“Números Relativos: Construção e estudo do funcionamento de um processo de ensino sobre o caso Aditivo” de autoria de Ana Paula JAHN, foi a primeira dissertação, sobre o Ensino Fundamental, defendida no Programa. A defesa dessa obra, orientada por Tânia Campos, ocorreu em setembro de 1994. A banca foi constituída pela orientadora e Silvia Machado, ambas professoras da PUC-SP e Ubiratan D’Ambrosio professor Emérito da UNICAMP.
No capítulo I, Problemática, Objetivo e Referências, Ana Paula JAHN, revelou seu fenômeno de interesse ao descrever que a base, para o bom desempenho em álgebra, é o entendimento das operações que envolvem os números inteiros. Segundo ela:
Logo, a autora apresentou as operações com os números inteiros, como assunto de seu interesse, evidenciando a primeira atividade de uma pesquisa.
Seu tema de pesquisa ficou melhor focado, quando JAHN, citou trabalhos que exemplificavam dificuldades dos alunos ao operar com números inteiros:
O ensino da álgebra é apresentado pela primeira vez à criança na sexta série do primeiro grau. É neste momento que as incógnitas são introduzidas e inicia-se um trabalho de resolução de equações. Para o sucesso deste trabalho,...,exige-se uma compreensão dos números inteiros e das operações com os mesmos, uma vez que esses conceitos são utilizados a todo momento durante o estudo das equações. (p. 12)
O trabalho com números inteiros por sua vez, tem sido identificado por vários pesquisadores (Bell, 1986; Murray, 1985; Nunes, 1991) como uma questão que apresenta sérias dificuldades no ensino aprendizagem da matemática. Dentre os problemas encontrados, percebe-se que as crianças muitas vezes estendem as regras das operações multiplicativas (as chamadas regras de sinais) para as operações aditivas. Por exemplo, os alunos efetuam “5+(-2) = -3, pois mais com menos dá menos” (Bell 1986). (p. 12)
Mostra assim, uma interlocução com outros pesquisadores, consolidando a terceira atividade de pesquisa.
Entretanto, embasada principalmente no trabalho de Terezinha NUNES, que apontou uma análise psicológica dos diferentes significados do sinal de menos, e na teoria de VYGOTSKY, conceitos espontâneos da criança, JAHN apresentou, no resumo, como hipótese de sua pesquisa:
e no corpo de seu trabalho:
Tal hipótese encaminhou a autora a estabelecer o seguinte objetivo:
Acreditamos que o desenvolvimento de um sistema de representação identificado com os processos mentais dos alunos e a evolução do estatuto de número, são condições essenciais para a aprendizagem dos números inteiros. (resumo)
Supõe-se que a introdução dos números inteiros negativos a partir de um sistema de representação condizente com a ação psicológica do aluno é condição essencial para a aprendizagem dos números inteiros, principalmente no que se refere às operações.
Acreditamos que a engenharia proposta neste trabalho permite alcançar a generalização da adição e subtração necessária a compreensão dos números inteiros, chegando ao caráter algébrico destes números. (p. 17)
O objetivo deste trabalho é propor uma engenharia didática para a aprendizagem das operações aditivas em Z, dando sentido a estes números e tratando a questão da passagem do conhecimento espontâneo para o formal, bem como a evolução do conceito de número, admitindo este não só como oriundo de uma enumeração ou mensuração, mas também como operador. (grifo meu). (p. 17)
Em relação à parte grifada, JAHN explicou, por e-mail, que a palavra operador, está relacionada com operar. Segundo ela, o número natural está ligado a contagem ou enumeração, diferenciando-se do número inteiro, que acompanhado dos sinais + ou –, podem ser vistos como operadores: (+) indicando adição e (-) subtração.
Tanto a hipótese quanto o objetivo declarado caracterizam a quarta atividade de pesquisa.
A autora, quando apresentou a especificação de seu objetivo declarou que:
Conseqüentemente, a metodologia deste trabalho, é a Engenharia Didática, e assim ficou constituída a quinta atividade.
Como procedimentos de sua pesquisa, JAHN apresentou:
De acordo com o trecho acima, JAHN realizou análises preliminares, análises a priori de todas as atividades desenvolvidas, as quais descreveu previsões daquilo que poderia ocorrer em cada situação criada. Posteriormente, essas previsões foram comparadas com os resultados obtidos na aplicação de
Objetivo deste trabalho é propor uma engenharia didática para a aprendizagem das operações aditivas em Z. (p. 17)
A engenharia didática apresentada a seguir considera as seguintes fases:
- primeira fase: análises preliminares, que correspondem as análises epistemológicas e didáticas (o ensino usual, seus efeitos e as concepções dos alunos);
- segunda fase: a concepção (elaboração ou construção) e análise a priori das situações didáticas da engenharia;
- terceira fase : experimentação , a realização da seqüência de ensino; - quarta fase: analise a posteriori e avaliação (p. 52)
cada atividade, o que caracterizou as análises a posteriori. Esses procedimentos evidenciam a sexta atividade de pesquisa.
JAHN descreveu a fase da experimentação realizada, deixando claro a atividade da coleta de dados, enumerada como a sétima atividade de pesquisa.
Na conclusão JAHN apresentou os resultados de sua Engenharia Didática, após ter feito a confrontação de suas análises a priori com a posteriori :
Além dessa conquista a autora indicou outras contribuições, como:
Após apresentar as contribuições de sua pesquisa para o campo de seu interesse, a autora, revelou que embora tenha alcançado melhorias na aprendizagem, sua engenharia didática não possibilitou que o aluno desse sentido à representação matemática, no caso da subtração de números inteiros negativos, conforme segue:
O objetivo do nosso trabalho foi alcançado na medida em que a engenharia apresentada proporcionou ao aluno uma boa concepção de número relativo e a evolução desses números enquanto operadores no caso aditivo. (p. 101)
- o uso da representação horizontal, possibilitando uma mudança de comportamento positiva, como uma preparação para a álgebra elementar;
- a construção, pelos alunos, de seus próprios algoritmos, descrevendo-os e dando sentido aos mesmos; [..]
- a evolução do conceito espontâneo chegando ao conhecimento científico; - a perda paulatina de sentido do modelo proposto, atingindo o aspecto formal das operações;
- domínio da adição no seu caráter algébrico dada a generalização obtida; [...] (p. 101,102).
Logo a hipótese, levantada por JAHN:
foi parcialmente confirmada, pois as condições referidas foram essenciais para a introdução dos números inteiros, mas, não foram suficientes para propiciar a compreensão das operações com esses números.
As conclusões do trabalho de JAHN revelam a interpretação dos dados obtidos em sua engenharia didática, constituindo a oitava atividade de uma pesquisa.
Ao término de suas conclusões JAHN deu pistas de como prosseguir essa pesquisa:
A autora sugeriu, assim, novas pesquisas, que abordassem um maior números de sessões e que verificassem se as atividades elaboradas por esse trabalho foram favoráveis para a aprendizagem das operações multiplicativas dos números negativos, caracterizando em seu trabalho a décima atividade de uma pesquisa.
Observamos que mesmo com os avanços mencionados, esta engenharia não deu conta de uma representação que se identifique com o raciocínio do aluno no caso da subtração de negativos, uma vez que ele pensa, responde oralmente, argumenta diretamente mas não dá sentido à representação matemática.(p. 102)
[...] que o desenvolvimento de um sistema de representação identificado com os processos mentais dos alunos e a evolução do estatuto de número, são condições essenciais para a aprendizagem dos números inteiros. (resumo)
Acreditamos que um maior número de sessões são necessárias para um amadurecimento e utilização de uma representação que, a princípio é complexa e distante para os alunos. (p. 102)
[...] basta saber se esta seqüência de atividades encaminha favoravelmente as operações multiplicativas, sem desestabilizar os conhecimentos adquiridos com as estruturas aditivas. (p. 103)