O objetivo desta subse¸c˜ao, como foi dito, consiste em resolver as equa¸c˜oes de Einstein na presen¸ca de m´etrica (3.44) para o caso em que o tensor momento-energia satisfaz as condi¸c˜oes de energia. Como foi visto nas subse¸c˜oes (3.3.1) e (3.3.2) nos casos em que A = B foi poss´ıvel encontrar solu¸c˜oes na forma de ondas gravitacionais estacion´arias tanto para uma brana fina quanto para uma brana espessa mas para isso a fonte era um campo escalar do tipo fantasma, no primeiro caso e um ”campo escalar do tipo fantasma modificado”, no segundo caso, sendo que nos dois casos a fonte ´e ex´otica, ou n˜ao-ortodoxa, do ponto de vista que a energia ´e negativa bem como algumas componentes da press˜ao. Nesta se¸c˜ao a abordagem levar´a em conta que A e B s˜ao diferentes mas lineares em r, como no defeito tipo corda descrito na subse¸c˜ao (2.2.2). Portanto, nesta subse¸c˜ao as fun¸c˜oes de warp ser˜ao A(r) = 2cr e B(r) = c1r. Com isso a m´etrica ´e dada por
ds2 = e2cr dt2− eudx2− eudy2− e−3udz2 − dr2
− R02ec
1r+u
dθ2. (3.90) Para esta m´etrica as componentes n˜ao nulas da equa¸c˜ao de Einstein s˜ao dadas por
− 1 4 24c2 + c21+ 6cc1+ 6(u ′2 − e−2cr˙u2) + 2e−2cru − 10cu¨ ′ − 2u′′
= κ26Txx+ Λ6 (3.91) − 14 24c2+ c21+ 6cc1+ 6(u ′2 − e−2cr˙u2) − 6e−2cru + (22c + 4c¨ 1)u ′ + 6u′′ = κ26Tzz+ Λ6 (3.92) 1 4 −24c2 − c21− 6cc1− 6(u ′2 + e−2cr˙u2) + (2c − c1)u ′ = κ26Ttt+ Λ6 (3.93) 1 4˙u(2c − c1 − 12u ′ ) = Trt (3.94) − 14 24c2+ 8cc1− 6(u ′2 + e−2cr˙u2) + (2c − c1)u ′ = κ26Trr+ Λ6 (3.95) − 14
40c2+ 6(u′2− e−2cr˙u2) + 2e−2cru − 10cu¨ ′ − 2u′′
= κ26Tθθ+ Λ6 (3.96)
Para alcan¸car o objetivo aqui, o procedimento ´e semelhante ao que foi feito na se¸c˜ao anterior. Isso significa que as componentes do tensor momento-energia ser˜ao escolhidas de tal forma que a solu¸c˜ao para u(r, t) seja do tipo onda gravitacional estacion´aria e devem ainda ser todas positivas. H´a algumas maneiras de se obter tal configura¸c˜ao, como por exemplo, assumindo-se que o tensor momento-energia tenha como componentes n˜ao nulas as seguintes
κ26Txx = κ26Tyy = −1 4 6(u′2− e−2cr˙u2) − 4 3(2c − c1)u ′+ 6cc 1 , (3.97) κ26Tzz = −1 4 6(u ′2− e−2cr˙u2)) + 6cc 1 , (3.98) κ26Ttt= 1 4 −6(u ′2+ e−2cr˙u2 ) + (2c − c1)u′− 6cc1 , (3.99) κ26Trr = −1 4 −6(u ′2+ e−2cr˙u2 ) + (2c − c1)u′− c21+ 8c1c , (3.100) κ26Tθθ = − 1 4 6(u′2− e−2cr˙u2) −4 3(2c − c1)u ′+ 16c2 − c21 . (3.101)
Mais uma vez a componente κ2
6Trt deve coincidir com a componente Grt. A presen¸ca do
produto c1c na maioria das componentes ´e indispens´avel para que se consiga obter valores
positivos para as mesmas. Percebe-se tamb´em que o tensor momento-energia acima pode ser dado como a soma de parcelas que podem ser classificadas: uma delas associada a um campo escalar do tipo fantasma, uma outra que depende das derivadas de A e B e, diferente do caso da se¸c˜ao anterior, quando se admitiu A = B, mais uma parcela que depende de u′.
Al´em disso a constante cosmol´ogica Λ6 deve satisfazer a rela¸c˜ao
Λ6 = −
1 4(24c
2+ c2
1). (3.102)
Com isso ´e necess´ario que se tenha Λ6 < 0 o que permite encontrar uma rela¸c˜ao entre c,
c1 e |Λ6|
c1 = ±p4|Λ6| − 24c2 (3.103)
onde
c2 ≤ 1
6|Λ6|. (3.104)
Finalmente a equa¸c˜ao para u resulta
−e−2cru +¨ 1
6(22c + 4c1)u
′
+ u′′ = 0 (3.105)
Esta equa¸c˜ao embora muito semelhante `aquela encontrada para o caso da brana fina 3.68, ´e mais geral e oferece uma solu¸c˜ao bem mais interessante, embora tamb´em muito
semelhante a que foi encontrada naquela ocasi˜ao. De fato o fator que multiplica u′ n˜ao depende apenas de c como na outra ocasi˜ao e isto resultar´a em uma solu¸c˜ao que possi- bilite a existˆencia de fator de warp tanto crescente, como j´a se obteve em (3.3.1), como decrescente. Como se vˆe a equa¸c˜ao (3.105) tamb´em ´e separ´avel e a fun¸c˜ao u mais uma vez pode ser escrita como o produto u(r, t) = sin(ωt)ρ(r). Como o procedimento ´e semelhante ao que se fez em 3.66 n˜ao ser´a repetido aqui. A solu¸c˜ao geral para a fun¸c˜ao ρ(r) ser´a dada por ρ(r) = D1e− a 2rJ −a 2c( ω |c|e −cr) + D 2e− a 2rJa 2c( ω |c|e −cr) (3.106)
onde D1, D2 s˜ao constantes de integra¸c˜ao, J−a 2c, J
a
2c, s˜ao as fun¸c˜oes de Bessel de ordens
−a
2c e
a
2c, respectivamente. A constante a neste caso ´e dada por a =
22c+4c1
6 . Com isso
encontra-se uma solu¸c˜ao do tipo onda estacion´aria em seis dimens˜oes que generaliza o modelo original de Merab [18] e aquele que foi obtido aqui na subse¸c˜ao (3.3.1).
´
E preciso especificar em que sentido esta solu¸c˜ao ´e mais geral que aquela obtida na subse¸c˜ao (3.3.1). De fato aqui se percebe que, desde que sejam obedecidas as condi¸c˜oes expressas em (3.103) e (3.104), ´e poss´ıvel escolher a ordem da fun¸c˜ao de Bessel na solu¸c˜ao e trabalhar com a que for mais conveniente. Outra caracter´ıstica interessante ´e que a exponencial que multiplica a fun¸c˜ao de Bessel e aquela que est´a no argumento da mesma fun¸c˜ao dependem de constantes diferentes, a e c, respectivamente. Esse fato torna poss´ıvel que se tenha c > 0 ou c < 0 possibilitando a existˆencia de fatores de warp tanto crescente quanto decrescente. Al´em disso, como ser´a visto a seguir, esta solu¸c˜ao combinada com as componentes do tensor momento energia apresentados anteriormente mostra que tal solu¸c˜ao se d´a na presen¸ca de uma fonte ”n˜ao normal”mas que tamb´em n˜ao ´e ex´otica como as anteriores. Dependendo dos valores das constantes ´e poss´ıvel mostrar que todas as componentes do tensor momento energia s˜ao positivas, assegurando a satisfa¸c˜ao das condi¸c˜oes de energia, menos a DEC 3 .
Para o que se prop˜oe aqui ´e suficiente considerar a = −4c, o que implica c1 = −232c.
Neste caso a solu¸c˜ao 3.106 pode ser reescrita como ρ(r) = D3e2crJ2( ω |c|e −cr) − D 4e2crY2( ω |c|e −cr) (3.107)
em que D3 e D4 s˜ao constantes de integra¸c˜ao, enquanto que J2 e Y2 s˜ao, respectivamente, 3
Diz-se que a mat´eria ´e n˜ao normal por violar uma das condi¸c˜oes de energia, no caso a DEC. No entanto em virtude de todas as componentes do tensor energia momento serem positivas poder-se-ia falar de mat´eria normal. De toda forma ser´a mantida a classifica¸c˜ao de mat´eria adotada aqui e explicada no apˆendice (6).
as fun¸c˜oes de Bessel de primeiro e segundo tipo, de ordem 2. Para que se tenha valores finitos para as componentes do tensor momento-energia ´e necess´ario fazer D4 = 0 e
considerar a parte que depende de J2 como sendo a solu¸c˜ao da parte de u dependente de
r.
Neste caso ainda ´e poss´ıvel falar de ”ilhas de AdS”mas a quantidade de ilhas ou n´os em J2 ´e finita para c < 0 enquanto que para c > 0, para os valores das constantes escolhidos
aqui, n˜ao h´a oscila¸c˜ao, como pode ser visto nas figuras abaixo.
5 10 15 20 r 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 ΡHrL
Figura 18: Fun¸c˜ao ρ para c > 0; c = 0, 2; ω = 1, 028. 5 10 15 20 r -0.15 -0.10 -0.05 0.05 ΡHrL
Figura 19: Fun¸c˜ao ρ para c < 0; c = −0, 2; ω = 1, 028.
As m´edias temporais das componentes do tensor momento-energia est˜ao esquemati- zadas nas figuras abaixo, tendo em vista o que foi dito acima sobre a solu¸c˜ao para u. Na figura 20 essas quantidades s˜ao mostradas para c = 0, 250; ω = 1, 285 de tal forma que a raz˜ao entre as duas constantes resulte em 5.14, que equivale ao segundo zero da fun¸c˜ao J2. Na figura (21) tem-se c = −0, 250; ω = 1, 285. A linha pontilhada representa hTtti en-
quanto que a curva pontilhada-seccionada representa hTx
xi = hTyyi = hTzzi. A componente
hTr
ri ´e dada pela curva seccionada e filnalmente hTθθi ´e representado pela curva cheia (a
m´edia temporal de Trt ´e nula). Como se percebe todas essas quantidades s˜ao positivas e
aproximadamente constantes, sendo a energia a que assume menor valor. Aumentando-se os valores de |c| e ω, mantendo constante a raz˜ao, essas quantidades tendem a assumir valores mais constantes. Isso se deve `a presen¸ca do termo −cc1 nas quantidades (3.97
- 3.101), pois para o caso a = −4c a rela¸c˜ao entre c e c1 resulta c1 = −232c, tornando
positiva a quantidade −cc1 o que acaba por tornar positivas as componentes do tensor
momento-energia (3.97 - 3.101). No entanto, diminuindo-se os valores de |c| e ω ainda mantendo constante a raz˜ao ω/|c| ´e poss´ıvel ver maiores varia¸c˜oes nas componentes (3.97 - 3.101) inclusive com a possibilidade de se ter energia negativa, como pode ser visto nas figuras (24) e (25), nas quais os valores das constantes s˜ao c = 0, 200 e ω = 1, 028.
0 5 10 15 20 r 1 2 3 4 TM N@rD
Figura 20: M´edia temporal das compo- nentes n˜ao nulas de hTM
N i para c > 0 (c = 0,250). Linha pontilhada: hTt ti. Linha pontilhada-seccionada: hTx xi = hTyyi = hTz
zi. Linha seccionada: hTrri Linha cheia:
hTθ θi. 0 5 10 15 20 r 1 2 3 4 TM N@rD
Figura 21: M´edia temporal das compo- nentes n˜ao nulas de hTM
N i para c < 0 (c = - 0,250). Linha pontilhada: hTt ti. Linha pontilhada-seccionada: hTx xi = hTyyi = hTz
zi. Linha seccionada: hTrri Linha cheia:
hTθ θi.
Tamb´em o escalar de curvatura foi averiguado para se constatar que n˜ao assume valores infinitos. Nos gr´aficos (??) e (??) a seguir o escalar de curvatura do bulk ´e mostrado e como se percebe ele ´e assintoticamente constante tanto para c positivo quanto negativo.
Mais uma caracter´ıstica destac´avel desta solu¸c˜ao ´e o fato de a mesma resolver o problema da hierarquia. Os modelos de Merab em cinco dimens˜oes e sua extens˜ao para seis dimens˜oes obtida aqui na subse¸c˜ao (3.3.1) possuem fator de warp exponencialmente crescente, portanto a integral que relaciona as escalas de Plank no bulk e na brana
M42 = 2πM64 Z ∞
0
dre(2c+c12 )r (3.108)
divergir´a para 2c = c1 = 2a, sendo a > 0, que equivale as casos de cinco e seis dimens˜oes
acima referidos. No entanto para a solu¸c˜ao dada acima, no caso a = −4c e c1 = −23c/2
ter-se-ia a solu¸c˜ao para o problema da hierarquia. Neste caso um dos fatores de warp seria crescente, e2cr, e o outro decrescente, ec1r. Esta ´e apenas uma das situa¸c˜oes poss´ıveis
pois h´a outras maneiras de relacionar a, c, c1 de forma a se obter componentes do tensor
momento-energia positivas.
Resta ainda obter uma solu¸c˜ao na presen¸ca de materia normal. Uma das sa´ıdas para isso seria o uso de uma constante cosmol´ogica anisotr´opica. A existˆencia e a estrutura da radia¸c˜ao c´osmica de fundo - cosmic microwave background (CMB) bem como o con- hecimento da estrutura do universo (distribui¸c˜ao das gal´axias, expans˜ao acelerada...) d˜ao
0 5 10 15 20 r 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 TM N@rD
Figura 22: M´edia temporal das compo- nentes n˜ao nulas de hTM
N i para c > 0 (c = 0,200). Linha pontilhada: hTt ti. Linha pontilhada-seccionada: hTx xi = hTyyi = hTz
zi. Linha seccionada: hTrri Linha cheia:
hTθ θi. 0 5 10 15 20 r 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 TM N@rD
Figura 23: M´edia temporal das compo- nentes n˜ao nulas de hTM
N i para c < 0 (c = - 0,200). Linha pontilhada: hTt ti. Linha pontilhada-seccionada: hTx xi = hTyyi = hTz
zi. Linha seccionada: hTrri Linha cheia:
hTθ θi.
suporte aos modelos ΛCDM que consideram a existˆencia de mat´eria escura e fria - cold dark matter(CDM). Em tais modelos a constante cosmol´ogica, dependente do tempo, assume valores diferentes em diferentes dire¸c˜oes, portanto ´e anisotr´opica [54], [55] . Out- ros modelos com Λ anisotr´opica podem ser citados [56], [57], [58]. Modelos em que a ”constante”cosmol´ogica varia espacialmente tamb´em tˆem sido considerados: [59], [60], [61], [62]. Em um recente trabalho em que se prop˜oe a expans˜ao do modelo de RS para al´em das cinco dimens˜oes [63] os autores sugerem a existˆencia de uma constante cosmol´ogica anisotr´opica do tipo Λ = diag(Ληµν, Λ5, Λθ, ..., Λθ), em que ηµν representa
a m´etrica do espa¸co tempo de Minkowski em quatro dimens˜oes. Inspirado por estes trabalhos prop˜oe-se uma constante cosmol´ogica anisotr´opica que possibilite um cen´ario semelhante ao acima descrito mas com ρ ≥ |p| em que ρ representa a densidade de energia e p a press˜ao. Considerando-se, por exemplo, que a constante cosmol´ogica neste modelo seja do tipo Λ = diag[gµν(Λt, Λ, Λ, Λ), Λ5, Λθ], sendo Λ dado por (3.102) e que as demais
componentes da ”constante”cosmol´ogica assumam os valores Λt = −14(24c2+ c21− 2cc1),
Λr = −14(24c2 + 2cc1) e Λθ = −14(40c2 − 6cc1) ent˜ao a m´edia temporal das componentes
do tensor momento energia ser˜ao dadas por κ26hTxxi = κ26hTyyi = κ26hTzzi = κ26hTθθi = −1 4 6(u ′2− e−2cr˙u2) + 6cc 1 , (3.109) κ26hTtti = 1 4 −6(u ′2+ e−2cr˙u2 ) − 8cc1 , (3.110)
0 5 10 15 20 r 1 2 3 4 5 6 RHrL
Figura 24: M´edia temporal para o escalar
de curvatura do bulk hR6i para c > 0.
0 5 10 15 20 r 1 2 3 4 5 6 RHrL
Figura 25: M´edia temporal para o escalar
de curvatura do bulk hR6i para c < 0.
κ26hTrri = −1
4 −6(u
′2+ e−2cr˙u2) + 6c
1c . (3.111)
Como pode ser visto pelos gr´aficos a seguir, para a = −4c, c1 = −232c isso j´a seria
suficiente para assegurar a condi¸c˜ao dominante de energia o que garante estabilidade. Pela figura 26 percebe-se que para c > 0, mas pequeno, h´a possibilidade de viola¸c˜ao desta condi¸c˜ao de energia. Entretanto para c < 0 a referida condi¸c˜ao ´e assegurada de forma mais satisfat´oria. Muitas outras maneiras h´a de encontrar uma fonte normal de mat´eria para uma solu¸c˜ao de onda estacion´aria, no contexto aqui abordado. Apesar de ser uma abordagem puramente te´orica, como j´a foi dito, a existˆencia de modelos te´oricos com varia¸c˜ao, seja espacial ou temporal, da constante cosmol´ogica se justifica por observa¸c˜oes experimentais. Ressalve-se ainda que em [63] assume-se que a constante cosmol´ogica tenha um s´o valor na brana. No entanto como aqui se trata de um modelo anisotr´opico e pela necessidade de se obter energia maior que press˜ao, resolveu-se assumir que h´a uma diferen¸ca entre as componentes espaciais e a temporal, na brana. Por fim, em termos de Λ as outras componentes da constante cosmol´ogica s˜ao dada como Λt = 715
625Λ, Λr =
4
625Λ e Λθ = 436
625Λ. Vˆe-se que a diferen¸ca entre os valores da constante
cosmol´ogica nas componentes espacial e temporal da brana n˜ao ´e muito significativa neste exemplo considerado aqui. No entanto a diferen¸ca pode ser ainda menor para que se tenha satisfa¸c˜ao da DEC. Isso pode ser visto, particularmente no gr´afico da figura (21). Pelo que se percebe l´a as componentes da energia e da press˜ao s˜ao aproximadamente iguais. Aquela solu¸c˜ao n˜ao obedece `a condi¸c˜ao dominante de energia em virtude dos valores assumidos pelas componentes r e θ do tensor momento energia. Portanto as componentes r e θ da constante cosmol´ogica precisam sofrer varia¸c˜ao mais significativa enquanto que na brana
esta varia¸c˜ao n˜ao necessita ser muito elevada para que se tenha a validade da DEC. 0 5 10 15 20 r 0.5 1.0 1.5 2.0 TM N@rD
Figura 26: M´edia temporal das compo- nentes n˜ao nulas de hTM
N i para c > 0 (c = 0,250). Linha pontilhada: hTt ti. Linha pontilhada-seccionada: hTx xi = hTyyi = hTz
zi. Linha seccionada: hTrri Linha cheia:
hTθ θi. 0 5 10 15 20 r 0.5 1.0 1.5 2.0 TM N@rD
Figura 27: M´edia temporal das compo- nentes n˜ao nulas de hTM
N i para c < 0 (c = - 0,250). Linha pontilhada: hTt ti. Linha pontilhada-seccionada: hTx xi = hTyyi = hTz
zi. Linha seccionada: hTrri Linha cheia:
hTθ θi.
Com isso se encerra este cap´ıtulo. Aqui foi feita uma descri¸c˜ao do modelo original de Merab [18] em cinco dimens˜oes mostrando como se obtem uma solu¸c˜ao do tipo onda estacion´aria tendo como fonte um campo escalar do tipo fantasma, conforme a subse¸c˜ao (3.1). Em seguida este modelo foi estendido para seis dimens˜oes o que foi feito na subse¸c˜ao (3.3.1). Este modelo em seis dimens˜oes, no que concerne `a localiza¸c˜ao de campos, ´e mais eficiente que o modelo de Merab, no entanto como aquele tamb´em apresenta densidade de energia negativa uma vez que a fonte neste caso tamb´em ´e um campo escalar do tipo fantasma. O referido modelo originou um trabalho que se encontra submetido `a revista Physical Review D (PRD) sob o t´ıtulo ”A 6D standing-wave Braneworld”[29]. Na subse¸c˜ao (3.3.2) obteve-se uma solu¸c˜ao que corresponde a uma brana espessa em seis dimens˜oes. Trata-se de uma generaliza¸c˜ao do modelo descrito em (3.3.1), mas para o caso da brana espessa n˜ao foi poss´ıvel resolver analiticamente a equa¸c˜ao para u o que foi deixado como perspectiva de trabalho futuro. Ainda neste caso as componentes do tensor momento-energia revelam a natureza ex´otica da fonte que origina a brana, emb- ora n˜ao haja problemas com energia infinita. Este modelo poder´a ser ´util no estudo de localiza¸c˜ao dos modos massivos dos campos do modelo padr˜ao. Vale lembrar que neste contexto de branas anisotr´opicas com solu¸c˜ao de ondas estacion´arias, o estudo de local- iza¸c˜ao de modos massivos ainda n˜ao foi realizado, seja em cinco ou mais dimens˜oes . Em seguida foi encontrada uma solu¸c˜ao na forma de ondas gravitacionais estacion´arias na
presen¸ca de uma fonte n˜ao normal de mat´eria (esta classifica¸c˜ao para mat´eria significa que a densidade de energia pode ser positiva bem como as demais componentes do ten- sor momento-energia, conforme visto acima (3.3.3), embora haja viola¸c˜ao da condi¸c˜ao dominante de energia). Por fim, atrav´es da introdu¸c˜ao de uma constante cosmol´ogica anisotr´opica, foi poss´ıvel obter uma solu¸c˜ao na presen¸ca de fonte normal de mat´eria. As solu¸c˜oes descritas neste cap´ıtulo, particularmente as que foram apresentadas nesta ´ultima subse¸c˜ao (3.3.3), encerram uma busca por uma solu¸c˜ao que fosse ao mesmo tempo na forma de ondas estacion´arias, pois j´a se observou que no que concerne `a localiza¸c˜ao de campos estas solu¸c˜oes s˜ao interessantes, mas que tamb´em satisfizesse as condi¸c˜oes de ener- gia. Estas solu¸c˜oes obtidas aqui, acrescidas do estudo de localiza¸c˜ao de campos faz parte de um trabalho que est´a submetido ao Journal of High Energy Physics - JHEP [30], sob o t´ıtulo A 6D standing wave braneworld in the presence of normal matter. Estas duas ´
ultimas subse¸c˜oes abriram a possibilidade de se investigar outros tipos de solu¸c˜ao e como perspectiva de trabalho futuro fica o projeto de tentar encontrar um defeito tipo corda anisotr´opico cuja solu¸c˜ao assuma a forma de ondas gravitacionais estacion´arias.
No pr´oximo cap´ıtulo ser˜ao apresentados estudos de localiza¸c˜ao de campos nos mod- elos considerados na subse¸c˜ao (2.2.1) no qual se estudar´a os campos escalar, vetorial e fermiˆonico. No modelo estudado na subse¸c˜ao (2.2.2) se estudar´a a localiza¸c˜ao dos mesmos campos acima al´em do campo de Kalb-Ramond. Para os modelos anisotr´opicos ser˜ao es- tudados os campos escalar e fermiˆonico mas apenas no modelo de brana fina considerado na subse¸c˜ao (3.3.1).