3 SOLUC ¸ ˜ OES DE ONDAS
3.3 Branas geradas a partir de ondas gravitacionais estacion´ arias em seis dimens˜ oes
3.3.1 Solu¸c˜ ao do tipo brana fina
O ponto de partida para obten¸c˜ao da brana anisotr´opica em seis dimens˜oes semel- hante ao modelo de Merab consiste em escolher uma m´etrica apropriada. Conforme procedimento feito em cinco dimens˜oes, considera-se o conjunto de equa¸c˜oes (3.45 - 3.50) combinado com (3.57) para o caso A(r) = B(r) o que resulta
Rxx = Ryy = −14eA+u 5A′2+ 2A′′− 2e−Au + 5A¨ ′u′+ 2u′′ = 1 2e A+uΛ 6 (3.58) Rzz = −14eA−3u 5A′2+ 2A′′+ 6e−Au − 15A¨ ′u′ − 6u′′ = 1 2e A−3uΛ 6 (3.59) Rtt = 1 4e A5A′2
+ 2A′′− 12e−A˙u2= −κ26˙Φ2− 1 2e AΛ 6 (3.60) Rrt = − 1 4˙u(12u ′ ) = −κ26˙ΦΦ ′ (3.61) 2
Esta ´e uma express˜ao geral, mas nas solu¸c˜oes apresentadas nas pr´oximas subse¸c˜oes o potencial V (Φ) ser´a considerado nulo.
Rrr =
1 4
−5A′2− 10A′′− 12u′2 = −κ26Φ ′2 +1 2Λ6 (3.62) Rθθ = −14R20eA+u 5A′2+ 2A′′− 2e−Au + 5A¨ ′u′+ 2u′′ = 1 2R 2 0eA+uΛ6 (3.63)
A partir de 3.61 ´e necess´ario que se imponha Φ = √3
κ6u. Para que se tenha uma solu¸c˜ao do
tipo onda estacion´aria semelhante ao que se obteve em cinco dimens˜oes a fun¸c˜ao u deve obedecer `a rela¸c˜ao
−e−Au +¨ 5 2A
′
u′ + u′′ = 0 (3.64)
Pelas equa¸c˜oes (3.58), (3.59), (3.60) e (3.63) esta equa¸c˜ao para u exige que se tenha Λ6 = −12(5A
′2
+ 2A′′
). No entanto esta condi¸c˜ao aplicada em (3.62) exige que se tenha A′′(r) = 0. Assim a solu¸c˜ao poss´ıvel para o fator de warp neste cen´ario ´e A = cr + c
0.
Para que se tenha A(0) = 0 e para que se assemelhe mais ao modelo de cinco dimens˜oes assume-se A(r) = 2ar. Com isso a m´etrica (3.44) assume a forma
ds2 = e2ar dt2− eudx2− eudy2− e−3udz2 − dr2− R20e2ar+udθ2. (3.65) Enquanto isso a constante cosmol´ogica ´e dada por Λ6 = −10a2 o que exige que se tenha
Λ6 < 0 para que a constante a seja real.
Pretende-se resolver (3.64) no caso em que A(r) = 2ar a qual resulta
−e−2aru + 5au¨ ′ + u′′ = 0 (3.66) Para resolver esta equa¸c˜ao inicialmente separa-se as vari´aveis r e t assumindo-se que se possa escrever
u(r, t) = g(t)ρ(r) (3.67)
Para que (??) seja separ´avel basta que g(t) obede¸ca ao requisito b´asico: ¨g ∝ g. Em outras palavras, g(t) pode ser uma fun¸c˜ao exponencial, seno, cosseno..., do tempo. Assumindo-se
que g(t) satisfa¸ca essa condi¸c˜ao, substituindo-se (3.67) em (??) encontra-se para a vari´avel ρ(r)
ρ′′(r) + 5aρ′(r) + α2e−2arρ(r) = 0 (3.68) em que α ´e uma constante que resulta da derivada temporal de g.
Esta equa¸c˜ao pode ser reescrita atrav´es de uma mudan¸ca de vari´avel e na nova vari´avel ela se apresentar´a bem familiar. Seja ent˜ao
¯ z = α |a|e −ar; ρ = F h (3.69) onde F =α |a| 5/2 e−5
2ar. Com isso obtem-se a conhecida equa¸c˜ao de Bessel de ordem 5
2,
para a nova vari´avel ¯z
∂2h(¯z) + 1 ¯ z∂h(¯z) + 1 − 254 z12 h(¯z) = 0 (3.70)
onde ∂ = ∂/∂ ¯z. A solu¸c˜ao geral desta equa¸c˜ao ´e dada por h(z) = AJ5
2(¯z) + BY 5
2(¯z) (3.71)
em que A e B s˜ao constantes de integra¸c˜ao e J, Y s˜ao as fun¸c˜oes de Bessel do primeiro e segundo tipo, respectivamente. Em termo da vari´avel r a solu¸c˜ao resulta
ρ(r) = C1e− 5 2arJ5 2( α |a|e −ar) + C 2e− 5 2arY5 2( α |a|e −ar) (3.72)
onde C1, C2 s˜ao as novas constantes. At´e aqui a obten¸c˜ao da fun¸c˜ao u atrav´es da rela¸c˜ao
(3.67) depende da especifica¸c˜ao de g. Como o objetivo aqui ´e obter uma solu¸c˜ao do tipo onda escacion´aria ´e natural que se fa¸ca op¸c˜ao por u(r, t) = sen(ωt)ρ(r) onde ρ assume a forma ρ(r) = C1e− 5 2arJ5 2( ω |a|e −ar) + C 2e− 5 2arY5 2( ω |a|e −ar) (3.73)
que foi dada anteriormente com a diferen¸ca apenas de substituir α por ω. Apesar desta solu¸c˜ao ser muito semelhante `aquela de cinco dimens˜oes, no que se refere `a localiza¸c˜ao de campos elas apresentam resultados diferentes, como ser´a visto.
A solu¸c˜ao acima ´e naturalmente oscilat´oria na vari´avel r e a exemplo do que se viu em cinco dimens˜oes considera-se que para r = 0 a raz˜ao ω
|a| coincida com um zero de
alguma das fun¸c˜oes de Bessel J5 2, Y
5
2 de forma que a fun¸c˜ao u se anule na origem. Cada
”n´o”corresponde a uma ilha AdS conforme interpreta¸c˜ao do trabalho original. Como se encontra ilustrado nas pr´oximas figuras a quantidade de n´os ´e finita para a > 0 e infinita no caso em que a < 0. Neste caso considerou-se ω = 12.3 e a = +1, a = −1 para as figuras
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 r -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 ΡHrL
Figura 8: Perfil de ρ(r) para a = 1 e ω = 12, 3
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 r
-50
50
ΡHrL
Figura 9: Perfil de ρ(r) para a = -1 e ω = 12, 3
(8) e (9), respectivamente. Em ambos os casos a raz˜ao |a|ω corresponde ao terceiro zero de J5
2. Como se vˆe no primeiro caso a quantidade de n´os ´e finita enquanto que no segundo
caso esta mesma quantidade tende ao infnito. Considerando-se que os campos se localizam nestes ”universo-ilhas”de AdS ´e suficiente considerar que se tenha uma quantidade finita de zeros, portanto que a > 0.
Como se viu na se¸c˜ao (3.1) para evitar os problemas de instabilidade comuns em modelos com campo do tipo fantasma, o modelo de ondas estacion´arias em cinco dimens˜oes foi inserido em uma geometria de Weyl. Aqui preferiu-se avaliar as componentes do tensor momento-energia e mostrar que n˜ao h´a problemas de energia infinita, apesar de tamb´em n˜ao satisfazer as condi¸c˜oes de energia. No entanto, para que se tenha um cen´ario fisicamente aceit´avel ´e suficiente que as componentes do tensor momentum-energia, bem como o escalar de curvatura sejam finitos. Na figura (10) s˜ao mostrados os perfis das quantidades hTxx(r)i = hTyy(r)i = hTθθ(r)i = hTzz(r)i, hTrr(r)i e hTtt(r)i, de acordo
com a defini¸c˜ao do tensor momentum energia (3.17). Nessa figura assume-se os seguintes valores para as constantes: C2 = 0, a = κ = R0 = 1 e C2 = 8/3, ω = 5.76, que equivale ao
primeiro zero da fun¸c˜ao J5/2. Na figura (11) foram plotadas as mesmas quantidades, mas
neste caso tem-se ω = 9.09, o que corresponde ao segundo zero de J5/2. Nas figuras (12)
e (13) a energia foi plotada mais uma vez, neste caso mantendo-se constante a raz˜ao ω/a, enquanto ω, a variam. Um perfil do escalar de curvatura do bulk hRi ´e exibido na (12). Nesse caso a frequˆencia ω assume os valores 5,76, 9,09 and 12,3, que s˜ao os trˆes primeiros zeros de J5/2. Finalmente, na figura (13) tem-se um esquema do escalar de curvatura em
4D R(4) para os mesmos valores de ω. O s´ımbolo hF i representa a m´edia temporal da
ser´a visto ao se estudar a localiza¸c˜ao do campo escalar neste modelo, ´e dada por
hebui = I0(bρ(r)), (3.74)
onde b ´e uma constante e I0 ´e a fun¸c˜ao de Bessel modificada de ordem zero. A fun¸c˜ao
ρ(r) ´e dada por (3.73) para C2 = 0. Como ser´a visto no cap´ıtulo sobre localiza¸c˜ao para
b = −1 ou b = −3 esta quantidade varia pouco, sendo aproximadamente 1.
As figuras mostram que para o modelo proposto aqui nenhuma dessas importantes quantidades, quais sejam, as componentes do tensor momento-energia e o escalar de cur- vatura, s˜ao infinitas, embora a fonte seja um campo do tipo fantasma. Nas figuras (10) e (11), como j´a foi dito, tem-se um esquema da m´edia temporal das componentes do tensor momento-energia, em que as constantes assumem os valores acima destacados. A linha cheia representa hTtt(r)i, a linha seccionada representa hTrr(r)i e, finalmente, a linha
pontilhada representa hTxx(r)i = hTyy(r)i = hTθθ(r)i = hTzz(r)i. Como pode ser visto a
partir dessas figuras, a densidade de energia, independentemente do valor da raz˜ao ω/a, ´e sempre negativa, convergindo para zero mais rapidamente para o primeiro zero da fun¸c˜ao de Bessel. Por outro lado, as componentes da press˜ao apresentam perfis bem diferentes. Enquanto que hTxx(r)i = hTyy(r)i = hTθθ(r)i = hTzz(r)i, oscilam entre valores positivos
e negativos, hTrr(r)i ´e sempre negativa. Vale destacar que densidade de energia positiva
com press˜ao negativa ´e t´ıpico de modelos gerados por campos do tipo fantasma [53], mas no caso considerado aqui, como se verifica, a densidade de energia assume sempre valores negativos o que mostra a natureza ex´otica da fonte, que n˜ao ´e um campo fantasma no sen- tido que se considera na literatura [8, 9, 26, 51], da´ı porque se diz que ´e do tipo fantasma. Apesar destas caracter´ısticas n˜ao ortodoxas, todas essas quantidades s˜ao finitas o que ´e menos problem´atico em compara¸c˜ao com teorias, na presen¸ca de campos fantasma, que apresentam densidade de energia infinita. ´E importante ressaltar que a presen¸ca de mod- elos que n˜ao satisfazem a condi¸c˜ao de energia dominante ´e comum na literatura. Pode-se, por exemplo, citar a vers˜ao em 5D deste modelo [18], que conforme foi verificado n˜ao obedece a nenhuma das condi¸c˜oes, como um dos casos em que esta condi¸c˜ao de energia n˜ao ´e satisfeita. Em modelos de brana em 6D tamb´em h´a modelos que apresentam esta caracter´ıstica heterodoxa, como o modelo proposto por Koley-Kar [45] e o defeito tipo corda j´a discutido aqui [10].
Pode-se observar nas figuras (12) e (13) que os valores das constantes a e ω podem influenciar o perfil da densidade de energia mesmo no caso em que a raz˜ao ω/a ´e mantida constante. Em ambas as figuras foi plotada a densidade de energia variando-se os valores de a e ω enquanto que a raz˜ao ω/a = 5, 76 foi mantida fixa. Na figura (12) inicia-se com
a = 1 e ω = 5, 76 (linha seccionada), depois estes valores s˜ao multiplicados por 2 (linha pontilhada) e 3 (linha cheia). J´a na figura (11) inicia-se com os mesmos valores que em (10) com a diferen¸ca que estes valores agora s˜ao divididos por 2 e 3, linhas pontilhada e cheia, respectivamente. Os resultados mostram que ao se elevar os valores das constante, figura (12), a densidade de energia tende a convergir para zero mais rapidamente mas isso tender´a a torn´a-la mais negativa pr´oximo `a origem. Por outro lado, como pode ser visto na figura (13), se os valores das constantes decrescem, mantendo-se constante a raz˜ao entre elas, tem-se o processo inverso no sentido em que a energia se torna menos negativa pr´oximo `a origem, e no que se refere `a convergˆencia a energia tende para valores constantes mas diferente de zero. Tamb´em nestes casos, e isto ´e realmente o que se pretende mostrar com essas figuras, n˜ao h´a problema de energia infinita.
Por fim, na figura (14) o escalar de curvatura do bulk foi plotado para diferentes valores de ω: ω = 5, 76 (linha seccionada); ω = 9, 09 (linha pontilhada) e ω = 12, 3 para a linha cheia. Em todos os casos hRi ´e finito e positivo, tendendo a ser constante assintoticamente. Na figura (15), que apresenta o perfil para R(4), percebe-se que na
origem, ou seja, na brana ele ´e nulo, no entanto fora da brana apresenta-se diferente de zero e negativo. A exemplo do que se passa com a energia, o escalar de curvatura da brana decresce com o aumento de ω. Neste ´ultimo gr´afico os valores assumidos por ω s˜ao: ω = 5, 76 (linha seccionada); ω = 9, 09 (linha pontilhada) e ω = 12, 3 (linha cheia).
A partir das figuras (10 − 15) percebe-se que este cen´ario ´e mais caracter´ıstico de uma brana espessa que de uma brana fina, uma vez que a mesma se encontra na origem mas sua influˆencia se extende para as vizinhan¸cas. Este comportamento parece ser consequˆencia da natureza ex´otica da fonte que a gera. Deve-se ressaltar mais uma vez que as figuras representam a m´edia temporal das quantidades em estudo. Portanto, ´e poss´ıvel que haja algum intervalo de tempo em que as condi¸c˜oes de energia sejam satisfeitas. Esta observa¸c˜ao ´e importante uma vez que a existˆencia de sistemas f´ısicos em que a condi¸c˜ao de energia dominante ´e violada em certos intervalos de tempo ´e comprovada [51] .
Com isso se encerra esta subse¸c˜ao. As solu¸c˜oes aqui encontradas muito se assemelham ao caso de cinco dimens˜oes, como n˜ao poderia deixar de ser. Principalmente no que se refere ao tensor momento-energia esta solu¸c˜ao em seis dimens˜oes se apresenta semelhante ao modelo de Merab. Isto ´e importante pois o fato de o modelo de cinco dimens˜oes ser est´avel e de o modelo constru´ıdo aqui, em seis dimens˜oes, ser semelhante sugere que este tamb´em seja est´avel. No entanto este modelo em seis dimens˜oes apresenta uma vantagem sobre o modelo original que consiste no fato de ser mais eficiente na localiza¸c˜ao de campos,
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 r -4 -2 2 4 TMN@rD Figura 10: Perfil de hT i , ω = 5, 76. A
linha cheia representa hTtti. A linha sec-
cionada representa hTrri. A linha pontil-
hada representa hTxxi = hTyyi = hTzzi = hTθθi. 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 r -4 -2 2 4 TMN@rD Figura 11: Perfil de hT i , ω = 9, 09. A
linha cheia representa hTtti. A linha sec-
cionada representa hTrri. A linha pontil-
hada representa hTxxi = hTyyi = hTzzi =
hTθθi.
por assim dizer. No pr´oximo cap´ıtulo isso ser´a evidenciado. No entanto este cap´ıtulo prossegue pois ´e necess´ario procurar outras solu¸c˜oes para as equa¸c˜oes de Einstein neste cen´ario. Particularmente nas pr´oximas subse¸c˜oes ser˜ao apresentadas solu¸c˜oes de brana espessa e solu¸c˜oes que satisfa¸cam as condi¸c˜oes de energia.
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 r -30 -25 -20 -15 -10 -5 T00@rD Figura 12: Perfil de hT0i . ω = 5, 76 e
a = 1 para linha seccionada; ω = 11, 52 e a = 2 para linha pontilhada; ω = 17, 28 e a = 3 para linha cheia.
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 r -3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 T00@rD Figura 13: Perfil de hT0i. ω = 5, 76 e a = 1
para linha seccionada; ω = 2, 88 e a = 0, 50 para linha pontilhada; ω = 1, 92 e a = 0, 33 para linha cheia.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 r 10 20 30 40 50 R@rD
Figura 14: Perfil de hRi. ω = 5, 76 (linha
seccionada), ω = 9, 09 (linha pontilhada),
ω = 12, 3 (linha cheia) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 r -5 -4 -3 -2 -1 RH4L@rD Figura 15: Perfil de hR(4)i. ω = 5, 76
(linha seccionada), ω = 9, 09 (linha pon- tilhada), ω = 12, 3 (linha cheia)
3.3.2
Solu¸c˜ao do tipo brana espessa
Nesta subse¸c˜ao pretende-se resolver o conjunto de equa¸c˜oes (3.51 - 3.56) de tal forma que a solu¸c˜ao na forma de ondas gravitacionais estacion´arias corresponda a uma brana espessa na origem da coordenada r. Considerar-se-´a o caso mais simples em que A = B. Para melhorar a compreens˜ao as equa¸c˜oes de Einstein ser˜ao repetidas aqui
Gxx = Gyy = 1 4e A+u
10A′2+ 8A′′+ 6(u′2− e−A˙u2) + 2e−Au − 5A¨ ′u′ − 2u′′
Gzz = 1 4e A−3u
10A′2+ 8A′′+ 6(u′2− e−A˙u2) − 6e−Au + 15A¨ ′u′+ 6u′′
= κ26Tzz + gzzΛ6 (3.76) Gtt = 1 4e A
−10A′2− 8A′′− 6(u′2+ e−A˙u2)= κ26Ttt+ gttΛ6 (3.77)
Grt= 1 4˙u(−12u ′ ) = κ26T rt (3.78) Grr = 1 4
10A′2− 6(u′2+ e−A˙u2)= κ26Trr+ grrΛ6 (3.79)
Gθθ = 1 4R 2 0eA+u
10A′2+ 8A′′+ 6(u′2− e−A˙u2) + 2e−Au − 5A¨ ′u′ − 2u′′
= κ26Tθθ+ gθθΛ6 (3.80)
Neste caso o tensor momento-energia n˜ao ser´a especificado a priori, ao contr´ario, ser´a feita a suposi¸c˜ao de que a solu¸c˜ao procurada existe e de posse da solu¸c˜ao encontrar-se- ´a as componentes do tensor momento-energia. Em seguida estas mesmas componentes ser˜ao avaliadas quanto a satisfazer as condi¸c˜oes de energia.
Como j´a foi visto, para A = B uma equa¸c˜ao para u que possibilite uma solu¸c˜ao do tipo onda estacion´aria pode ser obtida das equa¸c˜oes (3.75), (3.76) ou (3.80) ´e dada por
−e−Au +¨ 5 2A
′
u′ + u′′ = 0. (3.81)
Se isso for feito nas trˆes equa¸c˜oes citadas acima e se for feita a escolha Λ6 = −14(10A
′2
+ 8A′′
presen¸ca de um campo do tipo fantasma conforme foi obtido na subse¸c˜ao anterior. Mas isso iria exigir que a fun¸c˜ao A fosse linear em r e a pretens˜ao de encontrar uma solu¸c˜ao com brana espessa teria falhado. Ao inv´es disso exige-se que as derivadas da fun¸c˜ao A satisfa¸cam a rela¸c˜ao
A′′(r) − A′2(r) + Λ6 = 0, (3.82)
cuja solu¸c˜ao para Λ6 > 0 ´e, a menos de constantes de integra¸c˜ao
A(r) = − loghcoshpΛ6r
i
(3.83) Este solu¸c˜ao implica em um fator de warp, eA, que representa uma brana espessa. Mas
para isso ´e necess´ario que as componentes do tensor momento-energia satisfa¸cam as rela¸c˜oes κ26Txx = κ26Tyy = −gxx 3 2(u ′2− e−A˙u2) + (A′′+7 2A ′2) , (3.84) κ26Tzz = −gzz 3 2(u ′2− e−A˙u2) + (A′′+7 2A ′2) , (3.85) κ26Ttt = −gtt 3 2(u ′2+ e−A˙u2) + (A′′+7 2A ′2) , (3.86) κ26Trr = −grr −3 2(u ′2+ e−A˙u2) + (7 2A ′2− A′′) , (3.87) κ26Tθθ = −gθθ 3 2(u ′2− e−A˙u2) + (A′′+7 2A ′2) . (3.88)
A componente Trt deve coincidir com a componente do tensor de Einstein Grt. Como
pode ser visto, as componentes (3.84 - 3.88) s˜ao formadas pela adi¸c˜ao do tensor momento- energia referente a um campo do tipo fantasma, conforme subse¸c˜ao anterior, mais derivadas da fun¸c˜ao A(r), que fazem lembrar a rela¸c˜ao entre o potencial do campo escalar e as derivadas da fun¸c˜ao de warp no caso dos modelos de brana do tipo bounce ou kink nas subse¸c˜oes (2.1.1) e (2.2.1). ´E poss´ıvel observar ainda que se trata de uma configura¸c˜ao anisotr´opica de mat´eria, o que j´a se deveria esperar e que est´a de acordo com o modelo original e com o que foi descrito anteriormente. O conjunto de equa¸c˜oes acima pode ser escrito em uma forma concisa como segue
em que (TM
N )f antasma representa as componentes do tensor momento-energia to tipo fan-
tasma considerado na subse¸c˜ao anterior e VM N(A′, A′′) ´e uma fun¸c˜ao das derivadas primeira
e segunda de A multiplicada pela m´etrica. Isto n˜ao ´e uma representa¸c˜ao tensorial em que sejam v´alidas as regras de soma de Einstein, mas apenas uma forma concisa de escrever as componentes do tensor energia-momento dadas explicitamente no conjunto de equa¸c˜oes (3.84 - 3.88).
Para que se tenha Λ6 < 0 as derivadas de A presentes no sistema de equa¸c˜oes (3.84 -
3.88) devem ser dadas por A′′(r) + 3
2A′2 para a componente Trr e 3A′′(r) + 3
2A′2 para as
demais componentes. A equa¸c˜ao para A ser´a idˆentica (3.82) e a solu¸c˜ao difere de (3.83) apenas pela substitui¸c˜ao de Λ6 por seu m´odulo. Mais uma vez a solu¸c˜ao representar´a uma
brana espessa, neste caso o bulk ´e AdS enquanto que no primeiro caso ´e dS.
Esta solu¸c˜ao naturalmente ainda n˜ao est´a conclu´ıda pois ´e necess´ario resolver (3.81) para determinar u. Percebe-se que ´e poss´ıvel usar a mesma estrat´egia que na se¸c˜ao anterior para separar as vari´aveis no entanto a fun¸c˜ao dependente de r n˜ao pode ser resolvida analiticamente, por isso a discuss˜ao a respeito das condi¸c˜oes de energia n˜ao poder˜ao ser feitas para este modelo, neste momento. No entanto ´e poss´ıvel fazer algum coment´ario ao menos baseado no fator de warp. A seguir s˜ao plotadas as quantidades (A′′+ 7
2A′2) e (3A′′(r) + 3
2A′2) para os casos em que Λ6 > 0 e Λ6 < 0, respectivamente.
1 2 3 4 5 r -3 -2 -1 1 F@rD Figura 16: Perfil de (A′′+ 7 2A′2) 1 2 3 4 5 r -3 -2 -1 1 F@rD Figura 17: Perfil de 3A′′(r) +3 2A′2
Como se vˆe as quantidades adicionadas ao campo do tipo fantasma ir˜ao contribuir para tornar positivas as componentes do tensor momento-energia em algum intervalo e em outro contribuir˜ao para que as mesmas se tornem negativas. Embora esta seja uma an´alise muito superficial ´e razo´avel dizer que as condi¸c˜oes de energia ser˜ao violadas neste modelo tamb´em. Mas tamb´em ´e verdade que n˜ao h´a problemas com energia infinita. No entanto, uma an´alise mais aprofundada precisa ser feita inclusive com a obten¸c˜ao da
fun¸c˜ao u. Isto ser´a deixado como perspectiva de trabalho futuro.
Assim esta subse¸c˜ao ´e conclu´ıda. O modelo proposto aqui generaliza aquele apresen- tado na subse¸c˜ao anterior (3.3.1) para o caso em que a solu¸c˜ao ´e uma 4-brana espessa. ´E poss´ıvel dizer que a solu¸c˜ao ´e do tipo onda estacion´aria desde que exista solu¸c˜ao para a parte de u dependente de r. Trata-se mais uma vez de um modelo em que a dimens˜ao compacta est´a contida na brana, ou seja, uma compacta¸c˜ao h´ıbrida. Um dos objetivos, a obten¸c˜ao de uma solu¸c˜ao com brana espessa, foi atingido mas o tensor energia-momento que neste caso pode ser tido como uma generaliza¸c˜ao do campo do tipo fantasma parece n˜ao satisfazer as condi¸c˜oes de energia, embora esta seja uma an´alise expeculativa.
Na pr´oxima subse¸c˜ao considerar-se-´a uma solu¸c˜ao mais geral em que A e B s˜ao difer- entes e mais uma vez ser´a feita a tentativa de encontrar uma solu¸c˜ao que satisfa¸ca as condi¸c˜oes de energia.