ax Isola-se o termo incógnito (ax , subtraindo-se o termo )
(L3) Capítulo
4.10.4 Síntese avaliativa do livro Tempo de Matemática
A avaliação das organizações matemáticas existentes nesse livro em torno da resolução de equações do primeiro grau adota como referência os seguintes critérios propostos por Chevallard (1999): a) verificar se os subtipos de tarefas estão bem
identificados, acompanhados de explicações de sua pertinência (ou razão de ser), são representativos tanto em quantidade como qualidade; b) os elementos técnico-
tecnológicos estão explicitados ou não; bem enunciados e justificados. Assim, passamos a descrever esses elementos de avaliação a seguir.
Identificação dos subtipos e tarefas: nesse livro as tarefas e subtipos de tarefas são bem identificados nos capítulos 15º e 16º. Os primeiros enunciados relativos à resolução de equações do primeiro grau fazem referência à palavra
equação e expressões do primeiro grau. Os enunciados adotados para identificação dos tipos de tarefas são escritos desde o início do processo de oficialização do conceito de equação e de sistematização das técnicas – por exemplo, quais sentenças são equações; indique a incógnita; separe as equações com uma incógnita.
Pertinência ou razão de ser: o tipo de tarefa “resolver equações do primeiro grau” é um recurso (ferramenta) em si no capítulo 15. No capítulo 16, passa ser utilizado como uma ferramenta para resolver problemas. É o que podemos observar na figura abaixo.
Figura 27: Razão de ser da equação polinomial do primeiro grau
Representatividade: os exercícios explorados sobre resolução de equações do primeiro grau contemplam os diferentes subtipos de tarefas (t1, t2, t3, t4). No total foram identificados 55 exercícios propostos por meio de equações, dos quais 52 eram as equações e apenas três problemas no capítulo 15; já no capítulo 16 concentraram- se 76 problemas. Desse modo, os dois capítulos somam 131 atividades.
Destacamos ainda que esses exercícios do capítulo 15 referentes às equações para serem resolvidas (por exemplo: questão 1 – resolva as equações: letra a, b, c, d, e, f...) somaram 138 equações do capítulo. Dentre essas equações, tomamos como parâmetro as tarefas e técnicas em que os autores fizeram a sequência de estudo do capítulo. No entanto, essas tarefas e técnicas podem ser resolvidas com o apoio de outras tarefas e técnicas. Assim, identificamos as tarefas registradas na tabela abaixo.
Tabela 05: Subtipos de tarefas do livro Tempo de Matemática Subtipos de Tarefas T1 T2 T3 T4 % TTC 52 - - - 38 DRE_ TTC - 12 - - 9 NTC - - 09 - 6 DRE_ NTC - - - 65 47 Fonte: a pesquisa
Percebemos que as tarefas do grupo t1 representam 38% e a tarefa t4, 47%. Essas são as tarefas mais propostas pelo autor para o trabalho na sala de aula.
Elementos técnico-tecnológicos: a álgebra é definida como uma linguagem essencial, gramática, formada por regras. A noção de expressão algébrica não é oficializada por meio de enunciados, ela é utilizada como se fosse conhecida pelos alunos. A noção de equação é mais ou menos oficializada como sendo igualdades que contêm números desconhecidos, representados por incógnitas.
Em relação às técnicas elaboradas ou sistematizadas, foram identificadas as seguintes:
✓
NTC:
neutralizar termos ou coeficientes, elaborada e justificada por meio daspropriedades gerais da igualdade (θPGI) (figura 19);
✓
TTC: transpor termos ou coeficientes, mais ou menos justificada pelasA partir dessas três técnicas, com auxílio da
DRE (desenvolver ou reduzirtermos), justificada por meio das propriedades distributivas da multiplicação (θPDM),
foram sistematizadas também as técnicas mistas:
✓ DRE_NTC: desenvolver ou reduzir termos/neutralizar termos ou coeficientes
(figura 22).
Evolução dos subtipos de tarefas e da tecnologia: o estudo da resolução de equações polinomiais do primeiro grau é introduzido por meio de exploração de exercícios que correspondem à realização dos subtipos de tarefas, como podemos ver no quadro abaixo delineado.
Subtipos de tarefas Técnicas Tecnologias
t1 (resolver equações do
tipo
axbc
).Neutralizar termos ou coeficientes (NTC)
Propriedades gerais inversas (θPGI)
Transpor termos ou coeficientes (TTC)
Propriedades das operações inversas (θPOI)
t2 (resolver equações do
tipo A(x)0)
Técnica mista DRE_TTC, que
consiste em duas etapas: a) desenvolver ou reduzir expressões (DRE), para
transformar a equação do tipo A(x)0 em outra do tipo
axbc
; b) transpor termos ou coeficientes (TTC) Propriedades distributivas da multiplicação (θPDM). t3 (resolver equações do tipo a1xb1a2xb2). Neutralizar termos ou coeficientes (NTC) Propriedades gerais da igualdade (θPGI). t4 (resolver equações do tipo A1(x)A2(x))Técnica mista DRE_NTC, que
consiste em duas etapas: a) desenvolver ou reduzir expressões (DRE), para
transformar a equação do tipo A(x)0 em outra do tipo
axbc
; b) transpor termos ou coeficientes (TTC) Propriedades distributivas da multiplicação (θPDM).Quadro 65: Evolução das tarefas e tecnologias
Conforme o quadro acima, o autor sugeriu os quatros subtipos de tarefas. O trabalho das tarefas mais simples para as tarefas é que mobiliza mais elementos para a resolução das equações.
Organização didática: a transposição das praxeologias matemáticas existentes em torno dos subtipos de tarefas referentes às resoluções de equações do primeiro grau está registrada no quadro apresentado a seguir.
Momentos Didáticos
Critérios de Análise Livro
PRIMEIRO MOMENTO
De maneira é feita a introdução da equação polinomial do primeiro grau com incógnita no livro?
A introdução é realizada a partir da alusão da balança de dois pratos a fim de formar ou sistematizar a técnica eletiva para resolver a equação (subtipo de tarefa), por meio da explicação do procedimento de resolução.
SEGUNDO MOMENTO
Como se dá a exploração do tipo de tarefas T no livro? E a elaboração de uma técnica relativa a esse tipo de tarefas?
É indicado nas seções intituladas exercícios de fixação; exercícios complementares e exercícios selecionados. TERCEIRO MOMENTO Qual a constituição do ambiente tecnológico-teórico relativo à técnica?
A constituição do ambiente tecnológico é bem definido e justificado por meio das tecnologias: propriedades gerais da igualdade; propriedade das operações inversas; e propriedade distributiva da multiplicação.
QUARTO MOMENTO
Como é o trabalho das técnicas?
É sugerido por meios de seções específicas, logo após a constituição das tecnologias. O autor propôs um total de 139 exercícios para resoluções.
QUINTO
MOMENTO Como institucionalização: no início, no se efetiva a meio ou ao final do livro?
A institucionalização das tecnologias ocorreu logo após a apresentação das duas primeiras técnicas (neutralizar termos e coeficientes e transpor termos e coeficientes).
SEXTO MOMENTO
De que maneira se realiza a avaliação: no início, no meio ou ao final do livro?
A avaliação não ocorre de forma explícita. Em alguns momentos, depois da institucionalização das tecnologias.
Quadro 66: Momentos didáticos constituídos no livro Tempo de Matemática
Fonte: a pesquisa
Concluímos que a passagem de procedimentos aritméticos para procedimentos algébricos não é realizada de forma explícita, posto que, quando os autores afirmam que os processos (técnicas) principais podem ser agrupados para resolver equações, eles não deixam claro quais tipos de equações podem ser resolvidos, utilizando-se
das operações inversas e quais tipos só podem ser resolvidos, efetuando-se a mesma operação nos dois membros da equação.
No tocante ao manual didático do professor, observamos os seguintes objetivos:
✓ Compreender ideias iniciais da utilização da Álgebra; ✓ Identificar termos semelhantes;
✓ Utilizar equações para representar situações de igualdade; ✓ Identificar equações do 1º grau numa incógnita;
✓ Identificar solução de uma equação do 1º grau; ✓ Resolver equações do 1º grau.
Esses são os topos esperados pelo autor do livro Tempo de matemática em relação ao trabalho docente (com os estudantes) em sala de aula.
A distribuição das equações polinomiais do primeiro grau e de suas atividades é voltada para o ensino da repetição e memorização, não explorando as diversas situações didáticas, tais como o uso de jogos na sala de aula e a resolução de problemas, entre outras. Dessa forma, esse livro é pautado na definição do conteúdo, exemplos e exercícios repetitivos para auxiliar a memorização dos estudantes.