Lógica, probabilidade e consequência

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Sandro M´

arcio da Silva Preto

L´

ogica, Probabilidade e

Consequˆ

encia

Campinas 2015

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Ficha catalográfica

Universidade Estadual de Campinas

Biblioteca do Instituto de Filosofia e Ciências Humanas Cecília Maria Jorge Nicolau - CRB 8/3387

Preto, Sandro Márcio da Silva,

P927L PreLógica, probabilidade e consequência / Sandro Márcio da Silva Preto. – Campinas, SP : [s.n.], 2015.

PreOrientador: Walter Alexandre Carnielli.

PreDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Filosofia e Ciências Humanas.

Pre1. Lógica. 2. Linguagens formais - Semântica. 3. Probabilidades. I. Carnielli, Walter Alexandre,1952-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Filosofia e Ciências Humanas. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Logic, probability, and consequence Palavras-chave em inglês:

Logic

Formal languages - Semantics Probabilities

Área de concentração: Filosofia Titulação: Mestre em Filosofia Banca examinadora:

Marco Antonio Caron Ruffino Marcelo Finger

Juliana Bueno-Soler

Data de defesa: 25-09-2015

Programa de Pós-Graduação: Filosofia

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A Comissão Julgadora dos trabalhos de Defesa de Disserta¸cão de Mestrado, composta pe-los Professores Doutores a seguir descritos, em sessão pública realizada em 25 de setembro de 2015, considerou o candidato Sandro Márcio da Silva Preto aprovado.

Prof. Dr. Marco Antonio Caron Ruffino Prof. Dr. Marcelo Finger

Profa. Dra. Juliana Bueno-Soler

A Ata de Defesa, assinada pelos membros da Comiss˜ao Examinadora, consta no processo de vida acadˆemica do aluno.

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Antes de mais nada, agrade¸co aos meus pais Marcio e Rúbia. Esta disserta¸cão ou qualquer outra conquista minha é também conquista deles, por todos os seus esfor¸cos e, muitas vezes, sacrif´ıcios. Não há linguagem com poder de expressão capaz de capturar minha gratidão e meus sentimentos por estes dois.

Agrade¸co também à minha irmã Núbia, sempre incentivadora e entusiasta de meus projetos, e ao pequeno Afonso, que acompanhou apenas alguns meses deste trabalho e agora é a quem o dedico.

Agrade¸co ao meu orientador Professor Walter que, sabiamente, me introduziu ao mundo das probabilidades e das apaixonantes questões filosóficas. Também, a todos os professores, colegas e amigos do Centro de Lógica, que fomentaram nos últimos tempos meu amadurecimento intelectual e com quem compartilhei agradáveis momentos.

São tantos os amigos responsáveis por minha forma¸cão enquanto gente e, consequente-mente, enquanto acadêmico que, com medo do imperdoável crime de omitir algum nome, omitirei todos. No entanto, citarei os saudosos contextos de nosso conv´ıvio. Assim, têm minha gratidão os amigos da querida Guaranésia “das manhãs orvalhadas”, os amigos de camisa amarela da animada São Carlos, os sábios amigos de república da grandiosa Campinas, e, evidente, todos os amigos que fiz nas órbitas destes contextos.

Sou tamb´em grato aos que acompanham e ajudam a construir minhas mais recentes experiˆencias no Instituto Federal em Formiga: meus amigos e colegas de trabalho e, claro, `

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Uma das maneiras conhecidas de representar a incerteza é através das probabilida-des. Para estudar o racioc´ınio sob incerteza deste ponto de vista, mostramos como é poss´ıvel associar valores de probabilidade a senten¸cas de uma linguagem formal defi-nindo semânticas probabil´ısticas com suporte na lógica clássica e em algumas lógicas não-clássicas. Definimos e analisamos rela¸cões de consequência probabil´ıstica baseadas na semântica probabil´ıstica. Para tal, estudamos também as valora¸cões probabil´ısticas com aux´ılio de ferramentas matemáticas como a álgebra linear e a otimiza¸cão linear. Além disto, apresentamos as principais interpreta¸cões do conceito de probabilidade e introdu-zimos algumas outras formas de combinar lógica e probabilidades.

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A well-known way to represent uncertainty is through probabilities. In order to study the concept of uncertainty reasoning from this point of view, we show how it is possible to associate probability values to sentences in a formal language by defining in detail the notion of probability semantics supported by classical logic and by some non-classical logics. We define and analyze the concept of probabilistic consequence relations based on probabilistic semantics. To this end, we also study probabilistic valuations assisted by mathematical tools such as linear algebra and linear optimization. In addition, we present some of the main concepts of probability interpretation and introduce some other ways to combine logic and probabilities.

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Introdu¸c˜ao 11

1 Sobre Probabilidades e suas Interpreta¸c˜oes 13

1.1 O C´alculo de Probabilidades . . . 13

1.2 A Probabilidade Cl´assica . . . 18

1.3 A Probabilidade Frequentista . . . 20

1.4 A Probabilidade Subjetiva . . . 24

1.5 A Probabilidade Lógica, a questão da indu¸cão e as lógicas indutivas . . . . 27

1.6 A Probabilidade Propensista . . . 32

2 Semˆantica Probabil´ıstica e Propaga¸c˜ao de Incerteza 36 2.1 Racioc´ınio sob incerteza . . . 36

2.2 Axiomatizando a Teoria de Probabilidades . . . 38

2.3 Conjuntos versus senten¸cas . . . 42

2.4 Semˆantica probabil´ıstica . . . 44

2.5 Majorando a incerteza . . . 51

2.6 Consequˆencia probabil´ıstica de Adams . . . 58

3 Valora¸c˜oes Probabil´ısticas e Estimativas de Probabilidade 60 3.1 Pior caso e aceita¸c˜ao racional . . . 60

3.2 Algebra linear e valora¸c˜´ oes probabil´ısticas . . . 62

3.3 Majora¸cão e minora¸cão ótimas . . . 65

3.4 O problema da Satisfatibilidade Probabil´ıstica . . . 67

3.5 Computa¸c˜ao de Mψ e mψ . . . 70

3.6 Consequˆencia probabil´ıstica de Hailperin . . . 75

4 Probabilidades em Lógicas Não-Clássicas 78 4.1 O provável enquanto modalidade . . . 78

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Considera¸c˜oes Finais 92

Bibliografia 95

A Formas Normais Disjuntivas 102

A.1 Defini¸c˜oes . . . 102 A.2 Resultados . . . 102

B Otimiza¸c˜ao Linear 106

B.1 Problemas de Otimiza¸c˜ao Linear . . . 106 B.2 Problema Dual . . . 107 B.3 Solu¸c˜oes . . . 108

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Embora já em autores clássicos da lógica moderna, como A. De Morgan (DM47) e G. Boole (Boo54), a Lógica e a Teoria de Probabilidades se mostrarem de mãos dadas, o termo lógica probabil´ıstica - definido ainda nesta introdu¸cão - pode, como observou Hájek (Háj01), parecer um oximoro. De um lado, a lógica é a disciplina que trata do que é “imutável, necessário e certo” e, de outro, as probabilidades se referem “ao incerto, ao aleatório, ao inconstante”1_{. Ainda, no verbete Logic and Probability, da Stanford}

Encyclo-pedia of Philosophy (DKS14), as diferen¸cas são ressaltadas mostrando que a lógica oferece uma perspectiva qualitativa da inferência, dado que a validade de um argumento repousa em sua estrutura formal, e as probabilidades oferecem uma perspectiva quantitativa, pois medem a certeza numericamente.

No sistema da lógica proposicional clássica, tratado na maior parte deste texto, uma inferência é chamada válida quando, por sua estrutura, se suas premissas forem verda-deiras, sua conclusão necessariamente também será. Não faltam exemplos clássicos de inferências válidas: modus ponens, silogismo disjuntivo, silogismo hipotético, etc. No en-tanto, em muitos casos é comum não se saber ao certo se senten¸cas são verdadeiras ou falsas, tornando ineficaz o conhecimento das inferências válidas.

A proposta que estudamos, seguindo a linha de E. W. Adams (Ada98), é justamente medir o grau de certeza que temos sobre a veracidade destas senten¸cas através das pro-babilidades. Da´ı se deriva a no¸cão de semântica probabil´ıstica, que oferece a possibilidade de associar probabilidades às senten¸cas da linguagem proposicional. Neste trabalho abor-daremos, ainda que de forma elementar e tentativa, tanto a lógica clássica como algumas não-clássicas. A proposta inclui estudar como os graus de certeza, isto é, as probabilida-des, se comportam quando submetidos à rela¸cão de consequência lógica (que modela as inferências válidas) e que outros tipos de rela¸cões de consequências podem nascer desta combina¸cão.

Ambas as disciplinas, a Lógica e a Teoria de Probabilidades, são ferramentas adequa-das para descrever o racioc´ınio, apesar de não serem as únicas. Neste trabalho, vamos

1_Tradu¸_c˜_{oes nossas de “immutable, necessary and certain” e “the uncertain, the random, the capricious”}

em (H´aj01).

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apresentar a semântica probabil´ıstica como uma ferramenta fruto da comunhão entre lógica e probabilidades, com objetivo de obter uma forma de tratar o racioc´ınio quando há presen¸ca de incerteza. Entendemos, na maior parte desse texto, lógicas probabil´ısticas como os sistemas lógicos determinados por uma rela¸cão de consequência derivada desta semântica probabil´ıstica. As exce¸cões são os sistemas em que são combinadas de modo alternativo lógicas não-clássicas e probabilidades.

No Cap´ıtulo 1 apresentamos brevemente a Teoria de Probabilidades através da sua teoria matemática de cálculo. Além disso, mostramos que não existe um consenso sobre a natureza de probabilidade com uma breve exposi¸cão das principais correntes que tratam este assunto.

No Cap´ıtulo 2, definimos a semântica probabil´ıstica, principal objeto de estudo desta disserta¸cão, de forma a expressar a no¸cão de incerteza sobre senten¸cas. Definimos, também, algumas rela¸cões de consequência probabil´ıstica, baseadas nas caracteriza¸cões da inferência que se obtêm de acordo com os resultados que relacionam a semântica pro-posta nesta disserta¸cão e a rela¸cão de consequência da lógica clássica.

Com viés mais técnico-matemático, o Cap´ıtulo 3 aprofunda o estudo dos constituintes da semântica probabil´ıstica: as valora¸cões probabil´ısticas. Este estudo pretende resolver questões como a determina¸cão da estimativa ótima da probabilidade de uma senten¸ca.

Finalizando o trabalho, o Cap´ıtulo 4 quebra a linha clássica que é adotada até então e explora sistemas modais com um operador de probabilidades. Além disso, introduz um tema de desenvolvimento recente: semânticas probabil´ısticas para lógicas não-clássicas.

Ainda, no Apêndice A, estudamos as Formas Normais Disjuntivas e, no Apêndice B, introduzimos a Teoria de Otimiza¸cão Linear, assuntos de papel importante para o entendimento das valora¸cões probabil´ısticas, nos Cap´ıtulos 2 e 3.

As Considera¸c˜oes Finais retomam os cap´ıtulos anteriores, de forma a sumarizar os principais pontos desta disserta¸c˜ao, e apresenta alguns caminhos de pesquisa que podem motivar trabalhos mais espec´ıficos.

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Sobre Probabilidades e suas

Interpreta¸

c˜

oes

Como, em nosso enfoque a Teoria de Probabilidades representa a incerteza das sen-ten¸cas, nada mais justo que discutir sua natureza. Come¸camos com a apresenta¸cão do cálculo de probabilidades, através da axiomática de Kolmogorov (Kol33) e, então, levan-tamos algumas questões ligadas à sua especificidade. Por este ser um assunto com vários pontos de vista dissonantes, apresentamos os principais deles.

O maior objetivo deste cap´ıtulo é introduzir algumas das interpreta¸cões do conceito de probabilidades sem contudo nos aprofundar em nenhuma delas. A principal referência em que nos baseamos é (Gil00). Outras referências bastante recomendadas são (Eag10) e (Sky10).

Na Se¸cão 1.5, ao falar da interpreta¸cão lógica das probabilidades, discutimos também a questão da indu¸cão e as lógicas indutivas.

1.1 O C´

alculo de Probabilidades

Uma correspondência entre Fermat e Pascal, de 1654, é usualmente tomada por marco inicial do desenvolvimento da Teoria de Probabilidades. Os dois matemáticos estudaram alguns problemas de apostas em jogos de azar, e esse tipo de problema permeou, por um bom tempo, o estudo desta teoria que teve in´ıcio na Fran¸ca do século XVII. Claro que um acontecimento cient´ıfico como o in´ıcio dos estudos de uma teoria dificilmente pode ser especificado no tempo e, de fato, Fermat e Pascal tiveram predecessores. Mas o trabalho deles inspirou outros matemáticos e deu in´ıcio ao desenvolvimento sistemático da teoria. Apesar do estudo das probabilidades ter tido in´ıcio no século XVII, somente no século XX aparece, com A. N. Kolmogorov (Kol33), uma axiomatiza¸cão sistemática. Esta axi-omatiza¸cão é largamente aceita como a formula¸cão correta do cálculo de probabilidades, embora uma parcela de matemáticos e filósofos discorde e proponha sistemas alternativos

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de c´alculo, sobre o que discorreremos ainda nesta se¸c˜ao.

Kolmogorov axiomatiza a Teoria de Probabilidades por meio de uma fun¸cão de proba-bilidade definida sobre uma álgebra de conjuntos. Uma álgebra F de subconjuntos sobre um conjunto Ω é uma classe não-vazia de subconjuntos de Ω fechada por complemen-tos em rela¸cão a Ω e por uniões finitas. Os elementos de F são chamados de eventos e podemos precisar a seguinte defini¸cão:

Defini¸cão 1.1.1. Sejam Ω um conjunto, F uma álgebra de subconjuntos sobre Ω e os conjuntos A, B ∈ F . Uma fun¸cão de probabilidades sobre F é uma fun¸c˜_{ao P : F → R} que satisfaz os axiomas:

K1 P (A) ≥ 0; K2 P (Ω) = 1;

K3 Se A ∩ B = ∅, ent˜ao P (A ∪ B) = P (A) + P (B).

A partir destes axiomas pode-se calcular, por exemplo, que P (∅) = 0. De fato, como Ω ∩ ∅ = ∅ e Ω ∪ ∅ = Ω, o resultado segue imediatamente dos axiomas K2 e K3.

Como exemplo, podemos tomar o conjunto Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, de todas as possi-bilidades da face de um dado cair para cima em uma jogada e, como álgebra, o con-junto de todos os subconcon-juntos de Ω. Para os valores das probabilidades, podemos ter P ({1}) = · · · = P ({6}) = 1₆. Caso em que também temos P ({1, 3, 5}) = 1₂ e P (Ω) = 1. Este exemplo ilustrativo independe de qualquer no¸cão de probabilidade apesar de ser uma instância da Probabilidade Clássica, estudada adiante.

A Defini¸cão 1.1.1 é, na verdade, somente uma das duas versões que Kolmogorov propõe, chamada por ele de Teoria Elementar de Probabilidades. A segunda versão que ele apre-senta toma por dom´ınio da fun¸cão de probabilidade uma σ-álgebra: um conjunto que, além das propriedades de uma álgebra, também é fechado por uniões enumeráveis. E, para axiomatizar a teoria, basta substituir o axioma K3, conhecido por axioma da aditi-vidade finita, pelo axioma da aditiaditi-vidade enumerável :

K3’ Se A1, A2, . . . é uma sequência enumerável de conjuntos dois-a-dois disjuntos de Ω,

ent˜ao P _[∞ n=1 An = ∞ X n=1 P (An).

A aceita¸cão da aditividade enumerável é objeto de bastante discussão entre os especia-listas. O próprio Kolmogorov entende que os espa¸cos infinitos são apenas uma idealiza¸cão

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dos processos aleat´orios reais mas, mesmo assim, se limita a estudar os modelos que satisfazem a aditividade enumer´avel1.

Since the new axiom is essential for infinite fields of probability only, it is almost impossible to elucidate its empirical meaning [...] Infinite fields of pro-bability occur only as idealized models of real random processes. We limit ourselves, arbitrarily, to only those models which satisfy Axiom VI. This limi-tation has been found expedient in researches of the most diverse sort. (Kol56, tradu¸c˜ao para o inglˆes de (Kol33))

Por outro lado, De Finetti, um dos principais teóricos das probabilidades subjetivas, nega a aditividade enumerável e somente trabalha com a aditividade finita (Se¸cão 1.4). Chamamos a axiomática que considera somente a aditividade finita de caso finito da teoria de Kolmogorov, e a axiomática com a aditividade enumerável de caso infinito.

Outro importante conceito levado em conta por Kolmogorov ´e o de probabilidade con-dicional, definido para eventos A, B ∈ Ω, desde que P (B) 6= 0, pelo quociente

P (A|B) = P (A ∩ B) P (B) .

Para Kolmogorov, este quociente define uma nova fun¸cão com dois argumentos, que, por um abuso de nota¸cão, leva o mesmo nome da fun¸cão de probabilidades à qual ela é associada. Há, no entanto, uma discussão se este quociente é realmente uma defini¸cão ou deveria ser entendido a partir de um axioma que governa um novo operador binário, dado que o conceito pré-teórico de probabilidade condicional pode não se alinhar perfeitamente com a “defini¸cão”. A. Hájek discute esta questão em (Háj03). De qualquer forma, por motivos técnicos, não é incomum tomarmos nos sistemas formais o quociente como uma defini¸cão e desenvolvermos a teoria matemática, também, a partir dele.

A probabilidade condicional tem o objetivo de modelar o cálculo da probabilidade de um evento A quando assumimos que um evento B ocorre. Lemos a nota¸cão P (A|B) como: probabilidade de A, dado B. A probabilidade de, ao jogar um dado, cair para cima a face com o número 3, dado que assumimos que a face que caiu é de um número ´ımpar, é a probabilidade condicional dada por P ({3}|{1, 3, 5}) = 1₃, de acordo com o exemplo que demos acima nesta se¸cão.

Apesar de algumas exce¸cões, como os eventos Ω e ∅, a fun¸cão de probabilidade não determina valores para os eventos em geral, assim como a lógica não determina, em geral,

1_{No trabalho original, Kolmogorov coloca o que chama de axioma da continuidade ao inv´}_{es do}

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valores de verdade para as senten¸cas. Tais valores devem ser buscados fora da teoria matemática. A questão que se coloca é a de entender o que são as probabilidades. E a´ı, além do aspecto matemático, formalizado pela teoria de Kolmogorov, as probabilidades têm também um aspecto filosófico. Este último, diferente do primeiro, não é unanimidade e há divergências gritantes entre os filósofos sobre a natureza das probabilidades.

Devido à grande aceita¸cão da axiomatiza¸cão de Kolmogorov e ao fato deste sistema ser desenvolvido em estágio cada vez mais avan¸cado, W. Salmon (Sal66) defende a im-portância de verificar se cada interpreta¸cão do conceito de probabilidade, entendendo ao seu modo a sua natureza, está em consonância com a axiomatiza¸cão de Kolmogorov. Ao critério que dita que, para se aceitar uma interpreta¸cão do conceito de probabilidade, esta interpreta¸cão deve satisfazer a teoria de Kolmogorov, chama-se critério de admissibilidade. No entanto, há cr´ıticas quanto à ado¸cão deste critério. Humphreys nota problemas para algumas interpreta¸cões em se impor a admissibilidade.

It is time, I believe, to give up the criterion of admissibility. We have seen that it places an unreasonable demand upon one plausible construal of propensities. Add to this the facts that limiting relative frequencies violate the axiom of countable additivity [2_{] and that their probability spaces are not sigma-fields}

unless further constraints are added; that rational degrees of belief, according to some accounts, are not and cannot sensibly be required to be countably additive; and that there is serious doubt as to whether the traditional theory of probability is the correct account for use in quantum theory. Then the project of constraining semantics by syntax begins to look quite implausible in this area. (Hum85)

Segundo Lyon (Lyo14), a conclusão de Humphreys é que o sistema axiomático da Teoria de Probabilidades adotado deve ser sens´ıvel à interpreta¸cão de probabilidade adotada, e não o contrário. K. R. Popper, proponente da interpreta¸cão propensista (Se¸cão 1.6), sistematiza diversos cálculos de probabilidade além de determinar uma nova interpreta¸cão. Há ainda outras propostas de axiomatiza¸cão da Teoria de Probabilidades, como a de Rényi, em (Rén55). Rényi propõe uma axiomática em que o conceito fundamental é o de probabilidade condicional. Seu espa¸co de probabilidade condicional é uma generaliza¸cão da estrutura de Kolmogorov, que pode ser restaurada como caso particular da estrutura de Rényi.

Outra disputa sobre probabilidades, segundo observa¸cão de J. Bueno-Soler e W. Car-nielli (BSC15), aparece na existência de duas tradi¸cões que diferem sobre qual entidade

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são associados valores de probabilidades. De um lado, em 1933, Kolmogorov introduziu as probabilidades definidas sobre conjuntos ou eventos, uma abordagem ligada à Teoria da Medida, um ramo da matemática em que as fun¸cões de probabilidade são casos parti-culares de medidas sobre conjuntos3_{. Por´}_{em, de outro lado, uma abordagem mais antiga}

é a associa¸cão de probabilidades sobre senten¸cas de uma linguagem, como usada por G. W. Leibniz (1646-1716), defensor do uso de probabilidades em um novo tipo de lógica, em (Lei77), A. De Morgan (1806-1871) em (DM47) e G. Boole (1815-1864) em (Boo54), dentre outros.

J. Bueno-Soler e W. Carnielli ainda notam que as probabilidades sobre conjuntos, hoje em dia, são majoritariamente usadas por matemáticos, estat´ısticos e engenheiros e as probabilidades sobre senten¸cas são preferidas por filósofos e lógicos. Veremos nas interpreta¸cões apresentadas neste cap´ıtulo exemplos de ambas as tradi¸cões e, na Se¸cão 2.3, mostraremos uma maneira de relacioná-las.

Nas próximas se¸cões veremos algumas das mais importantes interpreta¸cões, veremos como elas interpretam os conceitos de evento e probabilidade e discutiremos a questão da satisfatibilidade, por cada uma delas, da teoria de Kolmogorov. Estas interpreta¸cões não excluem necessariamente umas às outras. Para alguns filósofos, elas podem coexistir e, dependendo do contexto, diferentes interpreta¸cões podem se encaixar como sendo a correta. Já outros não têm este entendimento pluralista e defendem que somente uma delas é a teoria correta, como De Finetti.

As interpreta¸cões do conceito de probabilidade são geralmente classificadas em dois grandes grupos: o grupo das interpreta¸cões objetivas e o grupo das interpreta¸cões sub-jetivas. As interpreta¸cões objetivas entendem que probabilidades são propriedades dos fenômenos da natureza e independem do conhecimento e de outras no¸cões epistêmicas como cren¸ca, de modo que podem ser realmente medidas objetivamente. Já as teorias subjetivas veem probabilidades como entidades relacionadas ao conhecimento do homem e, portanto, podem variar de acordo com o agente.

Veremos nas próximas se¸cões exemplos de cada um destes grupos. Mas esta clas-sifica¸cão também não é unânime. Pode-se colocar dentre os grupos um outro que visa classificar teorias que entendem as probabilidades como medidas das evidências objeti-vas. Nesta outra classifica¸cão, entraria, por exemplo, a interpreta¸cão clássica, abordada a seguir.

3_{Boas referˆ}_{encias sobre Teoria da Medida s˜}_{ao (RF10) e (Fol99). Na segunda, encontra-se o}

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1.2 A Probabilidade Cl´

assica

A interpreta¸cão clássica do conceito de probabilidade foi advogada, dentre outros, por P. S. Laplace e foi fortemente influenciada pelo Iluminismo europeu. Num per´ıodo em que o Determinismo Universal, sobre o qual decorremos brevemente abaixo, era amplamente aceito, a interpreta¸cão da no¸cão de probabilidade aparece como a medida da ignorância do ser humano.

A tese do Determinismo Universal é uma consequência do sucesso da mecânica new-toniana, que tornou capaz de descrever e prever o movimento dos corpos macroscópicos com a utiliza¸cão de equa¸cões matemáticas, e Determinismo Universal é a cren¸ca na extra-pola¸cão desta capacidade para outros fenômenos. O próprio Laplace deu uma das mais famosas descri¸cões desta tese iluminista em seu Essai philosophique sur les probabilités:

We ought then to regard the present state of the universe as the effect of its anterior state and as the cause of the one which is to follow. Given for one instant an intelligence which could comprehend all the forces by which nature is animated and the respective situation of the beings who compose it - an intelligence sufficiently vast to submit these data to analysis - it would embrace in the same formula the movements of the greatest bodies of the universe and those of the lightest atom; for it, nothing would be uncertain and the future, as the past would be present to its eyes.

(Lap51, tradu¸c˜ao para o inglˆes de (Lap40))

A inteligência vasta à qual Laplace se refere ficou conhecida como o Demônio de La-place. Hoje em dia, com as descobertas de que as leis da mecânica quântica diferem das leis da mecânica Newtoniana e com o uso essencial das probabilidades nesta ciência4_,

várias cr´ıticas são feitas ao Determinismo Universal e são levantadas teses de que o uni-verso é indetermin´ıstico por natureza. Porém, para Laplace, o universo era determin´ıstico e a probabilidade é um meio de medir a nossa ignorância sobre o acontecimento de um evento que poderia ser determinado se tivéssemos o conhecimento, as informa¸cões e a capacidade de análise de seu demônio.

Deste modo, sem nenhuma evidência que favore¸ca uma possibilidade em particular ou com evidências que favore¸cam de maneira igual todas elas, a probabilidade de um evento é definida como a fra¸cão em que o numerador é o número de possibilidades que verificam este evento e o denominador é o número total de casos poss´ıveis. Vemos que na

4_{K. R. Popper, em (Pop57), al´}_{em de desenvolver sua interpreta¸}_c˜_{ao propensista de probabilidade,}

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formula¸cão clássica o cálculo das probabilidades somente pode ser aplicado quando temos casos igualmente poss´ıveis. Assim, ao jogar um dado sobre o qual não temos nenhuma informa¸cão adicional, não temos nenhum motivo para crer que uma face cairá para cima em detrimento das outras e, então, a probabilidade de cair uma face ´ımpar é de 3₆ = 1₂, pois há 3 casos em que a face do dado é ´ımpar e 6 possibilidades no total. Nas palavras de Laplace:

The theory of chance consists in reducing all the events of the same kind to a certain number of cases equally possible, that is to say, to such as we may be equally undecided about in regard to their existence, and in determining the number of cases favorable to the event whose probability is sought. The ratio of this number to that of all the cases possible is the measure of this probability, which is thus simply a fraction whose numerator is the number of favourable cases and whose denominator is the number of all the cases possible. (Lap51)

´

E imediato que esta formula¸cão verifica os axiomas de Kolmogorov para o caso finito. Em nota¸cão moderna, chamando o conjunto das possibilidades de Ω e identificando um evento com um subconjunto A ⊂ Ω, temos que a probabilidade do evento A é dada por:

P (A) = |A| |Ω|, em que |A| denota a cardinalidade do conjunto A.

Ainda, ao considerarmos outro evento B ⊂ Ω, se B 6= ∅, ent˜ao P (B) 6= 0 e podemos definir a probabilidade condicional por

P (A|B) = |A ∩ B| |B| . ´

E imediato também que esta defini¸cão satisfaz o axioma da probabilidade condicional. A concep¸cão clássica foi aceita por muito tempo. Em 1912, Markov publicou impor-tantes resultados, sobre as chamadas cadeias de Markov, em um texto que adotava a defini¸cão clássica como fundamento de seus cálculos. Já sobre as cr´ıticas que surgiram a esta concep¸cão, podemos destacar o fato dela não tratar da jogada de um dado viciado, por exemplo. Von Mises questiona:

But how are we to deal with the problem of a biased die by means of a theory which knows only probability based on a number of equally likely results? (VM57)

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Laplace, porém, se refere à questão de uma moeda viciada em favor de uma das faces sem que saibamos qual delas. Por conta deste desconhecimento, a probabilidade clássica de cair cada uma das faces para cima em uma jogada é determinada.

But if there exist in the coin an inequality which causes one of the faces to appear rather than the other without knowing which side is favored by this inequality, the probability of throwing heads at the first throw will always be 1₂; because of our ignorance of which face is favored by the inequality the probability of the simple event is increased if this inequality is favorable to it, just so much as it is diminished if the inequality is contrary to it. (Lap51)

Percebemos claramente aqui que a interpreta¸cão clássica não é do tipo objetiva, pois a probabilidade não é uma propriedade que se relaciona com os objetos (moedas, dados, etc), mas com a ignorância do ser humano em rela¸cão aos resultados poss´ıveis em um expe-rimento. Também pareceria estranho entendê-la como um tipo de probabilidade subjetiva, pois apesar de qualificar o conhecimento do ser humano, sua determina¸cão não depende de um agente em particular, como na interpreta¸cão subjetiva (que veremos ainda neste cap´ıtulo). Gillies (Gil00) contorna este inconveniente classificando as interpreta¸cões das probabilidades em epistêmicas, classe à qual pertence a interpreta¸cão clássica, e objetivas. Laplace chega, em algum momento, a tratar do exemplo de uma moeda viciada, para a qual a probabilidade de sair cara numa jogada é de 1+α₂ e de sair coroa é de 1−α₂ . Isto parece ir no caminho de indicar a existência de uma probabilidade objetiva e desconhecida. Para Gillies (Gil00), isto é uma inconsistência no trabalho de Laplace, em que seu cálculo de probabilidades não representa seu posicionamento filosófico, evidenciando sua falta de compromisso com probabilidades objetivas.

1.3 A Probabilidade Frequentista

A ideia frequentista de probabilidade tem caráter fortemente empirista e apareceu na metade do século XIX, na escola de Cambridge, com R. L. Ellis (Ell44) e J. Venn (Ven66). Mas, somente ficou famosa no século XX com as formula¸cões mais sofisticadas de Reinchenbach (Rei49) e R. Von Mises (VM19; VM57; VM64), sendo esta última a que introduziremos nos próximos parágrafos.

O caráter empirista das interpreta¸cões frequentistas das probabilidades reside no enten-dimento da teoria como uma ciência matemática análoga à mecânica e à geometria. Se por um lado, para a mecânica temos uma teoria que modela matematicamente os fenômenos observáveis do movimento e para a geometria, uma teoria que modela o espa¸co f´ısico,

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por outro, para as probabilidades, Von Mises entende que estas tratam de outro tipo de fenômenos que podemos observar na natureza, a saber, os experimentos aleatórios5. Deste modo, probabilidades são caracter´ısticas dos fenômenos que se repetem, independentes do observador destes fenômenos, dando assim a esta interpreta¸cão o status de objetiva.

[...] just as the subject matter of geometry is the study of space phenomena, so probability theory deals with mass phenomena and repetitive events. (VM57, prefácio da terceira edi¸cão alemã)

Desta forma, não são associadas probabilidades a um determinado experimento, mas a um conjunto de experimentos de mesmo tipo. Para cumprir seu programa, Von Mi-ses chama de coletivo esta sequência de experimentos uniformes, e propõe observar um atributo, isto é, uma caracter´ıstica que pode variar, de cada um destes experimentos. Um exemplo de coletivo é o lan¸camento subsequente de uma moeda e o atributo a ser observado é o lado que cai para cima em cada lan¸camento (cara ou cora).

O conjunto dos atributos poss´ıveis foi chamado por ele de espa¸co de atributos e, na terminologia atual, ´e largamente conhecido por espa¸co amostral. Denotando os atributos cara por K e coroa por C, temos o espa¸co de atributos Ω = {K, C}. Para refinar nossos termos, admitiremos qualquer subconjunto de Ω como atributo e chamaremos, por exemplo, K e C de atributos elementares. No exemplo de um espa¸co de atributos Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} das faces de um dado, podemos ter o atributo ´ımpar {1, 3, 5}.

Von Mises diferencia os conceitos de coletivo emp´ırico, que realmente existe e pode ser observado no mundo real, como o ato de jogar dez vezes uma moeda em sequência em determinado tempo e lugar, e o conceito idealizado de coletivo matemático, uma sequência infinita de experimentos. Esta sequência hipotética de experimentos do coletivo matemático é, na verdade, um artif´ıcio técnico que idealiza os fenômenos observados nas frequências relativas.

Vejamos, então, o que é uma frequência relativa. Se, ao atributo A, relacionamos um coletivo emp´ırico C = {ω1, . . . , ωN} e denotamos por mn(A) a quantidade de vezes que

o atributo A foi verificado nos n primeiros experimentos de C, definimos a frequˆencia relativa de A por

f r_nC(A) = mn(A) n .

5_{Preferimos traduzir o termo repetitive events por experimentos aleat´}_{orios primeiro, pois j´}_{a estamos}

usando o termo evento para nomear possibilidades para as quais associamos valores de probabilidade em

um experimento e, segundo, pois nos parece ser este o termo empregado em portuguˆes

(22)

A partir da´ı, a lei testada empiricamente que leva ao conceito de coletivo matemático é o fato de que, quanto mais se aumenta a quantidade de elementos de um coletivo emp´ırico, mais a frequência relativa do atributo em questão se aproxima de uma constante. Keynes (Key21) sugere dar a esta lei o nome de Lei da Estabilidade das Frequências Estat´ısticas6_.

E, assim, baseando-se nesta lei e munido da ideia de um coletivo matem´atico (infinito) C = {ω1, ω2, . . .}, Von Mises define a probabilidade do atributo A como

P (A) = lim n→∞f r C n(A) = lim_n→∞ m(A) n .

It is essential for the theory of probability that experience has shown that in the game of dice, as in all the other mass phenomena which we have mentioned, the relative frequencies of certain attributes become more and more stable as the number of observations is increased. (VM57)

Deste modo, com a defini¸cão de probabilidade baseada em uma idealiza¸cão, na prática, uma probabilidade só pode ser aproximada através de um coletivo emp´ırico. Então, para o desenvolvimento formal de sua teoria, Von Mises desenvolve uma axiomatiza¸cão. Assim, para ele, as leis das probabilidades também são idealiza¸cões das observa¸cões emp´ıricas, como o conceito de coletivo matemático. Segue um dos axiomas da teoria frequentista em questão.

Axioma 1 (da Convergência). Seja A um atributo arbitrário de um coletivo (matemático) C. Então, existe o limite

lim

n→∞f r C n(A).

Von Mises ainda percebe a necessidade de outra lei natural que deve ser levada em conta em sua Teoria de Probabilidades: a aleatoriedade. O avan¸co que ele oferece às ideias frequentistas é a observa¸cão do fato de os coletivos não terem uma ordem. Por exemplo, em jogadas subsequentes de uma moeda, não termos a capacidade de prever qual será o resultado dos lan¸camentos. A ideia intuitiva proposta por Von Mises consiste em relacionar a aleatoriedade com a falha dos sistemas de apostas, que consistem em receitas para apostar, como a seguinte: depois de três caras em um lan¸camento de moeda, aposte que o próximo será coroa. Qualquer sistema deste tipo foi fadado ao fracasso.

The authors of such systems have all, sooner or later, had the sad experience of finding out that no system is able to improve their chances of winning in the long run, i.e., to affect the relative frequencies with which different colours

(23)

or numbers appear in a sequence selected from the total sequence of the game. (VM57)

A formaliza¸cão axiomática da lei da aleatoriedade sobre coletivos foi proposta satisfa-toriamente por Church (Chu40), como uma aplica¸cão da teoria das fun¸cões recursivas7, teoria esta que ele mesmo ajudou a desenvolver.

Axioma 2 (da Aleatoriedade). Seja A um atributo arbitr´ario de um coletivo (matem´atico) C = {ω1, ω2, . . .}, para o qual

lim

n→∞f r C

n(A) = p.

Então, para qualquer subsequência C0 = {ωn1, ωn2, . . .} de C especificada por uma fun¸cão recursiva, levando em conta as frequências relativas calculadas nesta nova sequência, te-mos

lim

j→∞f r C0

nj(A) = p.

Para finalizar a explana¸cão da teoria de Von Mises, vejamos como definir probabi-lidades condicionais nela. A probabilidade condicional P (A|B) de um atributo A de um experimento, assumindo que o atributo B se verifica é definida naturalmente a par-tir da intui¸cão que temos de probabilidade condicional. Seja C = {ω1, ω2, . . .} o

cole-tivo para o qual verificamos os atributos A e B. Selecionamos de C uma subsequência CB = {ωn1, ωn2, . . .} somente dos experimentos em que se verifica o atributo B e, então, levando em conta as frequências relativas calculadas nesta nova sequência, se P (B) 6= 0, podemos definir

P (A|B) = lim

j→∞f r CB

nj (A).

Para que esta defini¸cão seja coerente é necessário garantir que CB seja um coletivo, ou

seja, que obede¸ca aos axiomas da convergência e da aleatoriedade. Uma demonstra¸cão deste fato está em (Gil00, 111).

A teoria de Von Mises também satisfaz os axiomas de Kolmogorov para o caso finito. Para o caso infinito, Von Mises propõe mais tarde (VM64) adicionar um novo axioma aos dois já existentes. Isto resolve a questão de colocar sua teoria no patamar da axi-omatiza¸cão amplamente aceita, porém, para Gillies (Gil00, 110), esta estratégia mina a filosofia de formalizar a Teoria de Probabilidades idealizando as leis naturais verificadas empiricamente. Além disso, a defini¸cão de probabilidade condicional apresentada satisfaz o axioma da probabilidade condicional (Gil00, 111).

Uma das cr´ıticas à teoria de Von Mises já aparece na idealiza¸cão do coletivo ma-temático. Até que ponto é leg´ıtima a representa¸cão de coletivos emp´ıricos através de

(24)

coletivos matemáticos? Von Mises responde a estas cr´ıticas com o argumento de que sua idealiza¸cão é análoga às idealiza¸cões sobre o infinito feitas na mecânica e na geometria.

Attempts have been made to construct geometries in which no ‘infinitely nar-row’ lines exist but only those of definite width. The results were meagre because this method of treatment is much more difficult than the usual one. Moreover, a strip of definite width is only another abstraction no better than a straight line [...] (VM57)

Outra questão é o problema do caso único: em muitas situa¸cões importantes, para as quais gostar´ıamos de definir uma probabilidade, não é poss´ıvel definir nem um coletivo emp´ırico. Para Von Mises, sua teoria simplesmente não se aplica a estes casos.

Our probability theory has nothing to do with questions such as: “Is there a probability of Germany being at some time in the future involved in a war with Liberia?” (VM57)

Para Von Mises, a Teoria de Probabilidades se aplica somente aos experimentos que podem ser repetidos v´arias vezes, como fica expresso na m´axima: “Primeiro o coletivo, depois a probabilidade”8_.

1.4 A Probabilidade Subjetiva

O conceito de probabilidade subjetiva nasce da identifica¸cão de probabilidades com graus de cren¸ca. Nesta interpreta¸cão, as probabilidades não são propriedades dos poss´ıveis eventos, mas uma grada¸cão da cren¸ca que um agente (indiv´ıduo) tem na ocorrência de um evento. É aceito também que diferentes pessoas, com a mesma capacidade de racioc´ınio e as mesmas evidências, tenham um grau diferente de cren¸ca sobre a ocorrência de um mesmo evento. Por isto, esta identifica¸cão torna as probabilidades subjetivas.

Dentre as formula¸cões com este viés, se destacam as de F. Ramsey (Ram31) e de De Finetti (DF30a; DF30b; DF30c; DF89; DF93), que foram propostas independentemente e, apesar de alguns pontos de discordância, são muito próximas.

O primeiro problema que surge na abordagem subjetiva é o de entender o que é e medir o grau de cren¸ca de um agente. Para Ramsey o grau de cren¸ca é um fenômeno psicológico que poderia até ser medido com um aparelho:

[...] it is, I suppose, conceivable that degrees of belief could be measured by a psychogalvanometer or some such instrument [...] (Ram31)

(25)

Porém, na falta de tal tecnologia, a proposta dos teóricos em questão foi medir o grau de cren¸ca de um agente levando-o a fazer uma aposta. Deste modo, um oponente9 que fosse medir tal grandeza sobre um evento E deveria seguir o seguinte procedimento: convencer o agente a participar de uma aposta na qual ele deve escolher um número q ∈ [0, 1], chamado de quociente de aposta, e, então, tal oponente revela uma recompensa R ∈ R (note que este valor pode ser negativo). O valor que o agente paga para apostar é de qR e, se o evento E verificar ser o caso, o agente recebe R. É assumido também que o oponente proponha um valor |R| que seja pequeno em rela¸cão às posses do agente.

´

E importante que o agente não saiba de antemão se R é positivo ou negativo para que o quociente de aposta escolhido reflita realmente o grau de cren¸ca que ele tem no evento E. Se ele soubesse que R > 0, seria vantajoso escolher um valor pequeno para q e vice versa. Por outro lado, sem esta informa¸cão, não existe uma boa estratégia além de seguir o instinto. Nesta aposta, o papel do agente é mais evitar uma grande perda que vislumbrar um grande ganho.

Vejamos, na tabela a seguir, alguns exemplos de valores para q e R na aposta de um evento E, juntamente com o valor ganho pelo agente nos casos em que E for verdadeiro (coluna E) e em que E for falso (coluna ¬E). O ganho, no caso de acontecer o evento E, ´e dado por R − qR e, no caso de se verificar o evento ¬E, por −qR.

q R qR E ¬E 0 100 0 100 0 0 −100 0 −100 0 0, 2 100 20 80 −20 0, 2 −100 −20 −80 20 0, 5 100 50 50 −50 0, 5 −100 −50 −50 50 0, 8 100 80 20 −80 0, 8 −100 −80 −20 80 1 100 100 0 −100 1 −100 −100 0 100

Seguimos neste texto a abordagem dos primeiros trabalhos de De Finetti, em que as apostas são monetárias. Ramsey segue por outro caminho, criando uma teoria da utilidade. O próprio De Finetti acaba abandonando em seus últimos trabalhos as apostas monetárias, mas sua primeira abordagem continua sendo muito aceita na literatura.

E, ent˜ao, o quociente de aposta de um agente para um evento E ´e justamente a probabilidade P (E) deste evento, relembrando que as probabilidades, aqui, podem variar

9_{Em (Gil00), Gillies fala de um psic´}_{ologo ao inv´}_{es de um oponente, seguindo a linha de que o grau de}

cren¸ca é um fenômeno psicológico que, para Ramsey poderia ser medido. Preferimos o termo oponente,

(26)

de agente para agente e, até mesmo para um mesmo agente, pode variar com o tempo. Uma obje¸cão que pode ser feita contra esta maneira de mensurar os graus de cren¸ca é que o quociente medido através de apostas é, no máximo, uma estimativa aproximada e não um valor numérico exato. Para De Finetti, esta aproxima¸cão não é um problema e até tem a virtude de facilitar os cálculos, desde que não esque¸camos que é uma idealiza¸cão da medida e a teoria matemática trabalhará na prática, assim, com aproxima¸cões.

[...] if you want to apply mathematics, you must act as though the measured magnitudes have precise values. This fiction is very fruitful, as everybody knows; the fact that it is only a fiction does not diminish its value as long as we bear in mind that the precision of the result will be what it will be. [...] To go, with the valid help of mathematics, from approximate premises to approximate conclusions, I must go by way of an exact algorithm, even though I consider it an artifice. (DF89)

Para definir probabilidades condicionais na interpreta¸cão subjetiva usamos o conceito de quociente de apostas condicional : para um evento E, dado um evento F , é o quociente de aposta que o agente daria para o evento E, sendo que a aposta seria cancelada se o evento F não se verificasse. Se F não se verifica, o valor pago pelo agente e a recompensa paga pelo oponente são devolvidos. Este quociente é a probabilidade condicional P (E|F ). Resolvido o problema de medir a probabilidade subjetiva como um grau de cren¸ca, surge outra questão de grande importância: não é imediato que as probabilidades de um agente satisfazem os axiomas de Kolmogorov. Na verdade, nem é de se esperar que um agente tenha quocientes de aposta tão precisos que satisfa¸cam a teoria matemática. E da´ı chegamos ao surpreendente Teorema do Aposta holandesa.

Para tal, vamos introduzir a ideia de coerência: quando um agente aposta em uma série de eventos E1, E2, . . . , En, seus quocientes de aposta são ditos coerentes se, e somente

se, n˜ao existem respectivas recompensas R1, R2, . . . , Rn tais que o oponente sempre ganha

a aposta. Se existem tais recompensas, é dito que o oponente tem um Aposta holandesa10 contra o agente. É razoável esperar que nenhum agente deixe de ser coerente em suas apostas. Agora, podemos enunciar o resultado prometido.

Teorema 1.4.1 (Aposta holandesa). Um conjunto de quocientes de aposta ´e coerente se, e somente se, eles satisfazem os axiomas de Kolmogorov para o caso finito.

(27)

Este resultado11_{, demonstrado em (Gil00, 60), deixa patente a validade da}

inter-preta¸cão subjetiva da teoria matemática das probabilidades. No entanto, algumas ob-serva¸cões devem ser feitas. A primeira é que De Finetti não usa exatamente a axiomática de Kolmogorov, mas, sim, uma versão dela que utiliza a defini¸cão de fun¸cão de probabi-lidade sobre a linguagem proposicional clássica ao invés de uma álgebra. Introduziremos esta outra versão da axiomatiza¸cão na Se¸cão 2.2.

A outra observa¸cão é o fato de a interpreta¸cão subjetiva não satisfazer o caso infinito da teoria de Kolmogorov. Porém, diferente de Von Mises, De Finetti não vê isto como um problema e nem tenta contorná-lo. Para ele, o caso infinito é só uma questão de conveniência matemática, mas que não se justifica em seu conceito de probabilidade.

Its success owes much to the mathematical convenience of making the calculus of probability merely a translation of modern measure theory. [...] No-one has given a real justification of countable additivity (other than just taking it as a ‘natural extension’ of finite additivity). (DF74)

Para finalizar, vejamos, na tabela abaixo, um exemplo de conjunto n˜ao-coerente de quocientes de aposta.

Eventos q R qR R − qR

A ∧ ¬B ∧ ¬C 0, 5 10 5 5 ¬A ∧ B ∧ ¬C 0, 3 10 3 7 ¬A ∧ ¬B ∧ C 0, 3 10 3 7

Deve-se notar que somente uma das senten¸cas que representam eventos acima pode ser verdadeira e, então, o valor máximo que o agente pode ganhar neste conjunto de quocientes é 7. Por outro lado, com as recompensas dadas, todo o conjunto de quocientes tem o pre¸co de 11. Neste caso, o oponente tem um Aposta holandesa contra o agente e ganha as apostas em qualquer situa¸cão. Como declara o Teorema do Aposta holandesa, este conjunto de quocientes não respeita os axiomas de Kolmogorov, como pode ser verificado a partir das observa¸cões sobre descri¸cões de estado que veremos na Se¸cão 2.4.

1.5 A Probabilidade L´

ogica, a quest˜

ao da indu¸

c˜

ao e

as l´

ogicas indutivas

Nesta se¸c˜ao, trataremos de uma interpreta¸c˜ao um pouco diferente, para a qual a probabilidade condicional tem um papel de maior destaque do que a probabilidade de um

11_{Um dos sentidos da implica¸c˜}_{ao do Teorema do Aposta holandesa, o que diz que se os axiomas de}

Kolmogorov são respeitados, o conjunto de quocientes de aposta é coerente (não há Aposta holandesa),

foi demonstrado por De Finetti em (DF74). O outro sentido da implica¸c˜ao, mais sutil, foi provado por

(28)

´

unico evento, diferente das interpreta¸c˜oes que vimos at´e agora.

A interpreta¸cão lógica12, assim como a interpreta¸cão clássica, relaciona probabilidade com o leque de possibilidades do que se analisa. Mas, diferente dela, não assume ausência nem simetria de evidências, admitindo que as possibilidades possam ter pesos diferentes. Desse modo, a probabilidade de uma hipótese H é medida levando-se em conta a evidência E que se tem, fazendo uso da ideia de probabilidade condicional.

Uma probabilidade será entendida como o grau de confirma¸cão que uma evidência E dá a uma hipótese H. Esta interpreta¸cão culminará em uma generaliza¸cão do con-ceito de implica¸cão lógica e determinará uma estrutura para o racioc´ınio indutivo. No momento, vamos nos ater à exposi¸cão da interpreta¸cão lógica e mais tarde voltaremos a estas questões.

Frisamos que nesta se¸cão apresentamos a concep¸cão contemporânea da probabilidade lógica, mas as liga¸cões entre lógica e probabilidades já aparece em outros autores, como Leibniz e Boole, conforme comentado na Se¸cão 1.1.

A interpreta¸cão lógica de probabilidade no sentido contemporâneo come¸cou a ser de-senvolvida nas primeiras décadas do século XX, principalmente em Cambridge, por Key-nes (Key21) e Jeffreys (Jef39). Na década de 1950, Carnap tomou partido desta linha e ofereceu uma formula¸cão sistemática (Car50) para a teoria. Nossa referência para a formula¸cão de Carnap, estudada a seguir, é (Háj12).

Carnap, assim como De Finetti, define suas probabilidades sobre uma linguagem for-mal. Por´em, n˜ao sobre a linguagem proposicional, mas sobre uma linguagem de primeira ordem13 _{com uma quantidade finita de s´ımbolos de predicados mon´}_{adicos e uma}

quanti-dade enumer´avel de constantes individuais.

Nesta linguagem, de acordo com seu poder de expressão, podemos descrever comple-tamente uma constante por uma conjun¸cão de todos os s´ımbolos de predicado, cada um destes podendo estar negado ou não, aplicados sobre esta constante. E, então, chamamos de descri¸cão de estado uma conjun¸cão de fórmulas deste tipo, que descreve completamente cada uma delas, para todas as constantes da linguagem.

Utilizemos, como exemplo, a linguagem com um único s´ımbolo de predicado monádico F e com as constantes a, b e c. Nesta linguagem, cada constante é descrita completamente por fórmulas do tipo F a, ¬F a, ¬F b, F c, etc. E as descri¸cões de estado que levam em considera¸cão todas as constantes são:

12_{As express˜}_{oes interpreta¸}_c˜_{ao l´}_{ogica e probabilidade l´}_{ogica, no t´ıtulo da se¸}_c˜_{ao, s˜}_{ao tradu¸}_c˜_{oes nossas de}

logical interpretation e logical probability, que aparecem em (H´aj12).

(29)

1. F a ∧ F b ∧ F c; 2. ¬F a ∧ F b ∧ F c; 3. ¬F a ∧ ¬F b ∧ F c; 4. ¬F a ∧ ¬F b ∧ ¬F c; 5. F a ∧ ¬F b ∧ ¬F c; 6. F a ∧ F b ∧ ¬F c; 7. F a ∧ ¬F b ∧ F c; 8. ¬F a ∧ F b ∧ ¬F c.

Carnap, então, associa probabilidades a cada uma destas descri¸cões de estado através de uma fun¸cão m, que ele chama de medida de probabilidade. A medida de probabilidade pode ser estendida para qualquer fórmula da linguagem que seja composta pelas fórmulas atômicas que constituem as descri¸cões de estado sobre às quais a medida foi definida. Abusando da nota¸cão, também chamaremos a extensão de m.

O conceito de medida de probabilidade ´e an´alogo14_{ao de distribui¸}_c˜_{ao de probabilidade}

que introduziremos no Cap´ıtulo 2, em que tratamos da questão da extensão para as outras fórmulas. É importante observar que, tanto a medida m, quanto sua extensão, satisfazem a versão para linguagem formal dos axiomas de Kolmogorov para o caso finito. Portanto, com o mapeamento que veremos na Se¸cão 2.3, a interpreta¸cão lógica oferece uma interpreta¸cão de uma instância da teoria de Kolmogorov.

Agora, Carnap pode definir a fun¸cão de confirma¸cão de uma hipótese H dada uma evidência E, que denotaremos por c(H, E) utilizando a versão para linguagem formal da defini¸cão de probabilidade condicional:

c(H, E) = m(H ∧ E) m(E) .

Chegamos a um ponto crucial da teoria de Carnap. Apesar de existirem v´arias poss´ıveis medidas m, ele advoga em favor de uma espec´ıfica, denotada por m∗. Vere-mos como defini-la e, depois, por que ela ´e escolhida por Carnap.

Primeiro, vamos chamar de descri¸cão de estrutura os conjuntos maximais de descri¸cões de estado de nossa linguagem nos quais cada descri¸cão de estado pode ser obtida de uma outra deste conjunto por uma permuta¸cão das constantes. Utilizando a numera¸cão do exemplo que estamos seguindo para nos referir às descri¸cões de estado, temos as descri¸cões de estrutura:

• {1} - tudo satisfaz F ;

14_{As medidas de probabilidade s˜}_{ao definidas sobre uma linguagem de primeira ordem enquanto as}

distribui¸c˜oes s˜ao definidas sobre a linguagem proposicional. Para fazer a analogia, basta entender cada

fórmula atômica fechada de primeira ordem (e.g., F a) como uma fórmula atômica proposicional (e.g.,

A), de modo que para fórmulas atômicas de primeira ordem diferentes devem ser associadas fórmulas

atˆomicas proposicionais diferentes. Assim, podemos, por exemplo, associar a F a, F b e F c as f´ormulas A,

(30)

• {2, 6, 7} - um ¬F e dois F ; • {3, 5, 8} - dois ¬F e um F ; • {4} - tudo satisfaz ¬F .

E, então, a medida m∗ é definida do seguinte modo: seja p o valor de 1 dividido pela quantidade de descri¸cões de estrutura (no nosso exemplo, p = 1₄). Assim, a medida m∗ de uma descri¸cão de estado é o valor de p dividido pela quantidade de elementos da descri¸cão de estrutura à qual esta descri¸cão de estado pertence. Dessa forma, no exemplo:

• m∗_{(1) = m}∗_{(4) =} p 1 = 1 4; • m∗_{(2) = m}∗_{(3) = m}∗_{(5) = m}∗_{(6) = m}∗_{(7) = m}∗_{(8) =} p 3 = 1 12.

Note que a medida m∗favorece as descri¸cões de estado mais homogêneas. Por exemplo, a descri¸cão de estado F a∧F b∧F c, em que todas as constantes satisfazem a propriedade F , tem uma medida maior do que as descri¸cões de estado menos homogêneas (em que algumas constantes possuem a propriedade e outras não). O mesmo ocorre com ¬F a ∧ ¬F b ∧ ¬F c. Antes de analisar os motivos que levaram Carnap a eleger a medida m∗, vamos observar que nesta interpreta¸cão lógica, a probabilidade da hipótese H é unicamente determinada pela evidência E por qualquer agente racional, o que exclui esta teoria da classifica¸cão subjetiva. Além disso, a probabilidade aqui não é medida através de experiências e, portanto, não é uma caracter´ıstica dos fenômenos, não é objetiva. Da mesma forma que a probabilidade clássica, a probabilidade lógica é uma medida de incerteza baseada em evidências.

Vejamos, então, o que faz de m∗ uma medida especial. Ela é uma medida que faz com que a fun¸cão de confirma¸cão c∗ que ela induz leve em considera¸cão o aprendizado com a experiência. No nosso exemplo, temos que a probabilidade15_{a priori de F a ´}_{e m}∗_{(F a) =} 1

2.

Agora, se soubermos que F b é o caso, intuitivamente, temos uma evidência que corrobora com a hipótese F a e o grau de confirma¸cão é, de fato, maior: c∗(F a, F b) = 2₃. Além disso, se soubermos que F c também é o caso, temos ainda que c∗(F a, F b ∧ F c) = 3₄.

Uma cr´ıtica que se faz à abordagem de Carnap é que m∗ não é a única medida que faz com que o grau de confirma¸cão aprenda com a experiência, mas várias outras medidas levam a fun¸cões de confirma¸cão com esta caracter´ıstica. No entanto, m∗ parece ser a mais simples e natural. Esta caracter´ıstica de m∗é justamente o que leva a interpreta¸cão lógica a generalizar o conceito de implica¸cão lógica e a tratar a indu¸cão.

15_{Como j´}_{a dissemos, no Cap´ıtulo 2 abordamos a quest˜}_{ao da extens˜}_{ao da medida de probabilidade e,}

(31)

A indu¸cão é um modo de inferência largamente usado no dia-a-dia e nas ciências. Um t´ıpico exemplo de indu¸cão é o racioc´ınio que toma como premissas: “O primeiro cisne que vi é branco”, “O segundo cisne que vi é branco”, . . . , “O milésimo cisne que vi é branco” e, disso, infere: “Todos os cisnes são brancos”. Esta inferência, apesar de parecer razoável, não é válida na lógica clássica e a questão que aparece é a de justificar este tipo de racioc´ınio.

Para D. Hume (1711-1776), o conhecido filósofo cético escocês, este racioc´ınio é in-justificável e não passa de uma ilusão irracional (Hum88). N. C. A. da Costa coloca o problema.

O problema central de indu¸cão, dentro de nossa posi¸cão, consiste em se en-contrar alguma forma de justifica¸cão de todos os tipos de indu¸cão correta, porquanto todos eles se utilizam ou podem ser utilizados em ciência. (dC93b) Várias foram as tentativas de justificar a indu¸cão e N. C. A. da Costa, após sentenciar que, até aquele momento, “Todas as tentativas de solu¸cão do problema de se justificar a inferência indutiva falharam” (dC93b), propõe algumas justificativas (dC93b) que admite, também, serem limitadas.

No entanto, o simples abandono do racioc´ınio indutivo é um tanto problemático devido a sua utilidade. Neste caso, há a necessidade da investiga¸cão da estrutura da indu¸cão sendo este o objetivo das lógicas indutivas, sistemas que fazem uso das probabilidades.

Como a lógica dedutiva não precisa legitimar a dedu¸cão para então estudá-la, o mesmo ocorrerá com a lógica indutiva e a opera¸cão de indu¸cão. (dC93b)

Não é nosso objetivo aqui aprofundar sobre a questão da indu¸cão, mas observar que a interpreta¸cão de Carnap das probabilidades tinha o objetivo de demarcar critérios para este tipo de inferência, como fica claro com o fato da fun¸cão de confirma¸cão c∗ aprender com a experiência. E assim, o conceito de implica¸cão lógica é generalizado ao entendermos que c∗(H, E) determina um grau de implica¸cão da evidência E para a hipótese H.

O próprio N. C. A. da Costa esbo¸ca um sistema de lógica indutiva baseado no que ele chama de teoria pragmática da probabilidade, que seria uma interpreta¸cão das proba-bilidades combinando aspectos das interpreta¸cões subjetivas e das interpreta¸cões lógicas. Em suas palavras, “[a probabilidade pragmática] expressa nosso grau de confian¸ca na con-veniência e oportunidade de se admitir uma proposi¸cão como hipótese, com a finalidade de ser testada e criticada” (dC93b).

Para finalizar, lembramos que o principal objeto de estudo deste trabalho é uma semântica probabil´ıstica, que levará às defini¸cões de algumas rela¸cões de consequência

(32)

na linguagem proposicional e, por assim dizer, de algumas lógicas probabil´ısticas. Reco-nhecemos que podem haver rela¸cões entre os sistemas que estudamos e os sistemas de lógica indutiva. Porém, nossa preocupa¸cão não é a argumenta¸cão indutiva, ao contrário, entendemos que o tipo de inferência que tratamos está intimamente ligado com a in-ferência dedutiva. Mais especificamente, com a questão de tratar a dedu¸cão em cenários em que prevalece a incerteza das informa¸cões (premissas), como tentamos explicitar a partir do próximo cap´ıtulo.

1.6 A Probabilidade Propensista

Nesta última se¸cão, voltamos a expor uma interpreta¸cão objetiva da Teoria de Proba-bilidades. A interpreta¸cão propensista surge com o filósofo da ciência K. R. Popper com objetivo de tratar o problema do caso único enfrentado pelas interpreta¸cões objetivas, como comentado na Se¸cão 1.3.

A primeira interpreta¸cão defendida por Popper, em (Pop35), foi uma versão fre-quentista abandonada posteriormente em favor de sua interpreta¸cão propensista. Mas já nesta primeira empreitada, Popper deixa expl´ıcita sua preocupa¸cão em propor uma interpreta¸cão objetiva que trate de casos únicos, diferente da interpreta¸cão de Von Mises, por necessidade da f´ısica moderna.

Ideas involving the theory of probability play a decisive part in modern physics. Yet we still lack a satisfactory, consistent definition of probability; or, what amounts to much the same, we still lack a satisfactory axiomatic system for the calculus of probability.

(Pop59a, tradu¸c˜ao para o inglˆes de (Pop35))

My hope is that these investigations will help to relieve the present unsatis-factory situation in which physicists make much use of probabilities without being able to say, consistently, what they mean by ‘probability’. (Pop59a)

Há uma classe extensa e difusa de propostas propensistas de interpreta¸cões, porém vamos nos ater à proposta de Popper, que também sofreu mudan¸cas de acordo com o amadurecimento de suas ideias. Popper introduz a interpreta¸cão propensista em (Pop57) e a desenvolve em escritos sequentes (Pop59b; Pop83; Pop90).

Para resolver a questão da probabilidade objetiva do caso único, Popper faz uma “pequena” mudan¸ca, podendo até ser entendida como uma restri¸cão, no papel que o conceito de coletivo de Von Mises desempenha na defini¸cão das probabilidades. Mas

(33)

antes de introduzir a ideia de propensão, vejamos um exemplo de coletivo em que a teoria de Von Mises descarta a probabilidade do caso único. Imagine um coletivo formado por homens brasileiros. A probabilidade do atributo “morrer antes dos 41 anos” pode ser aproximada pela frequência relativa deste atributo em rela¸cão ao coletivo estabelecido. Porém, a probabilidade de um certo homem em particular nesta sequência viver mais de 41 anos não pode ser calculada.

We can say nothing about the probability of death of an individual, even if we know his condition of life and health in detail. The phrase ‘probability of death’, when it refers to a single person has no meaning at all for us. This is one of the most important consequences of our definition of probability. (VM57)

Popper chega a sugerir que esta probabilidade é a própria frequência relativa do atri-buto no coletivo, mas ele mesmo, mais tarde, contra-argumenta esta tese (Pop57; Pop59b). Estas investiga¸cões levam Popper a associar valores de probabilidades partindo, ao invés de coletivos, de condi¸cões geradoras de experimentos repetidos.

All this means that the frequency theorist is forced to introduce a modifi-cation of his theory - apparently a very slight one. He will now say that an admissible sequence of events (a reference sequence, a ‘collective’) must always be a sequence of repeated experiments. Or more generally, he will say that admissible sequences must be either virtual or actual sequences which are characterized by a set of generating conditions - by a set of conditions whose repeated realisation produces the elements of the sequences. (Pop59b)

E, então, em sua primeira formula¸cão da interpreta¸cão propensista, Popper asserta que as condi¸cões geradoras são dotadas de uma tendência, uma disposi¸cão, uma propensão a gerar sequências cujas frequências relativas são probabilidades se o experimento for repetido segundo estas condi¸cões.

[...] we have to visualise the conditions as endowed with a tendency or dis-position, or propensity, to produce sequences whose frequencies are equal to the probabilities; which is precisely what the propensity interpretation asserts. (Pop59b)

Com a visão de Popper não é mais necessário, para falar de probabilidades objeti-vamente, que um experimento seja repetido várias vezes. Mas é poss´ıvel, por exemplo,

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postular probabilidades sobre condi¸c˜oes geradoras que sejam realizadas, de fato, uma ´

unica vez.

O chamado problema da classe de referência, abordado por A. J. Ayer em (Aye63), afeta esta interpreta¸cão. Ao estabelecer probabilidades a partir de condi¸cões geradoras, não relacionamos valores de probabilidade a um evento em si, mas às condi¸cões geradoras de um experimento das quais o experimento é somente uma instância.

Desta forma, ao tentar estabelecer a probabilidade de um homem particular morrer antes de completar 41 anos, temos o problema de definir as condi¸c˜oes geradoras que definem este homem particular como: “ser homem”, ou “ser homem brasileiro” ou, mais particularmente, “ser homem brasileiro que fuma dois ma¸cos de cigarro diariamente”.

Conforme Popper desenvolve sua interpreta¸cão propensista, ele muda o significado de propensão como a propriedade de condi¸cões geradoras a gerar frequências relativas para a propriedade de uma situa¸cão f´ısica em um determinado momento.

[...] propensities in physics are properties of the whole physical situation and sometimes of the particular way in which a situation changes. (Pop90)

D. W. Miller, que tamb´em desenvolve este posicionamento tardio de Popper (Mil94; Mil96), coloca sobre a transi¸c˜ao:

In the propensity interpretation, the probability of an outcome is not a mea-sure of any frequency, but (as will be explained) a meamea-sure of the inclination of the current state of affairs to realize that outcome. (Mil94)

Como Gillies critica (Gil00, 127), nesta nova versão propensista não é poss´ıvel testar uma associa¸cão de propensão a um evento devido o caráter único e não repet´ıvel de um estado f´ısico, diferente da primeira versão em que a propensão é relacionada às frequências relativas. Porém, o próprio Miller admite esta limita¸cão.

The propensity interpretation of probability is inescapably metaphysical, not only because many propensities are postulated that are not open to empirical evaluation [...] (Mil96)

Diferente da maioria dos teóricos vistos neste cap´ıtulo, Popper não se preocupa em que sua interpreta¸cão valide o sistema de Kolmogorov. Pelo, contrário, Popper axioma-tizou vários cálculos de probabilidade em seu trabalho. Miller destaca em (Mil) algumas axiomáticas alternativas à de Kolmogorov para a Teoria de Probabilidades como outras

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das contribui¸c˜oes de Popper no estudo das probabilidades. Alguns destes sistemas jun-tamente com outros propostos por Popper e Miller em conjunto, est˜ao sumarizados em (Mil04).

´

E interessante notar, baseado nos sistemas propostos por Popper, sua preferência em tomar como termo primitivo probabilidades condicionais ao invés de probabilidades absolutas. Também é interessante Popper entender que um sistema axiomático deve ser satisfeito por todas as interpreta¸cões propostas. Por isto, em (Pop59b), ele defende que em um desenvolvimento formal, não se deve assumir nada sobre a natureza dos objetos aos quais são associados valores de probabilidades. Neste contexto, Popper critica o cálculo de Kolmogorov por assumir que estes objetos sejam conjuntos.

Finalizamos nossa breve introdu¸cão à Teoria de Probabilidades e às suas principais interpreta¸cões. No próximo cap´ıtulo, seguimos introduzindo a semântica probabil´ıstica e já come¸camos a investigar rela¸cões de consequência, tanto clássicas como probabil´ısticas, a partir desta semântica.

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Semˆ

antica Probabil´ıstica e

Propaga¸

c˜

ao de Incerteza

Neste cap´ıtulo, vamos aprofundar a discussão a respeito do racioc´ınio sob incerteza. Partindo da lógica proposicional clássica, da linguagem proposicional e da semântica bi-valorada, definimos uma semântica probabil´ıstica e estudamos como as incertezas sobre senten¸cas, representadas pelas probabilidades associadas a elas, se propagam das pre-missas para a conclusão em uma inferência. Para isto, vamos introduzir a Teoria de Probabilidades partindo da linguagem proposicional.

2.1 Racioc´ınio sob incerteza

O Sistema de Lógica Proposicional Clássica (LPC) é uma poderosa ferramenta de inferência que tem a pretensão de descrever, segundo alguns, ou normatizar, segundo outros, o racioc´ınio comum. Seu estudo pode ser motivado por diversas aplica¸cões que chegam até aos campos mais práticos, como, por exemplo, o estudo de circuitos elétricos. Porém, há uma caracter´ıstica de LPC (e da lógica clássica como um todo) que pode nos motivar a analisar sua linguagem de um ponto de vista probabil´ıstico: a idealiza¸cão da certeza absoluta sobre o valor de verdade das senten¸cas.

O cético D. Hume chega ao ponto de não aceitar a possibilidade de certeza racional sobre questões que ainda se apresentam no futuro (Hum88). Porém, assumindo uma postura não cética quanto ao futuro, podemos aceitar algum grau de certeza sobre tais fatos. Como, por exemplo, quando, com base nas experiências de vida, olhamos de manhã para o céu nublado e nos atentamos para uma sens´ıvel queda de temperatura e, por isso, conclu´ımos que existe uma grande chance de chover durante o dia. Mesmo que não tenhamos certeza absoluta sobre este fato, este alto grau de certeza pode fazer a diferen¸ca entre levarmos ou não um guarda-chuvas ao sairmos de casa pela manhã. E, mesmo que não chova, muitos vão concordar que esta decisão foi acertada. Afinal de contas, um

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homem prevenido vale por dois!

E já que parece que a análise das senten¸cas no dia-a-dia é feita atribuindo-lhes graus de certeza, nos atentamos ao fato de que estas inferências não têm incidência sobre senten¸cas com valor de verdade bem determinado, mas sobre senten¸cas que possuem certo grau de certeza. Assim, parece natural que concordemos que a seguinte inferência é bastante viável e útil, mesmo sem termos certeza sobre a verdade das premissas:

• Premissa 1. Se houver, pela manh˜a, presen¸ca de grandes nuvens tipo cumulus, chover´a durante o dia;

• Premissa 2. Há presen¸ca de grandes nuvens tipo cumulus esta manhã; • Conclusão. Choverá durante o dia.

Porém, apesar de natural e usual, ao abrirmos mão da idealiza¸cão da lógica clássica para podermos descrever os fenômenos do racioc´ınio do dia-a-dia, abrimos caminho para que poss´ıveis problemas apare¸cam, como podemos notar no Paradoxo da Loteria (Kyb61). Imagine uma loteria justa com mil bilhetes numerados - 1, 2, 3, . . . , 1000 - em que um destes bilhetes será sorteado. As chances de uma proposi¸cão do tipo “O bilhete de número 484 não será sorteado” ser verdadeira é de 999 : 1 (ou ₁₀₀₀999). Com chances tão grandes é natural tomarmos esta senten¸ca por premissa em alguma inferência. E então, podemos tomar por premissa qualquer senten¸ca do tipo:

An: “O bilhete de número n não será sorteado.” n = 1, 2, 3, . . . , 1000)

Podemos, portanto, tomar todas estas mil senten¸cas (A1, . . . , A1000) como premissas e

inferirmos, por LPC, a senten¸ca

A1∧ · · · ∧ A1000,

que juntamente com o fato de que um dos bilhetes será sorteado, gera uma contradi¸cão. Este paradoxo é creditado a assumirmos três princ´ıpios do racioc´ınio (Kva98):

• Existe um limiar da certeza a partir do qual ´e racional aceitar uma senten¸ca como justificada;

• Um conjunto de senten¸cas aceitas como justificadas é dedutivamente fechado. Ou seja, este conjunto contém todas as dedu¸cões feitas a partir de senten¸cas dele; • Não é poss´ıvel, para o mesmo indiv´ıduo ao mesmo tempo, aceitar como justificadas