocínios geométricos, particularmente no que à justificação diz respeito:

As dificuldades sentidas e demonstradas situaram-se, quase que em exclusivo, na forma como muitos alunos organizaram a comunicação dos seus argumentos. Ao considerarem que as premissas eram evidentes, não sentiram necessidade de as referir e organizar de forma sistemática. As justificações e as cadeias de argumentos elaboradas, ainda que pequenas, permitem afirmar que os alunos revelam dificuldades na expressão escrita (…) Os alunos revelaram não ter hábitos de apresentação de justificações ou argumentos em Matemática (…) Perante a necessidade de uma cadeia de argumentos, os alunos não a constroem segundo uma sequência lógica, mas sim de forma desorganizada”. (p.111-112)

Imagem

Figura 1- Representação elementar do modelo de argumentação de Toulmin (adaptado  de Gil e Martinho, 2014)
Figura 2 - Modelo de análise do micro argumento proposto por Toulmin (retirado de  Gil e Martinho, 2014, p.320)
Figura 3 - Tipologia de argumentos segundo Perleman (Grácio, 2010)
Figura 4 – Classificações dos alunos a Matemática no final do 1.º período do ano letivo 2017/2018
+7

Referências

Documentos relacionados

manual escolar constituiu o tema integrador das pr ticas de ensino realizadas em sala de aula numa turma de dezanove alunos do 4.º ano de escolaridade,

Uma esmagadora maioria dos alunos gostou da aula, achou fácil trabalhar com o applet, sentiu-se mais motivada para estudar Matemática, conseguiu perceber quais os

A utilização da calculadora gráfica traz uma dinâmica diferente para a sala de aula. Ao longo das aulas observadas, pode-se constatar dois grupos de alunos

O presente estudo resulta de uma intervenção pedagógica implementada junto de alunos de uma turma do 9.º ano de escolaridade no ano letivo 2013/2014,

A ferramenta didática utilizada em sala de aula foi muito bem recebida pela turma em estudo, os alunos ficaram muito motivados para o processo de aprendizagem através da

As principais conclusões do presente estudo estão estruturadas em função das seguintes situações: 1) Desempenho argumentativo dos alunos quando avaliam a argumentação produzida por

- Circular pela sala de aula para tirar dúvidas e apoiar os alunos com eventuais dificuldades que surjam na resolução do Grupo II da tarefa;. - Selecionar alguns alunos

O presente trabalho incide sobre o subtópico das equações do 1.º grau a uma incógnita, e procura compreender, através de um estudo sobre os erros cometidos e dificuldades