CL ´ASSICAS DE ENERGIA
Neste breve apˆendice ser˜ao apresentadas as condi¸c˜oes cl´assicas de energia conforme descritas em livros textos como Wald, [52], Hawking, [77] e Visser, [78]. Optou-se por usar um apˆendice por entender que este conte´udo, embora importante nas discuss˜oes presentes principalmente no cap´ıtulo (3), n˜ao fa¸ca parte do conte´udo principal da tese. A exposi¸c˜ao aqui feita est´a amparada no que vem principalmente no segundo livro citado acima e n˜ao houve preocupa¸c˜ao no sentido de provar as ditas condi¸c˜oes de energia.
De acordo com Visser [78] h´a no m´ınimo sete condi¸c˜oes de energia que s˜ao rotineira- mente ”invocadas”em Relatividade Geral, quais sejam: a condi¸c˜ao nula de energia - NEC (do inglˆes Null energy condition); a condi¸c˜ao fraca de energia - WEC (weak energy con- dition); a condi¸c˜ao forte - SEC (strong energy condition); a condi¸c˜ao dominante - DEC (dominant energy condition); a condi¸c˜ao de energia nula m´edia - ANEC (averaged null energy condition); condi¸c˜ao fraca de energia m´edia - AWEC (averaged weak energy con- dition) e, finalmente, a condi¸c˜ao forte de energia m´edia - ASEC (averaged strong energy condition). Apesar de haver estas sete condi¸c˜oes nem todas costumam ser usadas em um mesmo contexto. Para esta tese ´e suficiente recorrer apenas `as quatro primeiras, portanto apenas estas ser˜ao descritas aqui. Para um tensor momento energia escrito na forma diagonal Tµν = (ρ, p1, p2, p3) as condi¸c˜oes de energia acima podem ser definidas como
segue.
6.1
Condi¸c˜ao nula de energia - NEC
A condi¸c˜ao nula de energia estabelece que para algum vetor nulo kµ a desigualdade
Tµνkµkν ≥ 0 ´e satisfeita. Em termos das componentes do tensor momento energia isto ´e
escrito como
Esta condi¸c˜ao de energia ´e utilizada, por exemplo, no teorema de singularidade de Penrose [78]. Ela ´e suficiente para garantir que a densidade do universo diminui quando seu volume aumenta e sua viola¸c˜ao significa que algo de muito incorreto foi feito, [79]. Segundo a classifica¸c˜ao dada em [79] a mat´eria que viola a condi¸c˜ao nula ´e dita ”ex´otica”.
6.2
Condi¸c˜ao fraca de energia - WEC
Para satisfazer a WEC ´e necess´ario que a mat´eria satisfa¸ca TµνVµVν ≥ 0 em que Vµ
´e algum vetor tipo tempo. Esta condi¸c˜ao exige que a densidade de energia medida por algum ”observador tipo tempo”seja positiva. Sua express˜ao em termos das componentes de Tµν ´e a seguinte
ρ > 0, ρ + pj ≥ 0, ∀j. (6.2)
Como se ver a condi¸c˜ao WEC engloba a condi¸c˜ao NEC.
6.3
Condi¸c˜ao forte de energia - SEC
Esta condi¸c˜ao tamb´em est´a definida em termos de vetores tipo tempo. Ela estabelece que sendo Vµalgum vetor tipo tempo ent˜ao ´e v´alida a desigualdade T
µν − T2gµν VµVν ≥
0, sendo T = Tµνgµν. Isto pode ser escrito como
ρ + pj ≥ 0, ρ +
X
j
pj ≥ 0, ∀j. (6.3)
A condi¸c˜ao SEC compreende a condi¸c˜ao nula mas n˜ao implica, em geral, a condi¸c˜ao fraca [78]. Barcel´o e Visser afirmam que a condi¸c˜ao SEC ´e violada em todo processo cosmol´ogico inflacion´ario. Mais que isso, afirmam ser a viola¸c˜ao da SEC uma propriedade gen´erica de campos escalares. H´a inclusive quem sugira que esta condi¸c˜ao seja abandonada como restri¸c˜ao razo´avel nas propriedadas da mat´eria [80]. Seguindo a classifica¸c˜ao de Visser [79] a mat´eria que viola especificamente a condi¸c˜ao SEC secebe o nome de anormal.
6.4
Condi¸c˜ao dominante de energia - DEC
Por fim a condi¸c˜ao dominante de energia exige que TµνVµVν ≥ 0 e que TµνVν n˜ao
seja tipo espa¸co. Em termo de ρ e p tem-se
Atrav´es do ”teorema da conserva¸c˜ao”Hawking e Ellis mostram, usando a DEC, que n˜ao ´e poss´ıvel haver propaga¸c˜ao de energia fora do cone de luz. Isso implica em que se uma fonte de energia obedece a DEC ela ´e est´avel [81].
Para completar a nomenclatura a respeito dos tipos de mat´eria, segundo classifica¸c˜ao dada por Visser, [79], chama-se ”mat´eria normal”aquela que obedece `as quatro condi¸c˜oes de energia acima. Se alguma fonte viola alguma daquelas condi¸c˜oes ´e chamada de ”n˜ao normal”; ´e anormal se viola SEC e ex´otica quando viola NEC, como j´a se disse. O mesmo autor afirma que a viola¸c˜ao da NEC se d´a normalmente em n´ıveis quˆanticos. Classicamente ”toda lagrangeana decente”satisfaz tal condi¸c˜ao (vale ressaltar, no entanto, que o modelo de brana dado em [45], quando se considera um campo do tipo fantasma como fonte, viola esta condi¸c˜ao). No entanto, encontrar fontes que violam WEC e DEC ´e relativamente f´acil, enquanto que a viola¸c˜ao destas duas mas, concomitantemente, a satisfa¸c˜ao de NEC e SEC ´e poss´ıvel atrav´es de uma constante cosmol´ogica negativa. Por fim, violar SEC ´e f´acil (mas n˜ao tanto) e desobedecˆe-la obedecendo as demais ´e poss´ıvel atrav´es de uma constante cosmol´ogica positiva ou atrav´es de uma ´epoca cosmol´ogica inflacion´aria [79].
A viola¸c˜ao de algumas destas condi¸c˜oes pode ser vista em teorias bastante familiares. A condi¸c˜ao SEC pode ser violada, por exemplo, em teoria com um campo escalar min- imamente acoplado. No efeito Casemir todas as quatro condi¸c˜oes acima WEC, SEC, DEC e NEC s˜ao violadas. O dito ”v´acuo comprimido”tamb´em viola as quatro condi¸c˜oes anteriores, mas assim como o efeito Casimir n˜ao viola as condi¸c˜oes de energia m´edias AWEC, ANEC, ASEC. Outras situa¸c˜oes em que ocorrem viola¸c˜ao destas condi¸c˜oes s˜ao na evapora¸c˜ao de Hawking, no v´acuo de Hartle-Hawking e em infla¸c˜oes cosmol´ogicas [78].