Atingibilidade de Estados com Restri¸c˜oes de Controle

de Controle

Um problema importante que surge em diversas aplica¸cões práticas é aquele em que consideramos restri¸cões às variáveis de controle. Sob essas condi¸cões é importante saber quais estados podem ser atingidos em um determinado intervalo de tempo. Consideramos novamente um sistema linear da forma (A, B):

(3.10) z0 = A(t) z + B(t) u,

onde as fun¸c˜oes matriciais

A : [t0, t1]7→ Rn,n, B : [t0, t1]7→ Rn,m

são supostas cont´ınuas. Impomos agora a seguinte restri¸cão às variáveis de controle: As estratégias (ou a¸cões) de controle precisam ser escolhidas a partir de um conjunto fixado a priori. Seja Ω _{⊂ R}m _{o conjunto ao} qual está restrita a escolha das estratégias de controle. Denominamos Ω conjunto de controle (ou de a¸cões) e a partir da´ı definimos o conjunto6

Uad(Ω) := {u ∈ L1([t0, t1]; Rm)| u(t) ∈ Ω q.s. em [t0, t1]}, que ´e chamado conjunto dos controles admiss´ıveis.

Defini¸c˜ao 37. Seja z0 ∈ Rn. O subconjunto do Rn definido por R(Ω; t0, z0, t1) :={z1∈Rn| (t0, z0)7−→ (tu 1, z1) para algum u∈ Uad(Ω)}

´e denominado conjunto ating´ıvel por z0. 2

Pelo que vimos até agora, podemos garantir que R(Ω; t0, z0, t1) = Rn quando Ω = Rm e (A, B) é controlável em [t0, t1]. Analisamos nesta seçcão o caso em que Ω é um subconjunto próprio de Rm_.

Teorema 38. Sejam Ω, Uad(Ω), R(Ω; t0, z0, t1) os conjuntos definidos acima. Se Ω é convexo e compacto, então R(Ω; t0, z0, t1) também é convexo e compacto para todo z0∈ Rn.

6_Nota¸c˜_{ao: q.s. ´e abrevia¸c˜}_{ao de quase sempre e significa que determinada pro-}

[SEC. 3.6: ATINGIBILIDADE DE ESTADOS COM RESTRIÇ ÕES DE CONTROLE 55 Demonstra¸cão: Seja ΦA(·, ·) a matriz de transi¸cão do sistema. Temos então (3.11) R(Ω; t0, z0, t1) = _{z1| z1 = ΦA(t1, t0) z0+ Z t1 t0 ΦA(t1, s) B(s) u(s) ds, u∈ Uad(Ω)}.

Logo, a compacidade de Ω e a continuidade das fun¸cões A(·) e B(·) implicam na limita¸cão do conjunto R(Ω; t0, z0, t1). Provamos agora que R(Ω; t0, z0, t1) é fechado. Seja y = lim

l→∞yl, onde yl∈ R(Ω; t0, z0, t1) para todo l_{∈ N. Logo,} yl = ΦA(t1, t0) z0 + Z t1 t0 ΦA(t1, s) B(s) ul(s) ds, ul∈ Uad(Ω), l∈ N.

Como Ω é limitado, então (ul)l∈N é uma seqüência limitada em L1([t0, t1]; Rm) e, portanto, possui uma subseqüência fracamente convergente.7 _{Suponha, sem perda de generalidade, que (u}

l)l∈N ´e fracamente convergente. Ent˜ao existe u∈ L1_([t

0, t1]; Rm), tal que lim l→∞ Z t1 t0 hw(t), ul(t)i dt = Z t1 t0 hw(t), u(t)i dt,

para todo w _{∈ L}∞([t0, t1]; Rm). Como Ω é fechado, temos que Uad(Ω) também é fechado.8 _{E como Ω é convexo, verifica-se facilmente que} Uad(Ω) também é convexo. Sendo Uad(Ω) convexo e fechado, um resul- tado conhecido da análise funcional garante que Uad(Ω) é fracamente fechado. De onde conclu´ımos que u _{∈ U}ad(Ω). Portanto, para todo

7_{Dizemos que a seq¨}_{uˆencia x}

nconverge fraco para x no espa¸co vetorial normado X

(nota-se xn w

→ x) quando f (xn) → f (x) para todo funcional linear limitado f ∈ X0.

A conclusão do texto segue de um conhecido teorema da análise funcional: (veja demonstra¸cão em [Gr, Cap´ıtulo 3] ou [Leig, Cap´ıtulo 5]):

Teorema:[Banach–Alaoglu] Em todo espa¸co de Banach (de dimensão finita ou não) a bola unitária é fracamente compacta.

8_{Aqui usamos o fato da convergˆencia fraca em L}1_([t

0, t1]; Rm) de uma seq¨uˆencia

56 [CAP. 3: CONTROLABILIDADE v∈ Rn _{temos que} hv, yi = lim l→∞ hv, yli = lim l→∞{hv, ΦA(t1, t0)z0i + Z t1 t0 hv, ΦA(t1, s)B(s)ul(s)i ds} = _{hv, Φ}A(t1, t0)z0i + lim l→∞ Z t1 t0 hB∗(s)ΦA(t1, s)∗v, ul(s)i ds = _{hv, Φ}A(t1, t0)z0i + Z t1 t0 hB∗(s)ΦA(t1, s)∗v, u(s)i ds = hv, {ΦA(t1, t0)z0 + Z t1 t0 ΦA(t1, s)B(s)u(s) ds}i. De onde conclu´ımos que

y = ΦA(t1, t0) z0 + Z t1

ΦA(t1, s) B(s) u(s) ds ∈ R(Ω; t0, z0, t1). Provando assim que R(Ω; t0, z0, t1) é fechado. O teorema de Heine-Borel garante que, em Rn_{, ser compacto é equivalente a ser simultaneamente} fechado e limitado, portanto R(Ω; t0, z0, t1) é compacto. A convexidade de R(Ω; t0, z0, t1) segue da representa¸cão afim de seus elementos em (3.11) e da convexidade de Ω.

Exemplo 39. Considere o sistema (A, B) com matrizes A = µ a 0 0 a ¶ , B = µ 1 0 0 1 ¶ .

O sistema (A, B) é totalmente controlável, pois Po(B_{|AB) = 2. Logo,} R(R2; 0, z0, T ) = R2 para todo z0 ∈ R2. Escolha agora Ω = {u ∈ R2_{| |u| ≤ r}, z}₀ _{= 0 e t}₀ _{= 0. Como a solu¸cão do sistema possui a} representa¸cão

z(t) = Z t

ea(t−s)u(s) ds, podemos concluir que:

Se a > 0, ent˜ao R(Ω; t0, z0, t1) ={z ∈ R2| |z| ≤ ra−1(eat1 − 1)}. Logo, [

T >0

[SEC. 3.6: ATINGIBILIDADE DE ESTADOS COM RESTRIÇ ÕES DE CONTROLE 57 Se a < 0, então R(Ω; t0, z0, t1) ={z ∈ R2| |z| ≤ r|a|−1(1−e−at1)}. Logo,

[ T >0

R(Ω; 0, z0, T ) = {z ∈ R2| |z| ≤ |a|−1r}.

2 Este exemplo mostra que a investiga¸cão do fato de um determinado estado, em particular o estado z = 0, pertencer ao conjunto R(Ω; t0, z0, t1) para algum t1 > t0 é relevante no que diz respeito à controlabilidade de um sistema. Esta questão é especialmente interes- sante quando observamos que 0 pode ser considerado como estado ideal a ser atingido.

Defini¸cão 40. Dado Ω_{⊂ R}m_{, o sistema autônomo (A, B) é denominado} Ω–controlável ao zero em z0 quando

0_{∈ R(Ω; z}0) := [ T >0

R(Ω; 0, z0, T ).

2 No lema a seguir discutimos condi¸c˜oes suficientes para obtermos a Ω–controlabilidade ao zero de sistemas de controle autˆonomos.

Lema 41. Seja (A, B) um sistema de controle autônomo, totalmente controlável e Ω_{⊂ R}m_{. Se 0 é um ponto interior de Ω, ent˜}_{ao para todo} T > 0 existe uma vizinhan¸ca V de 0 em Rn tal que 0 ∈ R(Ω; 0, z0, T ) para todo z0 ∈ V .9

Demonstra¸c˜ao: Seja T > 0 e VT := R₀T eAsBB∗eA

∗_s

ds. Defina u _∈ L1([0, T ]; Rm), conforme o Teorema 34, por

u(t) := −B∗eA∗(T −t)VT−1eATz0, t∈ [0, T ].

Este mesmo teorema nos garante que (0, z0)7−→ (T, 0). Como a aplica¸cãou [0, T ]_{3 t 7→ e}−tA∗ _{∈ R}n,né cont´ınua e [0, T ] compacto, então existe uma constante m > 0 tal que

|u(s)| ≤ m |z0| para todo [0, T ] e todo z0 ∈ Rn.

Como 0_{∈ Int(Ω), existe R > 0 tal que B}R(0)⊂ Ω. Definindo δ = Rm−1 e V = Bδ(0), temos que |u(s)| ≤ m δ = R, ∀t ∈ [0, T ], z0 ∈ V , i.e. u(s)∈ Ω, ∀t ∈ [0, T ], z0∈ V , provando o teorema.

9_{Adotamos a seguinte nota¸c˜}_{ao: y ∈ R}m_{´e um ponto interior de Ω quando existe}

r > 0 tal que Br(0) := {v ∈ Rm| |v| ≤ r} ⊂ Ω. Um conjunto V ´e denominado

vizinhan¸ca de y ∈ Rm_{quando existe r > 0 tal que B}

58 [CAP. 3: CONTROLABILIDADE No teorema a seguir analisamos a rela¸c˜ao entre a controlabilidade de um sistema autˆonomo e os autovalores da matriz do sistema.

Teorema 42. Seja (A, B) um sistema autônomo e Ω _{⊂ R}m _limitado. São válidas as afirma¸cões:

a) Se 0 é um ponto interior de Ω, o sistema (A, B) é completamente controlável e existem constantes m_{≥ 0 e ω > 0 tais que}

(3.12) _keAt_{k ≤ m e}−ωt, t_{∈ [0, ∞),} ent˜ao 0_{∈ R(Ω; z}0) para todo z0∈ Rn;

b) Se a matriz A possui um autovalor com parte real positiva, ent˜ao existe z0∈ Rn tal que 06∈ R(Ω; z0).

Demonstra¸cão: Provamos primeiro a). Seja T1 > 0. O Lema 41 nos garante a existência de uma vizinhan¸ca W de 0 tal que 0∈ R(Ω; 0, w0, T1) para todo w0 ∈ W . De (3.12) temos que, para todo z0 ∈ Rn, existe um T2 (suficientemente grande) tal que eAT2z0 ∈ W . Defina w0 := eAT2z0 e escolha a estratégia u∈ L1_{([0, T}

1]; Rm) de forma que (0, w0) 7−→ (Tu 1, 0). Note agora que o controle ¯u definido por

¯ u(t) := ½ 0 , 0_{≤ t ≤ T}2 u(t_{− T}2) , T2≤ t ≤ T2+ T1 satisfaz (0, z0)7−→ (Tu¯ 1+ T2, 0).

Provamos agora b). Seja λ = α + iβ um autovalor de A∗ com α > 0 e w = w1+ iw2 o autovetor correspondente. Temos ent˜ao

A∗w1 + iA∗w2 = (α + iβ)(w1 + iw2), |w1| + |w2| 6= 0 e portanto

A∗w1 = αw1 − βw2, A∗w2 = βw1+ αw2. Tome x ∈ Rn _{satisfazendo q :=} _{hx, w}

1i2 + hx, w2i2 6= 0 e seja u_{∈ L}1_loc([0,_{∞); R}m). A partir da solu¸c˜ao z do sistema z0 = Az + Bu(t), z(0) = x, definimos a fun¸c˜ao

[SEC. 3.6: ATINGIBILIDADE DE ESTADOS COM RESTRIC¸ ˜OES DE CONTROLE 59 e obtemos para t≥ 0 a estimativa

v0(t) = 2(_hz0(t), w1i hz(t), w1i + hz0(t), w2i hz(t), w2i) = 2(_{hz(t), A}∗w1i hz(t), w1i + hz(t), A∗w2i hz(t), w2i)

+ 2(_{hBu(t), w}1i hz(t), w1i + hBu(t), w2i hz(t), w2i) =: I1(t) + I2(t).

Da defini¸c˜ao de w1, w2 obtemos agora I1(t) = 2αv(t). Como Ω ´e limitado, temos ainda

|I2(t)|2 = 4(hBu(t), w1i hz(t), w1i + hBu(t), w2i hz(t), w2i)2 ≤ 8(c1hz(t), w1i2 + c2hz(t), w2i2)

≤ c2|v(t)|2, t≥ 0,

onde a constante c independe de u e x. Logo, |I2(t)| ≤ c

v(t), t≥ 0. Podemos ent˜ao afirmar que

v0(t) ≥ ψ(v(t)), t ≥ 0,

onde ψ(s) := 2αs_{− c}√s, s_{∈ R. Como ψ(s) > 0 para s > ( c}_{2α )}2 _{=: s} 0, temos que v é monótona crescente caso a escolha de x satisfa¸ca v(0) > s0.10 Neste caso a estratégia u não poderá satisfazer (0, x) 7−→ (T, 0)u para nenhum T > 0. Como u_{∈ L}1_loc([0,_{∞); R}m) foi escolhido de forma arbitrária, conclu´ımos que para este x certamente 0_{6∈ R(Ω; x). O caso} real β = 0 é demonstrado de forma análoga.

Note que a condi¸c˜ao imposta em (3.12) no Teorema 42 ´e equivalente a exigir que a matriz A possua apenas autovalores negativos.

Exemplo 43. Considere o sistema de controle obtido da EDO z(n) +

n−1 X j=0

ajz(j) = u.

Como sabemos, este sistema é totalmente controlável se tomamos Ω = R (veja Exemplo 31). Escolha agora como conjunto de controle Ω := [−ω, ω] ⊂ R. Caso o polinômio caracter´ıstico do sistema acima possua apenas ra´ızes com parte real negativa, podemos concluir que o sistema de controle associado a EDO é Ω–controlável ao zero. ₂

10_{Se n˜}_{ao for esse o caso, podemos sempre substituir x por um m´}_{ultiplo seu ade-}

60 [CAP. 3: CONTROLABILIDADE

No documento Introdução à Teoria de Controle e Programação Dinâmica (páginas 68-74)