Dinâmica na região de deslize

(x, y) ∈ Σ; ^α κβ< x < ¹ κβ  α + q 1 + ωP  , y = P  .

Como pontos de tangência temos: A =  α κβ, P  e B =  1 κβ  α + q 1 + ωP  , P  . Para (x, P) ∈ Σ^s, o campo vetorial deslizante do sistema (4.1) está definido por:

Z^s(x, P) =^rx  1 − ^x K  − βxP, 0^t. (4-5)

Dado que y = P e a segunda coordenada do campo deslizante é zero, podemos analisar seu dinâmica através da seguinte função

˜ Z^s(x) = rx  1 − ^x K  − βxP. (4-6)

4.1.1 Dinâmica na região de deslize

Com o objetivo de observar uma dinâmica mais complexa no sistema suave por partes (4.1), nesta subseção queremos encontrar as condições necessárias para a existência de pontos de equilíbrio na região de transição, particularmente na região do deslize. Além disso, encontrar as possíveis relações entre os pontos de equilíbrio em Σ^s e os pontos de equilíbrio das regiões Σ⁺ e Σ⁻.

Estamos interessados em valores de x para os quais os sistemas (2-1) e (2-4) tem a existência de pontos de equilíbrio. Seja

˜ Ω =(x, y) ∈ R2; x ∈ [0, K] e y = P . Assim, Σ^s⊆ ˜Ω ⇐⇒ 1 κβ  α + q 1 + ωP  ≤ K,

de onde, q ≤ (1 + ωP)(κβK − α). Além disso, outra condição necessária para a existência de pontos de equilíbrio é κβK − α > 0, de onde, α

κβ < K. Agora vamos achar os pontos de equilíbrio do campo deslizante. Fazendo ˜Z^s(x) = 0, para y = P, temos

rx  1 − ^x K  − βxP = 0 ⇐⇒ x = 0 ou x = K  1 −^β r^P  . (4-7)

Logo, um ponto de equilíbrio de Z^sem Ω é dado por

E_s= (x_s, P) =  K  1 −^β r^P  , P  ,

com, x_s> 0, isto é, r β> P. Além disso, E_s∈ Σ^s⇐⇒ ^α κβ≤ x_s≤ ¹ κβ  α + q 1 + ωP  .

Resolvendo cada desigualdade em termos de P, por um lado temos

α κβ≤ x_s⇐⇒ P ≤ P₁=˙ ^r β  1 − ^α κβK  , (4-8)

por outro lado, para resolver a desigualdade x_s≤ 1 κβ  α + q 1 + ωP  , consideramos inici-almente a igualdade K  1 −^β r^P  = ¹ κβ  α + q 1 + ωP  , (4-9)

igualando a equação (4-9), obtemos a equação quadrática

˜

aP²+ ˜bP + ˜c= 0 (4-10)

com ˜a= κβ²Kω, ˜b = κβ²K+ αωr − κβkωr e ˜c= αr + qr − κβKr, e discriminante ˜

∆ = ˜b2− 4 ˜ac˜= M²− 4κβ2KωrN, (4-11) onde, M e N são definidos em (2-10). Logo, pela equação (2-11) e (2-15), temos que

˜ ∆ ≥ 0 ⇐⇒ q ≤ q_∆(K), com raízes P₃= −˜b −p ˜b2− 4 ˜ac˜ 2 ˜a e P₂= −˜b +p ˜b2− 4 ˜ac˜ 2 ˜a . (4-12)

Desta forma, quando q ≤ q_∆(K), obtemos

P₂P₃= − ^r

κβ²Kω(κβK − α − q) e P₂+ P₃= P₁− ¹

ω. (4-13)

Logo, P₁> P₂≥ P₃. Além disso, para q_K(K) = κβK − α, temos • q < q_K(K) =⇒ P₂P₃< 0,

• q > q_K(K) =⇒ P₂P₃> 0.

Então, com base no que vimos previamente, temos o resultado a seguir.

Teorema 23 O campo deslizante (4-5) tem um pseudo-equilíbrio E_s = (x_s, P) em ˜Ω se alguma das seguintes condições for satisfeita:

(b) P≤ P₁, q> q_∆(K), q > q_K(K) e β < ωr.

Prova. Dividiremos a demonstração em alguns passos:

(a) Suponha q ≤ q_∆(K), então a equação (4-10) tem duas raízes reais P₃ ≤ P₂. Além disso, se 0 ≤ P ≤ P₃e P₂≤ P ≤ P₁, temos que ˜aP²+ ˜bP + ˜c≥ 0, de onde

x_s≤ ¹ κβ  α + q 1 + ωP  .

Por outro lado, como P1> P₂≥ P₃então α

κβ ≤ x_s. Portanto, Es∈ ˜Ω. (b) Suponha P ≤ P₁então por (4-8), temos que α

κβ ≤ x_s. Por outro lado se q > q_∆(K), q> q_K(K) e β < ωr, então os coeficientes da equação (4-10) são todos positivos, de onde x_s≤ ¹ κβ  α + q 1 + ωP  . Portanto, E_s∈ ˜Ω.

O resultado segue dos itens (a) e (b). 

Teorema 24 Se q = q_∆(K) e P = P₁= P₂= P₃, então, os pontos de equilíbrio E_s, E₁e E₂ coincidem com o ponto B=

 1 κβ  α + q 1 + ωP  , P  .

Prova. Suponha q = q_∆(K), então ˜∆ = 0, de onde P = P₂= P₃= −M

κβ²Kω^{, com M definido} em (2-10). Substituindo P em x_s, obtemos E_s= (x_s, P) =  κβ²K+ κβkwr + αwr 2κβwr ^, −M κβ²Kω  .

Se q = q_∆(K) temos que ∆ = 0, e pela equação (2-12), temos que xs = x₁= x₂. Logo, E_s= E₁= E₂. Por último, substituindo os valores de P e q = q_∆(K), com q_∆(K) definido em (2-15), obtemos que E_s= E₁= E₂= B. Portanto, os pontos de equilíbrio E_s, E₁e E₂

coincidem com o ponto B. 

Além disso, derivando a função ˜Z^s, obtemos que d ˜Z^s

dx (x) = β(2 − P) − r, (4-14)

de onde obtemos o resultado a seguir

Lema 4 Se para o campo vetorial deslizante o pseudo-equilíbrio E_s existe, então (a) se P< 2 − r

(b) se P> 2 − r

β, E_sé um pseudo-nó estável.

A existência dos pontos de equilíbrio do sistemas (2-1) e (2-4) em Ω, e a existência de um pseudo-equilíbrio do campo vetorial (4-5) em ˜Ω também está determinada pelo parâmetro q_∆(K) = κβK − α. Vamos denotar o ponto de equilíbrio em Ω do sistema (2-1) por E₁= E₁⁻, e os pontos de equilíbrio em Ω do sistema (2-4) por E₁= E₁⁺e E₂= E₂⁺.

Se q_∆(K) < 0, pelos Teoremas 12-(c) e 13-(a), os sistemas (2-1) e (2-4) não têm pontos de equilíbrios admissíveis em Ω. Além disso, nenhuma região de deslize se encontra em ˜Ω. Então só existem o ponto de equilíbrio trivial E0e o equilíbrio de fronteira E_K, que é estável.

Quando q_∆(K) > 0 e β > ωr, temos o seguinte resultado.

Teorema 25 Dadas as condições q_∆(K) > 0 e β > ωr, para o sistema suave por partes (4.1), temos que

(a) o campo vetorial deslizante não tem pseudo-equilíbrio,

(b) se P> P₁, E₁⁻ é um ponto de equilíbrio real, denotado por E_1r⁻, (c) se P< P₁, E₁⁻ é um ponto de equilíbrio virtual, denotado por E_1v⁻,

(d) se0 < P < P2e q< q_K(K), E₁⁺ é um ponto de equilíbrio real, denotado por E_1r⁺, (e) se P> P₂e q< q_K(K), E₁⁺ é um ponto de equilíbrio virtual, denotado por E_1v⁺. Prova.Suponha q_∆(K) > 0 então para o sistema (2-1) o ponto de equilíbrio E₁⁻ está na região de interesse biológico Ω, além se β > ωr, pelo Teorema 15, temos que o sistema (2-4) tem um único ponto de equilíbrio E₁⁺, se existe; e pelo Teorema 23 o campo vetorial deslizante não tem um pseudo-equilíbrio. Assim, pelas equações (2-3) e (4-8), temos que, E₁⁻=

 α κβ, P₁



. Avaliando E₁⁻na função H, obtemos: H(E₁⁻) = P₁− P. Logo, se P > P₁ então H(E₁⁻) < 0, de onde, E₁⁻ ∈ Σ⁻ e, portanto, E₁⁻ é um ponto de equilíbrio real do sistema (4.1). De forma análoga, se P < P₁, H(E₁⁻) > 0 e portanto E₁⁻ é um ponto de equilíbrio virtual do sistema (4.1). Assim, os itens (b) e (c) são provados.

Por outro lado, se q < q_K(K) então E₁⁺ existe e E₁⁺= (x₁, y₁) com y₁= √

∆ − M

2κβ²Kω^{. Além} disso, por (4-12), ˜b = M e ˜∆ = ∆, temos que, P2= y₁, de onde, se 0 < P < P₂H(E₁⁺) > 0 e, portanto, E₁⁺ é um ponto de equilíbrio real do sistema (4.1). De forma análoga, se P> P₂, E₁⁺ é um ponto de equilíbrio virtual do sistema (4.1). Assim, os itens (d) e (e) são

provados. 

Quando q_∆(K) > 0 e β > ωr, o sistema com colheita (2-4) tem no máximo dois pontos de equilíbrio admissíveis E₁⁺e E₂⁺, e o sistema sem colheita (2-1) tem um ponto de equilíbrio admissível E₁⁻ e, o pseudo-equilíbrio pode existir. Então, o sistema suave por partes (sistema de comutação) pode ter zero, um ou dois pontos de equilíbrio reais (virtuais) e zero ou um, pseudo-equilíbrio. Além disso, se K < ˜K para o sistema com colheita (2-4)

temos que as curvas q_H1 e q_H2 não existem, assim a bifurcação de Hopf não pode ocorrer e a dinâmica do sistema de comutação (4.1) é simples. No caso que K > ˜Kpara o sistema de colheita (2-4), a bifurcação de Hopf pode ocorrer ao longo da curva q_H1 ou q_H2, e a bifurcação de Bogdanov-Takens pode ocorrer para K próximo a K₀, então o sistema (4.1) tem uma dinâmica mais complexa.

4.1.2 Estabilidade dos pontos de equilíbrio

Nesta subseção consideramos q_∆(K) > 0 e β > ωr, mantemos K fixo em um valor próximo a K₀, onde a dinâmica do sistema com colheita é mais complexa, com objetivo de mostrar os tipos e estabilidade dos pontos de equilíbrio do sistema suave por partes.

Quando o parâmetro K é fixo, as curvas q_∆(K), q_H1(K), q_H2(K) e q_∆(K) se tornam constantes: q_K, q_H1, q_H2e q_∆e de acordo com a análise acima, a taxa de colheita q e o limiar econômico P são escolhidos para ser parâmetros de bifurcação. Vamos considerar o plano q − P divido em 8 regiões, que são definidas como segue.

Γ₁ = {P > P₁} , Γ₂ = {P₂< P < P₁ e q < q_∆, ou, P < P₁ e q ≥ q_∆} , Γ₃ = {0 < P < P₂ e 0 < q < q_H1} , Γ₄ = {0 < P < P₂ e q_H1 < q < q_K} , Γ₅ = {P₃< P < P₂ e q_K < q < q_H2} , Γ₆ = {{P₃< P < P₂ e q_H2< q < q_∆} , Γ7 = {0 < P < P₃ e qK< q < q_H2} , Γ8 = {{0 < P < P₃ e q_H2 < q < q_∆} . (4-15)

Além disso, pelas regiões definidas em (2-48) e pela Tabela 2.2, temos que

(a) se 0 < q < q_H1 ou q_H2 < q < q_∆, E₁⁺ é um foco estável, (b) se q_H1 < q < q_H2, E₁⁺é um foco instável,

(c) se q > q_∆, E₁⁺ não existe,

(d) se q_K < q < q_∆, E₂⁺ é um ponto sela, caso contrário, E₂⁺ não existe.

Na Tabela 4.1 descrevemos a estabilidade dos pontos de equilíbrio para o sistema (4.1) considerando os resultados do Teorema 25 e a divisão do plano q − P nas 8 regiões

definidas em (4-15). Também denotamos pelo símbolo 1 se as condições anteriores (a), (b) ou (c) são cumpridas, e o símbolo 2 se a condição (d) é cumprida.

P P P P P P P P P P_P Reg. P. Eq. E₀ E_K E₁⁻ E₁⁺ E₂⁺ E_s

Γ1 Sela(r) Sela(r) Foco Est.(r) 1 2 —

Γ2 Sela(r) Sela(r) Foco Est.(v) 1 2 Est.

Γ3 Sela(r) Sela(r) Foco Est.(v) Foco Est.(r) — — Γ4 Sela(r) Sela(r) Foco Est.(v) Foco Inst.(r) — — Γ₅ Sela(r) Sela(r) Foco Est.(v) Foco Inst.(r) Sela(v) — Γ₆ Sela(r) Sela(r) Foco Est.(v) Foco Est.(r) Sela(v) — Γ₇ Sela(r) Sela(r) Foco Est.(v) Foco Inst.(r) Sela(r) Est. Γ₈ Sela(r) Sela(r) Foco Est.(v) Foco Est.(r) Sela(r) Est.

Tabela 4.1: Classificação dos pontos de equilíbrio para o sistema suave por partes(4.1).

Exemplo 7 Na Figura 4.1 deixamos fixos os parâmetros r = 0.8, β = 0.3, κ = 0.61, α = 0.5, ω = 1 e K = 14. O plano q − P está dividido em oito regiões. Na região Γ1temos a existência de todos os pontos de equilíbrio em Ω dos sistemas (2-1) e (2-4), só que, os pontos do sistema(2-4), E₁⁺ e E₂⁺ estão debaixo de Σ, ou seja, estão em Σ⁻. A região Γ₂ difere da região Γ₁ porque existe o pseudo-equilíbrio e o ponto E₁⁻ passa de ser real a ser virtual.

Na região Γ₃ o equilíbrio E₁⁻ permanece sendo virtual mas o equilíbrio E₁⁺ passa a ser real, e os pontos E₂⁺ e E_sdesaparecem. O mesmo acontece na região Γ₄, com a diferença que E₁⁺muda de estabilidade, de foco estável a foco instável.

Na região Γ₅, para os pontos de equilíbrio E₁⁻ e E₁⁺ acontece o mesmo que nas regiões Γ3 e Γ4, com a diferença que aparece o ponto E₂⁺ e é virtual. Em Γ6acontece o mesmo que em Γ5, só que o ponto E₁⁻ passa de ser um foco instável a um foco estável.

Na região Γ₇o equilíbrio E₂⁺ passa a ser real e aparece o ponto de equilíbrio E_s e, além disso, o equilíbrio E₁⁺ passa a ser um foco instável. Em Γ₈acontece o mesmo que em Γ₇, só que, o ponto E₁⁻ passa de ser um foco instável a um foco estável.

Γ₁: E_r⁻, E_1v⁺, E_2v⁺ Γ2: E_v⁻, E_1v⁺, E_2v⁺, E_s Γ₃: E_v⁻, E_1r⁺ Γ4: E_v⁻, E_1r⁺ Γ₅ Γ7 Γ6 Γ₈ P₁ P₂ P₃ q_H1 q_K q_∆ q_H2 q P

Figura 4.1: Diagrama de bifurcação do sistema suave por partes (4.1).

4.1.3 Experimentação numérica

Nesta seção, analisamos as bifurcações do sistema suave por partes, escolhendo a taxa de colheita q e o limiar econômico P para os parâmetros de bifurcação e fixando todos os outros parâmetros listados no Exemplo 7.

Na Figura 4.2 ilustramos uma bifurcação do tipo foco no bordo. Se P > P₁, estamos na regão Γ₁ então temos os pontos de equilíbrio E_1r⁻ e E_1v⁺ em Ω, como pode-se ver na Figura 4.2-(a). A medida que P diminui e cruza a curva P1 o equilíbrio E_1r⁻ tende para o ponto de tangência A, no caso que P = P1, o pseudo-equilíbrio Esaparece e colide com o equilíbrio E_1r⁻ e o ponto A, como ilustra a Figura 4.2-(b).

Se E_1r⁻ é um foco, então a bifurcação do foco no bordo ocorre em P = P₁, quando Pcontinua decrescendo e P₂< P < P₁o equilíbrio E_1r⁻torna-se um equilíbrio virtual ( E_1v⁻) e o pseudo-equilíbrio E_s move-se para a direita na linha de deslizamento, como pode-se ver na Figura 4.2-(c). Além disso, a bifurcação do bordo pode ocorrer quando P cruza através de P₂pois os pontos E_1v⁺, E_s e o ponto de tangência B colidem e depois surge um ciclo deslizante estável, como ilustram as Figuras 4.2-(a) e (b).

(a) q = 2 e P = 2.3.

(b) q = 2 e P = 2.1809. (c) q = 2 e P = 2.

(d) q = 2 e P = 1.3564. (e) q = 1 e P = 0.3.

Nesta trabalho é estudado um modelo presa-predador suave por partes que surge de estender o modelo tradicional presa-predador de Lotka-Volterra a um modelo com colheita não linear da população de predadores, no qual a estratégia de colheita é implementada de acordo com um limiar econômico e é implementada apenas se a população de predadores excede o limiar econômico fazendo que a colheita seja mais realista do que modelo de colheita contínua. Primeiramente se faz um estudo qualitativo da dinâmica dos modelos 1 e 2, e depois é estudada algumas bifurcações do sistema dsuave por partes através de simulações numéricas, tendo em conta o proposto em [21].

Dos resultados obtidos temos que, o ponto de equilíbrio trivial E0 e o equilíbrio limite E_K sempre existem para os sistemas (2-1) e (2-4). O sistema (2-1) só tem um único equilíbrio admissível estável quando κβK > α. Para o sistema (2-4), não há equilíbrios admissíveis se κβK < α, enquanto se κβK > α, o sistema (2-4) pode ter zero, um o dois pontos de equilíbrio admissíveis à medida que os parâmetros de bifurcação, q e K, cruzam através da curva de bifurcação sela-nó q_∆(K), ou seja, quando a taxa de colheita é igual ou menor que q_∆(K) pode haver um ou dois equilíbrios admissíveis, caso contrário não há equilíbrios admissíveis.

Devido à taxa de colheita não linear, descobrimos que um ciclo de limite estável local se bifurca de um equilíbrio E₁⁺ para o subsistema de colheita (2-4). A estabilidade do ciclo bifurcado de Hopf foi examinada calculando o número de Lyapunov. Também observamos numericamente que, quando há dois equilíbrios admissíveis, E₁⁺ e E₂⁺ (ver Figura 2.9-(b)) o ciclo bifurcado de o equilíbrio E₁⁺ se expande a medida que a taxa de colheita, q, aumenta (Ver Figura 2.9-(c)), até que colide com o ponto E₂⁺ na interseção da curva de bifurcação de Hopf q_H2(K) e da sela-nó q_∆(K), (ver Figura 2.7). Além disso, para algum valor do parâmetro de bifurcação, q e K, pode ocorrer uma bifurcação homoclínica. Como ilustra as Figuras 2.7-(c) e (e).

Levando à forma normal o sistema (2-4), descobrimos que (K0, q₀) é um ponto de codimensão dois, e portanto a bifurcação de Bogdanov-Takens pode ocorrer. Assim, o predador e as populações de presas podem coexistir como um equilíbrio ou como oscilações periódicas. Portanto, ao introduzir o termo de colheita não-linear, à medida que a taxa de colheita aumenta, as duas espécies passam por mudanças de um equilíbrio

coexistente para oscilações periódicas e então para um equilíbrio de extinção predador. As oscilações periódicas inicialmente se expandem, rompem e depois ressurgem, encolhem e finalmente desaparecem, o que é um caminho complicado para as espécies predadoras, da coexistência à extinção.

Para o sistema de comutação (4.1) encontramos que P₁> P₂≥ P₃ quando os três pontos admissíveis E₁⁻, E₁⁺ e E₂⁺ são viáveis, de onde, E₁⁻ e E₁⁺ (ou E₁⁺) não podem ser equilíbrios reais simultaneamente. Portanto, pode haver zero, um ou dois equilíbrios reais a medida que o limiar econômico passa pelos valores P = P1, P = P2 e P = P3. O equilíbrio limite E_K é estável quando κβK < α, enquanto, se κβK > α é um ponto sela. Assim o predador não se extinguirá, independente do valor da taxa da colheita, quando κβK > α.

Para o sistema de suave por partes temos especial interesse quando κβK > α e β < ω pois a dinâmica é mais complexa e rica. Em particular, quando o limiar econômico é suficientemente grande, ou seja, P > P₂, como nas regiões Γ₁ e Γ₂, as populações de predadores e presas estabilizarão num equilíbrio fixo, E₁⁻ ou E_s, independente do valor da taxa de colheita, como é ilustrado nas Figuras 2.7-(a) e (c).

Portanto, a colheita guiada pela população de predadores leva a uma dinâmica mais rica do sistema, de modo que o predador e a presa possam existir em mais cenários e suas populações também possam ser controlados mais facilmente pela variação do limiar econômico.

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