Conceitos b´ asicos

Redes complexas s˜ao descritas por um conjunto de v´ertices (n´os) que est˜ao ligados por arestas. Essas redes podem ser est´aticas, quando n˜ao h´a varia¸c˜ao no n´umero de v´ertices, arestas ou mesmo na configura¸c˜ao das liga¸c˜oes; ou dinˆamicas, sendo que, nesse caso ´e poss´ıvel modelar o seu crescimento pela an´alise da varia¸c˜ao da sua estrutura no tempo. Embora as redes reais sejam dinˆamicas, elas podem ser analisadas como est´aticas dentro de um intervalo de tempo em que as varia¸c˜oes s˜ao inexistentes ou pouco importantes (20).

Matematicamente uma rede ou grafo ´e uma estrutura G(V, E), onde V = v1, v2, . . . , vn ´e um conjunto n˜ao-vazio de n´os (v´ertices) vi e E = e1, e2, . . . , em ´e um conjunto de arcos (arestas) que conectam dois v´ertices.

Computacionalmente uma rede G com n v´ertices pode ser representada por uma matriz

de adjacˆencia A de nxn:

aij = (

1, se{v, u} ∈ E,

2.1 Conceitos b´asicos 33

De forma geral o valor aij guarda informa¸c˜oes sobre como os v´ertices vi e vj est˜ao rela- cionados (isto ´e, informa¸c˜oes se h´a ou n˜ao adjacˆencia de vi e vj). Chamamos este grafo de

grafo bin´ario.

Um grafo tamb´em pode ser representado por uma matriz de pesos W de nxn (grafo com

pesos), onde cada aresta possui um peso wij associado, descrevendo alguma caracter´ıstica

inerente `a aresta. A obten¸c˜ao da contraparte bin´aria A de um grafo com pesos W ´e realiz´avel atrav´es de uma aplica¸c˜ao de uma fun¸c˜ao de limiar ou binariza¸c˜ao. Essa opera¸c˜ao ´e aplicada a cada elemento da matriz de pesos W , obtendo uma matriz de adjacˆencia A na forma:

A= (

aij = 1, se wij 6= 0 aij = 0, caso contr´ario

(2.1.2)

O resultante da opera¸c˜ao de binariza¸c˜ao ´e um grafo que indica apenas a existˆencia de uma aresta entre dois v´ertices, sem qualquer informa¸c˜ao deste.

Um grafo direcionado, ou d´ıgrafo, ´e um grafo cujas arestas possuem dire¸c˜ao, ou seja, aij n˜ao ´e necessariamente igual a aji. A contraparte n˜ao direcionada de um d´ıgrafo por ser obtida por uma opera¸c˜ao de simetria. Seu resultante matem´atico ´e uma matriz quadrada de ordem n, que satisfaz At _{= A. ´E um processo de simplifica¸c˜ao muito ´util}

Um la¸co ´e uma aresta cujas termina¸c˜oes est˜ao no mesmo v´ertice. Chamamos de arestas

paralelas duas arestas ligando os mesmos v´ertices. Um grafo simples ´e um grafo sem la¸cos

nem arestas paralelas.

O n´umero de v´ertices n = |V | ´e chamado ordem do grafo e o n´umero de arestas m = |E| ´e chamado de tamanho do grafo. Definimos como densidade do grafo G(V, E) como sendo a raz˜ao do numero de arestas existentes com seu m´aximo n´umero poss´ıvel,

δ = m (n

2)

(2.1.3)

Um grafo com densidade 1 ´e chamado de completo. Um grafo ´e planar se este pode ser representado em um plano sem que nenhuma de suas arestas se cruzem.

Se i, j ∈ E, dizemos que i ´e um vizinho de j (tamb´em chamado de v´ertice adjacente). O conjunto de vizinhos de um dado v´ertice i ´e chamado de vizinhan¸ca de i e ´e denotado por Γ(i).

34 2 Teoria dos grafos e redes complexas |Γ(i)| do mesmo: ki = X j aij (2.1.4)

Para grafos com peso a defini¸c˜ao de grau apresentada acima tamb´em pode ser utilizada, por´em outra medida chama de for¸ca si do n´o i pode ser definida como a soma dos pesos wij das arestas conectadas a esse n´o:

kiw = X

j

wij (2.1.5)

Um grafo ´e regular se todos os seus v´ertices possuem o mesmo grau. Se o conjunto de arestas E for vazio ent˜ao este ´e um grafo nulo.

Um caminho entre os v´ertices i e j ´e uma sequencia de arestas iniciando do v´ertice i e terminando no v´ertice j. Se um dado caminho existe entre i e j esses s˜ao ditos conectados. O caminho ´e dito simples se nenhum v´ertice ´e repetido.

O comprimento do caminho ´e o numero de v´ertices que o comp˜oe, e a distˆancia entre i e j ´e o comprimento da distˆancia m´ınima conectando-os, tamb´em chamado de distˆancia

geod´esica dij.

dij = X auv∈gi↔j

auv (2.1.6)

onde gi ↔ j ´e o menor caminho entre i e j. Note que dij = ∞ para todos os pares i, j n˜ao conectados e a distancia de um v´ertice para ele mesmo ´e zero (i.e. o caminho de um v´ertice para ele mesmo ´e uma sequencia vazia de arestas). A excentricidade ei de um v´ertice ´e dada pela maior distˆancia geod´esica deste para qualquer outro v´ertice.

O grafo ´e conectado se existe caminhos entre todos os pares de v´ertices. Se algum v´ertice n˜ao pode ser alcan¸cado por outros o grafo ´e desconectado. O n´umero m´ınimo de arestas que devem ser removidas para tornar um grafo desconexo ´e chamado de conjunto de corte do grafo.

V´ertices com ki = 0 s˜ao chamados de v´ertices isolados e para ki = 1 de v´ertice-pendente. V´ertices que est˜ao associados com um grande n´umero de outros v´ertices s˜ao chamados hubs.

2.1 Conceitos b´asicos 35

Um ciclo ´e um caminho simples que inicia e termina no mesmo v´ertice. Grafos que n˜ao cont´em ciclos s˜ao chamados de ac´ıclicos. Caso seja ac´ıclico, mas n˜ao conexo, ele ´e dito uma

floresta. Caso seja ac´ıclico mas conexo ´e chamado de ´arvore.

Um caminho Euleriano em um grafo G ´e um caminho que usa todas as arestas de E exatamente uma vez. Um caminho Hamiltoniano ´e um ciclo que cont´em todos os v´ertices do grafo. Para um caminho Hamiltoniano de peso m´ınimo d´a-se o nome de problema do caixeiro

viajante.

A uma parti¸c˜ao dos v´ertices V de G(V, E) em dois conjuntos n˜ao-vazios S e ¯S damos o nome de corte. O conjunto de corte corresponde `as arestas que conectam os v´ertices de S em ¯S e o tamanho do corte ´e o n´umero de arestas presentes no conjunto de corte:

c(S, ¯S_{) = |{{v, u} ∈ E|u ∈ S, v ∈ ¯}S_}| (2.1.7) Para grafos valorados o tamanho do corte ´e geralmente redefinido como a soma dos pesos das arestas que conectam os v´ertices de S em ¯S. O tamanho de corte m´ınimo entre S em

¯

S ´e denominado corte m´ınimo. O fluxo m´aximo f (S, ¯S) entre S e ¯S ´e equivalente ao corte

m´ınimo que separa S e S, ¯S.

Um grafo hier´arquico G′

i pode ser obtido considerando os v´ertices que est˜ao a uma distˆancia L do v´ertice. Consiste em um grafo com mesmo n´umero de v´ertices, onde uma aresta ´e incorporada entre os v´ertices i e j se existir um caminho de tamanho L entre esses n´os no grafo original.

Um subgrafo G′ _{= (V}′_{, E}′_{) de G = (V, E) ´e composto por um conjunto de v´ertices} V′ _{⊆ V e um conjunto de arestas E}′ _{⊆ E de tal forma que {v, u} ∈ E}′ _{implica que v, u ∈ V}′. O grafo G ´e um super grafo de G′_.

Um subgrafo conectado ac´ıclico que inclui todos os v´ertices de G ´e chamado de ´arvore

geradora. A ´arvore geradora possui, necessariamente, exatamente n − 1 arestas. Para grafos

valorados, a ´arvore geradora com menor peso total ´e chamada de ´arvore geradora m´ınima. Um grafo G pode ter diversas ´arvores geradoras m´ınimas.

Um subgrafo induzido de G = (V, E) ´e um grafo com um conjunto de v´ertices V′

⊆ V e com um conjunto de arestas E′

que inclui todas as arestas {v, u} em E que conectam todos os v´ertices v e u do conjunto V′_:

36 2 Teoria dos grafos e redes complexas

E′ _{= {{v, u}|v ∈ V}′, u_{∈ V}′,_{{v, u} ∈ E}} (2.1.8) Um subgrafo induzido completo ´e chamado de clique (i.e. todos os n´os do subgrafo s˜ao mutualmente adjacentes). Um maximal clique ´e um clique que nenhum outro v´ertice pode ser adicionado. Um maximum clique ´e um clique que possui a m´axima cardinalidade. Um subgrafo induzido que possui um conjunto de arestas vazio ´e chamado de conjunto independente.

Dois grafos G = (V, E) e G′ _{= (V}′_{, E}′_{) s˜ao chamados isoformos se existe uma fun¸c˜ao} bijetiva (um para um) mapeando f : V → V′

para cada aresta {v, u} ∈ E se, e somente se, {f(v), f(u)} ∈ E′_.