Equa¸c˜ao de Euler–Lagrange - Introdução à Teoria de Controle e Programação Dinâmica

Suponha que L : [a, b]× R2 _{→ R é duas vezes continuamente dife-} renciável e que o m´ınimo local fraco ¯y _{∈ Y}ad := {y ∈ C1[a, b]| y(a) = ya, y(b) = yb} do funcional I satisfaz ¯y ∈ C2[a, b]. Dados η ∈ C01[a, b] e ε0 > 0 suficientemente pequeno, definimos a fam´ılia de fun¸cões admiss´ıveis

y(_{·; ε) := ¯y(·) + εη(·), ε ∈ (−ε}0, ε0).

Por constru¸c˜ao, temos_{ky(·; ε)− ¯yk}_1,∞=_|ε|kηk_1,∞. Note ainda que, pelo fato de ¯y ser m´ınimo local fraco de I em Yad, temos

J(ε) := I(y(_{·; ε)) ≥ I(¯y) = J(0), ∀ε ∈ (−ε}0, ε0).

Isto é, ¯ε = 0 é m´ınimo local da fun¸cão real J, definida pela composi¸cão de I com a fam´ılia y(_{·; ε). Da análise real sabemos que uma condi¸cão} necessária para que isto aconte¸ca (caso J seja diferenciável) é que

d dεJ(ε) ¯ ¯ ¯ ¯ ε=0 = 0. Da Defini¸c˜ao 121, segue que

(7.8) δI(¯y; η) = d dεI(¯y + εη) ¯ ¯ ¯ ¯ ε=0 = d dεJ(ε) ¯ ¯ ¯ ¯ ε=0 = 0

148 [CAP. 7: CÁLCULO VARIACIONAL é uma condi¸cão necessária para que ¯y seja m´ınimo local de I em Yad. Uma vez que L é, em particular, continuamente diferenciável, temos (veja Exemplo 123)

(7.9) δI(¯y; η) = Z b

[ Ly(t, ¯y(t), ¯y0(t))η(t) + Ly0(t, ¯y(t), ¯y0(t))η0(t) ] dt.

Note que a fun¸c˜ao

λ : [a, b]_{3 t 7→ L}y0(t, ¯y(t), ¯y0(t))∈ R

é continuamente diferenciável em [a, b], devido às hipóteses feitas sobre L e ¯y. Como η satisfaz as condi¸cões de contorno η(a) = η(b) = 0, obtemos integrando (7.9) por partes

(7.10) δI(¯y; η) = Z b a · Ly(t, ¯y(t), ¯y0(t)) − d dtλ(t) ¸ η(t) dt.

Note que (7.10) ´e v´alida para todo η_{∈ C}1

0[a, b]. Logo, segue do lema de du Bois–Reymond (Lema 129) que

(7.11) Ly(t, ¯y(t), ¯y0(t)) − d

dtLy0(t, ¯y(t), ¯y

0_{(t)) = 0,} _{∀t ∈ [a, b].} Em (7.11) podemos reconhecer a equa¸cão de Euler–Lagrange obtida na Seçcão 7.1 (veja equa¸cão (7.6)). Esta equa¸cão diferencial de segunda or- dem nos fornece uma condi¸cão necessária para determina¸cão de m´ınimos locais de um funcional. Como foi visto no Teorema 127, esta condi¸cão é também suficiente para otimalidade, caso o funcional I seja convexo. Podemos resumir a discussão acima no seguinte teorema:

Teorema 131. Seja L : [a, b]_{× R × R → R duas vezes continuamente} diferenciável e ¯y _{∈ C}2_{[a, b] um m´ınimo local fraco do problema (7.2).} Então, ¯y é solu¸cão do problema de valor de contorno

(7.12)

(

Ly(t, y, y0)− d_dtLy0(t, y, y0) = 0, t∈ (a, b)

y(a) = ya, y(b) = yb.

[SEC. 7.3: EQUAÇ ÃO DE EULER–LAGRANGE 149 Observa¸cão 132 (problemas com fronteira livre). Análogos ao problema (7.2) são os problemas em que apenas uma condi¸cão de contorno é imposta, por exemplo a condi¸cão y(b) = yb. Construindo a fam´ılia de fun¸cões admiss´ıveis

y(_{·; ε) := ¯y(·) + εη(·), η ∈ C}1[a, b], η(b) = 0,

obtemos através de um desenvolvimento análogo ao anterior, a condi¸cão necessária

(7.13)

0 = δI(¯y; η) = Ly0(a, ¯y(a), ¯y0(a))η(a)

− Z b a · Ly(t, ¯y, ¯y0)− d dtLy0(t, ¯y, ¯y 0₎¸_{η(t) dt,}

para todo η ∈ C1_{[a, b] com η(b) = 0. Note que (7.13) vale em parti-} cular para η _{∈ C}₀1[a, b], de onde segue (novamente argumentando com o Lema 129) a equa¸c˜ao de Euler–Lagrange. Tomando agora em (7.13) η∈ C1_{[a, b] com η(b) = 0 e η(a)}_{6= 0, obtemos a condi¸c˜ao extra}

(7.14) Ly0(a, ¯y(a), ¯y0(a)) = 0.

Sendo assim, para problemas com com fronteira livre, obtemos, além da equa¸cão de Euler–Lagrange, uma condi¸cão de contorno para ¯y no ex- tremo do intervalo [a, b], onde o problema não exige nenhuma restri¸cão. Tal condi¸cão surge naturalmente da formula¸cão variacional do problema de otimiza¸cão, sendo por isso denominada condi¸cão de contorno natural. Resumindo, para que ¯y seja solu¸cão do problema

         Minimizar I(y) := Z b a L(t, y(t), y0(t)) dt sujeito a y _{∈ {y ∈ C}1_{[a, b]}_{| y(b) = y} b}

é necessário que ¯y seja solu¸cão do problema de valor de contorno (

Ly(t, y, y0)− d_dtLy0(t, y, y0) = 0

y(b) = yb, Ly0(a, y(a), y0(a)) = 0.

Note que, como ocorre no Teorema 131, obtemos uma condi¸cão necessária expressa na forma (impl´ıcita) de uma equa¸cão diferencial de segunda or- dem (equa¸cão de Euler–Lagrange) com duas condi¸cões de contorno. ₂

150 [CAP. 7: CÁLCULO VARIACIONAL As hipóteses ¯y ∈ C2_{[a, b] e L} _{∈ C}2_{([a, b]}_{× R}2_{; R) são demasiado} restritivas e devem ser enfraquecidas. Esta considera¸cão nos leva a ana- lisar uma aplica¸cão do lema de du Bois–Reymond diferente da utilizada na obten¸cão da equa¸cão (7.10) (veja exerc´ıcio 7.3).

Teorema 133. Seja L : [a, b]_{× R × R → R continuamente diferenci´avel} e ¯y _{∈ C}1_{[a, b] um m´ınimo local fraco para o problema (7.2). Ent˜}_{ao, a} aplica¸c˜ao

[a, b]_{3 t 7−→ L}y0(t, ¯y(t), ¯y0(t))∈ R

é continuamente diferenciável e ¯y é solu¸cão do problema de valor de contorno (7.12) no Teorema 131.

Demonstra¸cão: Repetindo a argumenta¸cão feita na demonstra¸cão do Teorema 131, obtemos para η∈ C1

0[a, b] (7.15)

Z a b

[Ly(t, ¯y(t), ¯y0(t)) η(t) + Ly0(t, ¯y(t), ¯y0(t)) η0(t)] dt = 0.

Integrando por partes e observando que η(a) = η(b) = 0, segue que Z b a · − Z t a Ly(s, ¯y(s), ¯y0(s)) ds + Ly0(t, ¯y(t), ¯y0(t)) ¸ η0(t) dt = 0. O Lema 128 implica na existˆencia de uma constante c que safisfaz (7.16) ₋

Z t a

Ly(s, ¯y(s), ¯y0(s)) ds + Ly0(t, ¯y(t), ¯y0(t)) = c, t∈ [a, b].

Como a aplica¸c˜ao

[a, b]_{3 t 7−→ −} Z t

Ly(s, ¯y(s), ¯y0(s)) ds∈ R é continuamente diferenciável, segue de (7.16) que a aplica¸cão

[a, b]_{3 t 7−→ L}y0(t, ¯y(t), ¯y0(t))∈ R

também é continuamente diferenciável (apesar de exigirmos apenas ¯y_∈ C1_{[a, b]). Podemos então derivar em rela¸cão a t a expressão (7.16),} obtendo assim a equa¸cão de Euler–Lagrange.3

3_N˜_{ao ´e poss´ıvel deduzir a equa¸c˜}_{ao de Euler–Lagrange integrando (7.15) por}

partes, como na demonstra¸cão do Teorema 131, pois para diferenciar a aplica¸cão t 7→ Ly0(t, ¯y(t), ¯y0(t)) é preciso usar a regra de cadeia e a fun¸cão ¯y, envolvida na

composi¸cão, não é suficientemente regular. Entretanto, é poss´ıvel provar a diferen- ciabilidade de ¯y0 _{em todo t}

0∈ [a, b] com Ly0y0(t0, ¯y(t0), ¯y0(t0)) 6= 0, caso L seja uma

[SEC. 7.3: EQUAÇ ÃO DE EULER–LAGRANGE 151 As consideracões feitas na Observa¸cão 132 sobre as condi¸cões de contorno naturais continuam válidas no caso L _{∈ C}1, ¯y _{∈ C}1, como o leitor pode facilmente verificar.

Defini¸cão 134. As solu¸cões da equa¸cão diferencial de Euler–Lagrange (sem condi¸cão de contorno) são denominadas fun¸cões estacionárias ou extremais, independente do fato de serem ou não solu¸cões do problema

variacional. ₂

Observa¸cão 135. Suponha que L é uma aplica¸cão continuamente dife- renciável e que y∈ Yadé uma fun¸cão estacionária. Integrando a equa¸cão de Euler–Lagrange, obtemos

(7.17) Ly0(t, y, y0) =

Z t a

Ly(s, y(s), y0(s)) ds + const.

Fazendo a hip´otese extra y _{∈ C}2[a, b], segue da equa¸c˜ao de Euler– Lagrange d dtL(t, y, y0) = Lt(t, y, y0) + Ly(t, y, y0)y0 + Ly0(t, y, y0)y00 = Lt(t, y, y0) + d dt[Ly(t, y, y 0_)y0_], que pode ser reescrito como

Lt(t, y, y0) = d

dt[L(t, y, y

0₎_{− y}0_L

y(t, y, y0)]. Integrando esta express˜ao, obtemos a equa¸c˜ao

(7.18) L(t, y, y0) _{− y}0Ly(t, y, y0) = Z t

Lt(s, y(s), y0(s)) ds + const. que é conhecida como primeira integral da equa¸cão de Euler–Lagrange. Note a semelhan¸ca com a equa¸cão (7.17) e também o fato da exigência ¯

y_{∈ C}2[a, b] n˜ao aparecer explicitamente na equa¸c˜ao.

A equa¸cão (7.18) pode ainda ser deduzida no caso geral em que o extremal y é uma fun¸cão apenas C1[a, b]. Uma demonstra¸cão simples, porém trabalhosa, pode ser encontrada em [Tr, Cap´ıtulo 6]. Essa demonstra¸cão é levada a cabo acoplando-se a abordagem variacional com mudan¸cas de coordenadas convenientes.

No caso autônomo, i.e., quando a fun¸cão L = L(y, y0) não depende explicitamente de t, é poss´ıvel obter a equa¸cão (7.18) para extremais

152 [CAP. 7: C´ALCULO VARIACIONAL y ∈ C1_{[a, b] de uma forma simples. De fato, da equa¸c˜ao de Euler–} Lagrange segue que

0 = y0 · Ly(y, y0) − d dtLy0(y, y 0₎¸

= Lt(y, y0) + y0Ly(y, y0) ± y00Ly0(y, y0) − y0 d

dtLy0(y, y 0₎ = d dtL(y, y 0₎ ₋ d dt[y 0_L y0(y, y0)].

Integrando esta última expressão, obtemos a equa¸cão (7.18) para o caso autônomo

L(y, y0) _{− y}0Ly0(y, y0) = const.

2 Os três exemplos a seguir ilustram como a equa¸cão de Euler–Lagrange é utilizada para determinar a solu¸cão de alguns problemas clássicos do cálculo variacional. São esses: determina¸cão de geodésicas no plano; determina¸cão de geodésicas na esfera; a Braquistócrona (ver Seçcão 1.2.7). Exemplo 136. Analisamos o problema de encontrar, dados dois pontos (t0, y0) e (t1, y1) no plano, a curva de menor comprimento que os une. Representamos as curvas admiss´ıveis com parametriza¸cões do tipo

y : [t0, t1]3 t 7→ y(t) ∈ R ; y(t0) = y0, y(t1) = y1.

Supondo as curvas admiss´ıveis continuamente diferenci´aveis, obtemos o seu comprimento pela express˜ao

J(y) := Z t1

1 + y0_{(t) dt.} Podemos ent˜ao resumir o problema como:

         Minimizar J(y) = Z t1 t0 L(t, y(t), y0(t)) dt sujeito a y_{∈ {C}1[t0, t1]| y(t0) = y0, y(t1) = y1}

onde L(t, y, y0) = (1 + (y0)2)1/2. Da equa¸c˜ao de Euler–Lagrange obtemos 0 = Ly − d dtLy0 = 0 − d dt · _y₀ (1 + (y0₎2₎1/2 ¸ .

[SEC. 7.3: EQUAC¸ ˜AO DE EULER–LAGRANGE 153 t t=a

Meridianos

(t,y(t))

P

Q

t=b

Figura 7.1: Curva admiss´ıvel unindo os pontos P e Q.

Logo,

(1 + (y0₎2₎1/2 = const.,

o que implica em y0 constante, ou em y ser linear. ₂ Exemplo 137. Consideramos agora o problema de, fixados dois pontos P e Q na superf´ıcie da esfera de raio r, encontrar a curva de menor comprimento que os une. Estando a esfera centrada na origem, parame- trizamo-a localmente pelas coordenadas:

r(cos t cos y, sin t cos y, sin y) com t_{∈ (0, 2π), y ∈ (−}π 2,

π 2). São consideradas apenas curvas que cortem cada meridiano em apenas um ponto. Tais curvas podem ser parametrizadas usando a latitude t como parâmetro. A longitude y de um ponto da curva é dada por uma fun¸cão y(t) da variável independente t (veja Figura 7.1). Uma curva é então representada por

[a, b]_{3 t 7−→ r(cos t cos y(t), sin t cos y(t), sin y(t)) ∈ R}3.

Suponha que os pontos a serem unidos sejam parametrizados por: (a, ya), (b, yb). Quando y é continuamente diferenciável, o comprimento da curva correspondente é dado por

I(y) = Z b

154 [CAP. 7: C´ALCULO VARIACIONAL Logo, L(t, y, y0) = r(cos2y(t) + y0(t)2)1/2 e da primeira integral da equa¸c˜ao de Euler (7.18) obtemos a identidade

− cos2y = Apcos2_{y + (y}0₎2_, onde A ´e constante. Obviamente A∈ (−1, 0) e ainda

A2(y0)2 = cos4y− A2cos2y. Usando separa¸c˜ao de vari´aveis, temos

A dy

(cos4_y_{− A}2_cos2_y)1/2 = dt.

Logo, _Z

A dy

cos y(cos2_y_{− A}2₎1/2 = ±(t − a) + B,

onde B ´e constante. Fazendo a mudan¸ca de vari´aveis u = tan y, obtemos finalmente

y(t) = arctan( √

1_{− A}2

A sin(±(t − a) + B)),

sendo as constantes A e B determinadas a partir dos dados a, b, ya, yb. Note que o equador ¯y = 0 (A = _{−1) é um extremal. Contudo, se} b− a > π, uma das partes do equador não é o caminho mais curto. Tal fato nos leva a concluir que pequenas partes desta curva determinam o caminho mais curto, enquanto que longas partes não o fazem.4

2 Exemplo 138 (Braquistócrona). Voltamos agora a tratar do problema apresentado na Seçcão 1.2.7. Como já foi visto, o problema de encontrar a curva de tempo m´ınimo se deixa formular como

         Minimizar J(y) := Z x1 x0 µ 1 + (y0₎2 2gy + c ¶1/2 dx sujeito a y_{∈ {C}1_[x 0, x1]| y(x0) = y0, y(x1) = y1}

4_{O tratamento de problemas como o surgido neste exemplo foi motivo de inves-}

tiga¸cão por Carl Jacobi, que através da teoria de campos de extremais conseguiu esclarecer quando uma fun¸cão estacionária deixa de ser solu¸cão do problema variacional. Maiores detalhes podem ser encontrados em [Tr, Cap´ıtulo 9].

[SEC. 7.3: EQUAÇ ÃO DE EULER–LAGRANGE 155 onde g é a constante gravitacional e c = cg,v0,y0 é a energia total do

corpo (cinética + potencial) no instante inicial. Note que o integrando é autônomo, i.e. L = L(y, y0_{). Logo, segue da primeira integral da} equa¸cão de Euler (7.18) que

const. = L(y, y0)_{− y}0Ly0(y, y0) = (1 + (y

0₎2₎1/2 (2gy + c)1/2 − y0

(1 + (y0₎2₎−1/2 (2gy + c)1/2 y0. Após alguma manipula¸cão algébrica, obtemos a equa¸cão diferencial (7.19) (2gy + c) (1 + (y0)2) = const.

Fazendo a hip´otese simplificadora c = 0 (que corresponde ao caso particular v0 = y0 = 0), obtemos no lugar de (7.19) a equa¸c˜ao diferencial (7.20) y (1 + (y0)2) = A.

(Compare com a equa¸cão (1.41), obtida na Seçcão 1.2.7 a partir do princ´ıpio de refra¸cão de Fermat.) Para resolver esta equa¸cão diferencial supomos o extremal y da forma

y(x) = A sin2(1₂θ(x)).

Substituindo em (7.20), obtemos y0 ₌p_(A_{− y)/y. De onde segue}

A sin(θ₂) cos(θ₂) dθ dx =

cos(₂θ) sin(θ₂). Portanto, dx = A sin2(θ₂)dθ, ou ainda

x = B + 1

2A (θ− sin θ).

Sendo assim, obtemos para o extremal y a seguinte parametriza¸c˜ao: γ : [θ0, θ1]3 θ 7−→ (b + a(θ + sin θ), a(1 + cos θ)) ∈ R2,

onde os parâmetros a, b são determinados pelas condi¸cões de contorno γ(θ0) = (x0, y0), γ(θ1) = (x1, y1). A curva descrita pela parametriza¸cão acima é conhecida por ciclóide (veja Figura 1.4). ₂

156 [CAP. 7: C´ALCULO VARIACIONAL

No documento Introdução à Teoria de Controle e Programação Dinâmica (páginas 161-170)