aPAG completo contorno

A modelagem aPAG acima proposta pode ser aplicada a uma grande variedade de proble- mas. O primeiro e mais direto ´e mostrado na imagem 4.36 onde apenas os pixeis do contorno de um objeto s˜ao utilizados na modelagem do grafo (i.e. cada conjunto Si representa um ´unico pixel do contorno do objeto). Nesse sub-caso o modelo aPAG completo contorno ´e um grafo do tipo completo (todos os v´ertices conectam-se com todos os outros) e para cada aresta um peso wij ´e associado.

Figura 4.36 – Contorno modelado como um aPAG completo contorno: (a) cada ponto do contorno imagem ´e um v´ertice no grafo; (b) uma aresta ´e adicionada entre todos os pares de v´ertices; (c) o peso reflete a distˆancia euclidiana normalizada entre os pontos p e q.

Nesta configura¸c˜ao inicial temos um grafo completo, onde todos os v´ertices est˜ao conec- tados a todos os outros e os pesos normalizados no intervalo de [0, 1]. O que implica em um comportamento regular, uma vez que todos os v´ertices tem o mesmo n´umero de liga¸c˜oes. Esse modelo possui importantes caracter´ısticas desejadas em aplica¸c˜oes de an´alise de imagens, s˜ao elas:

Invariˆancia a rota¸c˜ao e escala: a normaliza¸c˜ao da matriz W no intervalo [0, 1] garante a propriedade de invariˆancia `a escala e rota¸c˜ao. Considerando imagens em diferentes escalas, essa normaliza¸c˜ao fixa a aresta com maior peso (i.e. maior distˆancia euclidiana entre dois v´ertices) em 1. No mesmo sentido as arestas restantes s˜ao normalizadas adquirindo um peso proporcional ao tamanho da forma. Essa propriedade pode ser melhor entendida observando-se a Figura 4.37.

108 4 M´etodos de an´alise de imagens propostos

Considerando imagens em diferentes rota¸c˜oes, a maior aresta ´e preservada, independente- mente da dire¸c˜ao em que esta se encontra. A normaliza¸c˜ao assegura as mesmas propriedades para o restante das arestas. Apenas um pequeno erro, derivado do c´alculo da distˆancia Eucli- diana, ´e adicionado ao conjunto de pesos W . A Figura 4.38 representa essa propriedade.

Figura 4.37 – Propriedade de invariˆancia `a escala.

Figura 4.38 – Propriedade de invariˆancia `a rota¸c˜ao.

Ainda no sentido de manter a caracter´ıstica de invariˆancia `a escala ´e necess´ario verificar que imagens de diferentes tamanhos possuem diferentes n´umeros de pontos em seu contorno. Uma vez que |S| = |V |, como mostrado anteriormente, dois contornos similares SA= [p1, p2, ..., pN] e SB = [p1, p2, ..., pM], com (N 6= M), produzem diferentes redes (GA 6= GB) (i.e. redes com diferentes n´umeros de v´ertices). Dessa forma o c´alculo do grau ki ´e diretamente afetado por N . A solu¸c˜ao ´e normalizar os graus ki com respeito ao tamanho da rede modelada N . A Figura demonstra os efeitos dessa normaliza¸c˜ao.

Podemos observar na Figura 4.39a o grau ki de todos os n´os da rede e sua respectivo grau m´edio para uma mesma imagem em duas diferentes escalas. Na Figura 4.39b, ap´os realizada a normaliza¸c˜ao, observamos que os graus m´edios convergem para um valor aproximado.

Tolerˆancia a ru´ıdo: durante a aquisi¸c˜ao ou qualquer outro processo pequenos erros e varia¸c˜ao podem aparecer no contorno. Essa forma de modelagem do contorno ´e robusta at´e determinado n´ıvel de ru´ıdo, caso medidas como m´edia dos graus sejam consideradas na an´alise. A m´edia tem a propriedade de incorporar e dissolver os ru´ıdos que apresentem-se em determinados locais da forma.

4.7 aPAG - Grafo por adjacˆencia de alguns pixeis 109

(a) (b)

Figura 4.39 – Grau m´edio calculado para uma mesma imagem em duas diferentes escalas. (a) m´edias dis-

crepantes antes da normaliza¸c˜ao; (b) m´edias aproximadas ap´os normaliza¸c˜ao. Adaptado de

(14).

Robustez: a modelagem proposta n˜ao possui nenhuma informa¸c˜ao sobre a sequencia ou localiza¸c˜ao espacial dos pontos do contorno. Dessa forma apenas a lista das coordenadas dos pontos ´e suficiente na deriva¸c˜ao do modelo, n˜ao sendo necess´ario extrair os pontos sequen- cialmente. Isso implica que contornos parciais ou com pequenas falhas podem ser utilizados de igual forma no m´etodo proposto, o que torna robusto a tais problemas frequentemente encontrados.

Tendo o contorno modelado como uma rede complexa algumas propriedade precisam ser quantificadas. Como j´a mencionado, nesta configura¸c˜ao inicial temos um grafo completo. No entanto uma rede regular n˜ao apresenta qualquer propriedade relevante para an´alise direta ou hier´arquica. A an´alise por OPF tamb´em n˜ao ´e adequada pois n˜ao h´a ’correspondˆencia’ entre os v´ertices de diferentes imagens (e.g. dada que uma semente ser´a colocada no pixel i n˜ao h´a garantias de que o mesmo pixel estar´a representado no modelo para outra imagem).

Dessa forma optou-se ent˜ao pela an´alise de subgrafos obtidos por um conjunto de limiares T. Para cada subgrafo obtido o conjunto de caracter´ısticas da Equa¸c˜ao 2.3.27 ´e calculado e concatenado com os demais.

Verificou-se que, independentemente do intervalo de limiares utilizados, o m´etodo continua apresentando bons resultados, ou seja, O conjunto de limiares T utilizados tem baixa influˆencia no resultado final, diferentemente dos modelos PAG. Para comprovar tal afirma¸c˜ao diferentes valores de limiares foram utilizados e s˜ao apresentados na Tabela 4.35.

Verifica-se um bom compromisso entre n´umero de subgrafos gerados e acur´acia obtida quando se utiliza 12 valores de limiares T = [0.075, 0.075, . . . , 0.925], que nesse caso resulta em 25 descritores p´os redu¸c˜ao de dimensionalidade LDA. A Figura 4.40 apresenta um estudo em rela¸c˜ao as medidas calculadas sobre esse modelo e a Figura 4.41 apresenta a variˆancia

110 4 M´etodos de an´alise de imagens propostos

Tabela 4.35 – aPAG completo contorno: Resultados obtidos para diferentes conjuntos de limiares, an´alise subgrafos.

Acerto (%)

T _{ND Gen´ericas Peixes MPEG7}

0.075,0.025,. . . ,0.925 27 94.95 99.01 75.50 0.075,0.050,. . . ,0.925 29 94.95 99.07 76.93 0.075,0.075,. . . ,0.925 25 95.96 99.35 77.64 0.075,0.100,. . . ,0.925 21 92.93 98.44 76.21 0.500,0.025,. . . ,0.925 18 90.91 97.19 71.93 0.075,0.025,. . . ,0.500 20 95.96 98.10 76.64

total explicada pelas 10 primeiras vari´aveis canˆonicas.

2 4 6 8 10 12 14 16 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Medidas da rede

Composição da 1a variável canônica (%)

Genéticas Peixes MPEG7 2 4 6 8 10 12 14 16 0 5 10 15 20 25 30 Medidas da rede

Composição da 2a variável canônica (%)

Genéticas Peixes MPEG7

Figura 4.40 – Composi¸c˜ao da 1a e 2a vari´avel canˆonica, modelo aPAG completo contorno.

Observamos que para esse modelo as caracter´ısticas de grau m´edio (2), energia dos graus (3), entropia dos graus (4), contraste dos graus (5), grau m´aximo (6), grau conjunto m´edio (7), energia grau conjunto (8), entropia grau conjunto (9), diˆametro da rede (10), centralidade m´axima (15) e coeficiente de aglomera¸c˜ao (16) s˜ao as caracter´ısticas mais discriminativas. Nesse tipo de modelo os v´ertices com maior grau encontram-se localizados em regi˜oes de alta curvatura, logo medidas que descrevam essa distribui¸c˜ao dos graus dos v´ertices s˜ao as mais interessantes e discriminativas pois caracterizam mudan¸cas bruscas na forma. Um grau conjunto alto, por outro lado, ´e encontrado em regi˜oes com curvaturas semelhantes, pois os v´ertices que participam de um segmento semelhante (e.g. reta) tendem a ter o mesmo n´umero de vizinhos a uma determinada distˆancia. Essa medida de grau conjunto portanto caracteriza de forma indireta os segmentos semelhantes.

Esse modelo resultou em um artigo publicado na revista Pattern Recognition (14) onde um estudo mais aprofundado a respeito do modelo e das medidas pode ser obtido.

4.7 aPAG - Grafo por adjacˆencia de alguns pixeis 111 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 10 20 30 40 50 60 Variáveis canônicas

Variância total explicada (%)

Genéticas Peixes MPEG7

Figura 4.41 – Variˆancia total explicada pelas 10 primeiras vari´aveis canˆonicas, modelo aPAG completo con-

torno.