No que segue estudaremos sistemas de equações diferenciais autônomas, ou seja, que não dependem explicitamente do tempo. Além disso, estamos interessados no estudo qualitativo de sistemas de equações não lineares, pois o estudo para determinar seu retrato de fase é de grande relevância, já que na maioria das vezes não é possível encontrar explicitamente suas soluções.
Definição 7 Seja U um subconjunto aberto do plano Euclidiano Rn. Umcampo vetorial de classe Ck, 1 ≤ k ≤ ∞, em U é uma aplicação F : U → Rn de classe Ck. Ao campo vetorial F associamos a equação diferencial
˙x = F(x) (1-2)
Definição 8 Uma solução para o sistema (1-2) é uma aplicação diferenciável ϕ : I → U , comx ∈ U , tal que:
dϕ
dt (t) = F(ϕ(t)) (1-3)
para todo t∈ I, estas soluções são chamadas trajetórias ou curvas integrais de F ou do sistema (1-2).
Definição 9 Um ponto x0∈ U é dito ponto de equilíbrio do sistema (1-2) se F(x0) = 0 e ponto regular do sistema (1-2) se F(x0) 6= 0.
Considerando Ip o intervalo de existência da solução ϕ(t) através de p, temos a seguinte definição.
Definição 10 O conjunto γp= {ϕ(t, p),t ∈ Ip}, isto é, a imagem da curva integral de F pelo ponto p, chama-seórbita de (1-2) pelo ponto p.
Definição 11 O conjunto aberto U , munido da decomposição em órbitas de F, chama-se retrato de fase do sistema (1-2).
Definição 12 Seja x0um ponto de equilíbrio do sistema (1-2)
a) O sistema linear (1-1) com a matriz A = DF(x0) é chamado de linearização de (1-2) emx0.
b) O ponto x0 é chamado um ponto de equilíbrio hiperbólico de (1-2) se nenhum dos valores próprios da matriz DF(x0) tem parte real nula.
Considere o seguinte sistema de equações com condição inicial
(
˙x = F(x)
Definição 13 Seja U um subconjunto aberto de Rn e seja F ∈ C1(U ). Para p ∈ U , seja φ(t, p) a solução do sistema (1-4) definido no intervalo Ip. Então, para t∈ Ip, o conjunto de aplicações φt definido por
φt(p) = φ(t, p) (1-5)
é chamado o fluxo da equação diferencial (1-2) ou o fluxo definido pela equação diferencial(1-2) ; φt, também é referido como o fluxo do campo vetorial F(x).
A seguinte definição é de grande relevância porque, construindo um homeomor-fismo, é possível estudar as propriedades de soluções de um sistema de equações diferen-ciais “difícil” através de um sistema mais simples.
Definição 14 Sejam ϕ1: D1→ Rn e ϕ2: D2→ Rn os fluxos gerados pelos campos F1: U1→ Rn, e F2: U2→ Rn, respectivamente. Diz-se que F1étopologicamente conjugado a F2quando existe um homeomorfismo H: U1→ U2tal que
H(ϕ1(t, x)) = ϕ2(t, H(x)) (1-6)
para todo(t, x) ∈ D1. Onde Di= UixI, com Uié um aberto de Rne I um intervalo de R. O teorema a seguir nos permite estudar o comportamento das trajetórias de um sistema não linear próximo a um ponto singular hiperbólico através de sua linearização.
Teorema 3 ( Hartman-Grobman) Seja U um subconjunto aberto do Rn contendo a origem eF ∈ C2(U ). Considere φt o fluxo do sistema não linear
˙x = F(x)
com x ∈ Rn. Suponha que F(x0) = 0 e que a matriz A = DF(x0) não tem autovalores com parte real nula. Então existe um homeomorfismo H de um subconjunto aberto ˜U de x0 em um subconjunto aberto ˜V contendo a origem tal que para cadax0∈ ¯U existe um intervalo aberto I(x0) ⊆ R contendo a origem tal que para todo x0∈ ¯U e t∈ I(x0)
H◦ φt(x0) = eAtH(x0)
Prova. Veja página 120 de [19].
Pelas Definições 10 e 13 temos que γ e φ(t, x) são conjuntos, então para a seguinte definição vamos considerar que dado A e B conjuntos temos que
d(A, B) = inf
Definição 15 Uma órbita periódica de (1-2) é qualquer curva solução fechada de (1-2) que não seja um ponto de equilíbrio de (1-2). Uma órbita periódica γ é chamada de estável (ou atratora) se para cada ε > 0 existe uma vizinhança U de γ tal que para todox ∈ U e t ≥ 0, d(φ(t, x), γ) < ε. Uma órbita periódica γ é chamada de instável (ou repulsora) se não é estável.
Definição 16 Sejam U um aberto de R2e F : U → R2 um campo vetorial de classe C1. Uma órbita periódica γ de F chama-se ciclo limite se existe una vizinhança V de γ tal que γ é a única órbita fechada de F que intercepta V .
Para o seguinte teorema podemos pensar que uma região simples conexa é uma região que não possui buracos; todas as curvas fechadas podem ser reduzidas a um ponto sem passar por pontos no complemento da região.
Teorema 4 (Critério de Dulac) Seja f ∈ C1(E), onde E é uma região simples conexa em R2. Se existe uma função B∈ C1(E) tal que o O(B f ) não é identicamente nulo e não muda de sinal em E, então (1-2) não tem uma órbita fechada contida inteiramente em E.
Prova. A demonstração deste resultado pode ser encontrada em [19].
Definição 17 Um setor que é topologicamente equivalente ao setor mostrado na Figura 1.6-(a) é chamado um setor hiperbólico. Um setor topologicamente equivalente ao setor mostrado na Figura 1.6-(b) é chamado um setor parabólico. Finalmente, um setor topologicamente equivalente ao setor mostrado na Figura 1.6-(c) é chamado um setor elíptico.
(a) Um sector hiperbólico. (b) Um sector parabólico.
(c) Um sector elíptico
Suponhamos que existe uma vizinhança U da origem tal que o único ponto de equilíbrio do sistema planar dx dt = P(x, y) dy dt = Q(x, y). (1-8)
em U é a origem, ou seja, a origem é um equilíbrio isolado de (1-9), onde P e Q são analíticas em alguma vizinhança da origem. Apresentaremos alguns resultados estabele-cidos para o caso em que a matriz associada à parte linear A = D f (0) possui um ou dois autovalores nulos, mas A não é uma matriz nula.
Um ponto sela-nó é um ponto de equilíbrio do tipo não hiperbólico para o sistema planar (1-8) que consiste de dois setores hiperbólicos e um setor parabólico, bem como as três separatrizes e o ponto de equilíbrio, ver Figura 1.7-(a). Um outro tipo de comportamento que pode ocorrer em um ponto de equilíbrio não hiperbólico, ilustrado na Figura 1.7-(b), consiste de dois setores hiperbólicos e duas separatrizes. Este ponto de equilíbrio é chamado uma cúspide.
(a) Ponto sela-nó. (b) Ponto cúspide.
Figura 1.7: Pontos de equilíbrio sela-nó e cúspide.
Agora, consideramos o caso em que a matriz A possui dois autovalores nulos, ou seja, detA = 0 e trA = 0 mas A 6= 0. Neste caso, é mostrado em [2] que o sistema (1-9), próximo da origem, pode ser escrito na forma normal
dx dt = y dy dt = akxk(1 + h(x)) + bnxny(1 + g(x)) + y2r(x, y). (1-9)
onde h(x), g(x) e R(x, y) são funções analíticas numa vizinhança da origem, tais que h(0) = g(0) = 0, ak6= 0 e n ≥ 0. Temos o seguinte teorema.
Teorema 5 Seja k = 2m, com m ≥ 1, na forma normal (1-7). Então a origem do sistema (1-5) é
a) Uma cúspide se bn= 0 ou se bn6= 0 e n ≥ m. b) Um ponto sela-nó se bn6= 0 e n < m.
Prova. Veja páginas 357-362 de [2].
1.2 Bifurcações Locais
Considere o seguinte sistema de equações diferenciais ordinárias dependendo de um o mais parâmetros
˙x = f (x, α), x ∈ Rn; α ∈ Rm (1-10) com n = 1, 2 e m = 1, 2. Se o parâmetro α é perturbado ligeiramente próximo de α0 e a estrutura topológica do retrato de fase de (1 − 10) permanece inalterada; então α0é cha-mado de valor regular do parâmetro α e o sistema (1 − 10) é chacha-mado estruturalmente estável em relação às perturbações de α. Se, para perturbações arbitrariamente pequenas α próximo a α0, a estrutura topológica do retrato de fase para o sistema (1 − 10) é alterada, então dizemos que α0 é um valor de bifurcação e a mudança na estrutura topológica é chamada de bifurcação.
Neste sentido a teoria das bifurcações estuda como o retrato de fase do sistema (1-10) muda quando o parâmetro α varia, fazendo perturbações arbitrariamente pequenas e ob-servar fenômenos de bifurcação.
Assim, nesta seção estamos interessados em estudar bifurcações locais que são anali-sadas completamente por mudanças nas propriedades de estabilidade de seus pontos de equilíbrio. Além disso, observar fenômenos de bifurcação como surgimento ou desapare-cimento de pontos singulares e ciclos limite.