Brana gerada a partir de ondas gravitacionais estacion´ arias em cinco dimens˜ oes

O modelo aqui descrito representa uma generaliza¸c˜ao do modelo RS uma vez que apresenta anisotropia, mas no limite u → 0, no que se refere ao ansatz para a m´etrica, resulta igual ao modelo RS para A(r) = 2a|r|. A solu¸c˜ao apresentada aqui segue aquela apresentada originalmente em [18], portanto considerar-se-´a apenas ondas estacion´arias ”se propagando para a direita”, ou seja, A(r) = 2ar. Com isso a m´etrica (3.1) assume a forma mais simples

onde a ´e uma constante. Percebe-se pela m´etrica que a mesma ´e uma combina¸c˜ao do modelo RS, atrav´es do fator de warp e2ar _{com os termos anisotr´opicos e}u(r,t)_{, e}−2u(r,t)

os quais deformam as coordenadas x, y, z da m´etrica. Como ser´a visto a fun¸c˜ao u(r, t) tem n´os em pontos espec´ıficos de r nos quais o espa¸co tempo torna-se efetivamente AdS. Levando-se os campos de mat´eria a se ligar a estes n´os tem-se finitos ou infinitos universos-

ilhas. Uma vez que se move para longe desses n´os haver´a alongamento/encolhimento nas

dire¸c˜oes x, y, z dependendo do sinal de u. Essa caracter´ıstica da m´etrica ser´a utilizada posteriormente no estudo da localiza¸c˜ao de campos neste setup.

As componentes do tensor de Ricci (3.6 - 3.10), para A = 2ar, resultam

Rxx = Ryy = − 1 2e 2ar+u_8a2 − e−2aru + 4au¨ ′+ u′′ (3.26) Rzz = − 1 2e

2ar−2u_8a2_{+ 2e}−2ar_{u − 4au¨} ′

− 2u′′ (3.27) Rtt = 1 2e 2ar _8a2 − 3e−2ar˙u2
(3.28) Rrt = − 3 2˙uu ′ (3.29) Rrr = 1 2  −8a2− 3u′2 (3.30)

Comparando-se (3.23) e (3.29) conclui-se que se deve ter

φ = s 3 2κ2 5 u (3.31)

agora pela compara¸c˜ao de (3.26) e (3.20), fazendo-se Λ = −6a2 _{encontra-se para u, e}

consequentemente para φ, a seguinte equa¸c˜ao diferencial

−e−2aru + 4au¨ ′ + u′′ = 0 (3.32) O interesse aqui reside em encontrar uma solu¸c˜ao do tipo onda estacion´aria para esta equa¸c˜ao. Para isso as vari´aveis devem ser separadas com a escolha

onde C e ω s˜ao constantes. Com isso a equa¸c˜ao diferencial para a fun¸c˜ao f (r) assume a forma

f′′+ 4af′+ ωe−2arf = 0 (3.34)

cuja solu¸c˜ao ´e imediata

f (r) = Ae−2arJ2 ω ae −ar_{+ Be}−2ar_Y 2 ω ae −ar _(3.35)

onde A e B s˜ao constantes de integra¸c˜ao, J2 e Y2 s˜ao as fun¸c˜oes de Bessel de ordem 2, do

primeiro e segundo tipo, respectivamente. Normalmente na resolu¸c˜ao de problemas f´ısicos a solu¸c˜ao que equivale a Y2 ´e dispensada de imediato em virtude desta fun¸c˜ao apresentar

divergˆencia na origem. No entanto, a presen¸ca de e−ar _{no argumento de Y}

2 previne a

existˆencia de divergˆencia e portanto a solu¸c˜ao geral pode ser mantida, em princ´ıpio. No entanto, assumindo-se que u(t, 0) = 0 ´e necess´ario que A ou B seja zero uma vez que os zeros das fun¸c˜oes J2, Y2 n˜ao coincidem. Para que se tenha u(t, 0) = 0 ´e necess´ario ainda

que

ω

a = X2,n (3.36)

onde X2,nrepresenta o n-´esimo zero de J2, Y2 dependendo se A ou B ´e nulo. Vale ressaltar

ainda que a condi¸c˜ao 3.36 quantiza as frequˆencias de oscila¸c˜ao, ω.

Agora que se obteve a solu¸c˜ao para u pode-se melhor analisar o comportamento assint´otico da m´etrica (3.25). Para a > 0 e grandes valores de r, a fun¸c˜ao u tende a zero, resultando em um espa¸co AdS multiplicado por um fator e2ar_{. No caso a < 0, uma}

vez que se desloca dentro do bulk, distˆancias ao longo das dire¸c˜oes x, y crescem com e2ar

enquanto que na dire¸c˜ao z essas distˆancias decrescem com e−2ar _.

Al´em disso a fun¸c˜ao u ´e oscilatoria em r assumindo o valor zero sempre que f (r) = 0. Em cada um desses valores rm a m´etrica 3.25 se torna a j´a conhecida m´etrica do modelo

RS. A este comportamento oscilatorio da fun¸c˜ao u associam-se as ”ilhas-univeros”AdS dentro do bulk. Para o fator de warp crescente, a > 0, em ambos os casos A = 0 ou B = 0 a fun¸c˜ao f e consequentemente u tem n + 1 zeros correspondendo `a n + 1 ”ilhas”. No caso de um fator de warp decrescente, a < 0 a quantidade de ilhas ´e infinita.

Em um posterior cap´ıtulo se mostrar´a como essas ”ilhas”de AdS podem localizar cam- pos. A esse respeito ´e importante destacar o mecanismo atrav´es do qual se pode localizar campos neste modelo de ondas gravitacionais estacion´arias. Dois poss´ıveis mecanismos s˜ao sugeridos no modelo original: no primeiro assume-se que as ondas gravitacionais esta- cion´arias confinam mat´eria de forma an´aloga ao confinamento possibilitado por ondas eletromagn´eticas estacion´arias, ou seja, atrav´es de for¸cas de quadrupolo. O outro mecan-

ismo seria um poss´ıvel acoplamento entre o campo do tipo fantasma e o campo de mat´eria. Este acoplamento seria tal que faria com que as part´ıculas se congregassem nas regi˜oes em que o campo fantasma ´e nulo, ou seja, nas ”ilhas”de AdS.

O modelo de Merab conforme apresentado aqui ´e construido a partir de um campo escalar (do tipo) fantasma. Modelos constru´ıdos a partir esse tipo de mat´eria normal- mente apresentam problemas de estabilidade e n˜ao obedecem `as condi¸c˜oes de energia, particularmente a condi¸c˜ao forte. Para sanar esta dificuldade o campo do tipo fantasma ´e identificado com o escalar de Weyl e uma vez que o modelo de Weyl ´e est´avel conclui-se que o modelo em estudo aqui tamb´em goza de tal caracter´ıstica. De fato, embora os au- tores n˜ao mostrem, o modelo n˜ao apresenta problemas de energia infinita como acontece em alguns modelos com campo fantasma mas ´e poss´ıvel mostrar, ao menos esquemati- camente, que as condi¸c˜oes de energia n˜ao s˜ao obedecidas neste modelo. De fato para a m´etrica 3.25 as componentes (parcialmente) positivas do tensor 3.17 s˜ao Txx, Tyy, Tzz

enquanto que a componente Trr ´e completamente negativa, bem como a densidade de en-

ergia. Para ilustrar segue abaixo um esquema das componentes hTtti e hTxxi. O s´ımbolo

hi indica m´edia temporal. Como pode ser visto a densidade de energia (a componente Ttt

1 2 3 4 5 r -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 Ttt Figura 6: Perfil de hTtti , a = 1, ω = 3, 38 1 2 3 4 5 r -0.5 0.5 1.0 1.5 Txx Figura 7: Perfil de hTxxi , a = 1, ω = 3, 38

do tensor momentum energia) ´e completamente negativa ou nula, enquanto que a compo- nente Txx tem apenas uma pequena parte negativa, o mesmo acontecendo com Tyy, Tzz.

A componente Trr como j´a foi dito, ´e completamente negativa o que leva a viola¸c˜ao de

todas as condi¸c˜oes de energia. Como ser´a visto quando este modelo for generalizado pra seis dimens˜oes, essas grandezas variam com a varia¸c˜ao dos valores de a e ω mesmo que a raz˜ao entre elas permane¸ca constante. De acordo com as defini¸c˜oes dadas no apˆendice (6) trata-se de mat´eria ex´otica pois viola at´e a condi¸c˜ao nula - NEC.

por ondas gravitacionais estacion´arias. Em quatro dimens˜oes h´a solu¸c˜oes de ondas esta- cion´arias para as equa¸c˜oes de Einstein no v´acuo e na presen¸ca de uma parede de dom´ınio ([28]). Na pr´oxima subce¸c˜ao ser´a apresentada para o sistema de equa¸c˜oes (3.12 - 3.16) uma tentativa de se obter uma solu¸c˜ao de v´acuo.