Extremais Diferenci´aveis por Partes - Introdução à Teoria de Controle e Programação Dinâmica

Na Seçcão 7.3 consideramos como admiss´ıveis apenas as fun¸cões continuamente diferenciáveis. Essa hipótese é bastante restritiva e faz com que determinados problemas variacionais não possuam solu¸cão (veja Exemplo 139). Nesta seçcão exigimos menos regularidade dos candidatos à solu¸cão do problema variacional e obtemos novamente um conjunto de condi¸cões necessárias para otimalidade.

Exemplo 139. Considere o problema variacional com integrando L(t, y(t), y0(t)) := (1_{− (y}0)2)2.

Obviamente temos L(t, y, y0_{) = 0 quando} _|y0_{| = 1 e L(t, y, y}0_{) > 0, caso} contrário. Portanto, as fun¸cões com derivada igual a±1 por partes, são as candidatas naturais à solu¸cão do problema variacional

         Minimizar I(y) := Z b a (1_{− [y}0(t)]2)2dt sujeito a y∈ Yad :={y ∈ C1[0, 1] | y(0) = y0, y(1) = y1}.

Entretanto, apenas para poucos pares de condi¸cões de contorno_{y0, y1} existe uma solu¸cão C1[0, 1] para o problema variacional. Em muito maior número são as condi¸cões iniciais para as quais o problema variacional admite solu¸cões apenas cont´ınuas, do tipo zig-zag. ₂ O Exemplo 139 ilustra a necessidade de definirmos classes de fun¸cões, que são cont´ınuas a menos de um núnero finito de pontos.

Defini¸cão 140. Uma fun¸cão y : [a, b]_{→ R é denominada cont´ınua por} partes, nota-se y _{∈ ˆ}C[a, b], quando existe uma parti¸cão a = t0 <· · · < tn+1= b tal que, para todo i = 0, . . . , n, a restri¸cão y|(ti,ti+1)possui uma

extens˜ao cont´ınua ao intervalo [a, b].

Uma fun¸cão cont´ınua y : [a, b] _{→ R é denominada cont´ınuamente} diferenciável por partes, nota-se y∈ ˆC1[a, b], quando existe uma parti¸cão a = t0 < · · · < tn+1 = b tal que, para todo i = 0, . . . , n, a restri¸cão y_|_(t_i_,t_i+1₎ possui uma extensão continuamente diferenciável ao intervalo

[a, b]. ₂

Observa¸cão 141. Os conjuntos ˆC[a, b] e ˆC1[a, b] são espa¸cos vetoriais (normalisáveis) sobre R. Como ˆC1_{[a, b]}_{⊂ C[a, b], então k·k}

[SEC. 7.4: EXTREMAIS DIFERENCI ´AVEIS POR PARTES 157 norma em ˆC1[a, b]. Entretanto, de especial interesse para este espa¸co ´e a norma definida por

||f||1,∞ := max

t∈[a,b]|f(t)| + maxt∈[a,b]|f 0_(t)_|.

E importante ressaltar que o espa¸co vetorial normado assim obtido não é completo (Banach) com a topologia induzida pela norma _{|| · ||}_1,∞. (O número de pontos de descontinuidade em uma sequência de fun¸cões

pode se tornar ilimitado.) ₂

No lema a seguir é apresentada uma versão do teorema fundamental do cálculo, que é utilizada no decorrer da seçcão.

Lema 142. Seja y_{∈ ˆ}C1_{[a, b]. Ent˜}_{ao vale a identidade} y(t) = y(a) +

Z t a

y0(s) ds, t_{∈ [a, b].}

Demonstra¸cão: Note que y0 é cont´ınua a menos de um número finito de pontos, portanto existe a integral (de Riemann)

Z t a

y0(s) ds, t∈ [a, b].

Sejam t1, . . . , tn os pontos de descontinuidade de y0. Para t∈ [tk, tk+1], temos

y(t) _{− y(a) = y(t) − y(t}k) + k−1 X l=0 [y(tl+1)− y(tl)] = Z t tk y0(s) ds + k−1 X l=0 Z tl+1 tl y0(s) ds = Z t a y0(s) ds.

Corol´ario 143. Seja y_{∈ ˆ}C1_{[a, b]. S˜}_{ao verdadeiras as afirma¸c˜}_oes: a) Se R_aby0(s)2ds = 0, ent˜ao y0 ≡ 0;

b) Se y0(t) = 0 em todos os pontos t onde y é diferenciável, então y é constante.

158 [CAP. 7: C´ALCULO VARIACIONAL Demonstra¸c˜ao: Sejam t1, ..., tnos pontos de descontinuidade de y0, t0 = a e tn+1 = b. Da identidade 0 = Z b a y0(s)2ds = n X k=0 Z tk+1 tk y0(s)2ds, temos que y0_|_[t_k_,t_k+1_] = 0, 0_{≤ k ≤ n.}

Provando assim o item a). O item b) segue imediatamente do Lema 142.

O lema a seguir discute um modo de encontrar uma aproxima¸cão suave para uma fun¸cão diferenciável por partes, i.e., aproximar uma fun¸cão apenas ˆC1_{por outra C}1_{. ´}_{E importante observar que, no processo} descrito, a derivada da aproxima¸cão é mantida limitada pela derivada da fun¸cão original.

Lema 144. Seja ˆy _{∈ ˆ}C1_{[a, b] e t}

1, . . . , tn os pontos de descontinuidade de ˆy0_{. Ent˜}_{ao, ´e poss´ıvel encontrar constantes A} _{∈ R e δ}₀ _{> 0 tais que,} para todo δ∈ (0, δ0), existe y∈ C1[a, b] satisfazendo

a) y_|R= ˆy, onde R = [a, b]\Snl=0[tl− δ, tl+ δ]; b) max t∈[a,b]|y 0_(t)_{| ≤ 4 max} t∈[a,b]|ˆy 0_(t)_|; c) max

t∈[a,b]|y(t) − ˆy(t)| ≤ Aδ.

Demonstra¸c˜ao: Basta provar o resultado para parti¸c˜oes com apenas um ponto ˆt. Escolha δ0 > 0 tal que [ˆt− δ0, ˆt + δ0]⊂ (a, b). Seja δ ∈ (0, δ0).

A idéia por trás da suaviza¸cão consiste em substituir a derivada ˆy0 por uma poligonal cont´ınua em [ˆt_{− δ, ˆt+ δ] e não alterar ˆy fora deste} intervalo. Dada uma constante h∈ R, defina a fun¸cão

g(t) :=    ˆ y0(t) , _{|t − ˆt| > δ} −(t − ˆt)δ−1_y_ˆ0_(ˆ_t_{− δ) + (t − ˆt+ δ)δ}−1_{h , t}_{∈ [ˆt− δ, ˆt]} −(t − ˆt− δ)δ−1h + (t_{− ˆt)δ}−1yˆ0(ˆt + δ) , t_{∈ [ˆt, ˆt+ δ]} A partir da´ı, defina a fun¸c˜ao y∈ C1_{[a, b]}

y(t) := ˆy(a) + Z t

[SEC. 7.4: EXTREMAIS DIFERENCI ´AVEIS POR PARTES 159 ˆ t−δ ˆt ˆt+δ h g(t) ˆ y0_(t) A1 A2

Figura 7.2: Constru¸c˜ao da fun¸c˜ao g no Teorema 144

Escolhemos agora h, de modo que y = ˆy em [a, b]_{\[ˆt−δ, ˆt+δ], satisfazendo} assim a). Este ´e o caso quando a condi¸c˜ao

Z ˆt+δ ˆ t−δ g(s) ds = Z ˆt+δ ˆ t−δ ˆ y0(s) ds =: Aδ

´e satisfeita. Na Figura 7.2, observamos que isto equivale a exigir que as ´areas A1 e A2 sejam iguais. Note que Aδ= hδ +δ₂[ˆy0(ˆt− δ) + ˆy0(ˆt + δ)]. Escolhemos portanto h = Aδ δ − 1 2[ˆy 0_(ˆ_t_{− δ) + ˆy}0_(ˆ_{t + δ)].} Definindo agora M := max

t∈[a,b]|ˆy

0_(t)_{|, obtemos} |Aδ| ≤ 2δM e |h| ≤ 3M. Da defini¸c˜ao de g, segue agora para todo t_{∈ [a, b]}

|y0(t)_{| = |g(t)|}

≤ max{ |ˆy0(t)_{|, |ˆy}0(ˆt_{− δ)| + |h|, |h| + |ˆy}0(ˆt + δ)_{| }} ≤ M + |h| ≤ 4M,

provando assim b). Para determinar A em c), basta observar que |y(t) − ˆy(t)| ≤ Z t ˆ t−δ |y 0_(s)_{− ˆy}0_(s)_{| ds} ≤ Z _t+δˆ ˆ t−δ (|y0(s)| + |ˆy0(s)|) ds ≤ 10M δ e a demonstra¸c˜ao fica completa.

160 [CAP. 7: CÁLCULO VARIACIONAL Estamos agora em condi¸cões de obter condi¸cões necessárias para solu¸cões de classe ˆC1 de um problema variacional. Antes porém, ana- lisamos uma importante correspondência existente entre as solu¸cões do problema (7.2) e do problema (7.21)          Minimizar I(y) := Z b a L(t, y(t), y0(t)) dt sujeito a

y∈ ˆYad :={y ∈ ˆC1[a, b] | y(a) = ya, y(b) = yb}.

Para simplificar a nota¸cão, denominamos os problemas (7.2) e (7.21) por problemas (P ) e ( ˆP ) respectivamente. A fim de analisar as solu¸cões do problema ( ˆP ), observe que o conceito de m´ınimo local fraco na Defini¸cão 120 é naturalmente estendido ao problema ( ˆP ), bastando para isto substituir o espa¸co Yad por ˆYad naquela defini¸cão.

Teorema 145. Seja L : [a, b]_{× R × R → R uma aplica¸c˜ao cont´ınua. Se} ¯

y∈ Yad é um m´ınimo local fraco para o problema (P ), então ¯y também é m´ınimo local fraco para o problema ( ˆP ).

Demonstra¸cão: Se ¯y é m´ınimo local fraco de (P ), então existe ε > 0 tal que

I(¯y) _{≤ I(v), ∀v ∈ S}ε:={v ∈ Yad | kv − ¯yk1,∞< ε}.

Tome ˆy _{∈ ˆ}Yad com kˆy − ¯yk1,∞ < ε/5. Dado δ > 0 suficientemente pequeno, o Lema 144 garante a existˆencia de vε,δ ∈ C1[a, b] tal que

kvε,δ− vk∞ ≤ Aδ e kv0ε,δk∞ ≤ 4kv0k∞,

onde v := ˆy_{− ¯y ∈ ˆ}C1[a, b] e a constante A depende apenas de ˆy e ¯y. Definindo a fun¸c˜ao yε:= ¯y + vε,δ ∈ Yad, temos

kyε− ¯yk1,∞ = kvε,δk1,∞ = kvε,δk∞ + kvε,δ0 k∞ ≤ kvε,δ− vk∞ + kvk∞ + 4kv0k∞ ≤ Aδ + 4 kˆy − ¯yk1,∞

≤ Aδ + 4 ε 5 .

[SEC. 7.4: EXTREMAIS DIFERENCI ´AVEIS POR PARTES 161 Logo, yε∈ Sε se escolhermos δ < ε/5A. Temos ent˜ao que

I(ˆy)≥ I(yε) − |I(yε)− I(ˆy)|

≥ I(¯y) − |I(¯y + vε,δ)− I(¯y + v)| ≥ I(¯y) − Z ˆt+δ ˆ t−δ |L(t, ¯y + vε,δ , (¯y + vε,δ)0) − |L(t, ¯y + v, (¯y + v)0)_{| dt.}

Tomando o limite quando δ _{→ 0, a integral do lado direito converge a} zero e obtemos I(ˆy)_{≥ I(¯y).}

Resumindo, o Teorema 145 garante que toda solu¸cão C1 _{é também} uma solu¸cão ˆC1 do problema variacional. Um resultado análogo para m´ınimos globais pode também ser formulado, assim como resultados relativos a problemas em que faltam condi¸cões de contorno (veja Ob- serva¸cão 132).

A rec´ıproca do Teorema 145 n˜ao ´e verdadeira, conforme ilustra o exemplo a seguir.

Exemplo 146. Considere a fun¸cão L(t, y, y0) := y2(1− y0₎2 _{definida em} [a, b] = [_{−1, 1], e as condi¸cões de contorno y}a = 0, yb = 1. Observe que a fun¸cão ¯ y(t) := ½ 0 , t≤ 0 t , t_{≥ 0}

é um m´ınimo global de I em ˆYad, pois I(¯y) = 0. Verificamos a seguir que não existe outro m´ınimo global. Suponha que y ∈ ˆYad é um outro m´ınimo. Como y(1) = 1, o escalar α definido por

α := inf_{{β ∈ [−1, 1] | y(t) > 0, β < t ≤ 1}}

necessariamente satisfaz α _{∈ [−1, 1]. Da identidade I(y) = I(¯y) = 0,} obtemos y0_{(t) = 1, para t}_{∈ (α, 1], i.e.}

y(t) = t, t_{∈ [α, 1].}

Como y ´e cont´ınua, segue da defini¸c˜ao de α que α = 0. Logo, y(t) = t, t_{∈ [0, 1].}

Note agora que y(_{−1) = y(0) = 0. Note ainda que, para todo t ∈ (−1, 0)} com y(t)6= 0, temos necessariamente y0_{(t) = 1. Podemos então concluir} que y(t) = 0, t_{∈ [−1, 0]. Sendo assim, o problema variacional não possui} solu¸cão em Yad e a única solu¸cão em ˆYad é a fun¸cão ¯y. 2

162 [CAP. 7: CÁLCULO VARIACIONAL O próximo teorema fornece as desejadas condi¸cões necessárias para otimalidade do problema variacional ( ˆP ).

Teorema 147. Seja L : [a, b]× R × R continuamente diferenci´avel e ˆ

y_{∈ ˆ}Yad um m´ınimo local fraco para o problema ( ˆP ). Ent˜ao, existe uma constante c_{∈ R tal que}

(7.22) L_y0(t, ˆy(t), ˆy0(t)) =

Z t a

Ly(s, ˆy(s), ˆy0(s)) ds + c, t∈ [a, b] e ainda

(7.23) L_y0(t, ˆy(t−), ˆy0(t−)) = L_y0(t, ˆy(t+), ˆy0(t+)), t∈ (a, b).

Demonstra¸cão: Dado ε0 > 0, escolha η∈ ˆC1[a, b] com η(a) = η(b) = 0. Como ˆy é m´ınimo local, temos δI(ˆy; η) = 0. Da hipótese de diferencia- bilidade de L, segue que 0 = δI(ˆy; η) = _dεdI(ˆy + εη)|ε=0, i.e.

Z b a

[ Ly(s, ˆy(s), ˆy0(s)) η(s) + Ly0(s, ˆy(s), ˆy0(s)) η0(s) ] ds = 0.

Integrando por partes, obtemos (7.24) Z b a · − Z s a Ly(r, ˆy(r), ˆy0(r)) dr + Ly0(s, ˆy(s), ˆy0(s)) ¸ η0(s) ds = 0. Escolhemos agora a constante c (usando o teorema do valor m´edio) de forma que a fun¸c˜ao v_{∈ ˆ}C1_{[a, b] definida por}

v(t) := Z t a · − Z s a Ly(r, ˆy(r), ˆy0(r)) dr + Ly0(s, ˆy(s), ˆy0(s)) − c ¸ ds satisfa¸ca a condi¸c˜ao v(a) = v(b) = 0.

Tomando agora f (s) := ₋R_as Ly(r, ˆy(r), ˆy0(r)) dr + Ly0(s, ˆy(s), ˆy0(s)),

s_{∈ [a, b], segue da equa¸c˜ao (7.24)} Z b a v0(s)2ds = Z b a [f (s)_{− c]}2ds = Z b a f (s) [f (s)_{− c] ds − c} Z b a [f (s)_{− c] ds} = 0 − c Z b a f (s) ds + c2(b− a) = 0.

[SEC. 7.4: EXTREMAIS DIFERENCI ´AVEIS POR PARTES 163 O Corol´ario 143 nos permite concluir que v0≡ 0 em [a, b], ou seja

(7.25) Ly0(t, ˆy(t), ˆy0(t)) =

Z t a

Ly(s, ˆy(s), ˆy0(s)) ds + c, t∈ [a, b].

Para provar a segunda parte do teorema, basta observar que (7.25) im- plica na continuidade da aplica¸c˜ao t_{7→ L}y0(t, ˆy(t), ˆy0(t)) em [a, b].

Corolário 148. Seja L : [a, b]_{×R×R → R continuamente diferenciável} e ˆy ∈ ˆYad um m´ınimo local fraco para o problema ( ˆP ). Então, ˆy satisfaz a equa¸cão de Euler–Lagrange nos pontos t_{∈ (a, b) de continuidade} de ˆy0_.

Demonstra¸cão: De fato, se ˆy0 é cont´ınua no ponto t ∈ (a, b), segue de (7.22) que a aplica¸cão

s7−→ Ly0(s, ˆy(s), ˆy0(s))

é continuamente diferenciável em uma vizinhan¸ca de t. A Equa¸cão de Euler–Lagrange segue agora derivando-se (7.22), como na demonstra¸cão do Teorema 133.

Resumindo, o Teorema 147 garante que um m´ınimo local fraco do problema ( ˆP ) satisfaz a equa¸cão de Euler–Lagrange nos pontos de continuidade de sua derivada. Além disso, as únicas descontinuidades admiss´ıveis em um m´ınimo local fraco são aquelas que preservam a continuidade da aplica¸cão

t _{7−→ L}y0(t, ˆy(t), ˆy0(t)).

A condi¸cão formulada em (7.23) é denominada condi¸cão de Weierstraß–Erdmann. É poss´ıvel ainda provar que um m´ınimo local fraco do problema ( ˆP ) satisfaz a primeira integral de equa¸cão de Euler– Lagrange e que a aplica¸cão

t _{7−→ L(t, ˆy(t), ˆy}0(t)) _{− ˆy}0(t) Ly0(t, ˆy(t), ˆy0(t))

é cont´ınua. Esta última condi¸cão é denominada segunda condi¸cão de Weierstraß–Erdmann.

164 [CAP. 7: C´ALCULO VARIACIONAL

No documento Introdução à Teoria de Controle e Programação Dinâmica (páginas 170-178)