SOBRE A INTRODUÇÃO DO CONCEITO DE NÚMERO FRACIONÁRIO.

Fichamento da Dissertação

Autora: Maria José Ferreira da SILVA

Ano de defesa: 1997

Número de páginas: 207

Orientadora: Dra. Tânia Maria Mendonça CAMPOS

Resumo

Esta pesquisa trata da introdução do conceito de fração através das concepções parte/todo, medida e quociente junto aos futuros professores das séries iniciais do primeiro grau.

Para tanto elaboramos uma seqüência didática de dezoito horas, com atividades que colocassem os futuros professores em situações que lhes permitissem uma reflexão destas diferentes concepções.

Os resultados obtidos mostram que o objetivo foi atingido na medida que esses futuros professores reconhecem hoje, as concepções abordadas, e a maioria faz uma reflexão das mesmas ao elaborar novas situações-problema. Objetivo

O objetivo do nosso trabalho é introduzir o conceito de número fracionário junto aos futuros professores das séries iniciais do primeiro grau, via as

concepções parte/todo, quociente e medida, de modo que eles reflitam sobre estas diferentes abordagens e dêem sentido a este conceito. (p. 1)

Metodologia

[...] optamos pela metodologia de pesquisa Engenharia Didática, que segundo Douady (1988) é um conjunto de seqüência de aulas concebidas, organizadas e articuladas no tempo, de maneira coerente, para realizar um projeto de aprendizagem para uma certa população de alunos. (p. 9)

Fundamentação Teórica

Não há item específico dedicado a fundamentação teórica, porém nos: Capítulo 1 – Problemática e Metodologia (p. 2-8) aparecem trabalhos de alguns pesquisadores, no Capítulo 2 no item Breve Análise Epistemológica (p. 25-30) e no Capítulo IV (p. 196 – 202). a autora emite conclusões baseadas em alguns autores.

Construímos então uma seqüência de atividades levando em conta as pesquisas de BEHR (1983), CARPENTER (1994), LIMA (1986) e dos trabalhos de KIEREN (1976,1988), MARSHALL (1993) E CISCAR (1988), buscando através das concepções escolhidas, colocar o maior número possível de problemas de ensino/aprendizagem dos números fracionários levantados nesses trabalhos. (p. 196).

CAMPOS e KIERAN – seus trabalhos revelam:

[...] a concepção de que para associar uma fração a uma figura, esta deveria estar, necessariamente, dividida em partes iguais, considerando a área e a forma dessas partes. (p. 197).

CAMPOS e outros – seu trabalho contribui na identificação de obstáculos epistemológicos no ensino da fração:

[...] outras pesquisas mostram que as crianças reproduzem o símbolo sem entender seu significado, o que caracterizamos por um obstáculo epistemológico. (p. 28)

HART – seu trabalho:

[...] mostra a interpretação da fração como dois naturais não relacionados e não como um número que representa uma quantidade. (p. 198).

CARPENTER – seu trabalho contribui com a noção de que:

[...] o desenvolvimento de professores a partir do consenso de que o entendimento do conceito de número fracionário depende do entendimento de certas sub-construções [...] partição (quociente), medida, operador e razão [...] (p. 6).

BEHR – em seu trabalho revelou que:

[...] os números racionais proporcionam um rico campo dentro da qual as crianças podem desenvolver e expandir as estruturas mentais necessárias para um desenvolvimento intelectual contínuo [...] (p. 6)

PAVANELO – seu trabalho revelou:

[...] novos pontos de vista sobre o assunto e do desenvolvimento de alguma criatividade pedagógica. (p. 196)

Palavras-chave

Nada consta sobre palavras-chave Conclusão

As conclusões são apresentadas nas pp. 196-202, correspondentes ao capítulo IV. A seguir apresento os trechos do capítulo IV referentes às conclusões propriamente ditas:

[...] como já era previsto, muitos grupos não tiveram dúvidas na execução das questões, porque acreditavam, naquele momento, que estavam corretos e só foram perceber seu erros na correção das atividades. (p. 196)

[...]. Porém pudemos perceber que para alguns o conhecimento adquirido anteriormente apresentava raízes profundas, e necessitaria de um trabalho, mais longo para que essas raízes fossem removidas e pudessem crescer novamente com mais força e em outras direções. (p. 197)

Nesse sentido, consideramos os conhecimentos que os professores já possuíam como concepções espontâneas durante a realização, mas entendendo que muitas delas eram obstáculos já conhecidos por nós através dos estudos preliminares e por isso, pudemos classifica-los como de origem didática e epistemológica. (p. 197)

[...] ficou bastante claro, que os alunos em busca de modelos já aprendidos, não param para refletir sobre o que cada situação apresentava, para perceber que tipo de abordagem era a mais conveniente. Isso ficou evidente, principalmente na atividade de medida, em que não havia a preocupação em observar realmente o que a questão pedia, e muitos colocavam respostas que refletiam a falta de domínio no assunto e de reflexão[...] (p. 199)

[...] atividade extra-classe, em que alguns já esboçam uma tentativa de entender o processo usado pela criança. Os resultados confirmaram as nossas previsões de que as crianças têm condições para aprender tal conteúdo, desde que se trabalhe com a concepção quociente e se aproveite as suas concepções espontâneas. Aqui, os futuros professores puderam notar que as crianças mais novas, usando principalmente figuras, respondem as questões, enquanto as outras na tentativa de usar algoritmos já aprendidos, na maioria das vezes, não chegam à solução do problema. Este resultado surpreendeu os mesmos, pois não conseguiam entender como que as crianças que tinham mais estudo também erravam mais. (p. 200)

[...] não aparece no pós-teste (questão 6) comentários do tipo: “o aluno deveria prestar mais atenção para aprender”. Este argumento pedagógico, usado por seis futuros professores no pré-teste, desaparece no final do trabalho, dando lugar a comentários e correções um pouco mais consistentes. (p. 200)

Um ponto positivo e que reforça a nossa opção pelo trabalho com as várias concepções, [...] reside no fato de que a maioria aceitou a proposta e não resistiu

a nenhuma discussão, o que os levou a uma mudança de comportamento para quase todas as dificuldades apresentadas[...] (p. 200)

Podemos concluir então que as questões inicialmente colocadas foram, em parte, respondidas satisfatoriamente, e que é possível fazer um trabalho mais construtivo com várias concepções na formação dos professores das séries iniciais, reforçando a necessidade de um trabalho de formação a partir de novos enfoques didáticos e pedagógicos, para o conceito de número fracionário. (p. 201) Com relação a nossa seqüência, acreditamos que poderíamos ter criado algumas atividades que fossem resolvidas pelos futuros professores em casa, entre uma sessão e outra, com o objetivo de propiciar mais alguns momentos de reflexão e de investimento nos novos conhecimentos adquiridos. (p. 201)

Sugestões para o ensino:

[...] Pudemos constatar na produção escrita, uma evolução na criatividade da apresentação das atividades por eles elaboradas. Entendemos que atividades deste tipo deveriam estar presentes no cotidiano da formação desse professor, assim como a explicitação dos objetivos para cada atividade. (p. 200)

Assim sugerimos que no terceiro ano do magistério sejam trabalhadas as atividades de introdução ao conceito de número fracionário aqui apresentadas, [...], e no quarto ano o trabalho poderia ser retomado, consolidando o conteúdo trabalhado no ano anterior e as abordagens de razão e operador sendo acrescentadas, bem como o trabalho com as operações. O que levaria os futuros professores as desenvolverem em sua formação, uma visão global com os números fracionários nas séries iniciais. (p. 201)

Gostaríamos de observar que entendemos que o estudo ideal para introdução do conceito de fração deveria ser iniciado pelas concepções: quociente, parte/todo e medida, nesta ordem. (p. 201)

Sugestão para novas pesquisas

Gostaríamos também de ressaltar que durante os trabalhos, principalmente nos de comparação, muitos falaram em proporcionalidade e apareceu a regra de três como processo de resolução de algumas situações, que nos levou a reforçar a necessidade de um trabalho específico, num segundo momento, com a concepção de razão, desenvolvendo o raciocínio proporcional, e os preparando para trabalhar melhor com essa concepção que aparece espontaneamente em algumas crianças, como pudemos ver nos nossos estudos preliminares [...] (p. 200)

Referências Bibliográficas

Das cinqüenta e uma referências indicarei apenas aquelas que se referem a autores citados no fichamento.

BOYER, C. B. História da Matemática – EDUSP. 1974.

CAMPOS, T. M. M. et al. Lógica das Equivalências. Relatório de Pesquisa não publicado, PUC/SP. 1995.

CARPENTER, T. P. et al. Teaching and Learning Rational Numbers. Wisconsin Center for Education Research, School of Education, University of Wisconsin, Madison. 1994.

CISCA, S. L. e Garcia, M. V. S. Fracciones: La Relación Parte / todo. Editorial Sintesis, Madrid. 1988.

KIERAN, T. E. Number and Measurement. Mathematical, Cognitive and Instructional Foundations of Rational Numbers, Columbus, OH: ERIC/SMEAC, p. 101-144. 1976.

KIERAN, T. E. Personal Knowledge of Rational Numbers: Its Intuitive and Formal Development. Number Concepts and Operations in the Middle Grades, Ed: J. Hiebert & M. Behr, p. 162-181. 1988.

MARSHALL, S. P. Assessment of Rational Number Understanding: A Schema- Based Approach. Rational Numbers: Na integration of Research, Lawrence Erlbaum Associates Publishers, Hillsdale, New Jersey. 1993.

PAVANELO, R. M. Educação Matemática e Criatividade. Revista da SBEM, ano II, nº 3, pp. 5-11. 1994.

Análise da Dissertação

“Sobre a Introdução do Conceito de Número Fracionário” de autoria de Maria José Ferreira da SILVA, foi orientada por Tânia Campos e sua defesa ocorreu em outubro de 1997. Participaram de sua banca a orientadora, o professor Saddo Ag. Almouloud da PUC/SP e o professor Vinício Macedo dos Santos da USP.

Na Problemática de seu trabalho de pesquisa, Maria José F. da SILVA, apontou seu fenômeno de interesse:

Como exposto, o trecho acima indica o fenômeno de interesse da autora, como sendo o de formação de professores de matemática, um interesse que veio da sua prática docente na formação de professores. Ficou assim determinada a realização da primeira atividade de pesquisa.

SILVA estudou pesquisas de profissionais que investigaram o trabalho pedagógico e a formação de professores, como: PAVANELLO e SANTOS. A partir do estudo desses autores, SILVA indicou como consideração importante na elaboração de sua pesquisa:

Parece-nos, através da nossa prática, que muitos professores são colocados em sala de aula totalmente despreparados para lidar com a complexidade da tarefa que têm a realizar, tanto no que diz respeito ao domínio dos conteúdos, quanto em relação ao processo de desenvolvimento cognitivo por que passam seus alunos. (p. 2)

[...] tornar os professores mais criativos e reflexivos sobre sua prática, os pesquisadores devem levar aos professores seus estudos e resultados de pesquisas a fim de lhes proporcionar condições de desenvolver uma nova prática pedagógica. Com esse intuito fizemos este trabalho sobre o ensino e a aprendizagem dos números fracionários. (p. 3)

A autora investigou também os trabalhos de pesquisadores que estudaram a introdução dos números racionais, cujos resultados apontaram obstáculos a serem superados nesse ensino como Bárbara ROGOFF, CLEMENTS, KIERAN e CAMPOS. Essa interlocução com pesquisadores do assunto, evidência a terceira atividade de pesquisa.

Assim, baseada principalmente em CAMPOS e KIEREN, SILVA levantou a seguinte hipótese:

Tal hipótese levou a autora a estabelecer o seguinte objetivo de pesquisa:

A elaboração da hipótese e do objetivo de pesquisa, caracterizam a quarta atividade de pesquisa.

Visando atingir o objetivo, a autora escolheu introduzir as concepções de fração, sugeridas pelo seu objetivo, por meio da elaboração e aplicação de uma seqüência didática, usando como metodologia a Engenharia Didática, representando a quinta atividade de pesquisa.

Os procedimentos de pesquisas, sexta atividade, estão transcritos no índice:

[...] os futuros professores não trabalham com as diferentes concepções do conceito; não têm o domínio necessário para controlar as concepções espontâneas de seus alunos, impondo modelos nem sempre adequados; a aprendizagem muitas vezes não tem sentido para o aprendiz, levando-o a criar regras próprias e erros conceituais, além da responsabilidade da aprendizagem ficar, muitas vezes, por conta do aluno. (p. 1)

[...] introduzir o conceito de número fracionário junto aos futuros professores das séries iniciais do primeiro grau, via as concepções parte/todo, quociente e medida, de modo que eles reflitam sobre estas diferentes abordagens e dêem sentido a este conceito. (p. 1)

Como indicado acima, o trabalho de pesquisa constou de um Estudo Preliminar com as seguintes fases: um estudo histórico na busca de obstáculos epistemológicos, estudo dos livros didáticos e a investigação das concepções dos alunos e professores via teste e questionário.

Levando em conta os resultados do estudo preliminar foi elaborada uma seqüência didática, que teve a análise a priori e posteriori de cada questão, que depois da experimentação, foram comentados nas Análises e Resultados das Atividades.

Antes de trabalhar com a seqüência foi feito um pré-teste, e posteriormente seus resultados foram comparados com o pós-teste. O que caracteriza uma validação externa.

A coleta de dados, sétima atividade, constou da aplicação da seqüência, e do pós-teste.

É de se notar que a hipótese levantada, pela a autora, de que os professores [...] impondo modelos nem sempre adequados; a aprendizagem muitas vezes não tem sentido para o aprendiz, levando-o a criar regras próprias e erros conceituais[...], foi confirmada, conforme trecho da conclusão:

-Estudos Preliminares

-A Seqüência Didática Análise a Priori

A Realização da Seqüência

Análises e Resultados das Atividades Pré Teste

Atividade 01... Atividade 04

Atividade Extra Classe Síntese

Pós-Testes Pós Teste

Com relação a aplicação da seqüência, via as três concepções explicitadas, SILVA concluiu que:

Mostrando que a seqüência elaborada proporcionou uma mudança nas dificuldades apresentadas pelos professores que participaram das sessões, definindo que é possível introduzir o conceito de número fracionário via as concepções parte/todo, quociente e medidas, retratando em sua conclusão o objetivo proposto.

Os fatos revelados acima tornam evidente a interpretação dos dados coletados, a oitava atividade de pesquisa.

Ainda em sua conclusão a autora sugeriu mudanças para o ensino:

[...] a maioria aceitou a proposta e não resistiu a nenhuma discussão, o que os levou a uma mudança de comportamento para quase todas as dificuldades apresentadas ... (p. 200)

Podemos concluir então...que é possível fazer um trabalho mais construtivo com várias concepções na formação dos professores das séries iniciais, reforçando a necessidade de um trabalho de formação a partir de novos enfoques didáticos e pedagógicos, para o conceito de número fracionário. (p. 201)

e idéias para novas pesquisas.

Essas sugestões indicam a décima atividade de pesquisa: Antecipar ações de outros.

Pudemos ..., uma evolução na criatividade da apresentação das atividades por eles elaboradas. [...] atividades deste tipo deveriam estar presentes no cotidiano da formação desse professor. (p. 200)

[...] sugerimos que no terceiro ano do magistério sejam trabalhadas as atividades de introdução ao conceito de número fracionário... e no quarto ano o trabalho poderia ser retomado, ... e as abordagens de razão e operador sendo acrescentadas, bem como o trabalho com as operações. (p. 201)

[...] o estudo ideal para introdução do conceito de fração deveria ser iniciado pelas concepções: quociente, parte/todo e medida, nesta ordem. (p. 201)

O objetivo deste trabalho foi elaborar um panorama das dissertações do ensino fundamental, defendidas nos anos de 1994 a 1997 no Programa de Pós Graduação em Educação Matemática da PUC-SP, nesta obra denominado simplesmente por Programa. As análises apresentadas no capitulo anterior, de cada uma das oito dissertações, possibilitaram a caracterização e categorização desse "lote" de obras, a qual apresento a seguir, como conclusão desta pesquisa.

O principal assunto considerado para tal caracterização, foi o que engloba o objetivo, constituinte das quatro primeiras atividades de pesquisa. As outras atividades sofrerão também uma análise comparativa, que poderá sugerir outros tipos de categorização, por meio do relevamento dos pontos privilegiados no total das obras.

Apresentarei as análises precedidas por quadros, que resumem os dados obtidos para cada uma das atividades de pesquisa, definidas por ROMBERG, a fim de facilitar o acompanhamento do leitor.

A primeira atividade de pesquisa originou o seguinte quadro:

CAPÍTULO 3

Fenômeno de Interesse - atividade 1

Autor noções Formação de

Professor formação de aluno Total CANÔAS X M. JOSÉ SILVA X JAHN X CUNHA operações fundamentais X 4 SANGIACOMO X M.CÉLIA SILVA geometria & CABRI X 2 SIMÕES função X 1

ANA NOBRE pré álgebra X 1

total 3 5 8

A primeira observação a ser feita é a de que todos os trabalhos analisados evidenciaram interesse por fenômenos ligados a noções matemáticas desenvolvidas no ensino fundamental, pela própria forma de divisão das trinta e sete dissertações. O que possibilitará uma categorização mais "fina", é o tipo de noção abordada. Metade das obras mostraram a preocupação com números e operações fundamentais. Duas elegeram a Geometria trabalhada com o software CABRI Geomètre, como campo de interesse. As duas restantes, escolheram temas da Álgebra, sendo que, uma delas especificamente a pré - álgebra.

O quadro acima revela também, preocupação dos autores com assuntos de sala de aula, sejam eles relativos ao professor, três, ou ao aluno, cinco. O que pode ser explicado pelo fato de todos os autores, serem na época, professores.

Assim, temos um único interesse que moveu essas pesquisas, conteúdos matemáticos trabalhados em sala de aula, distribuídos em dois pontos de vista, do professor e do aluno, e "focados" principalmente em números e suas operações.

Fato esse que coincide com a incidência de 50% das pesquisas categorizadas por FIORENTINI (2002):

É importante observar que o foco temático estudos sobre o professor, neste trabalho, está sendo considerado para pesquisas que trabalharam com o professor graduado ou não em matemática. Como por exemplo o caso da dissertação de Maria Célia SILVA, que foi a única que trabalhou com professores graduados em matemática, que considerei pertencente ao mesmo foco dos trabalhos de CANÔAS e Maria José SILVA, que pesquisaram professores com o quarto ano de magistério.

A concentração dos trabalhos nestes dois focos temáticos, coincidem também com as tendências prevista por ROMBERG para a década de 90:

Tendência #1: Crescimento da Pesquisa

[...] a pesquisa sobre o ensino e aprendizagem no ambiente escolar [...]. Essa tendência tem sido tão óbvia por toda ciência social que ela dificilmente necessita ser mencionada. Como esse crescimento promete continuar até mesmo num andamento mais rápido na próxima década [...](ROMBERG: p. 59.)

[...] os estudos de natureza cognitiva ou metacognitiva dos alunos (em relação à aprendizagem ou ao desenvolvimento do pensamento matemático) [...] os estudos sobre o professor (suas crenças, concepções, conhecimentos, representações sociais e sua formação continuada e desenvolvimento profissional) [...] (FIORENTINI: p. 5)

Tendência #3: Uma mudança na Epistemologia

[...] tem havido um crescente interesse sobre a percepção do professor sobre o que é fazer matemática. Algumas questões têm sido feitas pelos acadêmicos: [...] Pode- se criar uma nova pedagogia que prepare o professor para uma instrução autêntica? O argumento é de que a matemática é [...] um conjunto esparso de sinais e símbolos que podem ser usados para modelar uma ampla variedade de situações, várias estratégias (heurísticas) usadas para examinar características desse domínio, e métodos específicos de raciocínio. Os professores devem estar profundamente conscientes disso para poder apresentar a matemática adequadamente a seus estudantes. (ROMBERG: p. 62).

A segunda atividade de pesquisa, construção de um modelo provisório, não foi detectada em nenhuma das dissertações analisadas. Creio que, este fato se deu, por se tratar de dissertações de mestrado, isto é, uma investigação levada a efeito por pessoas que, supostamente, estariam realizando sua primeira pesquisa e portanto, sem condições de, no inicio da mesma, ter uma visão clara de tudo que envolveria sua investigação, condição necessária para elaboração de tal modelo.

A relação com idéias de pesquisadores sobre o tema, assunto da terceira atividade de pesquisa, deu origem ao seguinte quadro:

quadro teórico

Orientador autor Nunes Mason Vigotsky Laborde Douady Vergnaud Kieran Campos

Jahn x x Sangiaco mo x Célia Silva X Cunha x Tânia CAMPOS M.J Silva x x Simões X Silvia MACHADO Nobre x x Sandra MAGINA Canôas x total 2 1 1 1 2 2 1 1

Das onze citações, cinco são de pesquisadores franceses, dois didatas (LABORDE, DOUADY), e um psicólogo (VERGNAUD). Também cinco delas são de pesquisadores cuja formação principal, ocorreu em Psicologia (NUNES, VERGNAUD, VIGOTSKY). Embora haja duplicação de citações em três casos,

No documento LUCIANE MACIEL XAVIER DE OLIVEIRA PERREIRA (páginas 104-128)