At´e aqui, as rela¸c˜oes de consequˆencia probabil´ıstica definidas no Cap´ıtulo 2, como vimos, s˜ao equivalentes `a rela¸c˜ao de consequˆencia l´ogica cl´assica. Isto porque estivemos preocupados em estudar como as incertezas se propagam em inferˆencias. Na primeira rela¸c˜ao definida, levamos em considera¸c˜ao a preserva¸c˜ao dos valores de probabilidade 1, que mostrou se comportar da mesma forma como a verdade se preserva na rela¸c˜ao de consequˆencia l´ogica. J´a na rela¸c˜ao de Adams, nos inspiramos no c´alculo da estimativa da incerteza da conclus˜ao de uma inferˆencia, dadas as incertezas das premissas destas inferˆencias.
Contudo, com o m´etodo de estimativa de probabilidades exposto neste cap´ıtulo, que, apesar das maiores dificuldades t´ecnicas, generaliza os resultados que t´ınhamos, vamos estudar outro tipo de consequˆencia probabil´ıstica. Esta nova rela¸c˜ao foi proposta por Hailperin em (Hai84), (Hai96) e (Hai10).
Para introduzir a nova consequˆencia probabil´ıstica como uma generaliza¸c˜ao da con- sequˆencia cl´assica, lembramos que esta pode ser definida a partir das valora¸c˜oes cl´assicas. Assim, uma senten¸ca ψ ∈ L ´e uma consequˆencia l´ogica das senten¸cas ϕ1, . . . , ϕn ∈ L se,
para toda valora¸c˜ao v em que v(ϕ1) = · · · = v(ϕn) = 1, tenhamos v(ψ) = 1. Podemos
generalizar a consequˆencia l´ogica cl´assica afrouxando as exigˆencias sobre os valores de v do seguinte modo: ψ ´e uma consequˆencia l´ogica de ϕ1, . . . , ϕn se, para toda valora¸c˜ao v
em que v(ϕ1) = v1, . . . , v(ϕn) = vn, tenhamos v(ψ) = v0 (em que v0, v1, . . . , vn ∈ {0, 1}).
Denotamos esta rela¸c˜ao por
V (ϕ1) = v1, . . . , V (ϕn) = vn |= V (ψ) = v0.
Podemos generalizar ainda a consequˆencia l´ogica tomando α1, . . . , αn, β ∈ ℘({0, 1}) \
{∅} e dizendo que ψ ´e consequˆencia l´ogica de ϕ1, . . . , ϕn se, para toda valora¸c˜ao v em que
v(ϕ1) ∈ α1, . . . , v(ϕn) ∈ αn, tenhamos v(ψ) ∈ β. Esta rela¸c˜ao ´e denotada por
V (ϕ1) ∈ α1, . . . , V (ϕn) ∈ αn |= V (ψ) ∈ β.
Veja que esta rela¸c˜ao de consequˆencia l´ogica n˜ao ´e definida sobre as senten¸cas de L, mas sobre pares que envolvem uma senten¸ca de L e um conjunto, elemento de ℘({0, 1}) \ {∅}. Tomando ϕ1 = A → C, ϕ2 = B ∨ C e ψ = (A → B) ∧ (A ∨ B), alguns exemplos desta
rela¸c˜ao de consequˆencia l´ogica s˜ao:
• V (ϕ1) = 1, V (ϕ2) = 1 |= V (ψ) ∈ {0, 1},
• V (ϕ1) ∈ {0, 1}, V (ϕ2) = 0 |= V (ψ) = 0.
(Note que quando o conjunto de valores ´e um conjunto unit´ario, como {1}, denotamos, por exemplo, V (ϕ1) = 1 ao inv´es de V (ϕ1) ∈ {1}.)
Hailperin observou (Hai84) que esta forma generalizada de consequˆencia l´ogica pa- rece n˜ao ser de nenhum interesse para a l´ogica cl´assica bivalorada. Por´em, ela serve de prot´otipo para uma nova consequˆencia l´ogica probabil´ıstica que prometemos definir nesta se¸c˜ao.
Defini¸c˜ao 3.6.1. Sejam as senten¸cas ϕ1, . . . , ϕn, ψ ∈ L e os conjuntos α1, . . . , αn, β ⊂
[0, 1]. A rela¸c˜ao de consequˆencia probabil´ıstica de Hailperin, denotada por p(ϕ1) ∈ α1, . . . , p(ϕn) ∈ αn|=H p(ψ) ∈ β,
´e definida da seguinte maneira: para toda valora¸c˜ao probabil´ıstica P , tal que P (ϕ1) ∈
α1, . . . , P (ϕn) ∈ αn, temos que P (ψ) ∈ β.
Podemos caracterizar alguns casos desta rela¸c˜ao de consequˆencia a partir das identi- dades da Teoria de Probabilidades. Por exemplo, como para as senten¸cas ϕ, ψ ∈ L e para qualquer valora¸c˜ao probabil´ıstica P temos que
P (ϕ ∨ ψ) = P (ϕ) + P (ψ) − P (ϕ ∨ ψ), segue que
p(ϕ) = a, p(ψ) = b, p(ϕ ∧ ψ) = c |=H p(ϕ ∨ ψ) = a + b − c.
´
E claro que para quaisquer senten¸cas ϕ1, . . . , ϕn, ψ ∈ L e conjuntos α1, . . . , αn ⊂ [0, 1]
temos que
p(ϕ1) ∈ α1, . . . , p(ϕn) ∈ αn |= p(ψ) ∈ [0, 1].
Os casos de maior interesse da rela¸c˜ao de consequˆencia s˜ao aqueles em que o conjunto β associado a ψ ´e o menor poss´ıvel, seja para tomarmos uma decis˜ao mais confi´avel de acordo com a estimativa da probabilidade ou, at´e, para garantir a aceita¸c˜ao racional de ψ com o crit´erio exposto na Se¸c˜ao 3.1.
Nos casos em que os conjuntos α1, . . . , αn s˜ao unit´arios, o m´etodo de estimar probabi-
lidades apresentado neste cap´ıtulo resolve o problema de determinar o menor intervalo β e caracteriza completamente esta classe da rela¸c˜ao de consequˆencia l´ogica de Hailperin9.
Com o m´etodo de Hailperin, a semˆantica probabil´ıstica responde, para os casos de conjuntos αi unit´arios, a Quest˜ao Fundamental da L´ogica Probabil´ıstica10 (HRWW11),
9Nos casos em que α
1, . . . , αn s˜ao intervalos, o m´etodo apresentado pode ser facilmente adaptado para
tamb´em determinar o menor intervalo β, como pode ser visto em (Hai65).
que ´e justamente encontrar quais conjuntos β podem ser associados a ψ dados ϕ1, . . . , ϕn
e α1, . . . , αn.
O primeiro exemplo de c´alculo utilizando o m´etodo deste cap´ıtulo introduz a seguinte consequˆencia de Hailperin:
p(A) = a, p(B) = b, p(C) = c
|=H p(A ∨ B → C) ∈ [max{c, 1 − a − b}, min{c − b + 1, c − a + 1, 1}].
Al´em deste, listamos a seguir outros exemplos da consequˆencia de Hailperin. Os dois primeiros podemos entender como vers˜oes probabil´ısticas das regras de inferˆencia e o ´
ultimo trata, de alguma forma, de uma conhecida inferˆencia falaciosa. • p(A) = a, p(A → B) = b |=H p(B) ∈ [a + b − 1, b],
com a condi¸c˜ao de consistˆencia a + b ≥ 1, ´e uma vers˜ao probabil´ıstica da regra de Modus Ponens;
• p(A → B) = a, p(B → C) = b |=H p(A → C) ∈ [a + b − 1, 1],
com a condi¸c˜ao de consistˆencia a + b ≥ 1, ´e uma vers˜ao probabil´ıstica da regra do Silogismo Hipot´etico;
• p(A → B) = a |=H p(B → A) ∈ [1 − a, 1]
´
e a fal´acia da invers˜ao do condicional.
As condi¸c˜oes de consistˆencia sobre as probabilidades das premissas garantem que existe uma valora¸c˜ao probabil´ıstica que valora as premissas desta forma. O problema de conhecer as condi¸c˜oes de consistˆencia se resume ao problema de garantir que n˜ao seja vazia a regi˜ao delimitada pelas restri¸c˜oes do problema de otimiza¸c˜ao linear associado ao c´alculo da estimativa de probabilidades em quest˜ao. Ou seja, ao PSAT.
A rela¸c˜ao de consequˆencia probabil´ıstica de Hailperin aponta para uma nova vertente da racionalidade, n˜ao necessariamente coincidente com rela¸c˜oes de consequˆencia proba- bil´ıstica como a de Adams ou a rela¸c˜ao de consequˆencia tradicional apresentada na Se¸c˜ao 2.4. Contudo, uma compara¸c˜ao entre estas rela¸c˜oes de consequˆencia probabil´ıstica ´e uma quest˜ao complicada, ainda n˜ao resolvida na literatura.
Probabilidades em L´ogicas
N˜ao-Cl´assicas
At´e agora trabalhamos com semˆanticas probabil´ısticas para a l´ogica proposicional cl´assica. Neste cap´ıtulo vamos introduzir algumas outras maneiras de considerar proba- bilidades em sistemas l´ogicos n˜ao-cl´assicos.
Dentre as v´arias possibilidades de se aventurar nesta dire¸c˜ao, mostraremos alguns sis- temas de l´ogica modal em que a ideia de probabilidade ´e capturada atrav´es de operadores modais e, tamb´em, apresentaremos semˆanticas probabil´ısticas para outros sistemas: de l´ogica multivalorada e de l´ogica paraconsistente.
4.1
O prov´avel enquanto modalidade
Uma maneira alternativa de se considerar probabilidades em um sistema l´ogico ´e atrav´es de operadores modais de probabilidade. Na primeira abordagem que mostraremos introduzimos o conceito de prov´avel na linguagem-objeto estendendo o alfabeto de L com o operador un´ario P.
Em (Ham59), C. L. Hamblin estende L ainda com outros operadores para averiguar as rela¸c˜oes entre senten¸cas do tipo Pϕ, em que ϕ ´e uma senten¸ca n˜ao-modal, e senten¸cas do tipo2ϕ e Vϕ. Aqui, 2 ´e o operador de necessidade e V ´e um operador epistˆemico que, em Vϕ, ´e interpretado por “sabe-se que ϕ ´e verdadeiro”. A linguagem para o sistema de C. L. Hamblin estende L com os operadores P, 2 e V sem admitir itera¸c˜ao destes operadores nas senten¸cas.
Dentre as interpreta¸c˜oes propostas para Pϕ, uma delas faz uso da teoria de probabi- lidades: a senten¸ca “ϕ ´e prov´avel”, formalizada por Pϕ, significa que a probabilidade de ϕ ´e maior ou igual a x, para 12 < x ≤ 1. Para levar a cabo sua investiga¸c˜ao, a l´ogica de C. L. Hamblin ´e dada pelo seguinte sistema axiom´atico1, com a regra de Modus Ponens 1No artigo original, C. L. Hamblin introduz os axiomas em nota¸c˜ao polonesa. N´os traduzimos para a
(MP):
i. Um sistema axiom´atico para LPC, com suas regras usuais e com a exce¸c˜ao de que a substitui¸c˜ao n˜ao pode criar itera¸c˜ao de modalidades;
ii. Se ϕ ´e um teorema n˜ao-modal, 2ϕ ´e um teorema; 1. 2ϕ → ϕ; 2. 2(ϕ → ψ) → (2ϕ → 2ψ); 3. 2ϕ → Vp; 4. Vϕ → ϕ; 5. V(ϕ → ψ) → (Vϕ → Vψ); 6. Vϕ → Pϕ; 7. P¬ϕ → ¬Pϕ; 8. V(ϕ → ψ) → (Pϕ → Pψ).
C. L. Hamblin chama as probabilidades deste sistema de epistˆemicas e diz que para um sistema de probabilidades al´eticas os axiomas (6) e (8) devem ser substitu´ıdos por:
6’. 2ϕ → Pϕ;
8’. 2(ϕ → ψ) → (Pϕ → Pψ).
Embora as rela¸c˜oes do operador P com os demais operadores modais sejam interessan- tes objetos de estudo, por si s´o este operador possui propriedades interessantes, como, por exemplo, o fato das seguintes senten¸cas n˜ao serem teoremas do sistema de C. L. Hamblin:
• (Pϕ ∧ Pψ) → P(ϕ ∧ ψ); • P(ϕ → ψ) → (Pϕ → Pψ).
J. P. Burgess, mais tarde, prop˜oe em (Bur69) um sistema muito parecido com o de C. L. Hamblin, mas que admite modalidades iteradas e abandona o operador V. Por´em, J. P. Burgess mostra que, para a interpreta¸c˜ao de C. L. Hamblin, que identifica prov´avel com nota¸c˜ao apresentada.
probabilidade maior que 12, ambos os sistemas s˜ao incompletos. Mais sobre estes sistemas pode ser encontrado em (AC05) e (Yal10).
Al´em destes sistemas, que representam a incerteza qualitativamente, j´a foram propos- tos sistemas com operadores modais que representam probabilidades quantitativas, como o de A. Heifetz e P. Mongin (HM98; HM01). Este sistema ´e constru´ıdo sobre a linguagem L estendida com os infinitos operadores modais Lα, para α ∈ [0, 1] ∩ Q, com o pretendido
significado “a probabilidade de ϕ ´e, pelo menos, α” para a senten¸ca Lαϕ. As seguintes
abrevia¸c˜oes podem ser definidas em termos de Lα:
• Mαϕ ↔ L1−α¬ϕ, significando “a probabilidade de ϕ ´e, no m´aximo, α”;
• Eαϕ ↔ Mαϕ ∧ Lαϕ, significando “a probabilidade de ϕ ´e α”;
• Sαϕ ↔ ¬Lαϕ, significando “a probabilidade de ϕ ´e menor que α”;
• Gαϕ ↔ ¬Mαϕ, significando “a probabilidade de ϕ ´e maior que α”.
O sistema apresentado logo mais ´e motivado por trabalhos em l´ogica epistˆemica e fundamentos da teoria da decis˜ao e da teoria dos jogos, por isso, A. Heifetz e P. Mongin consideram a interpreta¸c˜ao subjetiva das probabilidades. Note, tamb´em, que estamos usando fun¸c˜oes de probabilidade sobre uma σ-´algebra de conjuntos, logo, estamos falando das fun¸c˜oes da Defini¸c˜ao 1.1.1 com o axioma K3’ (Cap´ıtulo 1).
A. Heifetz e P. Mongin visam axiomatizar estruturas probabil´ısticas da forma m = hΩ, A, P, vi em que Ω ´e um conjunto de mundos poss´ıveis, A ´e uma σ-´algebra de sub- conjuntos de Ω, P ´e uma fun¸c˜ao que associa cada mundo poss´ıvel de Ω a uma fun¸c˜ao de probabilidade sobre A e v ´e uma valora¸c˜ao que associa, a cada par hω, ϕi de um mundo poss´ıvel ω ∈ Ω e de uma senten¸ca atˆomica ϕ ∈ L, um valor de verdade 0 ou 1. Estas estruturas podem ser vistas como refinamentos das estruturas da tradicional semˆantica de Kripke para a l´ogica modal.
A valora¸c˜ao v de uma estrutura m obedece as mesmas regras que uma valora¸c˜ao cl´assica para L. Assim, por exemplo, para senten¸cas ϕ, ψ ∈ L e para um mundo ω ∈ Ω, temos que v(ω, ϕ ∧ ψ) = 1, se v(ω, ϕ) = 1 e v(ω, ψ) = 1. Este fato ´e denotado por
m, ω |= ϕ ∧ ψ.
J´a uma senten¸ca do tipo Lαϕ, com ϕ ∈ L, ´e v´alida em um mundo ω ∈ Ω de uma
estrutura m se P (ω)([ϕ]) ≥ α, em que
Este fato ´e denotado por
m, ω |= Lαϕ.
Como exemplo de estrutura m, imagine um indiv´ıduo que percebe as nuvens e a mudan¸ca de temperatura ao acordar pela manh˜a mas n˜ao sabe com certeza se ir´a chover durante a tarde. A partir das senten¸cas A: “Chove” e B: “H´a nuvens e varia¸c˜ao da temperatura”, podemos conceber quatro mundos poss´ıveis com a valora¸c˜ao v dada por:
• v(ω1, A) = 1 e v(ω1, B) = 1;
• v(ω2, A) = 1 e v(ω2, B) = 0;
• v(ω3, A) = 0 e v(ω3, B) = 1;
• v(ω4, A) = 0 e v(ω4, B) = 0.
De posse da informa¸c˜ao clim´atica, o indiv´ıduo n˜ao pode distinguir entre os mundos ω1e
ω3. Independente de qual a real configura¸c˜ao do mundo, ele d´a as seguintes probabilidades
subjetivas para ωi, i ∈ {1, 3}:
• P (ωi)(ω1) = 0, 7;
• P (ωi)(ω2) = 0;
• P (ωi)(ω3) = 0, 3;
• P (ωi)(ω4) = 0.
Assim, como [A] = {ω1, ω2}, segue que
P (ωi)(A) = 0, 7 i ∈ {1, 3}.
E, portanto,
m, ω1 |= L0,7A;
m, ω3 |= L0,7A.
Se, para todo mundo poss´ıvel ω ∈ Ω de uma estrutura m, temos que m, ω |= ϕ, escrevemos
m |= ϕ. E se, para toda estrutura m, m |= ϕ, escrevemos
|= ϕ.
A. Heifetz e P. Mongin partem do seguinte sistema, baseado em R. Aumann2(Aum99), para axiomatizar a rela¸c˜ao de consequˆencia semˆantica definida acima:
2Robert Aumann foi laureado com o Prˆemio de Ciˆencias Econˆomicas em Mem´oria de Alfred Nobel,
A0. Um sistema axiom´atico para LPC ; A1. L0ϕ; A2. Lα(ϕ ∨ ¬ϕ); A3. Lα(ϕ ∧ ψ) ∧ Lβ(ϕ ∧ ¬ψ) → Lα+βϕ, α + β ≤ 1; A4. Sα(ϕ ∧ ψ) ∧ Sβ(ϕ ∧ ¬ψ) → Sα+βϕ, α + β ≤ 1; A5. Lαϕ → Sβ¬ϕ, α + β > 1; A6. Se ` ϕ ↔ ψ, ent˜ao ` Lαϕ ↔ Lαψ.
Por´em, este sistema n˜ao ´e completo em rela¸c˜ao `as estruturas probabil´ısticas. Para completar o sistema, A. Heifetz e P. Mongin adicionam um axioma extra, um tanto mais complicado, inspirado por propriedades avan¸cadas das probabilidades. A discuss˜ao sobre o completamento do sistema ´e encontrada em (HM98).
As rela¸c˜oes entre modalidade e probabilidade ainda s˜ao bastante incipientes e deixam em aberto um vasto e promissor campo de investiga¸c˜ao.