Na Se¸c˜ao 3.3 chegamos a um impasse sobre o c´alculo da estimativa ´otima da probabi- lidade de uma senten¸ca ψ: o problema de otimiza¸c˜ao linear que apresentamos somente faz sentido quando temos o conjunto α 6= ∅. Caso contr´ario, nenhum vetor k satisfaz as res- tri¸c˜oes do problema. Equivalentemente, n˜ao existe valora¸c˜ao probabil´ıstica satisfazendo as associa¸c˜oes iniciais de probabilidades `as senten¸cas ϕi.
Anterior a esta quest˜ao, todos os exemplos de associa¸c˜ao de probabilidades a senten¸cas que demos no decorrer deste texto necessitam de justificativa quanto `a existˆencia de uma valora¸c˜ao probabil´ıstica que a satisfaz.
Chamamos o problema da avalia¸c˜ao da coerˆencia de valores de probabilidade associ- ados a senten¸cas de Problema da Satisfatibilidade Probabil´ıstica, abreviado por PSAT. Dado um conjunto finito de senten¸cas {ϕ1, . . . , ϕn} ⊂ L e valores de probabilidade
p1, . . . , pn ∈ [0, 1], o PSAT ´e definido como a quest˜ao de decidir sobre a existˆencia de
uma valora¸c˜ao probabil´ıstica P tal que P (ϕi) = pi, para i = 1, . . . , n3.
At´e ent˜ao, os exemplos em que associamos valores de probabilidades a senten¸cas eram de dois tipos: ou associamos probabilidades a senten¸cas atˆomicas ou exibimos uma dis- tribui¸c˜ao de probabilidade que induz os valores de probabilidades dados `as senten¸cas. O c´alculo ´e feito deste modo pois em ambos os casos podemos garantir a satisfatibilidade probabil´ıstica (i.e., podemos garantir que as senten¸cas em quest˜ao podem tomar os va- lores dados devido `a existˆencia de uma valora¸c˜ao probabil´ıstica), como mostraremos nos pr´oximos resultados.
O resultado a seguir garante a coerˆencia de valores de probabilidades, desde que estas sejam fundamentados por uma distribui¸c˜ao de probabilidade.
Teorema 3.4.1. Seja P uma distribui¸c˜ao de probabilidade para as descri¸c˜oes de estado do conjunto α = {A1, . . . , An} ⊂ L. Ent˜ao, existe uma valora¸c˜ao probabil´ıstica PE : L → R
tal que PE {±A1∧ · · · ∧ ±An} = P .
3O PSAT ´e a generaliza¸c˜ao natural do Problema da Satisfatibilidade, o SAT: o problema de decidir se,
dado um conjunto finito de senten¸cas {ϕ1, . . . , ϕn} ⊂ L, existe uma valora¸c˜ao cl´assica v tal que v(ϕi) = 1,
Demonstra¸c˜ao. Sendo o conjunto Γ ⊂ N = {1, . . . , n}, definimos a valora¸c˜ao proba- bil´ıstica PE : L → R pelas seguintes cl´ausulas:
• PE(ϕ) = P (ϕ), se ϕ for uma descri¸c˜ao de estados de α;
• PE(Vi∈ΓA0i) = P ±P ( V i∈ΓA 0 i∧ V
i∈N \Γ±Ai), em que A 0 i ∈ {Ai, ¬Ai}; • PE( V i∈ΓA 0
i∧ϕ) = 0, se ϕ for uma senten¸ca atˆomica ou uma descri¸c˜ao de estados com
ao menos um literal que n˜ao seja negado, e n˜ao for formada por nenhum elemento de α; • PE( V i∈ΓA 0 i ∧ ϕ) = PE( V i∈ΓA 0
i), se ϕ for um literal negado ou uma descri¸c˜ao de
estados composta somente por literais negados, e n˜ao for formada por nenhum elemento de α;
• PE(ϕ) = 0, se ϕ n˜ao se encaixa em nenhum caso anterior e for uma senten¸ca atˆomica
ou uma descri¸c˜ao de estados com ao menos um literal que n˜ao seja negado;
• PE(ϕ) = 1, se ϕ n˜ao se encaixa em nenhum caso anterior e for um literal negado ou
uma descri¸c˜ao de estados composta somente por literais negados; • PE(ϕ) = 0, se ϕ for uma contradi¸c˜ao;
• PE(ϕ) =
P
iP (di(ϕ)), em que di(ϕ) s˜ao as descri¸c˜oes de estado da FND canˆonica
equivalente a ϕ, se ϕ n˜ao se encaixa nos casos anteriores.
Vamos agora mostrar que PE satisfaz os axiomas K1-K3 da Defini¸c˜ao 2.2.1.
PE ´e n˜ao-negativa em qualquer caso de sua defini¸c˜ao. Em particular, para qualquer
descri¸c˜ao de estado e, no ´ultimo caso, para um senten¸ca ϕ ∈ L, PE(ϕ) =
X
i
PE(di(ϕ)) ≥ 0.
Se ` ϕ, pela constru¸c˜ao canˆonica, a FND de ϕ ´e formada por todas as descri¸c˜oes de estado do conjunto das senten¸cas atˆomicas que a comp˜oem. Este conjunto β de senten¸cas atˆomicas pode satisfazer qualquer das situa¸c˜oes: β = α, β ( α, α ⊂ β ou β ∩ α = ∅. As seis primeiras cl´ausulas da defini¸c˜ao de PE contemplam todos estes casos e deste fato,
combinado com a defini¸c˜ao de distribui¸c˜ao de probabilidade, segue que PE(ϕ) = 1.
Finalmente, para mostrar K3, seguimos a mesma estrat´egia que usamos no Teorema 2.4.1. Estendemos a FND canˆonica de ϕ para uma FND fϕ que contenha todas as
descri¸c˜oes de estado das senten¸cas atˆomicas que comp˜oem ϕ e ψ. Nesta extens˜ao, ´e importante que PE(ϕ) = PE(fϕ), o que ´e garantido pela defini¸c˜ao de PE.
Fazendo a constru¸c˜ao an´aloga com ψ, segue que a disjun¸c˜ao das duas ´e exatamente a FND canˆonica de ϕ ∨ ψ e, pelo fato de ` ¬(ϕ ∧ ψ), segue que nas FNDs constru´ıdas n˜ao se repete nenhuma descri¸c˜oes de estado. Portanto, PE(ϕ ∨ ψ) = PE(ϕ) + PE(ψ).
O pr´oximo resultado deste tipo, a seguir, garante que quaisquer valores de probabili- dades que associamos a um conjunto de senten¸cas atˆomicas ´e coerente.
Teorema 3.4.2. Seja α = {A1, . . . , An} um conjunto finito de senten¸cas atˆomicas de L
de forma que s˜ao associadas probabilidades a cada elemento de α por P (Ai) = ai ∈ [0, 1],
para i = 1, . . . , n. Ent˜ao, existe uma valora¸c˜ao probabil´ıstica PA : L → R de forma que
PA α = P .
Demonstra¸c˜ao. Definiremos uma distribui¸c˜ao de probabilidade PA para as descri¸c˜oes de
estado de α que pelo Teorema 3.4.1, poder´a ser estendida a uma valora¸c˜ao probabil´ıstica. Para isto, supomos, sem perda de generalidade, que a1 ≤ · · · ≤ an e a distribui¸c˜ao PA ´e
definida por:
• PA(A1∧ · · · ∧ An) = a1;
• PA(¬A1∧ A2∧ · · · ∧ An) = a2− a1;
• PA(¬A1∧ · · · ∧ ¬Am−1∧ Am∧ · · · ∧ An) = am− am−1;
• PA(¬A1∧ · · · ∧ ¬An) = 1 − an;
• PA(±A1∧ · · · ∧ ±An) = 0, para as demais descri¸c˜oes de estado que n˜ao se encaixam
nos itens acima.
PA ´e, de fato, uma distribui¸c˜ao de probabilidade pois, definindo a0 = 0 e an+1 = 1,
temos que X ± P (±A1∧ · · · ∧ ±An) = n+1 X i=1 ai− ai−1= 1.
Agora, ignorando as probabilidades de descri¸c˜oes de estado que s˜ao nulas, temos tamb´em que PA(Ai) = X ± PA(±A1∧ · · · ∧ Ai∧ · · · ∧ ±An) = = P (A1∧ · · · ∧ An) + P (¬A1∧ A2∧ · · · ∧ Ai∧ · · · ∧ An) + · · · +
+P (¬A1∧ · · · ∧ ¬Ai−1∧ Ai∧ · · · ∧ An) = i
X
j=1
O Teorema 3.4.2 garante que sempre podemos efetuar o c´alculo do problema da se¸c˜ao anterior no caso em que as senten¸cas ϕi sejam atˆomicas, pois teremos α 6= ∅. Para os
demais casos, ainda ´e preciso resolver o PSAT para proceder. Na pr´oxima se¸c˜ao, veremos um m´etodo de computa¸c˜ao da fun¸c˜ao Mψ que, al´em de calcular o valor da fun¸c˜ao, tamb´em
resolve o PSAT.
Ainda sobre o PSAT, devemos lembrar que foi originalmente formulado por G. Boole (Boo54) e foi introduzido na comunidade cient´ıfica da ciˆencia da computa¸c˜ao e da inte- ligˆencia artificial por Nilsson (Nil86; Nil93). Nossa justificativa para estudar o PSAT ´e completamente te´orica, como justificado no in´ıcio desta se¸c˜ao e na Se¸c˜ao 3.3. Contudo, este problema tem um consider´avel potencial de aplica¸c˜oes como em modelos computaci- onais para processos biol´ogicos, aprendizado de m´aquina, economia, econometria, etc.
Portanto, apesar de nossa proposta de solu¸c˜ao atrav´es do Teorema 3.4.1 ser um tanto “artesanal”, dado que ´e necess´ario procurar valores (`a m˜ao, no caso dos nossos exemplos) para uma distribui¸c˜ao de probabilidade a fim de justificar a satisfatibilidade, por seu grande interesse computacional, esfor¸cos tˆem sido feitos para descrever um algoritmo eficiente para a resolu¸c˜ao do PSAT e para entender sua rela¸c˜ao com o SAT, j´a que ambos os problemas tˆem mesma complexidade computacional. M. Finger e G. De Bona investigam quest˜oes como estas em (FDB10), (FDB11) e (FDB15).