Subtipos de tarefas

Com base em estudos realizados anteriormente, denomina-se equação do primeiro grau com uma incógnita toda equação na forma

ax b0

_{, em que a incógnita}

possui expoente um (1).

Chevallard (1999), assim como outros pesquisadores, tomou como referência os procedimentos de resolução e classificou as equações do primeiro grau em duas grandes categorias: equações polinomiais do primeiro grau do tipo

axbc

, que, segundo ele, podem ser resolvidas por procedimentos aritméticos; e equações do tipo

2 2 1

1x b a x b

a    , que não podem ser resolvidas por procedimentos que se apoiem em raciocínio exclusivamente aritmético.

Entretanto, nem sempre as equações do primeiro grau apresentam-se escritas nas formas simplificadas. Habitualmente, em uma atividade, elas aparecem sob diferentes formas, dentre as quais destacamos outras duas categorias: equações dos tipos A(x)c e A₁(x)A₂(x) em que A(x), A₁(x) e A₂(x) são expressões polinomiais que ainda não foram reduzidas à forma canônica

ax b0

, mas podem ser reduzidas a essa forma por processos de desenvolvimento e redução (ARAÚJO, 2009).

Portanto, neste estudo, analisamos os subtipos de tarefas relativos à resolução de equações do primeiro grau em quatro categorias descritas e adaptadas a partir de Araújo (2009). Vejamo-las.

• T1: Resolver uma equação do tipo

axbc

Exemplo: Resolver a equação

2x820

• T2: Resolver uma equação do tipo A(x)c, sendo A(x) uma expressão polinomial não reduzida à forma canônica.

• T3: Resolver uma equação do tipo a₁xb₁a₂xb₂. Exemplo: Resolver a equação

2x106x2

• T4: Resolver uma equação do tipo A1(x)=A2(x), A sendo A1(x) ou A2(x)

expressões polinomiais não reduzidas à forma canônica. Exemplo: Resolver a equação: 6(x10)3x4x2

Assim como exposto acima, tomamos as quatro categorias relativas à resolução de equações do primeiro grau que servirão de base para a identificação dos subtipos de tarefas nos livros utilizados em nossas análises. A seguir apresentaremos as técnicas.

2.4.2 Técnicas

O apresentado acima nos permite sintetizar as seguintes técnicas matemáticas propostas para serem utilizadas no método de resolução de equações do primeiro grau:

•



TI: Testar a igualdade por tentativa e erros.

•



TTC: Transpor termos ou coeficientes, invertendo as operações.

•



NTC: Neutralizar termos ou coeficientes, efetuando a mesma operação

nos dois membros da igualdade.

•



RTS: Reagrupar os termos semelhantes, invertendo o sinal dos termos

transpostos.

Desse modo, dependendo das variáveis mobilizadas na confecção das equações, podemos mobilizar uma ou mais técnicas.

Assim, essas técnicas próprias de resoluções de equações, para os casos dos subtipos de tarefas t2 e t4, temos também a seguinte técnica:

▪ Desenvolver ou reduzir expressões, eliminando parênteses e/ou agrupando os termos semelhantes.

Testar a igualdade (



TI): essa técnica consiste em resolver a equação,

verificando-se a igualdade por meio de tentativas e aproximações, substituindo-se a incógnita por valores numéricos, isto é, transformam-se expressões algébricas em expressões aritméticas.

Desse modo, a aplicação dessa técnica baseia-se nos elementos tecnológicos que consistem nas regras de propriedades operatórias empregadas para calcular-se o valor numérico de expressões aritméticas. Pode-se dizer que TI é uma técnica que se baseia essencialmente em procedimentos aritméticos, isto é, no aspecto procedural.

Em relação ao alcance e eficiência, a técnica TI é normalmente utilizada para introduzir o trabalho com o estudo de resoluções de equações, visando apresentar sentido ao sinal da igualdade. Em geral, ela é pouco econômica e tem um alcance bastante limitado, isto é, ela nem sempre é eficiente. Por exemplo, a prática de resolver-se uma equação do primeiro grau por tentativas e aproximações, testando-se a igualdade, embora longa, é eficiente nos casos em que a solução é um número inteiro ou decimal exato. Verifica-se que, em geral, o tempo empregado na resolução é menor para soluções inteiras do que para soluções decimais.

Por exemplo: encontre o valor que satisfaça a equação x6 10. Ao resolver esse tipo de equação, os estudantes irão inserir valores numéricos. Um primeiro valor seria o número 2, testando-se na equação 2610 8 10, até chegar-se ao valor

4, que tornará a equação verdadeira46101010.

Transpor termos ou coeficientes (



TTC): essa técnica é geralmente

empregada para realizar, de maneira rápida e eficiente, o subtipo de tarefa t1: resolver equações do tipo

axbc

. Ela se diferencia por isolar a incógnita, transpondo termos constantes ou coeficientes para o outro membro da igualdade, invertendo as operações, como nos exemplos a seguir:

1. Para o caso em que

a1

, a resolução do subtipo de tarefa t1, por meio de TTC, incide em isolar-se a incógnita (x em um membro da igualdade, ) transpondo-se o termo constante(b para o outro membro e invertendo-se a ) operação, conforme o esquema.

b

c

x

c

b

x









Desse modo, ao transpor-se o termo (b , inverte-se a adição pela subtração. )

2. Para a situação em que

b

0

, a resolução do subtipo de tarefa t1 consiste em isolar-se a incógnita (x em um membro, transpondo-se o coeficiente )

)

(a para o outro membro e invertendo-se a operação.

a c x c ax ou a c x c ax    _{ }   

Desse modo, ao transpor-se o coeficiente (a , inverte-se a multiplicação pela ) divisão.

Para o caso em

a1

e

b1

, a resolução do subtipo de tarefa t1 se realiza em duas etapas: inicialmente, isola-se o termo incógnito (a_x), transpondo-se o termo constante (b para o outro membro da igualdade, realizando-se a operação inversa – ) no caso, a subtração.

b

c

ax

c

b

ax









Em seguida, isola-se a incógnita (x em um membro da igualdade, transpondo-) se o coeficiente (a) para o outro membro da igualdade e efetuando-se a operação inversa – no caso, a divisão.

a b c x b c ax    

A técnica



TTC baseia-se nas propriedades aritméticas das operações inversas; logo, não é adequada para a resolução de equações do tipo a₁xb₁a₂xb₂ que, segundo Vergnaud (1987), não podem ser revolvidas por processos aritméticos. No entanto, há casos em que a técnica



TTC é justificada, tomando-se como referência a eliminação de etapas realizadas na utilização da técnica



NTC, conforme veremos a seguir.

Neutralizar termos ou coeficientes (



NTC): essa técnica é comumente

utilizada de maneira eficiente para realizar-se o seguinte subtipo de tarefa t3: resolver uma equação do tipo a₁xb₁a₂xb₂. Por ser mais potente, ela pode ser também mobilizada para resolver o subtipo de tarefa t1 e t2: resolver uma equação do tipo

c

b

ax



. Ela se caracteriza por isolar a incógnita, efetuando a mesma operação nos dois membros da equação.

Para o caso da resolução do subtipo de tarefa de t1 e t2, a aplicação dessa técnica se dá da seguinte maneira (ver Figura 12).

c

b

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