Problemas Vetoriais - Introdução à Teoria de Controle e Programação Dinâmica

Generalizamos nesta seçcão para problemas variacionais vetoriais os resultados obtidos até agora ao longo do cap´ıtulo. Considere o problema

(7.26)          Minimizar I(y) := Z b a L(t, y(t), y0(t)) dt sujeito a

y∈ ˆYad :={y ∈ ˆC1([a, b]; Rn) | y(a) = ya, y(b) = yb}, onde L _{∈ C}1([a, b] _{× R}2n; R) e ya, yb ∈ Rn s˜ao dados. Os problemas vetoriais se caracterizam pelo fato dos canditados serem fun¸c˜oes vetoriais y(t) = (y1(t), . . . , yn(t)), com yj ∈ ˆC1[a, b].

O teorema a seguir generaliza para o problema (7.26) as condi¸c˜oes necess´arias obtidas para o problema variacional escalar (7.21).

Teorema 149. Seja L : [a, b]× R2n _{→ R continuamente diferenci´avel e} ˆ

y_{∈ ˆ}Yad um m´ınimo local fraco para o problema (7.26). Ent˜ao, ˆy satisfaz a equa¸c˜ao vetorial de Euler–Lagrange

dtLy0(t, ˆy, ˆy

0_{) = L}

y(t, ˆy, ˆy0)

nos pontos t ∈ [a, b] de continuidade de ˆy0_{. Também é satisfeita a} primeira integral da equa¸cão de Euler

L(t, ˆy, ˆy0) _{− hˆy}0(t), Ly0(t, ˆy, ˆy0)i

= Z t

Lt(s, ˆy(s), ˆy0(s)) ds + const., t∈ [a, b].

(Note que esta equa¸cão é escalar, enquanto a equa¸cão de Euler–Lagrange é vetorial.) Nos pontos t_{∈ [a, b] de descontinuidade de ˆy}0 são satisfeitas as condi¸cões de Weierstraß–Erdmann

Ly0(t−, ˆy(t−), ˆy0(t−)) = L_y0(t+, ˆy(t+), ˆy0(t+)),

[L− hˆy0, Ly0i](t−) = [L − hˆy0, L_y0i](t+).

(Note que a primeira condi¸cão é vetorial e a segunda é escalar.) Demonstra¸cão: E totalmente análoga às demonstra¸cões anteriores,´ bastando deduzir as equa¸cões vetoriais componente a componente.

EXERC´ICIOS ₁₆₅

Nos problemas vetoriais considerados nesta seçcão a fun¸cão objetivo é escalar. Em muitos problemas de controle ótimo (e em seus correspon- dentes variacionais) é conveniente considerar fun¸cões objetivo vetoriais, i.e. I : ˆYad→ Rk. Neste caso, utiliza-se o conceito de Pareto otimalidade para eleger uma estratégia ótima. Para maiores detalhes consulte [Lei].

Exerc´ıcios

7.1. Calcule a primeira integral da Equa¸cão de Euler–Lagrange quando L = L(t). Mostre que as fun¸cões lineares são estacionárias.

7.2. Calcule a primeira integral da Equa¸c˜ao de Euler–Lagrange quando L = L(t, y).

7.3. Prove que _{k · k}_1,∞ define uma norma em ˆC1_{[a, b]. Mostre que o} espa¸co vetorial normado assim obtido n˜ao ´e completo.

7.4. Prove que, se g, h_{∈ C[a, b] s˜ao tais que} Z b

[g(t)v(t) + h(t)v0(t)] dt = 0, para todo v_{∈ C}₀1[a, b], então h_{∈ C}1[a, b] e h0 = g. (Sugestão: Veja demonstra¸cão do Teorema 133.)

7.5. Demonstre o lema de du Bois–Reymond (Lema 129) utilizando o Exerc´ıcio 7.4.

7.6. Se L = L(y, y0_{) é uma aplica¸cão C}1_{, mostre que toda fun¸cão} estacionária ˆy ∈ ˆYad satisfaz a primeira integral da Equa¸cão de Euler– Lagrange

L(ˆy, ˆy0) _{− ˆy}0L_y0(ˆy, ˆy0) = const.

nos pontos t∈ (a, b) de continuidade de ˆy0_.

7.7. Seja L uma aplica¸cão C1 e ˆy _{∈ ˆ}Yad uma fun¸cão estacionária. Mostre que a segunda condi¸cão de Weierstrass–Erdmann

(L_{− ˆy}0Ly0)(t−) = (L− ˆy0L_y0)(t+), t∈ [a, b]

´e satisfeita.

(Sugest˜ao: Utilize o fato do extremal ˆy satisfazer a primeira integral da Equa¸c˜ao de Euler–Lagrange: L(t, ˆy, ˆy0)_−ˆyLy(t, ˆy, ˆy0) =R_atLt(s, ˆy, ˆy0)ds+ const.)

166 EXERC´ICIOS

7.8. Dada L ∈ C1_{([a, b]}_{× R}3_{; R), calcule a varia¸cão de Gâteaux da} aplica¸cão I : C2[a, b]_{→ R definida por}

I(y) := Z b

L(t, y(t), y0(t), y00(t)) dt.

a) Dada y_{∈ Y}ad :={C2[a, b]| y(a) = ya; y(b) = yb; y0(a) = ya0}, defina g(t) := Z t a Ly(s, y, y0, y00)ds e h(t) := Z b t [Ly0(s, y, y0, y00)− g(y)]ds.

Mostre que, para todo v _{∈ Y}0 := {C2[a, b]| v(a) = v(b) = v0(a) = 0}, temos δI(y, v) = Z b a [h(t) + Ly00(t, y, y0, y00)]v00(t) dt − £h(t)v0(t)¤b a. b) Conclua que uma condi¸cão necessária para que ¯y seja m´ınimo local de I em Yad é

δI(¯y, v) = Z b

[h(t)− Ly00(t, ¯y, ¯y0, ¯y00)]v00(t) dt = 0, ∀ v ∈ Y₀.

c) Use o Exerc´ıcio 7.9 para garantir que a aplica¸c˜ao t_{7→ L}y00(t, ¯y, ¯y0, ¯y00)

é diferenciável e obtenha a equa¸cão de Euler–Lagrange para problemas de segunda ordem d dt h d dtLy00− Ly0 i = _−Ly, t∈ (a, b). 7.9. Seja k > 0 fixo. Mostre que, se h_{∈ C[a, b] é tal que}

Z b a

h(t)v(k)(t) dt = 0, ∀ v ∈ C0k−1[a, b], então h é um polinômio de grau < k.

7.10. Seja L_{∈ C}1_{([a, b]}_{× R}3_{; R). Mostre que se y} _{∈ C}3_{[a, b] é solu¸cão} da equa¸cão de Euler–Lagrange do Exerc´ıcio 7.8, então y é solu¸cão da primeira integral da Equa¸cão de Euler–Lagrange (para problemas de segunda ordem) L − y0 · Ly0− d dtLy00 ¸ − y00Ly00 = Z b a Lt(s, y, y0, y00)ds + const.

EXERC´ICIOS ₁₆₇

7.11. Seja L∈ C1_{([a, b]}_{× R}k+1_{; R). Mostre que um m´ınimo local de} I(y) :=

Z b a

L(t, y(t), . . . , y(k)(t)) dt

em Yad := {y ∈ Ck[a, b]| y(a) = a1, y(b) = b1, . . . , y(k− 1)(a) = ak−1, y(k− 1)(b) = bk−1} satisfaz a equa¸c˜ao de Euler–Lagrange de k-´esima ordem Ly − d dtLy0 + d2 dt2Ly00 − . . . + (−1) k dk dtkLy(_k) = 0.

7.12. Considere o problema variacional ½

Minimizar I(y) :=R_abL(t, y(t), y0(t))dt

sujeito a y_{∈ {y ∈ C}1[a, b]_{| y(b) = y}b, y(a)≥ ya}.

a) Mostre que para ¯y ser solu¸cão deste problema variacional é necessário que satisfa¸ca

(

Ly(t, y, y0)− d_dtLy0(t, y, y0) = 0

y(b) = yb, Ly0(a, y(a), y0(a))≤ 0.

b) Prove que a igualdade na condi¸c˜ao de contorno natural Ly0(a, y(a),

y0_(a))_{≤ 0 ocorre exatamente quando y(a) = y}_a_.

7.13. Complete os detalhes da demonstra¸c˜ao do Teorema 149. 7.14. Prove a identidade nas equa¸c˜oes (7.3) e (7.4) do texto.

Cap´ıtulo 8

Princ´ıpios Variacionais na

Mecˆanica

Neste cap´ıtulo investigamos formula¸cões variacionais para problemas de mecânica (cinemática). O objetivo é apresentar diferentes abordagens para problemas relacionados à mecânica (devidas a Newton, Lagrange e Hamilton) e deduzir a equa¸cão de Hamilton–Jacobi como condi¸cão necessária para otimalidade de um problema de minimiza¸cão.

Na Seçcão 8.1 são estudados, sob a ótica da mecânica Newtoni- ana, alguns problemas da cinemática, de onde deduzimos as leis de Newton e Kepler. Na Seçcão 8.3 é apresentado o formalismo introduzido por Lagrange, que é exemplificado para o problema dos N -corpos. Na Seçcão 8.4 analisamos a mecânica Lagrangeana sob a ótica de Hamilton, que toma como ponto de partida a equa¸cão diferencial de Euler.

8.1 Mecˆanica Newtoniana

O que hoje é denominado mecânica clássica foi fundado no século XVII por Newton e em primeira mão delineado por Huygens, Leibniz e Bernoulli (Johann). A contribui¸cão de Newton foi ter colocado na forma de uma equa¸cão de movimento as grandezas for¸ca e acelera¸cão. Formulamos a seguir as Leis de Newton em sua forma original:

I) Todo corpo conserva o seu estado de repouso ou movimento retil´ı- neo uniforme, quando n˜ao for obrigado, por uma for¸ca externa, a alterar o seu movimento.

[SEC. 8.1: MECÂNICA NEWTONIANA 169 II) A altera¸cão no movimento é proporcional à for¸ca externa e ocorre

na dire¸c˜ao da linha reta na qual esta for¸ca atua.

III) A toda a¸cão corresponde uma a rea¸cão proporcional e em sentido contrário a primeira.

No texto acima, corpo tem o significado de massa pontual, i.e. part´ıculas pontuais de massa que não se deformam. Na Lei I), o termo movimento corresponde à curva t _{7→ r(t) descrita pelo ponto de massa no espa¸co;} r(t) descreve a posi¸cão do ponto de massa no instante de tempo t, que funciona como parâmetro da curva.

As experiências práticas motivaram que o espa¸co na mecânica clássica fosse considerado homogêneo (i.e. todos os pontos do espa¸co desfrutam das mesmas propriedades) e isotrópico (i.e. o espa¸co não possui dire¸cões privilegiadas). Desta forma, o espa¸co onde se passa o movimento é um espa¸co afim: A especifica¸cão da posi¸cão r(t) não é importante, mas sim a especifica¸cão de r(t) relativa à posi¸cão de um observador no mesmo instante de tempo. Escolhendo uma origem para o espa¸co afim, obtemos a partir da´ı o espa¸co vetorial R3 e podemos, com o aux´ılio da representa¸cão vetorial dos pontos deste, considerar r(t) como vetor posi¸cão do ponto de massa.

O tempo representa na f´ısica não relativista uma fun¸cão especial. Considerando-se que o ponto de massa possua seu próprio sistema de contagem de tempo (e.g., caso ele possua um relógio de pulso), o observador mede em seu relógio

(8.1) tB= αBτ + βB,

onde αB é uma constante positiva, que representa a proporcionalidade entre as unidades de tempo do observador e do ponto de massa; e βB representa a rela¸cão entre os tempos iniciais do observador e do ponto de massa. A equa¸cão (8.1) pode ser escrita na forma da equa¸cão diferencial:

(8.2) d

2_t B dτ2 = 0.

Da´ı podemos concluir que o tempo é descrito por um espa¸co unidi- mensional afim e apartir da escolha de um tempo zero, podemos dis- cernir entre os conceitos de antes e depois. A ocorrência de um movimento, descrito por uma trajetória t _{7→ r(t), corresponde a um ponto}

170 [CAP. 8: PRINCÍPIOS VARIACIONAIS NA MECÂNICA (t, r(t))∈ R × R3_{. A trajetória r é geralmente representada, em rela¸cão} a um sistema especial de coordenadas, por:

r(t) = (x(t), y(t), z(t)) (coordenadas cartesianas) r(t) = (r(t), ϕ(t), θ(t)) (coordenadas polares).

A partir do conhecimento da trajet´oria t _{7→ r(t), derivamos o con-} ceito de velocidade1 v(t) := dr dt(t) = ˙r(t) e o conceito de acelera¸c˜ao a(t) := dv dt(t) = ˙v(t).

O estado de repouso ´e descrito por r(t) = 0 para todos os tempos t, enquanto que o movimento retil´ıneo uniforme (velocidade constante) ´e descrito por

(8.3) r(t) = r0_{+ v}0_t.

A Lei I) diz que (8.3) representa o movimento de um corpo, sobre o qual não é exercida nenhuma for¸ca externa. Se um corpo é lan¸cado da posi¸cão P para a posi¸cão Q, sem interferência de for¸cas externas, seu movimento descreve o caminho mais curto unindo os pontos P e Q (desde que, é claro, o sistema referêncial – o observador – não esteja sujeito a acelera¸cões).

Defini¸c˜ao 150. Um sistema referencial, para o qual a Lei I) vigore na forma r(t) = 0 para todos os tempos t ´e denominado sistema referencial

inercial. ₂

Para um sistema referencial inercial, as leis I) e II) assumem a forma: m ¨r = F,

ou mais detalhadamente

(8.4) m ¨r(t) = F (t, r(t), ˙r(t)), para todo t,

1_{Utilizamos a nota¸c˜}_{ao f´ısica para derivadas: ˙y, ¨}_{y, originalmente introduzidas por}

[SEC. 8.1: MECÂNICA NEWTONIANA 171 onde F é a resultande de todas as for¸cas agindo sobre o corpo de massa m. O movimento é obtido, integrando-se a equa¸cão diferencial (8.4). Para tanto, são necessárias as condi¸cões iniciais r(0) e ˙r(0).

No caso de utilizarmos um sistema referencial sujeito a acelera¸cões, a equa¸cão (8.4) assume uma forma mais complexa. E fácil ver que´ qualquer sistema que se movimente uniformemente em rela¸cão a um sistema inercial é, ele próprio, um sistema referencial inercial.

O conceito de movimento na Lei II) pode ser identificado com o impulso (tamb´em denominado quantidade de movimento)

p(t) := m˙r(t). Sendo assim, a equa¸c˜ao (8.4) toma a forma

(8.5) ˙p(t) = F (t, r(t), ˙r(t)) para todo t.

Observa¸cão 151. A hipótese de que a massa m do corpo independe do movimento ocorre em muitos casos. Entretanto, se quisermos ser mais precisos, a massa de um corpo é fun¸cão de sua massa quando em repouso m0 e da velocidade com a qual o corpo se move, na forma

(8.6) m = q m0

1−|v(t)|_c2 2

onde a constante c representa a velocidade da luz (veja Seçcão 8.2). Para todas as velocidades, pequenas em rela¸cão à velocidade da luz,|v|c−1 _é muito menor que 1 e podemos considerar a massa constante ao longo do movimento (note que discutimos aqui sobre pontos de massa e não sobre aviões ou foguetes, que perdem massa ao longo do movimento).

2 As mais importantes das for¸cas fundamentais da natureza são a for¸ca gravitacional e a for¸ca de Coulomb. Influências fortes e fracas de part´ıculas elementares não desempenham papel importante na mecânica. A for¸ca gravitacional

(8.7) FAB =−GmAmB

rA− rB |rA− rB|3

atua constantemente sobre a linha reta unindo os pontos de massa A e B. Aqui G ´e a constante de atra¸c˜ao gravitacional de Newton e ma, mb

172 [CAP. 8: PRINC´IPIOS VARIACIONAIS NA MECˆANICA representam as massas dos respectivos corpos. Segundo a lei de Coulomb temos

(8.8) FAB = κeAeB

rA− rB |rA− rB|3

Aqui a situa¸cão é outra: A intensidade e a dire¸cão de atua¸cão da for¸ca depende das cargas eA, eB das part´ıculas A, B. A constante κ depende da escolha da escala para unidade de massa.

A Lei III) se torna importante, quando fontes de for¸ca interagem mutuamente entre si. Este é o caso, por exemplo, quando consideramos dois corpos de massas parecidas. Entretanto, se a rela¸cão entre as massas for muito desigual, podemos desprezar a rea¸cão do corpo mais leve. Esta é geralmente a situa¸cão, quando consideramos o movimento dos planetas em torno do sol.

Seja F um campo conservativo, i.e. um campo de for¸cas cuja in- fluência sobre um corpo nele inclu´ıdo, depende somente da posi¸cão que o corpo ocupa. Logo F = F (r). A fim de que um corpo percorra um caminho γ unindo os pontos P , Q dentro deste campo, é necessário que seja efetuado um certo trabalho. Este trabalho é a soma infinitesimal do produto da for¸ca pelo deslocamento. Portanto, se P = r0 _{e Q = r}1_{, o} trabalho é descrito pela integral ao longo do caminho

(8.9) AP Q=

γhF, dri.

Consideramos o trabalho como uma grandeza, que pode ser inserida em um corpo e nele permane¸ca armazenada, ou que possa ser retirada do corpo. Tal grandeza ´e denominada energia.

Para a abordagem feita nesta sec¸c˜ao utilizamos o sistema de medidas M-K-S. Se identificamos massa com peso, encontramos para a constante gravitacional de Newton o valor (experimental)

G∼ 6.67510−11 m3 kg−1 s−2, enquanto que para a velocidade da luz obtemos

c_{∼ 10}8 m s−2.

Consideremos agora movimentos em campos de for¸cas. Suponha que dispomos de um campo central, i.e. que possua a representa¸c˜ao

(8.10) F (r) = f (_|r|) r

|r|, r∈ R 3_\{0},

[SEC. 8.1: MECÂNICA NEWTONIANA 173 onde f é uma fun¸cão escalar. Tal campo é na verdade um campo gradi- ente, pois satisfaz

(8.11) F (r) =_−U0(_|r|) r

|r|, r∈ R

3_{\{0}, com U(r) :=}Z r r0

f (r0)dr0, onde r0 é uma constante a priori escolhida. A fun¸cão U é denominada potencial do campo2 _{E imediato observar que podemos obter outro po-}´ tencial simplesmente adicionando a U uma constante.

Exemplo 152. Considere dois pontos de massa, com massas respecti- vamente m1 e m2, sujeitos `a a¸c˜ao gravitacional. Temos

m1r¨1 = F12, m2r¨2= F21=−F12, onde Fij =−Gm1m2 ri− rj |ri− rj|3

. Definindo a coordenada do centro de massa

rS :=

m1r1+ m2r2 m1+ m2

temos ¨rS = 0, i.e. o centro de massa se encontra em movimento retil´ıneo uniforme. A dinˆamica real se encontra no movimento relativo dos pontos de massa. Seja r := r1− r2. Temos ent˜ao

r1 = rS+ m2 m1+ m2 r, r2 = rS− m1 m1+ m2 r e ainda (8.12) µ¨r =−Gm1m2 r |r|3 com µ := m1m2 m1+ m2 ,

onde µ é denominada massa reduzida. Desta forma, o sistema de dois corpos se reduz ao movimento de uma part´ıcula de massa µ em rela¸cão à coordenada do centro de massa. A massa reduzida está submetida à a¸cão do campo de for¸ca. Seu potencial é

(8.13) U (r) :=−u

r, r∈ R\{0},

onde u := Gm1m2. 2

174 [CAP. 8: PRINC´IPIOS VARIACIONAIS NA MECˆANICA Consideremos agora o caso geral de uma part´ıcula de massa m sujeita a um campo central. A energia total

E(r, v) = m 2|v|

2_{+ U (}_|r|)

é composta da energia cinética Ekin := m_{2 |v|}2 e da energia potencial Epot:= U (|r|). É válido o seguinte teorema de conserva¸cão de energia:

(8.14) E(r(t), v(t)) = E0 := E(r(0), v(0)), t∈ R, uma vez que

dt (r(t), v(t)) = mhv(t), ˙v(t)i + h−F (r(t)), ˙v(t)i = 0. O momento angular J no sistema ´e definido por

J(r, v) := m r_{× v.} ´

E v´alido o seguinte teorema de conserva¸c˜ao do momento angular: (8.15) J(r(t), v(t)) = J0 := J(r(0), v(0)) , t∈ R ,

uma vez que dJ

dt(r(t), v(t)) = m r(t)× ˙v(t) = r(t) × f(|r(t)|) r(t) |r(t)| = 0. Desta forma, o movimento transcorre em um plano perpendicular a J0 = m r(0)×v(0). Isto sugere a utiliza¸c˜ao de coordenadas polares neste plano (denominado x− y):

x(t) = r(t) cos ϕ(t), y(t) = r(t) sin ϕ(t),

de forma que o momento angular possua somente uma componente na coordenada z:

(8.16) Jz = mr2ϕ,˙ i.e. ϕ =˙ Jz mr2.

A conserva¸c˜ao de energia, nessas coordenadas, significa que

(8.17) m

2( ˙r

2_{+ r}2_ϕ_˙2_{) + U (r) = E} 0.

[SEC. 8.1: MECˆANICA NEWTONIANA 175 Explicitando agora ˙r em (8.16) e (8.17), temos

˙r = r 2(E0− U(r)) m − J2 z m2_r2. Ou ainda, escrevendo na forma dr_dϕ, que

(8.18) 1 r2 dr dϕ = s 2m(E0− U(r)) J2 z − 1 r2.

Levando agora em considera¸cão a forma especial do potencial U (r) := −ur e introduzindo a fun¸cão σ(ϕ) := _r(ϕ)1 , obtemos a equa¸cão diferencial: (8.19) ₋dσ dϕ = s 2m(E0+ uσ) J2 z − σ 2_.

Definindo agora as constantes p := J 2 z um, ε := r 1 +2E0Jz2 mu2 , temos que (8.20) µ_dσ dϕ ¶2 + µ σ−1 p ¶2 = ε 2 p2. Note que esta equa¸c˜ao ´e resolvida por

σ(ϕ) := 1 p + ε pcos(ϕ− ϕ0). Portanto, (8.21) r(ϕ) = p 1 + ε cos(ϕ_{− ϕ}0) . ´

E sabido que (8.21) ´e a representa¸c˜ao do corte de um cone em coordenadas polares:

176 [CAP. 8: PRINCÍPIOS VARIACIONAIS NA MECÂNICA Consideremos agora o problema do movimento planetário em nosso sistema solar. O campo de for¸cas é o campo gravitacional gerado pelo sol (de massa M ). Um planeta de massa m está sujeito à for¸ca gravitacional:

(8.22) F (r) :=−GmM r

|r|3, r∈ R 3_\{0},

que é um campo central (o sol no centro). Da dedu¸cão acima, obtemos a primeira lei de Keppler, pois, devido às nossas observa¸cões, E0< 0.

1a _{Lei de Keppler: Os planetas se movem em ´orbitas} el´ıpticas em torno do sol, que se encontra no foco das res- pectivas trajet´orias.

A taxa de varia¸cão da área ˙A no plano da órbita é obtida, a partir do raio da órbita (sol–planeta), da rela¸cão:

A(t + ∆t)_{− A(t) =} 1 2r(t)× r(t + ∆t) ∼ 1 2r(t)× v(t)∆t. Temos assim ˙ A(t) = 1 2|r(t) × v(t)| = Jz 2m ;

isto é, ˙A é constante. Obtemos da´ı a segunda lei de Keppler: 2a Lei de Keppler: O vetor do raio da órbita do sol ao planeta percorre, em intervalos de tempo iguais, áreas iguais. A área A de uma elipse é dada por πab, onde a, b são os semi-eixos. Na nota¸cão acima, obtemos para a órbita el´ıptica dos planetas:

a = p

1− ε, b = √

pa.

Denominando por T o per´ıodo de uma ´orbita completa de um planeta, temos que A = T Jz

2m . A partir da´ı obtemos (utilizando as constantes p, Jz, u) que a3 T2 = J2 z 4π2_m2_p = GM 4π2 . Este ´e o conte´udo da terceira lei de Keppler:

3a Lei de Keppler: A razão entre o cubo do semi-eixo maior e o quadrado do per´ıodo da órbita é constante.

No documento Introdução à Teoria de Controle e Programação Dinâmica (páginas 178-191)