Existência dos pontos de equilíbrio

    dx dt = rx(1 − x_K) − βxy, dy dt = κβxy − αy −_{1 + wy}^qy , (2-4) com os parâmetros:

r: taxa intrínseca de crescimento da população presa, K: capacidade de suporte,

β: taxa de captação por predado,.

κ: taxa de eficiência com que a presa capturada é convertida em novos predadores, α: taxa de mortalidade do predador.

Além disso,

• _1+ωy^qy : representa a colheita do predador (função de saturação), • ω : constante adequada,

• q : taxa de colheita.

E condições iniciais x(0) = x0e y(0) = y0no conjunto de interesse biológico:

Ω =(x, y) ∈ R2; x > 0 e y > 0 .

Ao sistema de equações diferenciais ordinárias (2-4) associamos um campo vetorial g : Ω → R², dado por g(x) = (g₁(x), g₂(x))^T e, assim, reescrevemos a equação (2-4) da forma

˙x = g(x). (2-5)

2.2.1 Existência dos pontos de equilíbrio

O sistema de colheita (2-4) sempre tem o ponto de equilíbrio trivial E0= (0, 0) e o ponto de equilíbrio da extinção do predador E_k= (K, 0), pois, avaliando o ponto E₀= (0, 0) na função g definida em (2-5), temos que g(E₀) = g(0, 0) = (0, 0). Analogamente, para o ponto E_k = (K, 0) temos que g(E_K) = g(K, 0) = (0, 0). Assim para determinar outros possíveis pontos de equilíbrio temos temos que determinar soluções simultâneas

para as seguintes equações: r(1 − ^x K) − βy = 0, (2-6) κβx − α − q 1 + ωy ^{= 0. (2-7)} Da equação (2-6), obtemos y=^{r(K − x)} Kβ ^(2-8)

e, substituindo em (2-7), obtemos a equação quadrática

ax²+ bx + c = 0 (2-9)

com a = −κβωr, b = κβ²K+ κβKωr + αωr e c = −αωrK − qβK − αβK.

Para garantir a existência de uma solução x em Ω temos que observar o sinal do discriminante “∆”da equação (2-9), consideremos

M = κβ²K+ αωr − κβKωr,

N = q + α − κβK. ^(2-10)

Nosso objetivo é escrever ∆ em termos de M e N, pois a partir do estudo de seu signo podemos encontrar novos parâmetros que nos permitirão estudar a classificação dos pontos de equilíbrio, então

∆ = (κβ²K+ κβkωr + αωr)²− 4κβωr(αωrK + qβK + αβK),

= (κβ²K+ αωrK − κβkωr + 2κβkωr)²− 4κβKωr(q + α) − 4κβ2Kω²r²α, = (κβ²K+ αωr − κβKωr)²− 4κβ2Kωr(q + α − κβK).

Logo,

∆ = M²− 4κβ2KωrN. (2-11)

Para a equação (2-9) temos que suas raízes são dadas por:

x₁= ^b−^√∆

−2a ^{e x2=}

b+√ ∆ −2a ^.

Além disso, para encontrar os pontos de equilíbrio as raízes da equação (2-9), x_1,2, devem ser menores que K, pois se x_1,2< K então pela equação (2-8) teríamos y_1,2> 0, e, portanto, temos a existência de pontos de equilíbrio em Ω. Desta maneira, se:

(a) ∆ < 0, não temos nenhuma raiz real e as seguintes condições são satisfeitas

M²

4κβ2Kωr ^{< N e N> 0.} (b) ∆ = 0, temos uma raiz positiva com multiplicidade dois

x₁= ^κβ

2K+ κβkωr + αωr

2κβωr ^{, (2-12)}

com a condição, M²= 4κβ²KωrN e N ≥ 0. Além disso,

x₁− K = ^M

2κβωr ^{< 0 ⇔ M < 0.}

Portanto, o sistema (2-4) tem um ponto de equilíbrio E₁= (x₁, y₁) em Ω quando M< 0, N > 0 e M²= 4κβ²KωrN.

No caso em que ∆ = 0 com a condição M = N = 0 temos o ponto de equilíbrio limite E_K = (K, 0).

(c) ∆ > 0, temos duas raízes x₁e x₂com a condição M²

4κβ²Kωr ^{> N.}

Pela equação (2-8) analisamos o sinal de x1− K e x₂− K, de onde obtemos que • x₂− K = ^M+ √ ∆ −2a ^, e para

i) M > 0, x2− K > 0 então y₂< 0. Portanto, o ponto de equilíbrio E₂não está em Ω;

ii) M < 0 analisamos o sinal de

∆ − M²= −4κβ²KωrN seu sinal é determinado pelo sinal de N

     se N < 0 ⇒ ∆ − M²> 0 ⇒ x₂> K, se N = 0 ⇒ ∆ − M²= 0 ⇒ x₂= K, se N > 0 ⇒ ∆ − M²< 0 ⇒ x₂< K.

Portanto, E₂∈ Ω se M< 0 e 0 < N < ^M 2 4κβ2Kωr^. • x₁− K = ^M− √ ∆ −2a ^, então

i) Para M < 0, x₂− K < 0 então y₂> 0. Portanto, o ponto de equilíbrio E₁= (x₁, y₁) está em Ω.

ii) Para M > 0 analisamos o sinal de

∆ − M²= −4κβ²KωrN seu sinal é determinado pelo sinal de N

     se N < 0 ⇒ ∆ − M²> 0 ⇒ x₁< K, se N = 0 ⇒ ∆ − M²= 0 ⇒ x₁= K, se N > 0 ⇒ ∆ − M²< 0 ⇒ x₁> K. Portanto, E₁∈ Ω se    N< 0 e [M < 0 ou M = 0 ou M > 0] , M< 0 e  N= 0 ou N = ^M 2 4κβ2Kwr  .

A Figura 2.2 a seguir mostra a relação entre M, N e a existência dos pontos de equilíbrio de acordo com as condições dadas.

Quando β < ωr, podemos traduzir as condições correspondentes a M e N àquelas sobre K e q, de acordo com as seguintes relações de equivalência:

N> 0 ⇐⇒ q> q_K(K) ˙=κβK − α, (2-13)

M< 0 ⇐⇒ K> ˜K=˙ ^αωr

κβ(ωr − β), (2-14)

∆ > 0 ⇐⇒ q< q_∆(K) ˙=(κβkωr + κβ²K− αωr)2

4κβ2Kωr ^{. (2-15)}

A partir das definições desses novos parâmetros e dados E1,2 = (x_1,2, y_1,2) pontos de equilíbrio do sistema 2-4 em Ω, temos os seguintes resultados:

Teorema 13 O sistema com colheita (2-4) não tem um ponto de equilíbrio em Ω se alguma das seguintes condições for satisfeita:

(a) q_K(K) < 0,

(b) q_K(K) > 0, q ≥ q_K(K) e β > ωr,

(c) q_K(K) > 0, q ≥ q_K(K), β < ωr e K ≤ ˜K,

(d) q_K(K) > 0, q ≥ q_K(K), β < ωr, K > ˜K e q> q_∆(K). Prova.Dividiremos a demonstração em alguns passos:

(a) Suponha que q_K(K) < 0, então κβK < α, assim N > 0 e M > 0, pois N = q+ (α − κβK) e M = κβ²K+ wr(α − κβK). Portanto, se M > 0 temos

x₂− K = ^M+ √

∆ −2a ^{> 0,}

de onde x₂> K e, para N > 0, ∆ − M²= −4κβN < 0, então M −^√∆ > 0. Obtemos daí que,

x₁− K = ^M− √

∆ −2a ^{> 0.} Logo, E₁e E₂não pertencem a Ω.

(b) Suponha β > ωr e como M = κβK(β − wr) + wrα, temos que M > 0. Agora, se q> q_K(K) então q > κβK − α, logo N > 0. No caso em que q = qK(K), temos que N= 0 de onde x₁= K e temos o ponto de equilíbrio E₁= (K, 0) o qual não pertence a Ω.

(c) Suponha que q ≥ q_K(K), então N > 0 ou N = 0. Agora, se β < ωr e K < ˜K temos que

K< ^αωr κβ(ωr − β),

de onde M > 0. No caso K = ˜K temos que M = 0. Portanto, temos os seguintes casos:

– se M > 0 e N > 0 então E₁e E₂não pertencem a Ω,

– se M > 0 e N = 0 então ∆ − M²= 0, de onde x₁= K e x₂> K, – se M = 0 e N = 0 então E₁= E₂= (K, 0) não pertencem a Ω, – se M = 0 e N > 0 então ∆ < 0 não temos raízes reais.

(d) Suponha que q ≥ q_K(K), então N > 0 ou N = 0.

Agora, uma vez que β < ωr e K > ˜Kentão M < 0 pois M = αωr − κβK(ωr − β). Dada a hipótese q > q_∆(K) temos que

q > (κβkωr + κβ²K− αwr)2

4κβ2Kωr ^,

então

4κβ²Kωrq > (κβkωr + κβ²K− αωr)²,

adicionando as expressões αωr − αωr = 0 e κβKωr − κβKωr = 0, obtemos

q > (κβ²K+ αωr − κβkωr + 2ωr(κβK − α))² > M²+ 4(κβK − α)²ω²r²+ 4(κβK − α)ωrM > M²+ 4(κβK − α)κβ²K.

Assim,

M²− 4κβ²KωrN < 0, de onde ∆ < 0. Portanto não temos raízes reais.

Desta forma, o resultado fica demonstrado. 

Teorema 14 O sistema com colheita (2-4) tem um único ponto de equilíbrio E₁em Ω se alguma das seguintes condições for satisfeita:

(a) κβK − α > 0, q < qK(K) e β > ωr, (b) κβK − α > 0, q < q_K(K) e β < ωr,

(c) κβK − α > 0, q > q_K(K), β < ωr, K > ˜K e q= q_∆(K), (d) κβK − α > 0, q = q_K(K), β < ωr e K > ˜K.

Prova. Suponha que κβK − α > 0, então:

(a) Se que q < qK(K) então q < κβK − α de onde N < 0, no caso β > ωr temos que M> 0. Assim, como

x₂− K = ^M+ √

∆

temos que x₂> K, portanto (x₂, y₂) /∈ Ω. No caso de x₁ x₁− K = ^M− √ ∆ −2a ^{< 0,}

pois ∆ − M²= −4κβN e N < 0, de onde, M −^√∆ < 0. Logo, (x₁, y₁) ∈ Ω.

(b) Suponha q < q_K(K) então N < 0. No caso β < ωr temos as seguintes possibilidades em M 1. Se αωr < κβK(ωr − β) então M < 0. De onde x₁− K = ^M− √ ∆ −2a ^{< 0} e, como N < 0, então M +√ ∆ > 0. Portanto, x₂− K = ^M+ √ ∆ −2a ^{< 0.} 2. Se αωr = κβK(ωr − β) então M = 0, de onde x₁− K = ⁻ √ ∆ −2a ^{e x2− K =} √ ∆ −2a^. 3. Se αωr > κβK(ωr − β) então M > 0. Segue dos itens i, ii, iii que (x₁, y₁) ∈ Ω.

(c) Suponha que q > q_K(K) então N > 0. Agora, se temos que β < ωr e K > ˜K então M< 0 pois M = αωr − κβK(ωr − β). Além disso, se q = q∆(K) então ∆ = 0. Assim, como N > 0 e ∆ = 0, temos a existência de uma única raiz x_∗ com multiplicidade dois, e dado que

x_∗− K = ^M

−2a ^{e M< 0}

temos que x^∗< K. Portanto, (x^∗, y^∗) ∈ Ω.

(d) Suponha que q = q_K(K) então N = 0. Agora, se temos que β < ωr e K > ˜K então M < 0. Como N = 0 temos que M −√

∆ = 0, de onde x₂ = K, portanto (x₂, y₂) = (K, 0) /∈ Ω. No caso de x₁ x₁− K = −^M a < 0, pois M < 0. Logo, (x₁, y₁) ∈ Ω.

Teorema 15 O sistema com colheita (2-4) tem dois pontos de equilíbrio, E₁ e E₂ em Ω se as seguintes condições são satisfeitas:

(a) κβK − α > 0, (b) β < ωr, (c) K> ˜K,

(d) q_K(K) < q < q_∆(K).

Prova. Por hipótese q < q_∆(K), o que implica que ∆ > 0, logo temos a existência de duas raízes reais. Agora, se β < ωr e K > ˜Ktemos que M < 0, logo temos o ponto de equilíbrio E₁= (x₁, y₁) ∈ Ω.

No caso em que q > q_K(K) temos que N > 0, então temos o ponto de equilíbrio

E₂= (x₂, y₂) ∈ Ω. 

Exemplo 4 Para os seguintes valores dos parâmetro r = 0.8, κ = 0.7, α = 0.5, β = 0.6, K= 15 e ω = 1, obtemos que q_∆(K) = 5.86114, q_K(K) = 5.8 e ˜K= 4.76. Além disso, para q= 5.82 temos que q_K(K) < q < q_∆(K). Temos então todas as condições do Teorema 15 satisfeitas:

(a) κβK − α = 5.8 > 0, (b) β = 0.6 < ωr = 0.8, (c) K= 15 > ˜K= 4.76,

(d) q_K(K) = 5.8 < q < q_∆(K) = 5.86.

Na Figura 2.3 ilustramos a existência do ponto de equilíbrio trivial E₀, que é um ponto de sela, o ponto de equilíbrio de extinção do predador E_K, que é um nó estável, e os dois pontos de equilíbrio admissíveis, E₁ e E₂, que são um foco estável e um sela, respectivamente.