Experimentação numérica

Nesta subseção queremos analisar o que acontece com a dinâmica do sistema de colheita (2-4), quando variamos o parâmetro q e deixamos o restante dos parâmetros fixos.

Tomando valores dos parâmetros como na Figura 2.7 e K = 15 temos o seguinte: a Figura 2.9 indica que quando q aumenta continuamente, passando através da bifurcação de Hopf, qestá na região R₂ou R₃, e o ponto de equilíbrio E₁se torna num foco instável.

As Figuras 2.9-(a) e (b) ilustra que aparece um ciclo limite estável depois da transição de estabilidade do ponto de equilíbrio E1. Na Figura 2.9-(a) quando q = 2.2, q está debaixo da curva q_K, de modo que só há um ponto de equilíbrio admissível E₁ e o ponto de equilíbrio E_K é um ponto sela. Na Figura 2.9-(b) quando q = 2.3, mostra que dois equilíbrios admissíveis são possíveis e o equilíbrio E_K é um nó estável pois q > q_K. As Figuras 2.9-(b) e (c) indicam que quando a taxa de colheita aumenta, o ciclo limite bifurcado se expande e então se torna um laço homoclínico quando q = 2.3639809. A Figura 2.9-(d) mostra que à medida que a taxa de colheita aumenta, o laço homoclínico se rompe e o ponto de equilíbrio E₁permanece como um foco instável.

As Figuras 2.9-(e) implica que quando a taxa de colheita aumenta, mais precisamente a q= 2.60218101 aparece novamente um laço homoclínico.

Além disso, na Figura 2.9 é visualizado o aumento da taxa da colheita no plano K− q.

(a) q_H1(K) < q = 2.2 < qK(K) (b) q = 2.3 > q_K(K)

(c) q = 2.3639809 (d) q = 2.55

(e) q = 2.60218101 (f) q = 2.6028

Figura 2.9: Estabilidade dos pontos de equilíbrio do sistema (2-4) quanto a taxa de colheita aumenta.

Neste capítulo apresentaremos os conceitos básicos da Teoria de Sistemas de Filippov bem como o estudo de algumas bifurcações típicas deste tipo de sistema. Os conceitos aqui apresentados são baseados principalmente nas referências [12] e [8].

3.1 Conceitos básicos

Sejam U ⊂ R² um aberto contendo a origem e f : U −→ R uma função suave que tenha 0 como valor regular. Definimos a variedade de transição, Σ, como sendo o conjunto

Σ = f⁻¹(0) ∩U = p ∈ R2; f (p) = 0 .

Dessa forma, Σ é uma subvariedade de R², de codimensão 1, que divide U em duas regiões conexas:

Σ⁺= {p ∈ U ; f (p) > 0} e Σ⁻= {p ∈ U ; f (p) < 0} . Um campo vetorial suave por partes é definido da seguinte forma:

Z(p) = (

X⁺(p), p∈ Σ+,

X⁻(p), p∈ Σ⁻, ^(3-1)

onde os campos vetoriais X^±(p) estão definidos num aberto U ⊂ R², contendo a origem, e são de classe C^k, k ≥ 1, em Σ+ e Σ⁻. Denotaremos um campo vetorial suave por partes assim definido por Z = (X⁺, X⁻).

Um sistema de Fillipov é definido como sendo um sistema

˙z = Z(z). (3-2)

onde Z = (X⁺, X⁻) é um campo vetorial suave por partes. Observamos que existem outros tipos de sistemas de Filippov, mas não serão considerados neste trabalho, para mais detalhes veja [9].

Seguindo a convenção estabelecida por Filippov, [9], distinguimos as seguintes regiões em Σ:

• Região de Costura, Σc, que é o conjunto dos pontos de Σ em que os campos vetoriais X⁺e X⁻ apontam na mesma direção, isto é,

Σ^c= p ∈ Σ; X+f(p)· X⁻f(p) > 0 .

Σ Σ

Figura 3.1: Região de Costura, Σ^c.

• Região de Escape, Σe, que é o conjunto dos pontos de Σ em que os campos vetoriais X⁺e X⁻ apontam em direções opostas, afastando-se de Σ, isto é,

Σ^e= p ∈ Σ; X+f(p) > 0 e X⁻f(p) < 0 .

Σ

• Região de Deslize, Σs, que é o conjunto dos pontos de Σ em que os campos vetoriais X⁺e X⁻ apontam em direções opostas, aproximando-se de Σ, isto é,

Σ^s= p ∈ Σ; X+f(p) < 0 e X⁻f(p) > 0 .

Σ

Figura 3.3: Região de Deslize, Σs.

Observações 3 Dadas as definições acima das regiões de costura, deslize e escape, temos que:

• nas definições usamos a derivada de Lie da função f na direção do campo X^±, definida por: X^±f(p) = hX^±(p), ∇ f (p)i;

• as definições dessas regiões excluem os pontos de tangência, que são aqueles pontos p∈ Σ em que X+f(p) = 0 ou X⁻f(p) = 0, isto é, aqueles pontos onde os campos vetoriais X⁺e X⁻ são tangentes à variedade de transição Σ;

• outros pontos que também foram excluídos destas definições são os pontos singu-lares dos campos vetoriais X⁺ e X⁻ que estão em Σ. Os pontos singulares tam-bém podem ser considerados pontos de tangência, pois satisfazem X⁺f(p) = 0 ou X⁻f(p) = 0.

• os pontos de equilíbrio de X^± que estão em Σ serão chamados de pontos de equilíbrio no bordo.

Podemos distinguir os tipos de tangência entre um campo suave e uma variedade de-pendendo do modo como se dá o contato entre eles. Destacamos dois tipos que são as tangências quadráticas e cúbicas.

Definição 20 Um campo vetorial suave X possui uma dobra ou tangência quadrá-tica com Σ =  p ∈ R2; f (p) = 0 em um ponto p ∈ Σ se X f (p) = 0 e X2f(p) = hX, ∇X f i(p) 6= 0. Diremos ainda que a dobra é visível se X2f(p) > 0 e invisível se X²f(p) < 0.

Definição 21 Um campo vetorial suave X possui uma cúspide ou tangência cúbica com Σ =  p ∈ R2; f (p) = 0 em um ponto p ∈ Σ se X f (p) = X2f(p) = 0 e X³f(p) = hX, ∇X2fi(p) 6= 0.

Nas regiões de deslize e escape se pode definir um novo campo vetorial, onde, nestas regiões Σ^se Σ^c, a órbita local é dada pela convenção de Filippov, veja [9].

Definição 22 Seja Z = (X⁺, X⁻) um campo vetorial suave por partes dado como na equação(3-1). O campo vetorial deslizante, denotado por Z^s, para p∈ Σs∪ Σeé dado por uma combinação linear convexa de X⁺(p) e de X⁻(p) de modo que Z^s(p) seja tangente à Σ em p Σ⁺ Σ Σ⁻ p X⁺(p) X⁻(p) Σ⁺ Σ Σ⁻ p X⁺(p) X⁻(p)

Σ é região de deslize Σ é região de escape

Z^s(p) ^Z

s(p)

Figura 3.4: Definição do campo vetorial deslizante Zs.

Deste modo, Z^sé dado por:

Z^s(p) = ^X

−f(p) · X⁺(p) − X⁺f(p) · X⁻(p)

X⁻f(p) − X⁺f(p) ^{. (3-3)}

Dados os campos vetoriais X^±, para p ∈ Σ denotamos seu fluxo por ϕ^±(t, p), e para o campo vetorial suave por partes Z = (X⁺, X⁻) denotamos seu fluxo por ϕ_Z(t, p), então temos a seguintes definições.

Definição 23 As trajetórias locais associadas ao campo vetorial (3-1) por o ponto p podem ser definidas como segue:

a) para p ∈ Σ⁺∪ Σ⁻ com X⁺(p) 6= 0 e X⁻(p) 6= 0. O fluxo de Z por p será dado por ϕ⁺(t, p) se p ∈ Σ⁺ou por ϕ⁻(t, p) se p ∈ Σ⁻.

b) Para p ∈ Σ^c, definimos o fluxo do campo vetorial Z da seguinte maneira: • Se X⁻f(p) > 0 e X⁺f(p) > 0, então ϕZ(t, p) =      ϕ⁻(t, p), se t < 0 e ϕ⁻(t, p) ∈ Σ⁻, p, se t = 0, ϕ⁺(t, p), se t > 0 e ϕ⁺(t, p) ∈ Σ⁺,

• Se X⁻f(p) < 0 e X⁺f(p) < 0, então ϕZ(t, p) =      ϕ⁺(t, p), se t < 0 e ϕ⁺(t, p) ∈ Σ⁺, p, se t = 0, ϕ⁻(t, p), se t > 0 e ϕ⁻(t, p) ∈ Σ⁻.

c) Para p ∈ Σ^e∪ Σs, tal que Z^s(p) 6= 0 o fluxo de Z por p é dado pelo fluxo do campo vetorial deslizante, ϕZs(t, p).

d) para p ∈ ∂Σ^c∪ ∂Σs∪ ∂Σe tal que as definições de trajetórias para pontos em Σ em ambos os lados de p podem ser estendidas para p e coincidem, a trajetória por p é esta trajetória. Chamaremos estos pontos de pontos detangência regulares. e) para os pontos que não foram contemplados nos itens acima, definimos ϕ_Z(t, p) = p,

∀t ∈ R. Aqui estão os pontos de tangência não regulares, chamados tangência singulares, os pontos de equilíbrio de X⁺e X⁻ em Σ^±e os pontos de equilíbrio do campo deslizante Z^s em ∂Σ^s∪ ∂Σe.

Definição 24 Denominamos p ∈ Σ⁺∪ Σ⁻ um ponto de equilíbrioreal para o sistema de Filippov (3-2) se X⁺(p) = 0 e p ∈ Σ⁺. No caso em que X⁺(p) = 0 e p ∈ Σ⁻, então denominamos p um ponto singularvirtual do campo vetorial de Filippov (3-1).

Uma definição análoga pode ser feita para o campo vetorial X⁻.

Definição 25 Denominamos o ponto p ∈ Σ^e∪ Σ^s pseudo-equilíbrio se Z^s(p) = 0. Além disso, chamaremos de pseudo-nó estável qualquer ponto p ∈ Σ^s tal que Z^s(p) = 0 e (Z^s)⁰(p) < 0, de pseudo-nó instável qualquer ponto p ∈ Σ^e tal que Z^s(p) = 0 e (Z^s)⁰(p) > 0, e de pseudo-sela qualquer ponto p ∈ Σ^s tal que Z^s(p) = 0 e (Z^s)⁰(p) > 0 ou p∈ Σe tal que Z^s(p) = 0 e (Z^s)⁰(p) < 0.

Qualquer outro ponto que não esteja nos casos citados acima é um ponto regular.

Definição 26 Uma curva fechada contínua Γ é chamada um ciclo do campo vetorial Z = (X⁺, X⁻), se for composto por uma união finita de segmentos de órbitas regulares e pontos singulares de Z= (X⁺, X⁻), γ1, γ₂,..., γ_n. Além disso, Γ é um ciclo deslizante, se existe i∈ {1, 2, ..., n} tal que γ_i é um segmento de órbita deslizante e, para quaisquer duas curvas consecutivas, os pontos de partida ou chegada em Σ não são os mesmos. Ver Figura 3.5.

Σ⁺

Σ

Σ⁻ Figura 3.5: Exemplo de um ciclo deslizante.