No contexto de mundo brana h´a interesse de estudar, al´em da pr´opria cosmologia, a possibilidade de localiza¸c˜ao dos campos do modelo padr˜ao nos referidos modelos (como j´a foi citado alguns estudos se preocupam exclusivamente em estudar a cosmologia). Vale ressaltar tamb´em que a resolu¸c˜ao de problemas que n˜ao encontram resposta no modelo padr˜ao, como o problema da hierarquia, ´e uma das grandes motiva¸c˜oes para o estudo de modelos de brana. Al´em disso h´a uma busca por modelos anisotr´opicos que em alguns aspectos ou , em outras palavras, determinados per´ıodos do desenvolvimento do universo parecem mais adequados para descrever nosso universo que o modelo FLRW.
Ao longo desta tese foi realizado o estudo de mundo brana em cinco e seis dimens˜oes, enaltecendo principalmente os modelos de brana anisotr´opica com solu¸c˜ao de onda esta- cion´aria e em seis dimens˜oes. Iniciou-se com o estudo de modelos em cinco dimens˜oes contemplando branas fina e espessa. No contexto de brana fina em cinco dimens˜oes foi revisado, na subse¸c˜ao (2.1.2), o modelo de Randall-Sundrum tipo I, [4]. No que se refere a brana espessa foi feita uma revis˜ao do modelo considerado por Kehagias, [4], o qual prop˜oe uma brana gerada por um campo escalar tipo kink, (2.1.1). Estes modelos de grande relevˆancia na literatura, particularmente o primeiro, s˜ao de relevˆancia particular nesta tese. O primeiro por ser paradgm´atico na literatura de mundo brana e o segundo por apresentar uma generaliza¸c˜ao desse e por se apresentar mais realista uma vez que uma membrana real tem espessura n˜ao desprez´ıvel. Este tamb´em tem se mostrado mais eficaz quanto a localiza¸c˜ao de modos massivos. O outro modelo em cinco dimens˜oes ´e justamente o de Merab, [18], o qual motivou o trabalho se pode considerar como dos principais desta tese - a solu¸c˜ao de onda estacion´aria para uma brana em seis dimens˜oes. O modelo de Merab representa uma generaliza¸c˜ao do modelo de RS, mas n˜ao do modelo de Kehagias uma vez que n˜ao ´e poss´ıvel converter o primeiro no segundo por alguma aproxima¸c˜ao. Apesar de o modelo de Merab ter um comportamento que de certa forma
se assemelha a um modelo de brana espessa, n˜ao ´e exatamnte uma brana espessa. Como se viu na subse¸c˜ao (3.1) a solu¸c˜ao de ondas estacion´arias em cinco dimens˜oes se d´a na presen¸ca de um campo do tipo fantasma. Trata-se de uma fonte de mat´eria ex´otica e de fato n˜ao satisfaz `as condi¸c˜oes de energia. No entanto, o modelo ´e mergulhado em uma geometria de Weyl em cinco dimens˜oes, a qual ´e est´avel. Nesse contexto merece uma reflex˜ao a respeito da necessidade de satisfazer as condi¸c˜oes de energia para que se tenha um modelo est´avel. De toda forma a viola¸c˜ao das condi¸c˜oes de energia em cinco dimens˜oes despertou o interesse por solu¸c˜oes de ondas estacion´arias na presen¸ca de uma fonte normal de mat´eria. Ainda em cinco dimens˜oes foi feito um esfor¸co no sentido de se obter uma solu¸c˜ao de onda estacion´aria no v´acuo, a maneira do que existe em qua- tro dimens˜oes. Estas tentativas est˜ao descritas na subse¸c˜ao (3.2). Ao menos atrav´es da abordagem l´a implementada pode-se dizer que tal solu¸c˜ao n˜ao ´e poss´ıvel. Vale ressaltar que se tal solu¸c˜ao fosse poss´ıvel em certo sentido viabilizaria a possibilidade de solu¸c˜ao na presen¸ca de um campo ”f´ısico”ou ”canˆonico”ou n˜ao fantasma, o qual pode representar mat´eria normal. Como n˜ao foi poss´ıvel em cinco dimens˜oes restou buscar por tal solu¸c˜ao em seis dimens˜oes.
Como se viu foi poss´ıvel generalizar o modelo de Merab para seis dimens˜oes mantendo a solu¸c˜ao de ondas gravitacionais estacion´arias. Foram obtidas trˆes solu¸c˜oes ligeiramente diferentes: a primeira representa uma brana fina anisotr´opica, gerada por um campo escalar do tipo fantasma, em seis dimens˜oes (3.3.1). Este modelo ´e muito similar ao de Merab com a vantagem de ser mais eficiente quanto `a localiza¸c˜ao de campos. No que se refere ao tipo de mat´eria que o gera n˜ao difere do modelo de cinco dimens˜oes, tratando-se mais uma vez de uma teoria na presen¸ca de mat´eria ex´otica. Os resultados dessa subse¸c˜ao, juntamente com a localiza¸c˜ao dos campos escalar e fermiˆonico foram submetidos `a revista PRD, [29]. A outra solu¸c˜ao corresponde a uma brana espessa, no entanto ´e uma solu¸c˜ao incompleta tendo em vista que n˜ao se resolveu a equa¸c˜ao para encontrar o campo escalar que gera a brana. Por´em pelos resultados obtidos at´e esse ponto j´a se percebe que a solu¸c˜ao pode ser do tipo onda gravitacional estacion´aria mas a mat´eria que o gera tamb´em apresenta natureza ex´otica (3.3.2). A terceira solu¸c˜ao seria uma generaliza¸c˜ao do defeito tipo corda global para o caso em que a brana ´e anisotr´opica, (3.3.3). Esta solu¸c˜ao se mostrou mais interessante que as demais porque apesar de se dar na presen¸ca de uma mat´eria n˜ao normal, mas que tamb´em n˜ao ´e ex´otica. Al´em disso ela apresenta a possibilidade de resolu¸c˜ao do problema da hierarquia o que n˜ao ´e poss´ıvel no modelo de Merab ou no modelo de seis dimens˜oes considerado em (3.3.1). 1. Por
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fim, esta ´ultima solu¸c˜ao pode ser adaptada de tal forma que se tenha uma solu¸c˜ao na presen¸ca de fonte normal de mat´eria. Esta ´ultima admite a varia¸c˜ao de Λ ao longo das coordenadas extras. Modelos que assumem que a constante cosmol´ogica sofra varia¸c˜ao espa¸co-temporal existem na literatura, e esta propriedade foi utilizada na constru¸c˜ao desta solu¸c˜ao de ondas estacion´arias. Os resultados obtidos nesta se¸c˜ao, acrescidos da localiza¸c˜ao dos campos escalar e fermiˆonico, est˜ao em um trabalho submetido ao JHEP, [30].
Outro objetivo da tese consistia no estudo da localiza¸c˜ao de campos em modelos de brana isotr´opica e anisotr´opica, em seis dimens˜oes. Conforme foi explicitado ao longo desse texto, a possibilidade de localiza¸c˜ao de campo em brana anisotr´opica, em cen´arios mais gerais do que os j´a existentes na literatura, se mostrou bastante vi´avel. Antes, por´em, de abordar o estudo de localiza¸c˜ao de campos nas branas anisotr´opicas ´e importante resaltar a solu¸c˜ao do tipo brana espessa, em seis dimens˜oes que foi obtida na subse¸c˜ao (2.2.1). Este modelo generaliza o defeito tipo corda discutido na subse¸c˜ao (2.2.2), al´em de ser mais geral tamb´em que o modelo considerado por Koley [45], o qual tamb´em considera uma 4-brana em um bulk com seis dimens˜oes em que a dimens˜ao compacta pertence `a brana e deve ser considerada pequena o suficiente para que a membrana possa representar o universo vis´ıvel (compactifica¸c˜ao h´ıbrida); ´e mais ”eficiente”ainda, do ponto de vista da localiza¸c˜ao de campos, que aquele modelo descrito em [44], pois como pode ser visto, a localiza¸c˜ao do campo escalar no cen´ario apresentado aqui n˜ao exigiu nenhuma intera¸c˜ao al´em da gravitacional. Os resultados obtidos nessa subse¸c˜ao, como j´a foi dito, foram publicados na revista PRB, [27]. Ainda no contexto de brana isotr´opica, particularmente no defeito tipo corda foi realizado o estudo de localiza¸c˜ao dos campos escalar, vetorial, fermiˆonico e tensorial. O estudo deste ´ultimo nesse contexto ainda era in´edito na literatura e tais resultados foram publicados tamb´em na PRB [16].
Dos modelos de ondas estacion´arias em seis dimens˜oes apresentados nesta tese apenas um foi testado quanto a localiza¸c˜ao de campos, justamente o modelo de brana anisotr´opica fina, (3.3.1). O modelo de brana espessa n˜ao poderia ter sido utilizado pois n˜ao foi re- solvido completamente. O modelo tido como mais interessante, ao menos do ponto de vista da mat´eria que o gera, al´em do fato de resolver o problema da hierarquia, n˜ao teve os resultados de localiza¸c˜ao de campos apresentados aqui. A raz˜ao de n˜ao ter sido consid- erado a localiza¸c˜ao de campos nesta geometria ´e que tais resultados muito se assemelham aos que foram obtidos para o modelo de brana fina. Isso ocorre porque ambos os modelos
espessa, se for poss´ıvel resolver a equa¸c˜ao, ela tamb´em se mostra conveniente para resolver o problema da hierarquia.
tˆem como solu¸c˜ao para a vari´avel radial r a fun¸c˜ao do primeiro tipo de Bessel, J, sendo poss´ıvel obter o segundo modelo como simplifica¸c˜ao do primeiro, que ´e mais geral.
Para o modelo de brana fina descrito na subse¸c˜ao (3.3.1) foi realizado o estudo de localiza¸c˜ao dos campos escalar, (4.3.1), e campo fermiˆonico, (4.3.2). Em ambos os casos foi considerado uma m´edia temporal das equa¸c˜oes interessantes para localiza¸c˜ao, justamente as que se referem a vari´avel radial r. A localiza¸c˜ao do campo escalar se deu para um fator de warp exponencialmente crescente, o contr´ario do que ocorre em cinco e seis dimens˜oes, nos modelos de RS e defeito tipo corda, respectivamente. Este fato parece est´a relacionado com a geometria da brana que ´e anisotr´opica. J´a para o campo fermiˆonico o resultado se assemelha ao que foi encontrado por Oda, para um defeito tipo corda, [11].
Estes foram, em suma, os reultados obtidos ao longo do desenvolvimento desta tese. Pode-se dizer que os objetivos foram alcan¸cados, uma vez que foi poss´ıvel construir mod- elos de brana isotr´opicos e anisotr´opicos, de estudar a localiza¸c˜ao de campos em ambos os cen´arios e ainda foi poss´ıvel construir um modelo anisotr´opico na presen¸ca de fonte normal de mat´eria. Este ´ultimo, bem como o modelo constru´ıdo a partir de mat´eria n˜ao normal, est´a apto a resolver o problema da hierarquia.
Resta alguns desenvolvimentos a serem feitos e que fica como perspectiva de trabalho futuro. Um dos primeiros seria a complementa¸c˜ao do modelo de brana espessa, inclusive para melhor analizar se a mat´eria do qual ´e gerado ´e mesmo ex´otica como se sup˜oe ou se traz alguma grata surpresa. Outros desenvolvimentos que parecem imediatos s˜ao o estudo de localiza¸c˜ao dos campos gravitacional, vetorial e tensorial neste contexto. ´E importante ressaltar que o estudo desses campos j´a foi realizado em cinco dimens˜oes, sendo poss´ıvel a localiza¸c˜ao. Em seis dimens˜oes o campo vetorial foi considerado em um modelo muito semelhante ao que foi apresentado aqui, [76]. Neste modelo, al´em do campo vetorial foram estudados o campo escalar e o campo fermiˆonico, portanto apesar de que esses estudos n˜ao foram realizados nesta tese ´e muito prov´avel a localiza¸c˜ao desses campos nos modelos aqui considerados. Uma outra abordagem que dever´a ser implementada ´e a busca de um modelo de 3-brana anisotr´opica com solu¸c˜ao de ondas estacion´arias. Seria uma generaliza¸c˜ao do defeito tipo corda. ´E interessante ainda considerar o estudo de localiza¸c˜ao dos modos massivos o que n˜ao foi feito ainda seja em cinco ou em seis dimens˜oes. Neste contexto talvez se mostre interessante a solu¸c˜ao de brana espessa. Por fim fica a inten¸c˜ao de estudar esse modelos do ponto de vista de sua cosmologia para que se possa dessa maneira verificar de forma mais concreta sua viabilidade na resolu¸c˜ao de problemas em f´ısica.
Eis portanto o trabalho que nos propomos realizar. ´E nossa pretens˜ao continuar os estudos das solu¸c˜oes aqui obtidas, aprimor´a-las e test´a-las no campo fenomenol´ogico. ´E nosso desejo que este trabalho seja ´util para os que se aventurarem neste tema.