Tempo M´ınimo
Como na sec¸c˜ao anterior, continuamos discutindo problemas com restri¸c˜ao `as vari´aveis de controle. Estamos particularmente interessados na classifica¸c˜ao dos problemas que s˜ao solucionados por controles do tipo Bang–Bang, i.e. controles u∈ Uad(Ω) que satisfazem u(t) ∈ ∂Ω quase sempre.
Considere o sistema escalar de controle
(3.13) z0 = A(t)z + b(t)u, z(t0) = z0,
com fun¸c˜oes matriciais A ∈ C([t0, t1]; Rn,n), b ∈ C([t0, t1]; Rn). O con- junto dos controles admiss´ıveis ´e
Uad(Ω) := {u : [t0, t1]→ R | u mensur´avel; u(t) ∈ Ω q.s.}, onde Ω ⊂ Rm ´e convexo e compacto. Como vimos na Sec¸c˜ao A.3, a solu¸c˜ao do sistema (3.13) ´e dada por
z(t) = Z(t)Z−1(t0)z0 + Z(t) Z t
t0
Z−1(s)b(s)u(s) ds, t∈ [t0, t1]. Definindo agora o conjunto
S(Ω; t0, t) := ½Z t t0 Z−1(s)b(s)u(s) ds | u ∈ Uad(Ω) ¾ ⊂ Rn, temos que R(Ω; t0, z0, t) = Z(t)z0+ Z(t)S(Ω; t0, t), ou ainda
S(Ω; t0, t) = Z−1(t)R(Ω; t0, z0, t)− z0.
Portanto, z0 ∈ R(Ω; t0, z0, t) se e somente se [Z−1(t)z− z0]∈ S(Ω; t0, t). Seguindo a nota¸c˜ao da Sec¸c˜ao 3.6, definimos o conjunto dos controles de Bang–Bang
Ubb(Ω) :={u ∈ Uad(Ω)| u(t) ∈ ∂Ω q.s.}
e o conjunto dos estados ating´ıveis por esse tipo de estrat´egia de controle Rbb(Ω; t0, z0, t) :={z1∈Rn | (t0, z0)7−→ (tu 1, z1) para algum u∈Ubb(Ω)}. Antes de formular o resultado principal desta sec¸c˜ao, necessitamos de um lema auxiliar um tanto quanto t´ecnico.
[SEC. 3.7: PRINC´IPIO DO BANG–BANG E PROBLEMAS DE TEMPO M´INIMO 61 Lema 44. Dado t∈ [t0, t1], a aplica¸c˜ao
I : L∞([t0, t]; R)3 u 7−→ Z t
t0
Z−1(s)b(s)u(s) ds∈ Rn
´e linear e cont´ınua, quando definida entre Uad(Ω), com a topologia fraca∗, e o Rn, com topologia usual.
Demonstra¸c˜ao: A linearidade segue imediatamente da defini¸c˜ao de I. Para provar a continuidade, usamos o seguinte fato:11 em U
ad(Ω), unw ∗ → u se e somente se Z t t0 y(s)un(s) ds −→ Z t t0 y(s)u(s) ds, ∀ y ∈ L1([t0, t]; R). Como Z−1(s)b(s)∈ L1([t
0, t]; R), o lema fica provado.
Apresentamos a seguir o resultado conhecido na literatura como princ´ıpio do Bang–Bang.
Teorema 45. Para qualquer t ∈ [t0, t1], temos R(Ω; t0, z0, t) = Rbb(Ω; t0, z0, t).
Demonstra¸c˜ao: Obviamente Rbb(Ω; t0, z0, t)⊂ R(Ω; t0, z0, t). Para pro- var a inclus˜ao contr´aria ´e suficiente verificar que, para todo z ∈ S(Ω; t0, t), existe ¯u ∈ Ubb(Ω) tal que z = I(¯u). De fato, dado z ∈ R(Ω; t0, z0, t), definimos ez := Z−1(t)z−Z−1(t0)z0 ∈ S(Ω; t0, t). Logo, existe ¯u∈ Ubb(Ω) tal que ez = I(¯u), de onde segue que
z = Z(t)Z−1(t0)z0+ Z(t)ez = ΦA(t, t0)z0+ Z t
t0
ΦA(t, s)b(s)¯u(s) ds, provando que z∈ Rbb(Ω; t0, z0, t).
Seja portanto z∈ S(Ω; t0, t). Defina o conjunto M como a imagem inversa de z por I, isto ´e,
M := I−1({z}) ∩ Uad(Ω) = {u ∈ Uad(Ω)| I(u) = z}.
M ´e o subconjunto dos controles admiss´ıveis que garantem a inclus˜ao de z em S(Ω; t0, t). Basta provar ent˜ao que existe ¯u∈ M ∩ Ubb(Ω).
11Tal fato se justifica pela topologia fraca∗ser metriz´avel em subconjuntos limitados
de L∞([t 0, t]; R).
62 [CAP. 3: CONTROLABILIDADE Note que S(Ω; t0, t) ´e convexo e compacto por ser uma transla¸c˜ao afim de R(Ω; t0, z0, t) (veja Teorema 38). O Lema 44 garante ent˜ao que M ⊂ L∞([t0, t], R) ´e compacto e convexo na topologia fraca∗. O teorema de Krein–Milman nos permite concluir que M possui um ponto extremo,12 que denominamos ¯u. Provamos a seguir que ¯u(t)∈ ∂Ω q.s. em [t0, t].
Da hip´otese, segue que Ω ´e um intervalo do tipo [a, b], com a, b <∞. Suponha por contradi¸c˜ao que ¯u(t)6∈ ∂Ω = {a, b} q.s. em [t0, t]. Ent˜ao, existe E⊂ [a, b] de medida (de Lebesgue) positiva tal que ¯u(s) ∈ (a, b), para todo s∈ E. Definindo agora
Ek := {s ∈ E | ¯u(s) ∈ (a + k−1, b− k−1)}, k = 1, 2, . . . temos E =∪∞
k=1Ek. Logo, ao menos um dos Ek possui medida positiva, de modo que existe ε > 0 e F ⊂ E de medida n˜ao nula tais que
¯
u(s)∈ (a + ε, b − ε), s ∈ F.
Como a medida de F ´e positiva, temos que Dim[L∞(F ; R)] =∞. Logo, a aplica¸c˜ao
IF : L∞(F ; R)3 v 7−→ Z
F
Z−1(s)b(s)v(s) ds∈ Rn
n˜ao pode ser injetiva (por que?). Portanto, ´e poss´ıvel escolher v ∈ L∞(F ; R) com v∈ Ke(IF) e v6≡ 0 em F . Estendendo trivialmente v ao intervalo [t0, t], obtemos ¯ v := ½ v(s), s∈ F 0, s∈ [t0, t]/F,
que satisfaz I(¯v) = 0. Dividindo (se necess´ario) por uma constante, temos|¯v(s)| ≤ 1 q.s. em [t0, t]. Logo, a≤ ¯u(s) ± ε¯v(s) ≤ b q.s., de modo que ¯u±ε¯v ∈ Uad(Ω). A linearidade de I implica em I(¯u±ε¯v) = I(¯u) = z, provando que ¯u± ε¯v ∈ M. Entretanto, isso contradiz o fato de ¯u ser um ponto extremo de M , pois
¯ u = 1
2(¯u + ε¯v) + 1
2(¯u− ε¯v).
12Um ponto ´e denominado extremo de um conjunto quando n˜ao pode ser escrito
como combina¸c˜ao linear convexa de dois outros pontos do conjunto. Para detalhes sobre o teorema de Krein–Milman consulte [Heu].
[SEC. 3.7: PRINC´IPIO DO BANG–BANG E PROBLEMAS DE TEMPO M´INIMO 63 Na seq¨uˆencia analisamos uma fam´ılia particular de problemas de controle ´otimo, que tem como caracter´ıstica o fato da fun¸c˜ao objetivo depender unicamente do tempo final. Tais problemas s˜ao denominados problemas de tempo m´ınimo (veja [HeLa], [Leig]).
Dadas as fun¸c˜oes matriciais A∈ C([t0,∞); Rn,n), b∈ C([t0,∞); Rn) e Ω⊂ R convexo e compacto, considere o seguinte problema de controle escalar: (PT min) Minimizar t1 sujeito a z0 = A(t)z + b(t)u(t) ; z(t0) = z0, z(t1) = z1; u∈ Uad(Ω) ;
onde z0, z1 ∈ Rn s˜ao dados e o conjunto dos controles admiss´ıveis ´e definido por
Uad(Ω) := {u ∈ L1loc([t0,∞); R) | u(t) ∈ Ω q.s.},
Observe que o tempo final t1 n˜ao ´e fixado e diferentes controles ad- miss´ıveis podem atingir a condi¸c˜ao de contorno final em diferentes in- tervalos de tempo. Este ´e um problema especial de controle ´otimo com tempo final vari´avel, em que a fun¸c˜ao fun¸c˜ao objetivo Rt1
t0 f (t, z, z
0) dt ´e da forma f ≡ 1.
A fim de garantir a existˆencia de solu¸c˜oes para o problema (PT min) (veja o Teorema 46), fazemos a seguinte hip´otese sobre a controlabilidade do sistema (A, B):
H) Existem t1 ≥ t0 e u ∈ Uad(Ω) tais que a trajet´oria correspondente zu satisfaz zu(t1) = z1.
Note que a hip´otese H) garante que o conjunto limitado inferiormente T definido por
T := {t1≥ t0 | ∃ u ∈ Uad(Ω) com zu(t1) = z1}
´e n˜ao vazio. O candidato natural `a solu¸c˜ao de (PT min) ´e formado pelo par (¯t, ¯u), onde ¯t := inf{t1 ∈ T } e ¯u ´e o controle correspondente. Teorema 46. Se a hip´otese H) ´e v´alida, ent˜ao existe um controle ad- miss´ıvel ¯u∈ Uad(Ω) tal que o estado correspondente ¯z satisfaz ¯z(¯t) = z1, onde ¯t := inf{t1∈ T }.
64 [CAP. 3: CONTROLABILIDADE Demonstra¸c˜ao: Seja tnuma seq¨uˆencia minimal, i.e. tn↓ ¯te un∈ Uad(Ω) uma seq¨uˆencia de controles de modo que os estados correspondentes sa- tisfa¸cam zn(tn) = z1 para todo n∈ N. Da identidade13
zn(tn) − zn(¯t) = ΦA(tn, t0)z0 + Z tn t0 ΦA(tn, s)b(s)un(s) ds − ΦA(¯t, t0)z0 − Z ¯t t0 ΦA(¯t, s)b(s)un(s) ds, obtemos a estimativa |z1 − zn(¯t)| = |zn(tn) − zn(¯t)| ≤ |ΦA(tn, t0)z0 − ΦA(¯t, t0)z0| +|Z(tn)− Z(¯t)| Z ¯t t0 Z−1(s)b(s)un(s) ds +|Z(tn) Z tn ¯ t Z−1(s)b(s)un(s) ds|. (3.14)
Os dois primeiros termos do lado direito de (3.14) convergem a zero quando n → ∞, devido `a continuidade de Z(t). O terceiro termo em (3.14) ´e limitado por
kZ(tn)k Z tn
¯ t
c|Z−1(s)b(s)| ds,
pois un(t)∈ Ω q.s., que ´e convexo e compacto por hip´otese. Portanto, este termo tamb´em converge a zero quando n → ∞. Provamos assim que zn(¯t) → z1. Logo, z1 ∈ R(Ω; t0, z0, ¯t). Como R(Ω; t0, z0, ¯t) ´e com- pacto (veja Teorema 38), temos que z1 ∈ R(Ω; t0, z0, ¯t), o que implica na existˆencia de um ¯u∈ Uad(Ω) satisfazendo
(t0, z0)7−→ (¯t, zu¯ 1).
Corol´ario 47. Se a hip´otese H) ´e v´alida, ent˜ao existe um controle ´otimo do tipo bang–bang. Caso exista um ´unico controle ´otimo, ele ´e necessari- amente do tipo bang–bang.
Demonstra¸c˜ao: Segue diretamente dos Teoremas 45 e 46.
[SEC. 3.8: CONTROLABILIDADE DE SISTEMAS LINEARES DISCRETOS 65 Condi¸c˜oes necess´arias e/ou suficientes para existˆencia e unicidade de controles bang–bang s˜ao discutidas em [Kra, Cap´ıtulo 3].
O Lema 44 e os Teoremas 45 e 46 continuam v´alidos para controles n˜ao escalares u(t) ∈ Ω ⊂ Rm q.s. e sistemas gerais da forma z0 = A(t)z + B(t)u(t), com B cont´ınua. As demonstra¸c˜oes destes resultados s˜ao an´alogas `as aqui apresentadas.
Em [AtFa] s˜ao discutidas diversas aplica¸c˜oes relacionadas com tempo m´ınimo, como o oscilador harmˆonico, o oscilador harmˆonico amortecido, cinem´atica sem atrito (Double-integral plants). Tamb´em s˜ao discutidos problemas de consumo m´ınimo de combust´ıvel, que se assemelham aos problemas de tempo m´ınimo e possuem solu¸c˜oes do tipo bang-bang.
Problemas de tempo m´ınimo para sistemas n˜ao lineares de primeira e segunda ordem s˜ao tamb´em discutidos em [LeMa] e [F¨o2]. Este ´ultimo baseia sua argumenta¸c˜ao em um resultado devido a A. Feldbaum (1962). Particularmente interessante ´e o problema de asfaltamento de uma rua, discutido (em detalhes) em [F¨o2, cap´ıtulo 7].
3.8
Controlabilidade de Sistemas Lineares Dis-
cretos
Tratamos agora dos sistemas de controle discretos, em particular os autˆonomos. Um sistema autˆonomo discreto de controle (A, B) ´e repre- sentado pelas equa¸c˜oes
(3.15) zk+1 = A zk + B uk, k = 0, . . . , N− 1,
onde A ∈ Rn,n e B ∈ Rn,m. Seguindo a defini¸c˜ao feita para sistemas cont´ınuos, dizemos que o sistema discreto em (3.15) ´e completamente control´avel quando, para todo par de estados x0, xN ∈ Rn, existe uma estrat´egia de controle u = (u0, . . . , uN −1)∈ RmN que satisfaz
(3.16) zk+1 = A zk + B uk, k = 0, 1, . . . , N− 1, z0 = x0, zN = xN. Quando uma estrat´egia de controle u satisfaz (3.16), utilizamos a nota¸c˜ao
(0, x0) 7−→ (N, xu N).
De (3.16) obtemos uma representa¸c˜ao para zN em fun¸c˜ao de z0 e de u: xN = ANx0 +
N −1X i=0
66 [CAP. 3: CONTROLABILIDADE a qual nos fornece uma importante rela¸c˜ao para identificar a controla- bilidade do sistema discreto em (3.15):
(3.17)
xN − ANx0 = S(A, B) u, onde S(A, B) = (AN −1B| · · · |AB|B). Teorema 48. Seja (A, B) um sistema discreto de controle e S(A, B) a matriz definida em (3.17). Se a condi¸c˜ao de posto
(3.18) Po (S(A, B)) = Po (An−1B| · · · |AB|B) = n ´e satisfeita, ent˜ao o controle u∈ RmN definido por
(3.19) u := S(A, B)∗(S(A, B)S(A, B)∗)−1(xN − ANx0) ´e tal que (0, x0)7−→ (N, xu N).
Demonstra¸c˜ao: Basta verificar que o controle u em (3.19) satisfaz a equa¸c˜ao (3.17). De fato, S(A, B)S(A, B)∗ ´e n˜ao singular por hip´otese e de (3.19) segue que
S(A, B) u = S(A, B)S(A, B)∗(S(A, B)S(A, B)∗)−1(xN − ANx0) = xN− ANx0.
A matriz S(A, B)† := S(A, B)∗(S(A, B)S(A, B)∗)−1 ´e conhecida como pseudo inversa (ou inversa de Moore–Penrose) de S(A, B).14 Uti- lizando multiplicadores de Lagrange ´e poss´ıvel verificar que o controle definido em (3.19) ´e a solu¸c˜ao do problema de controle ´otimo discreto:
Minimizar N −1X j=0 |uj|2 sujeito a uj ∈ Rm, j = 0, . . . , N− 1 ; zk+1 = Azk+ Buk, k = 0, . . . , N − 1 ; z0 = x0, zN = x1.
Conseguimos assim resolver o problema de controle discreto (3.15) para uma importante classe de sistemas: aqueles que satisfazem a condi¸c˜ao de posto (3.18). Entretanto, a aplica¸c˜ao
S(A, B) 7−→ S(A, B)†,
EXERC´ICIOS 67
que leva uma matriz em sua inversa generalizada, n˜ao ´e numericamente est´avel. Este fato torna esta estrat´egia de calcular a estrat´egia de cont- role muitas vezes invi´avel na pr´atica.
Observa¸c˜ao 49 (Controlabilidade de sistemas n˜ao lineares). En- cerramos este cap´ıtulo mencionando uma importante ´area de pesquisa atual relacionada a sistemas n˜ao lineares. Resultados de controlabilidade local podem ser obtidos atrav´es da utiliza¸c˜ao de t´ecnicas de lineariza- ¸c˜ao de sistemas [So]. Al´em disso, utilizando os conceitos de ´algebras de Lie de campos vetoriais e de distribui¸c˜oes (no sentido da geometria diferencial), ´e poss´ıvel obter um poderoso resultado (crit´erio de inte- grabilidade de Frobenius) que garante que uma distribui¸c˜ao de posto constante ´e completamente integr´avel se, e somente se, for involutiva
[So, Cap´ıtulo 4]. 2
Exerc´ıcios
3.1. Dado o sistema (A, B) com A = µ 0 −1 1 0 ¶ , B = µ cos t sin t ¶ , mostre que para todo u∈ R a solu¸c˜ao do sistema
z0 = Az + b(t)u, z(0) = 0
est´a na superf´ıcie z1sin t− z2cos t = 0. Conclua da´ı que o sistema n˜ao ´e control´avel em [0, t1] para qualquer t1 > 0.
3.2. Mostre que se uma matriz A possui dois ou mais autovetores linear- mente independentes associados ao mesmo autovalor, ent˜ao o sistema com controle escalar z0 = Az + bu n˜ao ´e control´avel.
3.3. Considere o sistema (A, B) com matrizes A = µ −2 0 −1 −1 ¶ , B = µ 1 1 ¶ . a) Mostre que (A, B) n˜ao ´e control´avel.
68 EXERC´ICIOS
3.4. Seja A uma matriz sim´etrica com autovalores{λj}pj=1e autovetores {vj,k}nk=1p , onde nj ´e a multiplicidade de λj, j = 1, . . . , p (note que n1+ · · · + np = n). Seja B a matriz formada pelas colunas b1, . . . , bm. Mostre que o sistema (A, B) ´e control´avel sse
Po hb1, vj,1i · · · hbm, vj,1i hb1, vj,2i · · · hbm, vj,2i .. . ... ... hb1, vj,nji · · · hbm, vj,nji = nj, j = 1, . . . , p.
3.5. Conclua do exerc´ıcio anterior que, para o sistema (A, B) ser con- trol´avel, ´e necess´ario que a dimens˜ao da vari´avel de controle seja maior que todos os nj, i.e. m≥ nj para j = 1, . . . , p.
3.6. Verifique a controlabilidade do sistema (A, B) com A = µ 1 0 1 −1 ¶ , B = µ 1 1 ¶ . Encontre u∈ L1([0, 1]; R) tal que (0, 0)7−→ (1, eu 2).
3.7. Seja(A, B) um sistema autˆonomo com A∈ Rn,n, B ∈ Rn,m. a) Mostre que (A, B) ´e control´avel em [0, T ] para todo T > 0 se e somente se Rn= M0+· · ·+Mn−1, onde Mj := Im(AjB), j = 1, . . . , n−1. b) Sejam F ∈ Rn,n, G ∈ Rm,m, com det(F ) 6= 0, det(G) 6= 0. Mostre que, se (A, B) ´e control´avel em [0, T ], ent˜ao o sistema (F−1AF, F−1BG) ´e tamb´em control´avel em [0, T ].
3.8. Considere um sistema de controle (A, B) com fun¸c˜oes matriciais A∈ C([t0, t1]; Rn,n), B∈ C([t0, t1]; Rn,m). Dado z1 ∈ Rn, prove que s˜ao equivalentes as afirma¸c˜oes: a) Existe u∈ L1([t 0, t1]; Rm) tal que (t0, 0)7−→ (tu 1, z1); b) z1∈ Im(Z(t0, t1)), onde Z(t0, t1) := Z t1 t0 ΦA(t1, s)B(s)B(s)∗ΦA(t1, s)∗ds.
Se o sistema (A, B) ´e autˆonomo, mostre ainda que Im(Z(t0, t1)) = Im(SS∗), onde
EXERC´ICIOS 69
3.9. Complete os detalhes da demonstra¸c˜ao do Teorema 26.
3.10. Considere um sistema autˆonomo (A, B), com A ∈ Rn,n, B ∈ Rn,m.
a) Prove que (A, B) ´e control´avel em [0, T ], para todo T > 0, se e so- mente se para todo w ∈ Cn autovetor de A∗ vale B∗w6= 0 (crit´erio de Hautus (1969); veja [So]).
b) Prove que (A, B) ´e control´avel em [0, T ], para todo T > 0, se e somente se
Rn = n−1[ j=0
Mj, onde Mj := Im(AjB), j = 0, . . . , n− 1.
c) Dadas matrizes regulares F ∈ Rn,n, G∈ Rm,m, mostre que, se (A, B) ´e control´avel em [0, T ], ent˜ao (F−1AF, F−1BG) ´e tamb´em control´avel em [0, T ].
3.11. Dado o sistema (A, B) com matrizes
A = 1 2 −1 0 1 0 1 −4 3 , B = 0 0 1 ,
encontre uma base para o conjunto de estados ating´ıveis R(Ω; 0) para Ω = Rm. (veja Defini¸c˜ao 40)
3.12. Verifique se os sistemas a seguir s˜ao Ω–control´aveis ao zero: a) z00+ z0+ z = u; Ω = [−1, 1];
b) z00= u; Ω = [−1, 1].
3.13. Verifique a controlabilidade do sistema no Exemplo 31.
3.14. [Piloto autom´atico]15 Suponha que um avi˜ao voa com veloci- dade constante c (relativa ao solo). Sejam φ e α os ˆangulos que o eixo do avi˜ao faz com a horizontal e com a trajet´otia do avi˜ao respectivamente (veja Figura 3.1). A altitude do avi˜ao no tempo t ´e denotada por h(t). Se os ˆangulos α e φ s˜ao pequenos, o deslocamento vertical do avi˜ao ´e modelado pelo sistema n˜ao linear
α0 = a(φ− α), φ00 = −ω2(φ− α − bu), h0 = c α,
70 EXERC´ICIOS
h
α φ
Figura 3.1: Piloto autom´atico para controle de altitude
onde a, b, c s˜ao constantes conhecidas e u corresponde ao controle do sistema (leme de profundidade). Mostre que o sistema ´e totalmente control´avel.
3.15. Considere um sistema de controle (A, B) com fun¸c˜oes matriciais A ∈ C([t0, t1]; Rn,n) e B ∈ C([t0, t1]; Rn,m). Suponha que Uad ´e um subespa¸co denso de L1([t0, t1]; Rm). Dado z1 ∈ Rm, prove que s˜ao equivalentes as afirma¸c˜oes:
a) Existe u∈ L1([t
0, t1]; Rm) tal que (t0, 0)7−→ (tu 1, z1); b) Existe u∈ Uad tal que (t0, 0)7−→ (tu 1, z1);
3.16. ´E um fato conhecido da teoria dos espa¸cos Lp que o conjunto das fun¸c˜oes C∞ com suporte compacto em [t0, t1], definido por
C0∞([t0, t1]; Rm) :={v ∈ C∞([t0, t1]; Rm) | v(j)(t0) = v(j)(t1) = 0, j = 1, 2, . . .},
´e denso em L1([t
0, t1]; Rm). Como a equivalˆencia do Exerc´ıcio 3.15 se deixa interpretar `a luz deste resultado?
3.17. Calcule o controle ´otimo ¯u para o problema proposto no Exem- plo 36.
Cap´ıtulo 4
Estabilidade
Estudamos neste cap´ıtulo o comportamento em per´ıodos longos de tempo das solu¸c˜oes de sistemas autˆonomos de equa¸c˜oes diferenciais or- din´arias (EDO’s). O principal interesse est´a em determinar se uma solu¸c˜ao (trajet´oria) permanece ou n˜ao limitada e, em caso afirmativo, se esta converge assintoticamente para algum ponto de equil´ıbrio.
Na Sec¸c˜ao 4.1 ´e definido o conceito de estabilidade de um ponto de equil´ıbrio. Na Sec¸c˜ao 4.2 s˜ao discutidas condi¸c˜oes necess´arias e sufi- cientes para estabilidade de sistemas lineares autˆonomos. A Sec¸c˜ao 4.3 se destina a analisar um crit´erio alg´ebrico (teorema de Hurwitz) para garantir estabilidade de matrizes. Na Sec¸c˜ao 4.4 consideramos sistemas obtidos por perturba¸c˜oes de sistemas lineares est´aveis. As Sec¸c˜oes 4.5 e 4.6 tratam do crit´erio de estabilidade formulado por Lyapunov. Na Sec¸c˜ao 4.7 aplicamos o crit´erio de Lyapunov a sistemas lineares discretos.