Caminhos e distˆ ancia

As medidas de caminho e distˆancia s˜ao importantes por caracterizar a estrutura interna das redes. Uma das mais simples ´e o diˆametro da rede, dada pela m´axima excentricidade de qualquer v´ertice i:

40 2 Teoria dos grafos e redes complexas

D= maxi ei (2.3.11)

Outra medida para quantificar as distˆancias existentes na rede ´e distˆancia geod´esica m´edia ℓ dada por: ℓ= 1 N_{(N − 1)} X i6=j dij (2.3.12)

Como o menor caminho de dois v´ertices desconectados ´e dij = ∞, apenas os v´ertices conectados s˜ao inclu´ıdos nessa defini¸c˜ao acima. Outra medida relacionada ´e a eficiˆencia

global dada por:

E = 1 N_{(N − 1)} X i6=j 1 dij (2.3.13)

onde a soma considera todos os pares de v´ertices. Essa medida quantifica a eficiˆencia da rede em enviar informa¸c˜oes entre os v´ertices, assumindo que a eficiˆencia em se enviar informa¸c˜ao entre dois v´ertices i e j ´e proporcional `a sua distˆancia.

2.3.2.1 Vulnerabilidade

Em redes de infraestrutura (como a Internet), tais hubs s˜ao ditos cr´ıticos, pois se des- conectados levam a um grande impacto na rede. Assim, outra caracter´ıstica interessante ´e medir a vulnerabilidade da rede olhando para os v´ertices mais vulner´aveis. Se n´os associarmos a performance da rede `a sua eficiˆencia global, a vulnerabilidade de um v´ertice pode ser definida a partir da queda de desempenho quando o v´ertice e todas as suas arestas s˜ao removidos da rede:

vi =

E_{− E}i

E (2.3.14)

onde E ´e a eficiˆencia global da rede original e Ei ´e a eficiˆencia ap´os remover o v´ertice i e todas as suas arestas. A vulnerabilidade m´axima da rede ´e uma medida bastante interessante dada por:

2.3 Medidas estat´ısticas 41

2.3.2.2 Centralidade

Com rela¸c˜ao aos caminhos existentes na rede ´e poss´ıvel quantificar a importˆancia de um v´ertice em termos de sua centralidade, ou seja, o qu˜ao importante ´e esse v´ertice na manuten¸c˜ao de todos os caminhos m´ınimos existentes na rede. Tal medida ´e definida por:

bi = X

uj

σ(u, i, j)

σ(u, j) (2.3.16)

onde σ(u, i, j) ´e o n´umero de caminhos m´ınimos entre os v´ertices u e j que passam pelo v´ertice i e σ(u, j) ´e o n´umero total de caminhos m´ınimos existentes na rede para todos os pares de v´ertices u e j. Pela distribui¸c˜ao obtida de bi podemos obter a centralidade m´edia e m´axima da rede na forma:

beµ = 1 n X i bi (2.3.17) beκ = maxi bi (2.3.18)

2.3.3

Aglomera¸c˜ao e ciclos

A quantidade de ciclos com comprimento 3 ´e uma caracter´ıstica muito investigada em redes. O chamado coeficiente de aglomera¸c˜ao ´e probabilidade m´edia de dois v´ertices vizinhos de um outro mesmo v´ertice sejam, eles pr´oprios adjacentes:

C = 3N∆ N3

(2.3.19) onde N∆ ´e o n´umero de triˆangulos na rede e N3 ´e o n´umero de triplas conectadas. Um triˆangulo ´e um conjunto de trˆes v´ertices com arestas entre cada par destes. Uma tripla conectada ´e um conjunto de trˆes v´ertices onde cada v´ertice pode ser alcan¸cado por outro (direta ou indiretamente). Assim definidos:

N∆ = X i>j>k aijaikajk (2.3.20) N3 = X i>j>k (aijaik+ ajiajk + akiakj) (2.3.21)

42 2 Teoria dos grafos e redes complexas

Outra caracter´ıstica interessante ´e medir o qu˜ao c´ıclica uma rede ´e. O coeficiente de ciclos de um v´ertice i ´e dado por:

θi = 2 ki(ki− 1) X k>j 1 Sijk aijaik (2.3.22)

onde Sijk ´e o tamanho do menor ciclo que passa pelos v´ertices i,j e k. Note que se os v´ertices j e k foram conectados, o menor ciclo ´e um triangulo e Sijk = 3. Se n˜ao h´a conex˜ao entre i,j e k ent˜ao Sijk = ∞. Logo o coeficiente de ciclos da rede ´e uma m´edia do coeficiente de ciclos de todos os v´ertices:

θ= 1 N X i θi (2.3.23)

2.3.4

Complexidade

A complexidade trata-se de um termo rico de significados e portanto amb´ıguo. Em termos geom´etricos determinados tipos de redes os v´ertices possuem uma posi¸c˜ao espacial definida pelas propriedades reais do sistema. Analisar a distribui¸c˜ao espacial desses v´ertices remete a uma medida relacionada `a complexidade do modelo, ou seja, procura-se mensurar o qu˜ao ca´otico ou organizados est˜ao os objetos representados pelos v´ertices. Interpreta¸c˜ao an´aloga podemos realizar em termos da conectividade da rede. A complexidade nesse caso mede n´ıvel de organiza¸c˜ao das conex˜oes da rede.

A Teoria dos Fractais (22) ´e um dos m´etodos que permite tal tipo de an´alise. Em termos geom´etricos, dada uma nuvem de pontos (i.e. v´ertices/objetos com posi¸c˜oes espaciais bi ou tri-dimensionais definidas) ´e poss´ıvel determinar a dimens˜ao fractal desse conjunto pela utiliza¸c˜ao de dimens˜ao fractal volum´etrica (23, 24). O mesmo m´etodo, se aplicado `a matriz de adjacˆencia da rede, pode mensurar de forma indireta a complexidade em termos de sua conectividade(12). Essa matriz de adjacˆencia, no entanto n˜ao pode ser trivial (e.g. grafo completo) e deve possuir uma rela¸c˜ao de ordem nos n´os especificada pelo problema proposto.

De forma geral a dimens˜ao fractal pelo m´etodo acima ´e dada pela sequinte equa¸c˜ao:

D_{= 2 − lim} r→0

log(A(r))

log(r) (2.3.24)

onde A(r) ´e a ´area ocupada pelos objetos quando dilatados por um raio r. Uma vers˜ao volum´etrica do m´etodo ´e dada por:

2.3 Medidas estat´ısticas 43

D_{= 3 − lim} r→0

log V (r)

log (r) (2.3.25)

As caracter´ısticas fractais s˜ao fornecidas pela lei de potˆencia da fun¸c˜ao u na forma:

u_{: log(r) → log(A(r))} (2.3.26)

ou seu equivalente 3-dimensional. Para caracterizar as redes a fun¸c˜ao u pode ser utilizada diretamente. Como o c´alculo das dilata¸c˜oes se d´a no espa¸co discreto o vetor de caracter´ısticas xfica composto pela ´area ou volume de todas as distˆancias poss´ıveis at´e um raio r.

2.3.5

Resumo das medidas

Considerando-se as medidas apresentadas acima 2 vetores de caracter´ısticas pode ser compostos com objetivo de realizar an´alise das imagens via teoria das redes complexas. O primeiro deles ´e composto pela simples concatena¸c˜ao das medidas de grau e conectividade, caminhos e distˆancia e aglomera¸c˜ao. A Tabela 2.1 apresenta um resumo das medidas dessas medidas e seu n´umero de referˆencia utilizado no decorrer do texto:

Medida Simbolo Equa¸c˜ao Referˆencia

Densidade δ 2.3.1 (1)

Grau m´edio kµ 2.3.2 (2)

Energia dos graus ke 2.3.4 (3)

Entropia dos graus kh 2.3.5 (4)

Contraste dos graus kc 2.3.6 (5)

Grau m´aximo kκ 2.3.7 (6)

Grau conjunto m´edio jdµ 2.3.8 (7) Energia grau conjunto jde 2.3.9 (8) Entropia grau conjunto jdh 2.3.10 (9)

Diˆametro da rede D 2.3.11 (10)

Distˆancia geod´esica m´edia ℓ 2.3.12 (11)

Eficiˆencia global E 2.3.13 (12)

Vulnerabilidade m´axima V 2.3.15 (13) Centralidade m´edia beµ 2.3.17 (14) Centralidade m´axima beκ 2.3.18 (15) Coeficiente de aglomera¸c˜ao C 2.3.19 (16)

Tabela 2.1 – Lista do primeiro conjunto de descritores utilizados.

O vetor de caracter´ısticas fica ent˜ao composto por 16 caracter´ısticas da seguinte forma:

44 2 Teoria dos grafos e redes complexas

Um segundo vetor ´e composto exclusivamente pelas caracter´ısticas de complexidade dadas pela fun¸c˜ao u, ficando assim composto:

x = [A(1), A(√2), A(2), ..., A(r)] (2.3.28)