˙˜x = α + σ ˜x2 ˙ y = − ˜y, (1-17) com σ = ±1.
O diagrama de fase do campo vetorial 7 quando σ = 1 é dado na Figura 1.9. Para mais detalhes dessa forma normal veja as páginas 157-160 de [16].
1.2.2 Bifurcação de Hopf
A bifurcação de Hopf está relacionada com o aparecimento ou desaparecimento de um ciclo limite. Também é caracterizada pelo fato de que variando o parâmetro de bifurcação o ponto de equilíbrio do sistema bidimensional (1-10) possui dois autovalores imaginários puros.
Uma das condições necessárias para a existência de uma órbita periódica na bifurcação de Hopf para um valor α, é verificar que os autovalores imaginários puros λ1,2 cruzem
(a) α < 0 (b) α = 0
(c) α > 0
Figura 1.9: Diagrama de bifurcação sela-nó, x ∈ R2
o eixo imaginário com uma velocidade não nula, o qual pode ser visualizado de uma maneira melhor no seguinte teorema.
Teorema 8 Seja ˙x = f (x, α) = A(α)x + F(x, α) de classe Ck, com k > 2, um campo vetorial que depende de um parâmetro escalar α tal que F(α, 0) = 0 e DxF(α, 0) = 0 para todo|α| suficientemente pequeno. Suponha que a parte linear A(α) tem, na origem, autovalores próprios λ1,2= η(α) ± iβ(α) com η(0) = 0 e β(0) 6= 0. Além disso, suponha que
dη
dα(0) 6= 0 (1-18)
Então, em qualquer U ⊆ R2 vizinhança da origem e dado qualquer α0> 0 existe um ˜α com| ˜α| < α0tal que a equação diferencial
˙x = f (x, ˜α) = A( ˜α)x + F (x, ˜α) (1-19)
tem uma órbita periódica não trivial em U .
Uma segunda condição na bifurcação de Hopf que nos permite estudar a esta-bilidade da órbita periódica que aparece ou desaparece, é dada em termos do primeiro coeficiente de Lyapunov, tal que se consideramos um sistema planar da forma
( ˙
x = αx − y + p(x, y) ˙
y = x + αy + q(x, y) (1-20)
onde p(x, y) e q(x, y) são funções analíticas definidas como
p(x, y) =
∑
i+ j≥2 ai jxiyj=(a20x2+ a11xy+ a02y2) + (a30x3+ a21x2y+ a12xy2+ a03y3) + . . . q(x, y) =∑
i+ j≥2 bi jxiyj=(b20x2+ b11xy+ b02y2) + (b30x3+ b21x2y+ a12xy2+ a03y3) + . . .Denotamos o coeficiente de Lyapunov por l1, para achar l1temos em conta [19] e [3]. Seja P(s) a aplicação de Poincaré para um foco na origem de um sistema planar analítico (1-20) com b 6= 0 e suponha que P(s) está definida para 0 < s < δ0. Então temos a definição a seguir.
Definição 18 Seja a função d(s) = P(s) − s, o valor da i-ésima derivada da função d(s) na singularidade, isto é, d(i)(0), é chamado o i-ésimo valor focal do foco na singularidade.
Lema 1 Se existe k tal que
d0(0) = 0, d00(0) = 0, . . . , d(k−1)(0) = 0, dk(0) 6= 0 (1-21) então k é um numero ímpar.
Prova. Veja a página 243 de [3].
Definição 19 Se as condições de (1-21) são satisfeitas, e k = 2m + 1, m > 0, dizemos que o foco na origem é um foco de multiplicidade m.
Aplicando série de Maclaurin à função d(s) e com a condição (1-21) temos
d(s) = d
(k)(0) k! s
k.
Então, se k = 2m + 1 ≥ 1, o foco é estável quando d(k)(0) < 0 e instável quando d(k)(0) > 0.
Tendo em conta o sistema (1-20) quando α = 0, e o sistema em coordenadas polares é dado por
dρ
dθ = R(ρ, θ). (1-22)
A função R(ρ, θ) pode se expressar então em uma série de potências da seguinte forma
R(ρ, θ) = R1(θ)ρ + R2(θ)ρ2+ . . . , (1-23) Esta série é convergente para algum r1 e para todo 0 ≤ θ ≤ 2π. A função solução do sistema (1-22) definida como segue
ρ = f (θ; 0, ρ0), satisfaz a condição inicial
f(0; 0, θ0) = ρ0, onde é também uma função analítica.
Desta forma podemos estender a solução anterior em termos do valor inicial ρ0
ρ = f (θ; 0, ρ0) = u1(θ)ρ0+ u2ρ2+ . . . (1-24) Pelo anterior temos que
u1(0) = 1, u2(0) = u3(0) = . . . = 0 , (1-25) trocando a expansão (1-24) na variável ρ da expressão (1-23) temos a relação
u01(θ) = R1(θ)u2(θ),
u02(θ) = R1u2(θ) + R2(θ)u31(θ),
u03(θ) = R1u3(θ) + 2R2(θ)u1(θ)u2(θ) + R3(θ)u21(θ). . . .
(1-26)
Por outro lado sejam p(x, y) e q(x, y) de (1-20) como
p(x, y) = P1(x, y) + P2(x, y) + . . . e q(x, y) = Q1(x, y) + Q2(x, y) + . . .
onde Pi(x, y) e Qi(x, y) são polinômios homogêneos de i-ésimo grau. Assim, da equação (1-22) podemos fazer R(ρ, θ) = ∑ ∞ m=2ρmum(cos(θ), sen(θ)) 1 + ∑∞ m=2ρm−1vm(cos(θ), sen(θ) (1-27)
onde
um(cos(θ), sen(θ)) = Pm(cos(θ), sen(θ))cos(θ) + Qm(cos(θ), sen(θ))sen(θ), e
vm(cos(θ), sen(θ)) = Qm(cos(θ), sen(θ))cos(θ) − Pm(cos(θ), sen(θ))sen(θ) Agora, fazendo iguais as equações (1-23) e (1-27) temos o seguinte sistema de equações
u2= R2, u3= R3+ R2v2, u4= R4+ R3v22 + R2v3, . . . e, em consequência, R2= u2, R3= u3− R2v2, R4= u4− R3v2+ R2v3. . . . (1-28)
Dessa forma, trocando (1-28) em (1-26) temos as soluções de ui(2π) = αi e com isso di(0) = i!αi.
Particularmente, como nosso foco é de multiplicidade 1 basta calcular d000(0) = 3!α3, isto é fazendo P2(x, y) = a20x2+ a11xy+ a02y2, P3(x, y) = a30x3+ a21x2y+ a21xy2+ a03y3, Q2(x, y) = b20x2+ b11xy+ b02y2, Q3(x, y) = b30x3+ b21x2y+ b21xy2+ b03y3, podemos encontrar, pelo processo acima, que
α3=π 4[3(a30+ b03) + (a12+ b21) − 2(a20b20− a02b02) + a11(a02+ a20) − b11(b02+ b20)]. Portanto, l1= d000(0) = 3!α3=3π 2 [3(a30+ b03) + (a12+ b21) − 2(a20b20− a02b02) + a11(a02+ a20) − b11(b02+ b20)]. (1-29)
O teorema a seguir mostra a relação entre o número de Lyapunov e a bifurcação de Hopf. Teorema 9 Se l1 6= 0, então uma bifurcação de Hopf acontece no ponto de equilíbrio 0 = (0, 0) do sistema (1-20) no valor α = 0; em particular, se l1< 0 então um único ciclo
limite estável bifurca o equilíbrio0, isto enquanto α acresce do zero; e se l1> 0, então um único ciclo limite instável bifurca o ponto0, isto enquanto α decresce a partir de zero.
Prova. Veja as páginas 261-264. de [3].
Observações 2
i) Se l1< 0 então o sistema (1-20) apresenta uma bifurcação de Hopf frequentemente chamada bifurcação de Hopf supercrítica porque o ciclo limite é estável e existe para valores maiores do parâmetro α (“após”a bifurcação).
ii) Se l1> 0 então o sistema (1-20) apresenta uma bifurcação de Hopf frequentemente chamada bifurcação de Hopf subcrítica porque o ciclo limite é instável e existe para valores menores do parâmetro α (“antes”da bifurcação).
No exemplo a seguir, estudamos a forma normal da bifurcação de Hopf para analisar o comportamento qualitativo de seu diagrama de bifurcação.
Exemplo 2 (A forma normal da bifurcação de Hopf) Considere o seguinte sistema de duas equações diferenciais dependendo de um parâmetro:
( ˙
x = αx − y − x(x2+ y2) ˙
y = x + αy − y(x2+ y2) (1-30)
com α ∈ R, que também pode ser escrito como:
˙x ˙ y = α −1 1 α ! x y − (x2+ y2)x y = F(x, α). (1-31)
Este sistema possui um único ponto de equilíbrio na origem0 = (0, 0) para todo α com a matriz Jacobiana:
A= DxF(0, α) = α −1
1 α
!
(1-32)
Os autovalores da matriz A são λ1,2= α ± i, portanto a origem é um foco atrator se α < 0 e um foco repulsor se α > 0. Quando α = 0 temos autovalores imaginários puros. A mudança do retrato de fase do sistema (1-30) conforme o parâmetro α passa pelo valor zero pode ser analisada usando coordenadas polares(x = rcos(θ), y = rsen(θ)), pois leva o sistema (1-30) a um sistema de equações desacopladas, dado por
(
˙r = r(α − r2)
Considerando r≥ 0 a primeira equação tem dois pontos de equilíbrio, em r = 0 para todos os valores de α, e em r =√
α para α > 0. O equilíbrio r = 0 é linearmente estável se α < 0; ele permanece estável em α = 0, mas não linearmente porque não é um ponto de equilíbrio hiperbólico; para α > 0 o equilíbrio torna-se linearmente instável. O equilíbrio r =√
α para α > 0 é linearmente estável. A segunda equação descreve uma rotação com velocidade constante. Na Figura 1.10 se ilustra o diagrama de bifurcação para o sistema (1-30).
(a) α < 0 (b) α = 0
(c) α > 0
Figura 1.10: Diagrama de bifurcação de Hopf supercrítica.
No valor do parâmetro crítico α = 0 o equilíbrio 0 não é linearmente estável e topologicamente equivalente ao que é conhecido como foco fraco. Este equilíbrio é circundado para α > 0 por uma órbita fechada isolada (ciclo limite) que é única e estável. O ciclo é um círculo de raio r=√
α e centro na origem. Todas as órbitas que começam fora ou dentro do ciclo, exceto na origem, tendem ao ciclo quando t → ∞, pois para o equilíbrio0 quando α > 0, se r >√
α temos que ˙r< 0, e quando 0 < r <√
α temos ˙r> 0. No caso do sistema ( ˙ x = αx − y + x(x2+ y2) ˙ y = x + αy + y(x2+ y2) (1-34)
pode ser analisado da mesma maneira que o sistema (1-30), fazendo uma mudança para coordenadas polares. Neste caso, a diferença do sistema (1-30) existe um ciclo limite instável, que desaparece quando α cruza o valor zero de valores negativos para positivos. O equilíbrio na origem tem a mesma estabilidade para α = 0 como no sistema (1-30), é um foco atrator para α < 0 e um foco repulsor para α > 0. A estabilidade do equilíbrio 0 em α = 0 é oposta àquela em (1-30): não é linearmente instável no parâmetro crítico.
(a) α < 0 (b) α = 0
(c) α > 0
Figura 1.11: Diagrama de bifurcação de Hopf subcrítica.
Esta bifurcação também é chamada de Andronov-Hopf, [16].
No seguinte teorema, descrevemos as condições necessárias para que um sis-tema planar qualquer tenha um comportamento qualitativo equivalente à forma normal estudada.
Teorema 10 Suponha que um sistema bidimensional
˙x = f (x, α), x ∈ R2; α ∈ R, (1-35) com f suave, tem para todo|α| suficientemente pequeno o equilíbrio x = 0 com autova-lores λ1,2= η(α) ± iβ(α), onde η(0) = 0 e β(0) = β0> 0.
(A.1) η0(0) 6= 0,
(A.2) l1(0) 6= 0, onde l1é o primeiro coeficiente de Lyapunov.
Então, existem mudanças de coordenadas, parâmetros invertíveis e uma reparametriza-ção de tempo que transformam o sistema (1-35) em
d dτ ˜x ˜ y = α˜ −1 1 α˜ ! ˜x ˜ y ± ( ˜x2+ ˜y2) ˜x ˜ y + O(k( ˜x, ˜y)k4). (1-36)
Prova. Veja página 100 de [16].