Vimos, na Se¸c˜ao 1.1, que Kolmogorov axiomatizou a Teoria de Probabilidades por meio de uma fun¸c˜ao definida sobre uma ´algebra de conjuntos. Os textos matem´aticos, seguindo esta tradi¸c˜ao, geralmente fazem o mesmo. Por´em, no contexto l´ogico, ´e mais comum definir a fun¸c˜ao de probabilidades sobre o conjunto das senten¸cas de uma linguagem
formal do que sobre uma ´algebra de eventos. Algumas justificativas para esta op¸c˜ao s˜ao (Wil02):
• Como a l´ogica opera sobre senten¸cas, parece natural que uma proposta de l´ogica probabil´ıstica para o racioc´ınio pr´atico fa¸ca o mesmo;
• Na teoria matem´atica de probabilidades, frequentemente probabilidades s˜ao atribu´ı- das a valores de vari´aveis aleat´orias. E ´e mais natural pensar nestas express˜oes como senten¸cas da forma X = x do que como eventos da forma {ω ∈ Ω : X(ω) = x}. Neste sentido, axiomatizaremos a Teoria de Probabilidades atrav´es de uma fun¸c˜ao de probabilidade definida sobre as senten¸cas de LPC. Vamos considerar uma linguagem proposicional, que chamaremos de L, com um conjunto enumer´avel de senten¸cas atˆomicas (denotadas por letras latinas mai´usculas: A, B, C, . . . ) e senten¸cas moleculares formadas pelos conectivos usuais: ¬, ∨, ∧, →, ↔. Utilizaremos letras gregas min´usculas para metavari´aveis representando as senten¸cas de LPC: ϕ, ψ, . . .
Se ϕ for uma senten¸ca v´alida de LPC, denotaremos este fato por ` ϕ e, se ψ for uma consequˆencia de ϕ1, . . . , ϕn em LPC, denotaremos este fato por ϕ1, . . . , ϕn ` ψ.
Esta nota¸c˜ao ´e geralmente usada para denotar a rela¸c˜ao de consequˆencia sint´atica de LPC, mas como esta rela¸c˜ao ´e equivalente `a consequˆencia semˆantica e esta distin¸c˜ao n˜ao nos interessa, denotaremos desta maneira. No entanto, quando precisarmos justificar a ocorrˆencia de uma rela¸c˜ao cl´assica de consequˆencia, utilizaremos a semˆantica bivalorada. Se tivermos ` ¬(ϕ ∧ ψ), diremos que ϕ e ψ s˜ao logicamente incompat´ıveis. Estamos assumindo o conhecimento pr´evio de LPC (semˆantica bivalorada, rela¸c˜ao de consequˆencia e alguns metateoremas) e mais sobre este assunto pode ser encontrado em (Men64). Assim, finalmente podemos definir:
Defini¸c˜ao 2.2.1. Sejam as senten¸cas ϕ, ψ ∈ L. Uma fun¸c˜ao de probabilidade ´e uma fun¸c˜ao P : L → R que satisfaz os axiomas:
K1 P (ϕ) ≥ 0;
K2 Se ` ϕ, ent˜ao P (ϕ) = 1;
K3 Se ϕ e ψ s˜ao logicamente incompat´ıveis, ent˜ao P (ϕ ∨ ψ) = P (ϕ) + P (ψ).
Esta defini¸c˜ao deixa expl´ıcito como ´e natural a rela¸c˜ao da Teoria de Probabilidades com a l´ogica cl´assica, dado que o desenvolvimento da teoria, desta maneira, pressup˜oe LPC a priori. Com esta abordagem podemos, tamb´em, adicionar um axioma que define
a fun¸c˜ao de probabilidade condicional: dadas duas senten¸cas ϕ, ψ ∈ L, de forma que P (ψ) 6= 0, temos que
P (ϕ|ψ) = P (ϕ ∧ ψ) P (ψ) .
D. Lewis observa, em (Lew76), que v´arios autores propuseram a tese de que probabilida- des de condicionais s˜ao o mesmo que probabilidades condicionais, ou seja, para A, B ∈ L, temos P (A|B) = P (B → A). Por´em, Lewis mostra que, desta forma, h´a uma trivia- liza¸c˜ao da probabilidade condicional, pois P (A|B) = P (A). Isso n˜ao seria um problema se A e B representassem eventos independentes1, mas, como esse fato ocorre para quais-
quer A, B ∈ L e para qualquer fun¸c˜ao de probabilidade P , as fun¸c˜oes de probabilidade determinariam somente eventos independentes e P (A|B) n˜ao passaria de uma maneira mais complicada de escrever P (A). Mais que isto, temos a contraintuitiva consequˆencia P (A|B) = P (A|¬B). Este resultado ´e conhecido como a Trivializa¸c˜ao de Lewis.
Note, pretendemos utilizar as fun¸c˜oes de probabilidade para definir uma semˆantica para L e somente a no¸c˜ao de probabilidades n˜ao-condicionais basta para este intento. Por´em, a probabilidade condicional n˜ao ´e abandonada, sua defini¸c˜ao ´e consequˆencia da probabilidade sobre senten¸cas2.
Notamos, tamb´em, que a axiomatiza¸c˜ao dada nesta se¸c˜ao ´e finitamente aditiva. Usa- mos esta abordagem aqui pois as senten¸cas de L s˜ao sequˆencias finitas de s´ımbolos do alfabeto considerado. Poder´ıamos definir uma linguagem L∞ com, al´em das senten¸cas de L, conjun¸c˜oes e disjun¸c˜oes (V e W) enumer´aveis (Kar64) e, ent˜ao, substituir K3 pelo axioma da aditividade enumer´avel :
K3’ Se a fam´ılia enumer´avel de senten¸cas {ϕi} ⊂ L∞ ´e logicamente incompat´ıvel, no
sentido em que ϕi e ϕj s˜ao logicamente incompat´ıveis para todo i, j ∈ N, ent˜ao
P (W
iϕi) =
P
iP (ϕi).
Mesmo assim, prosseguiremos trabalhando com a vers˜ao finita porque, por L ser uma linguagem formal mais intuitiva, parece se adequar mais ao racioc´ınio pr´atico. Williamson, no entanto, argumenta que n˜ao perdemos nenhuma informa¸c˜ao probabil´ıstica ao fazer esta op¸c˜ao, pois existe uma ´unica extens˜ao de qualquer fun¸c˜ao de probabilidade P sobre L para L∞ (Wil02). Portanto, n˜ao h´a mais fun¸c˜oes de probabilidade em L∞ do que na linguagem que esta estende. (Veja Se¸c˜ao 1.1 para uma discuss˜ao sobre aditividades finita e enumer´avel.)
1Dois eventos A e B s˜ao ditos independentes justamente quando P (A|B) = P (A).
2Hailperin, em (Hai10), leva em conta o conceito de probabilidade condicional em uma semˆantica.
Para isto, ele estende a linguagem L com um novo conectivo bin´ario para simbolizar o condicional probabil´ıstico e desenvolve um outro sistema de l´ogica que ele chama de l´ogica hipot´etica (tradu¸c˜ao nossa de suppositional logic).
Com a fun¸c˜ao de probabilidade, modelamos a ideia de graus de certeza sobre as sen- ten¸cas e, no decorrer deste cap´ıtulo, exploraremos as caracter´ısticas de semˆantica que ela pode agregar a L. Veremos agora alguns exemplos de leis da probabilidade que s˜ao formalizadas neste sistema.
Teorema 2.2.1. Sejam as senten¸cas ϕ, ψ ∈ L e P uma fun¸c˜ao de probabilidade sobre L. Segue que:
1. P (¬ϕ) = 1 − P (ϕ); 2. 0 ≤ P (ϕ) ≤ 1;
3. Se ` ¬ϕ (ϕ ´e logicamente falsa), ent˜ao P (ϕ) = 0;
4. Se ` ϕ ↔ ψ (ϕ e ψ s˜ao logicamente equivalentes), ent˜ao P (ϕ) = P (ψ); 5. P (ϕ ∧ ¬ψ) = P (ϕ) − P (ϕ ∧ ψ);
6. P (ϕ) + P (ψ) = P (ϕ ∧ ψ) + P (ϕ ∨ ψ);
7. Se ` ϕ → ψ (ϕ logicamente implica ψ), ent˜ao P (ϕ) ≤ P (ψ); 8. P (ϕ ∧ ψ) ≥ P (ϕ) + P (ψ) − 1.
Demonstra¸c˜ao. 1. Como ϕ e ¬ϕ s˜ao logicamente incompat´ıveis, por K3 temos que P (ϕ ∨ ¬ϕ) = P (ϕ) + P (¬ϕ). Combinando isto com ` ϕ ∨ ¬ϕ e K2, segue o resultado.
2. Por K1, 0 ≤ P (ϕ). Pelo item 1, temos que P (¬ϕ) = 1 − P (ϕ) e, novamente por K1, segue P (ϕ) ≤ 1.
3. Como ` ¬ϕ, por K2 temos que P (¬ϕ) = 1. Logo, pelo item 1, P (ϕ) = 1 − P (¬ϕ) = 0.
4. Como ` ϕ ↔ ψ, seguem ` ¬(ϕ∧¬ψ) e ` ϕ∨¬ψ. Logo, por K2 e K3, P (ϕ)+P (¬ψ) = 1 e, pelo item 1, P (ϕ) = P (ψ).
5. Como ` ¬[(ϕ ∧ ¬ψ) ∧ (ϕ ∧ ψ)] e ` ϕ ↔ (ϕ ∧ ¬ψ) ∨ (ϕ ∧ ψ), por K3 e pelo item 4, segue o resultado.
6. Como ` ϕ ∨ ψ ↔ (ϕ ∧ ¬ψ) ∨ (ϕ ∧ ψ) ∨ (¬ϕ ∧ ψ), ` ¬[((ϕ ∧ ¬ψ) ∨ (ϕ ∧ ψ)) ∧ (¬ϕ ∧ ψ)] e ` ¬[(ϕ ∧ ¬ψ) ∧ (ϕ ∧ ψ)], por K3 e pelo item 4, segue que P (ϕ ∨ ψ) = P (ϕ ∧ ¬ψ) + P (ϕ ∧ ψ) + P (¬ϕ ∧ ψ). Agora, pelo item 5, temos que P (ϕ ∨ ψ) = P (ϕ) − P (ϕ ∧ ψ) + P (ϕ ∧ ψ) + P (ψ) − P (ϕ ∧ ψ) e da´ı segue o resultado.
7. Como ` ϕ → ψ e ` (ϕ → ψ) ↔ (¬ϕ ∨ ψ), por K2 e pelo item 4, temos que P (¬ϕ ∨ ψ) = 1. Com isto, e pelo item 6, segue P (¬ϕ) + P (ψ) = P (¬ϕ ∧ ψ) + 1 que, pelo item 1, implica P (ϕ) + P (¬ϕ ∧ ψ) = P (ψ). Logo, por K1, P (ϕ) ≤ P (ψ). 8. Como ` (ϕ ∧ ¬ψ) ∨ (ϕ ∧ ψ) ↔ ϕ e ` ¬[(ϕ ∧ ¬ψ) ∧ (ϕ ∧ ψ)], por K3 e pelo item 4, temos que P (ϕ) = P (ϕ ∧ ¬ψ) + P (ϕ ∧ ψ). Por outro lado, como ` ϕ ∧ ¬ψ → ¬ψ, pelo item 7, temos que P (ϕ ∧ ¬ψ) ≤ P (¬ψ). Combinando estes resultados com o item 1, segue o resultado esperado.
Sempre que apresentado um sistema axiom´atico, como o da Defini¸c˜ao 2.2.1, surge a quest˜ao da existˆencia de um modelo para este sistema. Nossa demonstra¸c˜ao construtiva da existˆencia de uma fun¸c˜ao de probabilidade precisar´a esperar at´e a Se¸c˜ao 2.4.