Se o sistema (A, , C) ´e observ´avel (em [t0, t1]), faz sentido pensar na reconstru¸c˜ao do estado inicial z0 a partir do vetor de observa¸c˜ao y. Uma primeira tentativa ´e utilizar um operador de reconstru¸c˜ao linear que seja, na medida do poss´ıvel, insens´ıvel a interferˆencias no vetor de observa¸c˜ao y.
36 [CAP. 2: OBSERVABILIDADE Nesse sentido definimos o operador de reconstru¸c˜ao
(2.8) z0 =
Z t1
t0
R(t) y(t) dt,
onde a fun¸c˜ao matricial R ´e denominada n´ucleo de reconstru¸c˜ao do sis- tema. Para esse esquema de reconstru¸c˜ao particular temos o seguinte resultado:
Teorema 16. Seja (A, , C) um sistema observ´avel em [t0, t1] (n˜ao ne- cessariamente autˆonomo). Ent˜ao a fun¸c˜ao matricial
R(t) := W (t0, t1)−1ΦA(t, t0)∗C(t)∗, t∈ [t0, t1],
define um n´ucleo de reconstru¸c˜ao para o sistema (A, , C). A aplica¸c˜ao
<(y) := Z t1
t0
R(t) y(t) dt
´e linear, cont´ınua e est´a bem definida de C([t0, t1]; Rl) em Rn.
Demonstra¸c˜ao: Do Teorema 7, sabemos que W (t0, t1) ´e invers´ıvel, por- tanto a fun¸c˜ao R (e conseq¨uentemente a aplica¸c˜ao<) est´a bem definida. Note ainda que
Z t1 t0 R(t) y(t) ds = Z t1 t0 R(t) C ΦA(t, t0) z0ds = z0,
provando que R satisfaz (2.8). A linearidade da aplica¸c˜ao < ´e ´obvia e sua continuidade segue da desigualdade
| Z t1 t0 R(t) y(t) dt| ≤ c max t∈[t0,t1]|y(t)| = c kyk∞ .
Observa¸c˜ao 17. ´E poss´ıvel ainda demonstrar que a aplica¸c˜ao< definida acima ´e cont´ınua quando definida em L2([t0, t1]; Rn). Mais ainda, entre todos os n´ucleos de reconstru¸c˜ao lineares definidos em L2([t0, t1]; Rn), a fun¸c˜ao definida acima ´e a de menor norma. 2
EXERC´ICIOS 37
Observa¸c˜ao 18 (Observabilidade de sistemas n˜ao lineares). En- cerramos este cap´ıtulo mencionando uma importante ´area de pesquisa atual relacionada a sistemas n˜ao lineares. Uma nova teoria de obser- vabilidade para sistemas n˜ao lineares foi desenvolvida nos anos 90 por J.P.Gauthier e I.Kupka [GaKu, GaKu1, GaKu2, JoGa]. Os autores con- sideram sistemas com dinˆamicas e fun¸c˜oes de output ambas autˆonomas e C∞, a fim de definir um novo conceito de observabilidade atrav´es da medida de conjuntos especiais na pr´e-imagem da aplica¸c˜ao input-output correspondente ao sistema [GaKu, Cap´ıtulo 2]. Particularmente interes- sante ´e o caso em que a aplica¸c˜ao estado-inicial → trajet´oria-output n˜ao ´e regular. Os autores estendem um conceito (aplica¸c˜ao finita) da teoria cl´assica de singularidades para a aplica¸c˜ao estado-inicial → trajet´oria- output [JoGa], obtendo assim novos resultados relativos `a observabili-
dade do sistema [GaKu, Cap´ıtulo 5]. 2
Exerc´ıcios
2.1. Considere o sistema (A, B, C) com
A = −1 1 0 0 −1 0 0 0 −2 , B = 0 1 1 , C = ¡ 1 1 1 ¢.
Encontre (se poss´ıvel) uma condi¸c˜ao inicial z0 de modo que a sa´ıda do sistema seja da forma y(t) = te−t.
2.2. Considere o sistema (A, , C) com A = µ −2 0 0 3 ¶ , C = ¡ a b ¢,
onde a, b ∈ R. Sabendo que z0 6= 0 e que a sa´ıda y(t) ´e medida apenas nos instantes t2 > t1 > 0, encontre os valores de a e b para os quais ´e poss´ıvel determinar o estado inicial z0 a partir das observa¸c˜oes y(t1) e y(t2).
2.3. Considere o sistema (A, , C) com A = µ 0 1 t−2 −t−1 ¶ , C = ¡ 0 1 ¢.
Calcule a matriz de transi¸c˜ao do sistema z0 = Az. Mostre que (A, , C) ´e observ´avel.
38 EXERC´ICIOS
2.4. Considere um modelo de compartimentos (veja Sec¸c˜ao 1.2.6) des- crito pelo sistema (A, B, C), com
A = −a1 b1 0 a1 −(a2+ b1) b2 0 a2 −b2 , B = 0 0 1 , C = ¡ 1 0 0 ¢.
Verifique a observabilidade do sistema.
2.5. Demonstre as afirma¸c˜oes feitas na Observa¸c˜ao 13. 2.6. Considere o sistema (A, , C) com
A = µ −2 0 −1 −1 ¶ , C = ¡ 0 1 ¢. a) Mostre que o sistema ´e observ´avel.
Cap´ıtulo 3
Controlabilidade
Neste cap´ıtulo estudamos prioritariamente o problema de determi- nar como e quando um estado espec´ıfico pode ser atingido por um sis- tema a partir da escolha de uma estrat´egia de controle apropriada. Na Sec¸c˜ao 3.2 estudamos a rela¸c˜ao existente entre os conceitos de observa- bilidade e controlabilidade de sistemas lineares. No Sec¸c˜ao 3.5 encon- tramos a solu¸c˜ao de uma fam´ılia especial de problemas de controle ´otimo associados com sistemas lineares autˆonomos. Na Sec¸c˜ao 3.6 tratamos da controlabilidade de sistemas com restri¸c˜oes na vari´avel de controle. Na Sec¸c˜ao 3.7 analisamos uma fam´ılia particular de problemas, cujas solu¸c˜oes s˜ao os controles denominados Bang–Bang.
3.1
Sistemas Lineares
Consideramos um sistema linear de controle da forma (A, B, C) z0 = A(t) z + B(t) u
(3.1)
y = C(t) z (3.2)
onde as vari´aveis z, y e u possuem, como na Sec¸c˜ao 2.1, a seguinte interpreta¸c˜ao:
z : [t0, t1]→ Rn : vetor das vari´aveis de estado;
u : [t0, t1]→ Rm : vetor das vari´aveis de controle (entrada); y : [t0, t1]→ Rl : vetor de observa¸c˜ao (sa´ıda).
O efeito das vari´aveis de controle sobre a dinˆamica do sistema ´e modelado unicamente na equa¸c˜ao (3.1), sendo desnecess´ario considerar a
40 [CAP. 3: CONTROLABILIDADE equa¸c˜ao de observa¸c˜ao y = C(t)z. Adotamos assim a nota¸c˜ao abreviada (A, B) para representar o sistema de controle descrito nas equa¸c˜oes (3.1), (3.2).
A menos que se afirme o contr´ario, as fun¸c˜oes matriciais A : [t0, t1]→ Rn,n, B : [t0, t1]→ Rn,m
s˜ao consideradas cont´ınuas neste cap´ıtulo. A matriz de transi¸c˜ao do sistema z0 = A(t)z (veja Defini¸c˜ao 256) ´e representada por ΦA(·, ·). Como controles admiss´ıveis consideramos as fun¸c˜oes1
u ∈ L1([t0, t1]; Rm).
Podemos agora introduzir formalmente o conceito de controlabilidade, mencionado no Cap´ıtulo 1.
Defini¸c˜ao 19. O sistema (A, B) ´e dito control´avel em [t0, t1] quando, para todo par de estados z0, z1 ∈ Rn, existe um controle u ∈ L1([t0, t1]; Rm) de forma que a solu¸c˜ao z do problema de valor inicial
z0 = A(t) z + B(t) u(t), z(t0) = z0
satisfaz tamb´em a condi¸c˜ao de contorno z(t1) = z1. 2 Observa¸c˜ao 20. Quando a fun¸c˜ao u∈ L1([t
0, t1]; Rm) controla a evolu- ¸c˜ao do estado z a partir do estado inicial z0 ∈ Rnat´e o estado final z1 ∈ Rn atrav´es da dinˆamica z0 = A(t)z + B(t)u(t), conforme a Defini¸c˜ao 19, usamos a nota¸c˜ao abreviada
(t0, z0)7−→ (tu 1, z1).
2 Observa¸c˜ao 21. Note que o Teorema 258 garante que um controle u satisfaz (t0, z0) 7−→ (tu 1, z1), se e somente se z1 = ΦA(t1, t0) z0 + Z t1 t0 ΦA(t1, s) B(s) u(s) ds. 2
1O espa¸co das fun¸c˜oes localmente integr´aveis de [0, ∞) em Rm´e definido por
L1loc([0, ∞); Rm) := {u ∈ L1([t0, t1]; Rm) para todos 0 ≤ t0 ≤ t1< ∞}.
Por defini¸c˜ao, toda fun¸c˜ao u ∈ L1([t
0, t1]; Rm) possui uma exten¸c˜ao trivial ˜u ∈
L1
loc([0, ∞); R m).
[SEC. 3.1: SISTEMAS LINEARES 41 Existem ainda outras formas equivalentes de se definir a controlabi- lidade de sistemas lineares. Este ´e o resultado do teorema a seguir. Teorema 22. Dado o sistema linear de controle (A, B), s˜ao equivalentes as seguintes afirma¸c˜oes:
a) O sistema (A, B) ´e control´avel em [t0, t1];
b) Para todo z1 ∈ Rn existe uma fun¸c˜ao u ∈ L1([t0, t1]; Rm) satis- fazendo:
(t0, 0) 7−→ (tu 1, z1) ;
c) Para todo z0 ∈ Rn existe uma fun¸c˜ao u ∈ L1([t0, t1]; Rm) satis- fazendo:
(t0, z0) 7−→ (tu 1, 0) ;
Demonstra¸c˜ao: As implica¸c˜oes a) =⇒ b) e a) =⇒ c) s˜ao imediatas. As demais implica¸c˜oes decorrem basicamente da Observa¸c˜ao 21. De fato, b) =⇒ a) Sejam z0, z1∈ Rn. Escolha u∈ L1([t0, t1]; Rm) tal que
(t0, 0) 7−→ (tu 1, z1− ΦA(t1, t0)z0). Logo, z1 − ΦA(t1, t0) z0 = ΦA(t1, t0) 0 + Z t1 t0 ΦA(t1, s) B(s) u(s) ds e portanto (t0, z0)7−→ (tu 1, z1).
c) =⇒ a) Sejam z0, z1∈ Rn. Escolha u∈ L1([t0, t1]; Rm) tal que (t0, z0− ΦA(t1, t0)−1z1) 7−→ (tu 1, 0). Logo, 0 = ΦA(t1, t0)(z0 − ΦA(t1, t0)−1z1) + Z t1 t0 ΦA(t1, s) B(s) u(s) ds, provando que (t0, z0)7−→ (tu 1, z1).
Observa¸c˜ao 23. A propriedade descrita no item c) do Teorema 22 ´e usualmente denominada na literatura por controlabilidade ao zero. 2 Uma an´alise sobre controlabilidade (assim como observabilidade) de sistemas de controle n˜ao lineares pode ser encontrada em [LeMa]. En- tretanto, os autores consideram somente sistemas de controle do tipo autˆonomo.
42 [CAP. 3: CONTROLABILIDADE