Análise das organizações didáticas referentes às aulas da professora P1 Neste subtópico, apresentamos os momentos didáticos: o primeiro, referente

ao encontro com o objeto de estudo; o segundo, relativo à exploração das técnicas; o terceiro, concernente à constituição do ambiente tecnológico-teórico; o quarto, alusivo ao trabalho da técnica; o quinto, respeitante à institucionalização; e o sexto, sobre a avaliação.

P1 desenvolveu o assunto equação polinomial do primeiro grau com uma incógnita em 12 encontros distribuídos conforme o exposto no Quadro 16.

Data Aula Tipos de tarefas

25/07/2015 01 Classificar as equações

28/07/2015 02 Identificar os elementos que compõem uma equação 29/07/2015 03 Procurar soluções das equações por tentativa e erros 30/07/2015 04 Procurar soluções das equações por tentativa e erros 31/07/2015 05 Resolver equações;

01/08/2015 06 _{Resolver equações;} 04/08/2015 07 _{Resolver equações;} 05/08/2015 08

Multiplicar a equação por menos um (-x=7)

Multiplicar ou dividir os dois membros da igualdade

06/08/2015 09 Adicionar ou subtrair termos ou coeficientes em ambos os lados das equações (metáfora da balança)

07/08/2015 10 Identificar as sentenças que são equações (com base no livro Matemática, de Imenes e Lellis)

Calcular mentalmente soluções para as equações 08/08/2015 11 Resolver equações;

11/08/2015 12 Resolver equações.

Quadro 16: Distribuição dos tipos de tarefas da professora P1

Fonte: a pesquisa

O primeiro encontro sobre a equação do primeiro grau com incógnita aconteceu no dia 25 de julho, quando a professora apresentou o conteúdo aos seus estudantes. Vejamos o recorte de aula abaixo transcrito para sabermos como isso se deu.

Quadro 17: Recorte 02, fala da professora P1

Fonte: a pesquisa

No quadro abaixo apresentado, fizemos um resumo dos seis momentos didáticos da professora P1. Vamos observá-los, então.

Alguém sabe aqui o que é uma equação? Pra que usamos equações em nosso cotidiano? Vamos usar as letras para resolver operações. Acredito que todos conhecem a balança de dois pratos. [Alunos respondem: “Sim, aquela usada na feira”] Isso mesmo. Ela serve pra quê? Pra pesar, não é isso? Quando coloco pesos iguais nos dois pratos o que irá acontecer? Vai ficar igual, ou seja, em equilíbrio. Assim, é uma equação.

Momentos Didáticos

Critérios de Análise Critérios realizados por P1

Primeiro Momento

Como P1 introduziu a equação polinomial do primeiro grau com incógnita para seus alunos?

A professora introduziu o conteúdo de equação do primeiro grau por meio da alusão à balança de dois pratos (balança de feira livre), seguindo o exemplo (x+3=50) registrado no livro didático.

Segundo Momento Como se deu a exploração do tipo de tarefas T em sala de aula? E a elaboração das técnicas  relativa a esse tipo de tarefas em sala?

Ocorreu na terceira aula, quando a professora enunciou o seguinte: conjunto universo e conjunto solução de uma equação.

Terceiro Momento

Como foi feita a constituição do ambiente tecnológico-teórico relativo à técnica?

Adicionando ou subtraindo valores iguais, se manterá o equilíbrio (propriedades gerais da igualdade e propriedades das operações inversas).

Quarto Momento

Como é o trabalho de P1 em relação às técnicas?

Foi instituído na sexta, sétima e oitava aulas, quando foi proposta aos estudantes a resolução dos exercícios em classe e indicadas atividades a serem feitas em casa. Quinto Momento Como é concretizada a institucionalização por P1: no início, no meio ou no final do livro?

A institucionalização foi concretizada na constituição das técnicas “transpor termos e coeficientes ou neutralizar termos ou coeficientes”.

Sexto

Momento De _{realizou a avaliação: no} que maneira se início, no meio ou no final da aula, ou apenas no final do conteúdo?

Esse momento não ocorreu de forma pontual, mas associado a outros momentos didáticos. A avaliação era realizada de forma oral, quando P1 solicitava que os alunos verificassem se os valores da incógnita eram iguais. No final das 12 aulas, foi realizada uma avaliação escrita.

Quadro 18: Descrição dos momentos didáticos da professora P1

Fonte: a pesquisa

Como vimos, P1 desenvolveu os seis momentos didáticos descritos por Chevallard (1999). O livro didático de referência foi Tempo de Matemática cuja sequência apresentada no capítulo de equações polinomiais do primeiro grau com uma incógnita foi adotada pela professora. Entretanto, o livro Matemática, que havia sido distribuído para os estudantes no início do ano letivo, não foi utilizado, era deixados em casa.

Em relação ao topos do professor, esperado nos documentos oficiais (PCN e PC/PE), P1 buscou fazer conexões com o cotidiano dos seus estudantes, quando usou a metáfora da balança de dois pratos (feira livre), entretanto não propôs, na sequência das aulas, resolução de problemas do cotidiano, tais como uma corrida de táxi, compra de um presente com o dinheiro da mesada, entre outras situações.

Em relação aos topos (do professor no trabalho com os estudantes) esperados pelo autor do livro Tempo de matemática, identificamos o que está registrado no quadro apresentado a seguir.

Topos esperados pelo autor Topos realizados pela professora P1

✓ Compreender ideias iniciais da

utilização da álgebra Evidenciamos que a professora P1 desenvolveu esses topos em sala de aula. Identificou os termos semelhantes de uma equação.

Identificou o que é uma equação como uma igualdade entre termos; resolveu e identificou as soluções das equações em sala de aula.

✓ Identificar termos semelhantes

✓ Utilizar equações para representar situações de igualdade

✓ Identificar equações do 1º grau numa incógnita

✓ Identificar solução de uma equação do 1º grau e resolver equações do 1º grau

Quadro 19: Descrição dos topos da professora P1

Fonte: a pesquisa

Passemos, agora, a análise das organizações matemáticas e didáticas de P2. 4.3 Análise das organizações matemáticas e didáticas referentes às aulas de P2

A primeira aula de P2, referente ao conceito equação polinomial do primeiro com uma incógnita, no sétimo ano do ensino fundamental, ocorreu no dia 18 de agosto de 2015. Esse conteúdo foi concluído em 3 de setembro de 2015, ou seja, P2 ministrou 12 aulas de cinquenta minutos sobre o tema equação. Destacamos ainda que essa professora foi a que escolheu a coleção Matemática, que havia sido enviada para as escolas.

Em sala de aula, P2 trabalhou constantemente o livro didático, adotando a sequência proposta pelo autor. Todos os estudantes tinham o livro didático, que foi por eles usado durante as 12 aulas para resolverem as atividades em classe e em casa.

4.3.1 Organização matemática pontual da professora P2

O quadro abaixo apresenta as tarefas, técnicas e tecnologias/teorias (descritas na análise a priori), e que foram efetivamente trabalhadas na sala de aula pela professora. Subtipo de tarefas Técnicas Tecnologia/teoria Encontrar o valor desconhecido da equação

Mudar de membro invertendo o sinal. Passar o número para o segundo membro com sinal trocado e fazendo a operação aritmética. Propriedades operações inversas Resolver a equação 15(x+17)=60

Passar o número para o segundo membro dividindo e fazendo a operação aritmética.

Propriedades operações inversas.

Propriedade distributiva da multiplicação Usar letras para

resolver problemas

Mudar de membro invertendo o sinal. Passar o número para o segundo membro com sinal trocado e fazendo a operação aritmética. Propriedades operações inversas Resolver a equação (3n+2=5)

Subtrair -2x dos dois lados da equação. Neutralizar termos e coeficientes

Princípio do equilíbrio entre equações Princípios gerais de igualdades Resolver a equação (8n+3=6n+4)

Usar técnica de operações inversas Princípio do equilíbrio entre equações Princípios gerais de igualdades. Resolver a equação 25(2- (x+3)=-2(3x+1).

Desenvolver ou reduzir expressões e neutralizar termos ou coeficientes

Propriedade distributiva da multiplicação Propriedades gerais da

igualdade

Quadro 20: Organização matemática pontual/local da professora P2

Fonte: a pesquisa

P2 obedeceu à sequência proposta pelo autor do livro didático de referência (Matemática) e trabalhou as tarefas, técnicas e tecnologias/teorias propostas pelo autor do livro no curso de suas aulas. Acreditamos que isso pode ser explicado pelo fato de P2 ter escolhido essa coleção didática, ou seja, há uma relação entre ela e as

ideias propostas pelo autor. O manejo do livro se deu por meio das leituras das ilustrações, seguidas da explanação do conteúdo na lousa para os estudantes e as resoluções dos exercícios do livro.

Na tabela abaixo fizemos um comparativo entre as tarefas e técnicas que o livro didático (Matemática) propõe e as tarefas e técnicas efetivamente trabalhadas pela professora em sala de aula.

Tabela 3: Distribuição dos tipos de tarefas referentes à equação nas aulas de P2 e

comparação com livro didático Tipos de Tarefas Tarefas sugeridas

no livro didático % Tarefas propostas pelo professor % T1 52 37 11 46 T2 12 9 01 4 T3 10 7 10 42 T4 65 47 02 8 Total 139 100 24 100 Fonte: a pesquisa

Conforme a tabela descrita acima, o número de tarefas resolvidas, que representam o “topos” do professor, permite descrever que, no caso deste livro didático, os autores privilegiam as tarefas do tipo T4 (47% das tarefas para serem resolvidas). Dessa forma, quando acompanhamos a sequência das aulas da professora percebemos que: a professora trabalhou os quatros tipos de tarefas na sala de aula sobre as equações polinomiais do primeiro grau que são resolvíveis por procedimentos aritméticos (T1 e T2) e resolvíveis por meios algébricos (T3 e T4) e que demandam uma maior mobilização dos termos e coeficientes para a resolução das equações.

Em comparação ao livro adotado por P2, podemos constatar que ele propôs 139 tarefas que priorizaram os tipos T1 e T4 (84%) em detrimento dos tipos T2 e T3 (16%). A professora, em suas aulas, optou por 24 tarefas, o que representa 17% em relação às tarefas sugeridas pelo autor. Destas, priorizou as tarefas do tipo T1 e T3 (88%), o que se distancia do que foi sugerido pelo livro didático. Destacamos que a professora ao longo de suas aulas buscou trabalhar de forma equilibrada as resoluções das equações (procedimentos aritméticos e algébricos), iniciando com as praxeologias mais simples até chegar praxeologias que demandam uma maior mobilização de recursos matemáticos.