Organização matemática pontual de P

No quadro a seguir estão registradas as tarefas, técnicas e tecnologias/teorias trabalhadas em sala de aula por P3.

Subtipo de tarefas Técnicas Tecnologia/teoria

Resolver problemas, traduzir da linguagem

natural para a algébrica x.3+87=123

Usar as operações opostas: “Se, ao iniciar a operação, eu multipliquei por 3 e somei a 87, o resultado foi 123”. Propriedades gerais da igualdade Resolver a equação 3x-4=-9

Mudar de membro, invertendo o sinal. Passar o número para o segundo membro com sinal trocado e fazendo a operação aritmética. Propriedades operações inversas Resolver a equação 2a/5+1=7

Eliminar denominadores; mudar de membro, invertendo o sinal; passar o número para o segundo membro com sinal trocado e fazer a operação aritmética.

Propriedades operações

inversas Resolver a equação

x+2(x+3)=60

Desenvolver a multiplicação dos parênteses, fazendo a operação aritmética. Propriedade distributiva da multiplicação Propriedades operações inversas

Quadro 25: Organização matemática pontual de P3

Fonte: a pesquisa

P3 obedeceu à sequência proposta pelo autor do livro didático (Novo

Praticando Matemática), trabalhou, no curso de suas aulas, as tarefas, técnicas e

tecnologias/teorias propostas. O número de livros didáticos era insuficiente para as duas turmas do sétimo ano do colégio, mas os estudantes não tinham o livro didático. O professor, em suas aulas, copiava na lousa o conteúdo com anotações preparadas por ele, no entanto a sequência era a apresentada nesse livro didático.

Na tabela abaixo, apresentamos uma comparação entre o livro didático (Novo

Praticando Matemática) que o professor utiliza em sala e as tarefas técnicas

Tabela 4: Distribuição dos tipos de tarefas referentes à equação nas aulas de P3 e

comparação com livro didático Tipos de tarefa Tarefas sugeridas

no livro didático % Tarefas propostas pelo professor % T1 47 44 10 67 T2 22 20 03 20 T3 10 9 - - T4 29 27 2 13 Total 108 100 15 100 Fonte: a pesquisa

Conforme a tabela descrita acima, o número de tarefas resolvidas, que representam o “topos” do professor, permite descrever que, no caso deste livro didático, os autores privilegiam as tarefas do tipo T1 (44% das tarefas para serem resolvidas). Dessa forma, quando acompanhamos a sequência das aulas do professor percebemos que: primeiro, o professor concentrou suas aulas nas tarefas do tipo T1 (67% das tarefas resolvidas na sala de aula), são resolvíveis por procedimentos aritméticos (T1 e T2) e resolvíveis por meios algébricos apenas (T4) e que demandam uma maior mobilização dos termos e coeficientes para a resolução das equações.

Verificamos que o livro de referência para P3 traz 108 tarefas, priorizando os tipos T1 e T4 (71%) em detrimento das do tipo T2 e T3 (29%). P3, em suas aulas, optou por 15 tarefas, o que representa 14% das tarefas sugeridas pelo autor do livro. Ainda destacamos que P3 buscou trabalhar com resoluções de problemas envolvendo as equações polinomiais do primeiro com uma incógnita. Dessa forma, os estudantes eram levados a transformar a linguagem natural em linguagem algébrica e a resolver os problemas, e não simplesmente resolver as equações prontas do tipo 2𝑥 + 4 = 10 𝑜𝑢 2𝑥 + 4 = 𝑥 + 15.

Passemos, então, a identificar e analisar as organizações didáticas de P3. 4.4.2 Análise das organizações didáticas referentes às aulas de P3

Neste subtópico, apresentamos os momentos didáticos: o primeiro, referente ao encontro com o objeto de estudo; o segundo, relativo à exploração das técnicas; o terceiro, concernente à constituição do ambiente tecnológico-teórico; o quarto, alusivo ao trabalho da técnica; o quinto, respeitante à institucionalização; e o sexto, sobre a avaliação.

O professor desenvolveu o conceito equação polinomial do primeiro grau com uma incógnita em 13 encontros distribuídos conforme o que registramos no quadro abaixo.

Data Aula Subtipo de tarefas

02/10/2015 01/02/03 Definir o que é uma equação _{Resolver problemas} Operações inversas da aritmética Encontrar o valor da incógnita 06/11/2015 04/05/06 Resolver problemas _{Encontrar o valor da incógnita} 11/11/2015 07/08 Resolver problemas _{Encontrar o valor da incógnita}

Desenvolver ou reduzir expressões

Mudar o termo ou coeficiente de membro, invertendo o sinal 13/11/2015 09/10/11 Resolver problemas _{Encontrar o valor da incógnita}

18/11/2015 12/13

Resolver problemas

Encontrar o valor da incógnita Desenvolver ou reduzir expressões

Mudar o termo ou coeficiente de membro, invertendo o sinal

Quadro 26: Distribuição dos tipos de tarefas de P3

Fonte: a pesquisa

O primeiro encontro sobre a equação do primeiro grau com incógnita aconteceu no dia 02 de outubro, quando o professor apresentou o conteúdo aos alunos. Vejamos o recorte de aula abaixo registrado.

Quadro 27: Recorte 04, fala de P

Fonte: a pesquisa

No quadro a seguir, registramos um resumo dos seis momentos didáticos de P3.

Alguém sabe o que uma equação? Já viram uma equação? Primeiro vamos ver o que é uma equação. Nós vamos pegar alguns exemplos, vamos ver um problema e traduzir em uma linguagem matemática. Podemos pegar as palavras e transformá-las em símbolos, letras e números. Por exemplo: eu falo o dobro de um número, ou duas vezes dez, estou falando algo matemático. Agora posso colocar 2x3=6 ou 2x de um número, se for o número for 4, então 2x4=8. Agora vamos escrever o que uma equação e em seguida vamos fazer alguns exemplos na prática.

Momentos Didáticos

Critérios de Análise Critérios realizados por P3

Primeiro Momento

Como P3 introduziu a equação polinomial do primeiro grau com incógnita para seus os alunos?

P3 iniciou a aula indagando os estudantes sobre o é uma equação. Trabalhou a língua materna (por exemplo: o dobro de um número) para a linguagem algébrica (2𝑥) e fez uso de fórmulas para expressar sentenças matemáticas. Em seguida, definiu o que é uma equação polinomial do primeiro grau. Segundo Momento Como se deu a exploração do tipo de tarefas T em sala de aula? E a elaboração das técnicas  relativa a esse tipo de tarefas em sala?

Esse segundo momento foi vivenciado a partir da enunciação do conjunto universo e conjunto solução de uma equação. Assim, ocorreu a exploração dos quatros tipos tarefas e suas técnicas.

Terceiro Momento

Como foi feita a constituição do ambiente tecnológico- teórico relativo à técnica?

A constituição desse momento se deu por meio das seguintes tecnologias: propriedades gerais da igualdade, propriedade distributiva da multiplicação e propriedades das operações inversas. Quarto Momento Como é o trabalho de P3 em relação às técnicas?

Foi estabelecido na sexta, sétima, oitava, nona, décima, décima primeira e décima segunda aula quando foi proposto que os alunos resolvessem os exercícios referentes às equações.

Quinto Momento Como é concretizada a institucionalização por P3: no início, no meio ou ao final do livro?

As técnicas foram trabalhadas de forma simultânea: o exemplo o professor fez a institucionalização das técnicas (transpor termos e coeficientes e/ou desenvolver ou reduzir expressões, eliminar denominadores).

Sexto Momento

De que maneira realiza-se a avaliação? No início, meio e/ou ao final da aula ou apenas ao final do conteúdo?

Esse momento não ocorreu de forma pontual, mas associado a outros momentos didáticos. A avaliação era realizada de forma oral, quando P3 solicitava que os alunos verificassem se o valor da incógnita era igual. Ao final das 13 aulas, foi realizada uma avaliação escrita.

Quadro 28: Descrição dos momentos didáticos do professor P3

Fonte: a pesquisa

Verificamos que P3 seguiu o livro de referência (Praticando Matemática), obedecendo à sequência proposta pelo autor referente ao capítulo de equações do primeiro grau com uma incógnita. Como exposto acima, P3 desenvolveu os seis momentos didáticos em suas aulas.

Observamos também que P3 trabalhou em sala com resolução de problemas relacionados às questões do cotidiano dos estudantes, como: recebimento de

mesada, receitas de bolos, entre outras situações. Nesse processo de transição da linguagem natural para a linguagem algébrica, os estudantes foram levados a pensarem como equacionar um problema e não simplesmente fazerem um conjunto de tarefas e técnicas.

Outro ponto a ser destacado é que P3 não trabalhou em sala com a metáfora da balança, apesar de o livro de referência (Praticando Matemática) fazer analogias ao uso da metáfora da balança e à técnica de neutralizar os termos ou coeficientes das equações.

Quanto ao topos esperado nos documentos oficiais (PCN e o PC/PE), observamos que P3 fez conexões com o cotidiano dos estudantes, uma vez que abordou questões como a corrida de táxi, situações-problema, como uma compra de brinquedos, mesada (dinheiro dados pelos pais), entre outras.

Em relação aos topos (do professor, no trabalho com os estudantes) esperados pelo autor no livro “Praticando matemática”, identificamos aspectos que registramos no quadro abaixo apresentado.

Topos geral esperado pelo autor Topos realizados por P3

✓ Reconhecer a linguagem algébrica como instrumento de representação e solução de problemas

Constatamos que P3 desenvolveu esse topos ao longo das 13 aulas.

Topos específicos

✓ Descrever alguns padrões numéricos, utilizando a linguagem algébrica

Esses topos específicos foram assumidos por P3 no curso de suas aulas, na medida em que descrevia os padrões numéricos e a linguagem algébrica, reconhecendo e resolvendo as equações polinomiais do primeiro grau. Conceituou uma equação e resolveu as equações; realizou os procedimentos de resolução de equações com base na inversão de operações e na propriedade das igualdades. ✓ Reconhecer e resolver equações

do primeiro grau

✓ Utilizar equações para representar, resolver e analisar problemas

Quadro 29: Descrição dos topos do livro didático e os topos de P3

Fonte: a pesquisa

Após análises das praxeologias matemática e didática, topos e o modelo dominante dos três professores pesquisados, fizemos uma comparação entre os três professores bem como a análise das entrevistas.