E
DITH
J
ANETH
P
OTOSÍ
E
STRADA
Modelos presa-predador:dinâmica e
bifurcações
Goiânia 2019
Modelos presa-predador:dinâmica e
bifurcações
Dissertação apresentada ao Programa de Pós–Graduação do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal de Goiás, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática.
Área de concentração: Sistemas Dinâmicos.
Orientador: Prof. Dr. João Carlos da Rocha Medrado Co-Orientadora: Profa. Dra. Kamila da Silva Andrade
Goiânia 2019
CDU 517.938 Potosí Estrada, Edith Janeth
Modelos presa-predador: dinâmica e bifurcações [manuscrito] / Edith Janeth Potosí Estrada. - 2019.
CIII, 103 f.: il.
Orientador: Prof. Dr. João Carlos da Rocha Medrado; co orientadora Dra. Kamila da Silva Andrade.
Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Goiás, Instituto de Matemática e Estatística (IME), Programa de Pós-Graduação em Matemática, Goiânia, 2019.
Bibliografia.
Inclui lista de figuras, lista de tabelas.
1. Sistemas dinâmicos. 2. Sistemas de Filippov. 3. Modelos presa predador. 4. Colheita do predador. 5. Análise de estabilidade. I. da Rocha Medrado, João Carlos, orient. II. Título.
Edith Janeth Potosí Estrada
Ao professor João Carlos da Rocha Medrado por me permitir fazer parte de seu grupo de trabalho. À professora Kamila da Silva Andrade pelo seu tempo, pelo seu conhecimento, pela sua paciência, pelo seu apoio e, acima de tudo, pela sua motivação.
Ao professor Glaydston de Carvalho Bento.
Ao professor Durval José Tonon e à professora Juliana F. Larrosa por aceitar o convite para fazer parte da banca para esta dissertação.
A minha família, namorado e amigos.
À CAPES pela bolsa de estudos, que me auxiliou muito no desenvolvimento do trabalho.
And now beginnest, all thy gladness granting, A vigorous resolution to restore me, To seek that highest life for which I’m panting” Johann Wolfgang von Goethe, Faust
Estrada, P. J. E.. Modelos presa-predador:dinâmica e bifurcações. Goiânia, 2019. 103p. Dissertação de Mestrado. Instituto de Matemática e Estatística, Universidade Federal de Goiás.
Neste trabalho, estudamos algumas bifurcações clássicas de sistemas suaves e suaves por partes que aparecem naturalmente em sistemas presa-predador. Na parte teórica, estudamos as formas normais de cada bifurcação e fazemos uma descrição de seus diagramas de bifurcação. Na parte de aplicação estudamos três modelos presa-predador: o primeiro modelo é o modelo tradicional de Lotka-Volterra onde são mostradas as condições necessárias para a existência de pontos de equilíbrio e se estuda a existência de ciclos limite; o segundo modelo se destinge do primeiro porque tem colheita não-linear na população de predadores. Neste caso a existência das bifurcações sela-nó, Hopf e Bogdanov-Takens. Além disso, realizamos algumas simulações numéricas para observar o efeito da variação dos parâmetros de colheita. Finalmente, para o terceiro modelo, que faz a mudança de um modelo para outro a partir de um limiar econômico, fazemos uma análise de estabilidade de acordo as curvas de bifurcação e uma experimentação numérica onde pode ser visualizada o surgimento das bifurcações sela, nó e foco no bordo.
Palavras–chave
Sistemas dinâmicos, sistemas de Filippov, modelos presa-predador, colheita do predador, análise de estabilidade.
Estrada, P. J. E.. Predator-prey models: dynamics and bifurcations. Goiânia, 2019. 103p. MSc. Dissertation. Instituto de Matemática e Estatística, Universi-dade Federal de Goiás.
In this work we study some classic bifurcations of smooth and piecewise smooth systems that appear naturally in predator-prey systems. In the theoretical part, we study the normal forms of each bifurcation and make a description of its bifurcation diagrams. In the application part we study three predator-prey models, the first model is the traditional Lotka-Volterra model where the necessary conditions for the existence of equilibrium points are shown and the existence of limit cycles is studied; the second model differs from the first one because it has non-linear harvesting in the predator population and the existence of the bifurcations of the saddle-node, Hopf and Bogdanov-Takens is proved, as well as some numerical simulations to observe the effect of the variation of the harvest parameter; finally, the third model, which makes the change from one model to another from an economic threshold, we perform a stability analysis accordingly to the bifurcation curves and a numerical experiment where the emergence of the bifurcations can be visualized.
Keywords
Dynamic systems, Filippov systems, predator-prey models, harvesting of the predator, stability analysis.
Lista de Figuras 13
Lista de Tabelas 15
Introdução 15
1 Bifurcações em sistemas suaves 24
1.1 Conceitos preliminares da Teoria Qualitativa das EDO’s 24
1.1.1 Equações diferenciais lineares 24 1.1.2 EDO’s não lineares 29
1.2 Bifurcações Locais 33
1.2.1 Bifurcação sela-nó 33 1.2.2 Bifurcação de Hopf 35
1.2.3 Bifurcação de Bogdanov-Takens 43
2 Modelos presa-predador: sistemas suaves 47
2.1 Modelo 1: presa-predador sem colheita 47
2.2 Modelo 2: presa-predador com colheita do predador 51
2.2.1 Existência dos pontos de equilíbrio 51 2.2.2 Estabilidade dos pontos de equilíbrio 58
2.2.3 Bifurcações 60
2.2.4 Experimentação numérica 74
3 Birfurcações em sistemas suaves por partes 76
3.1 Conceitos básicos 76
3.2 Bifurcações locais: pontos de equilíbrio no bordo 81
3.2.1 Bifurcação sela no bordo 81
3.2.2 Bifurcação nó no bordo 84 3.2.3 Bifurcação foco no bordo 86
4 Modelo presa-predador: sistemas suaves por partes 90
4.1 Modelo 3: presa-predador com colheita não contínua 90
4.1.1 Dinâmica na região de deslize 92 4.1.2 Estabilidade dos pontos de equilíbrio 96
4.1.3 Experimentação numérica 98
Conclusão 100
1 Comportamento da soluçãox(t) = x0ekt da equação(0-1). 17
2 Comportamento das soluções da equação(0-3). 19
3 Ilustração da interação entre duas espécies considerando o modelo
presa-predador Lotka-Volterra. 20
1.1 Retrato de fase de um ponto sela na origem. 25
1.2 Retrato de fase de um nó atrator na origem. 26
1.3 Retrato de fase de um foco estável na origem. 27
1.4 Retrato de fase de um centro na origem. 27
1.5 Diagrama de bifurcação do sistema(1-1)considerando o ponto de
equilí-brio na origem eδ 6= 0. 28
1.6 Sectores: hiperbólico, parabólico e elíptico. 31
1.7 Pontos de equilíbrio sela-nó e cúspide. 32
1.8 Diagrama de bifurcação sela-nó,x∈ R. 34
1.9 Diagrama de bifurcação sela-nó,x∈ R2 36
1.10 Diagrama de bifurcação de Hopf supercrítica. 41
1.11 Diagrama de bifurcação de Hopf subcrítica. 42
1.12 Diagrama de bifurcação do sistema(1-38): Bogdanov-Takens. 45
2.1 Retrato de fase do sistema (2-1). 50
2.2 ∆ = 0, N = M 2
4κβ2Kωr 54
2.3 Retrato de fase do sistema(2-4), parar= 0.8,κ = 0.7,α = 0.5,β = 0.6,
K= 15eω = 1. 59
2.4 Bifurcação de Hopf supercrítica no parâmetroqH1(K) = 0.333856. 67 2.5 Bifurcação sela-nó no parâmetroq∆(K) = 5.86114. 67
2.6 Diagrama de bifurcação do sistema(2-47). 72
2.7 Classificação dos pontos de equilíbrio do sistema(2-4). 73
2.8 Aumento da taxa de colheita no planoK− q. 74
2.9 Estabilidade dos pontos de equilíbrio do sistema (2-4) quanto a taxa de
colheita aumenta. 75
3.2 Região de Escape,Σe. 77
3.3 Região de Deslize,Σs. 78
3.4 Definição do campo vetorial deslizanteZs. 79
3.5 Exemplo de um ciclo deslizante. 81
3.6 A curvax˙= 0eΣinterceptam-se emP, indicando onde ocorre o ponto de equilíbrio paraZs.T é a interseção dey˙= 0eΣ, que é o ponto ondeX+
é tangente aΣ. 82
3.7 Posição das retas isóclinas para ilustrar os casos genéricos. 83
3.8 Diagrama de bifurcação para o casoSB1. 83
3.9 Diagrama de bifurcação para o casoSB2. 84
3.10 Diagrama de bifurcação para o casoSB3. 84
3.11 Diagrama de bifurcação para o casoNB1. 85
3.12 Diagrama de bifurcação para o casoNB2. 86
3.13 Interseções entreγeΣ. 86
3.14 Diagrama de bifurcação para o casoFB1. 87
3.15 Diagrama de bifurcação para o casoFB2. 88
3.16 Diagrama de bifurcação para o casoFB3 88
3.17 Diagrama de bifurcação para o casoFB4. 88
3.18 Diagrama de bifurcação para o casoFB5. 89
4.1 Diagrama de bifurcação do sistema suave por partes(4.1). 98
2.1 Classificação dos pontos de equilíbrio de acordo com o Teorema 12 49 2.2 Classificação dos pontos de equilíbrio para o sistema com colheita(2-4). 73
4.1 Classificação dos pontos de equilíbrio para o sistema suave por partes
A evolução da interação entre espécies, o movimento de um pêndulo e muitos outros comportamentos na natureza podem ser estudados utilizando ferramentas da Teoria Qualitativa das Equações Diferencias, tais ferramentas nos permitem estudar as soluções das equações e o efeito de pequenas perturbações das condições iniciais sem encontrar explicitamente as soluções, veja por exemplo [13]. O desenvolvimento desta teoria foi iniciado no trabalho de Poincaré “Mémoire sur les courbes définies par une équetion dif-ferentielle”, de 1881, onde defendeu uma nova abordagem: as soluções devem ser objeto de uma análise qualitativa, utilizando as ferramentas geométricas e probabilísticas dispo-níveis, a qual deve ser complementada com um estudo numérico da equação diferencial. Desta forma, também podemos pensar que na natureza podem ocorrer sistemas estáveis e instáveis. No caso dos sistemas instáveis pode dar-se que seu comportamento é for-temente sensível a pequenas variações da lei de evolução onde, através da “Teoria das Bifurcações”, podemos explicar e prever estes fatos de maneira rigorosa, veja [16].
No âmbito da modelagem matemática, os modelos presa-predador se tornaram de grande relevância para o estudo das ciências como ecologia, biologia, economia, entre outras, veja [18], porque permitem descrever, explicar e, em alguns casos, prever compor-tamentos específicos entre a interação de duas espécies, ver [6]. Além disso, nos permi-tem investigar os possíveis efeitos da máxima produtividade sustentável (MSY: Maximum Sustainable Yield) na coexistência de espécies, pois na atualidade a superexploração de espécies e recursos está levando a um desequilíbrio ambiental e econômico ao mundo, veja [7]. Podemos entender na ecologia populacional, o rendimento máximo sustentável (MSY) teoricamente como o maior rendimento (ou captura) que pode ser obtido de um estoque de espécies por um período indefinido, maiores detalhes podem ser encontrados em [11].
Os primeiros ensaios sobre a formulação de modelos matemáticos para descrever a dinâmica de populações são datados dos séculos XVIII e XIX. Em 1798, Thomas Robert Malthus (1766- 1834) publicou a obra “An essay on the principle of population”, na qual assumia que a variação do crescimento de uma população era proporcional à população em cada instante, o que significava dizer que a população aumentava em crescimento exponencial no decorrer do tempo, veja [10]. Em termos das equações
diferencias suponha que x(t) é o número de indivíduos no tempo t e a taxa de natalidade e mortalidade constantes, denotadas por a e b, respectivamente. Então, a variação da população em relação ao tempo é igual a diferença da natalidade menos a mortalidade multiplicada pelo número de indivíduos, isto é descrito pela seguinte equação:
dx
dt = kx(t), (0-1)
com k = a − b. Além disso, dada uma condição inicial, x(0) = x0, temos que a solução da
equação (0-1) é dada por:
x(t) = x0ekt. (0-2)
A Figura 1 ilustra o comportamento da solução (0-2) segundo a seguinte análise:
a> b
a= b
a< b t x
x0
Figura 1: Comportamento da solução x(t) = x0ekt da equação
(0-1).
• Se a < b temos que a população aumenta indefinidamente quanto o tempo tende a infinito, isto é,
lim
t→∞x(t) = ∞.
• Se a = b a população permanece constante, ou seja,
lim
t→∞x(t) = x0.
• Se a > b temos que a população diminui até a extinção, isto é,
lim
t→∞x(t) = 0.
Mas o modelo tem várias suposições que fazem que seja idealizado e se afaste da realidade:
• os recursos para a sobrevivência dos indivíduos da população x(t) são inesgotáveis e são distribuídos de forma homogênea;
• a população pode ser infinita.
Assim, Pierre François Verhulst (1804-1849), convencido de que o modelo de crescimento de Malthus não era adequado para explicar a dinâmicas de populações, elaborou considerações complementares às enunciações propostas por Malthus. Verhulst incorporou uma limitação ao modelo de modo a reduzir a taxa de crescimento e inibir o crescimento exponencial, veja [10]. Para isso propôs a existência de uma população limite K tal que o ambiente tem exatamente os recursos naturais para poder garantir seu crescimento e reprodução, que é chamada capacidade de suporte ou capacidade crítica. Além disso, observou também que a população tenderia a aumentar, quando o seu valor absoluto estava abaixo dessa capacidade crítica, e diminuir, quando o valor da população estivesse acima da capacidade crítica. Desta forma, considerando a função
g(t) = r −rx(t) K , temos que esta cumpre as seguintes condições:
• x(t) > K ⇒ g(t) < 0, • x(t) < K ⇒ g(t) > 0.
onde r é a taxa intrínseca de crescimento da população. Logo, a equação
dx(t) dt = rx(t) 1 −x(t) K (0-3)
modela uma população onde a taxa de natalidade é proporcional à quantidade de recursos disponíveis. Dada uma condição inicial, x(0) = x0, temos que a solução da equação (0-3)
é dada por:
x(t) = K
1 + Ae−rt, (0-4)
com A = Kx
0− 1. A Figura 2 ilustra o comportamento da solução (0-4) segundo a seguinte
análise:
• Se x0< K temos que a população aumenta assintoticamente a K quando o tempo
tende a infinito;
• se x0= K a população permanece constante;
• se x0> K temos que a população diminui assintoticamente a K quando o tempo
tende a infinito. Desta forma, em todo caso
lim
K
x0> K
x0< K t x
Figura 2: Comportamento das soluções da equação (0-3).
Os modelos de Malthus e Verhulst só consideravam uma população isolada. En-tão, em 1925 e 1926, Alfred Lotka (1880-1949) e Vito Volterra (1860-1940) propuseram um modelo de interação entre duas espécies, do qual emerge o modelo tradicional presa-predador. Neste modelo, suponha que as populações da presa e do predador, sejam de-notadas por x(t) e y(t), respectivamente, no instante t. Considera-se que na ausência do predador, y(t) = 0, a população de presas aumentará no caso que x(t) < K, e diminuirá no caso que x(t) > K, isto é, a população das presas, em ausência de predadores, pode ser modelada pela equação (0-3), onde r é a taxa de crescimento efetiva da população das pre-sas na ausência de predadores. Considera-se, também, que o número de encontros entre as duas espécies é proporcional ao produto das populações de cada espécie, ou seja, x(t)y(t). Estes encontros tendem a inibir o crescimento da população de presas ou a promover o crescimento da população de predadores. Assim, a taxa de crescimento da população de presas, dxdt, é diminuída por um termo da forma −βx(t)y(t) onde β é a taxa de decréscimo da população de presas devido ao encontros com predadores (taxa de captura), no caso da taxa de crescimento da população de predadores, dydt, é aumentada por um termo da forma +κβx(t)y(t), onde κ é a eficiência de conversão de presas em predadores que mede a produção per capita de prole de predadores também como uma função da abundância de presas.
Por outro lado, considera-se que na ausência de presas, x(t) = 0, acarretará a extinção da população de predadores, devido à falta de alimento, situação descrita por um termo da forma −αy(t), onde α é taxa de mortalidade da população de predadores na ausência de presas. A interação entre as populações deste modelo é ilustrada na Figura 3. Portanto, o modelo tradicional presa-predador (denominado por “modelo 1”neste
Figura 3: Ilustração da interação entre duas espécies conside-rando o modelo presa-predador Lotka-Volterra.
trabalho), é descrito pelo seguinte sistema de equações diferenciais
dx dt = rx(1 − xK) − βxy, dy dt = κβxy − αy, (0-5)
com as condições iniciais x(0) = x0e y(0) = y0no conjunto de interesse biológico
Ω =(x, y) ∈ R2; x > 0, y > 0 , tendo as variáveis:
x(t): número de presas no tempo t, y(t): número de predadores no tempo t, e os parâmetros:
r: taxa intrínseca de crescimento da população presa, K: capacidade de suporte,
β: taxa de captação por predado,.
κ: taxa de eficiência com que a presa capturada é convertida em novos predadores, α: taxa de mortalidade do predador.
Consideramos, ainda, as seguintes hipóteses:
• a população de presas crescerá limitada dependendo da quantidade da população de predadores, e da capacidade do ambiente para ajudar no crescimento e a reprodução da presa;
• a população predadora só se alimenta da presa.
Em uma busca por melhoria nos modelos afim de torná-los mais realistas, alguns pesquisadores examinaram a influência das estratégias de colheita na interação de diferentes espécies. Por exemplo, modelos de predadores e presas com regimes de colheita linear e constante foram considerados pelos pesquisadores, veja [4] e [5], dentre outros. No entanto, muito permanece desconhecido sobre o efeito da colheita não-linear ou saturada na dinâmica do modelo tradicional presa-predador. Assim, com o propósito de examinar se a colheita não linear de predadores pode-se induzir dinâmicas mais complicadas em um modelo tradicional presa-predador, em [21] é proposto um modelo com colheita do predador (denominado por “modelo 2 ”neste trabalho), dado por
dx dt = rx(1 − xK) − βxy, dy dt = κβxy − αy − qy 1 + ωy, (0-6) onde
• 1+ωyqy : representa a colheita do predador (função de saturação), • ω : constante adequada,
• q : taxa de colheita.
Modelos de colheita contínua têm sido amplamente estudados, mas suas suposi-ções são questionáveis, pois, independentemente da população do predador e presa, po-dem levar à extinção do predador ou da presa. Então, em [21] também é proposto um modelo (será denominado por “modelo 3”neste trabalho) que aborda uma política de co-lheita realista sob a qual o desenvolvimento sustentável de duas espécies é alcançado, ou seja, está focado nos efeitos da colheita não-linear e uma política de limiar na coexistência do predador e da presa. Além disso, está focado em que tipos de novas dinâmicas e bifur-cações ocorrerão quando o modelo tradicional for perturbado por um regime de colheita não linear e quando a política de limite for implementada. Este modelo é dado por:
dx dt = rx(1 − xK) − βxy, dy dt = κβxy − αy − ε qy 1 + ωy, (0-7) com ε = ( 0, y < P 1, y > P,
onde P é um parâmetro implementado com o fim de obter o rendimento máximo sustentá-vel (MSY) da população dos predadores e que responde ao desenvolvimento sustentásustentá-vel,
ou seja, o parâmetro P é implementado com o fim de uma exploração ótima de recursos renováveis, neste caso da colheita de uma população de uma espécie dada.
Assim, com a motivação de aprofundar no estudo da Teoria Qualitativa das Equações Diferenciais e poder visualizar sua relevância como ferramenta no estudo de outras ciências, o principal objetivo do trabalho é estudar algumas bifurcações clássicas para sistemas suaves e suaves por partes que aparecem naturalmente em sistemas presa-predador. Baseamos este trabalho, principalmente, no artigo [21], onde os autores fazem o estudo do modelo 1, o modelo tradicional presa-predador, o modelo 2, que se diferencia do primeiro modelo pela presença de colheita do predador, e o modelo 3, que faz a mudança de um modelo para outro a partir de um parâmetro P considerado um limiar econômico que responde a necessidade de desenvolvimento sustentável que depende da população de predadores.
Desta forma, neste trabalho estudamos e apresentamos brevemente formas normais de algumas bifurcações locais em sistemas suaves, a saber: nó-sela, Hopf e Bogdanov-Takens. Após isto, estudamos os modelos 1 e 2, que são suaves. Investigamos seus pontos de equilíbrio, a depender dos parâmetros, segundo existência, pertencimento à região de interesse biológico e existência de bifurcações locais. Para o modelo 1, são mostradas as condições necessárias para a existência de pontos de equilíbrio na região de interesse biológico e a existência de ciclos de limite é estudada. Para o modelo 2, é estudada a existência das bifurcações Hopf e sela-nó a partir do parâmetro de colheita em função do parâmetro K onde há um ponto de interseção entre as duas curvas de bi-furcação e é provada nesse ponto a existência de uma cúspide. Além disso, para pontos em uma vizinhança provamos que existe uma bifurcação de Boddanov-Takens. Após isso, estudamos brevemente algumas bifurcações locais típicas em sistemas suaves por partes, mais particularmente, bifurcações de pontos de equilíbrio no bordo. Finalmente, estuda-mos o modelo 3 onde são discutidas a existência de pontos de equilíbrio, ciclos limite e de bifurcações. Observamos, ainda, que em todos os modelos fizemos análises numéricas similares às existentes em [21], com algumas informações e simulações adicionais.
Este trabalho está organizado como segue. No Capítulo 1 apresentamos os con-ceitos básicos da teoria qualitativa e bifurcações locais. Mais especificamente, considera-mos as bifurcações de codimensão 1, sela-nó e Hopf, e de codimensão dois, Bogdanov-Takens, apresentamos suas formas normais e uma descrição de seus diagramas de bifur-cação.
No Capítulo 2 fazemos uma análise da existência e da estabilidade dos pontos de equilíbrio dos modelos 1 e 2. Além disso, para o modelo 1, é provada a inexistência de ciclos limites através do critério de Dulac. Para o modelo 2 é feita uma análise de bifurcações onde é provada a existência das bifurcações sela-nó, Hopf e Bogdanov-Takens. Também, algumas simulações numéricas são feitas para observar o efeito da
variação do parâmetro de colheita.
No Capítulo 3 estudamos sistemas suaves por partes de acordo com a convenção de Filippov, veja [9], e é feito um estudo sobre as bifurcações na variedade de transição de uma sela, nó e foco hiperbólico.
Por último, no Capítulo 4, fazemos um estudo da dinâmica do modelo 3, uma análise de estabilidade de acordo as curvas de bifurcação e uma simulação numérica onde se pode ser visualizada o surgimento das bifurcações: sela, nó e foco no bordo.
O estudo apresentado neste capítulo está dividido em duas seções, com a fi-nalidade de estudar as propriedades das soluções das equações diferenciais ordinárias (EDO’s). Na primeira seção faremos uma breve revisão sobre alguns conceitos básicos da teoria qualitativa das equações diferenciais ordinárias para abordar com maior propri-edade a segunda seção, onde estudaremos alguns tópicos da teoria das bifurcações.
1.1
Conceitos preliminares da Teoria Qualitativa das
EDO’s
Esta seção está dividida em duas subseções. Na primeira subseção trataremos conceitos relativos as equações diferenciais lineares e na segunda o estudo de equações diferenciais gerais.
1.1.1
Equações diferenciais lineares
Faremos agora uma breve revisão de alguns conceitos básicos de equações diferenciais lineares, pois o conhecimento delas é importante para o estudo local de equações não lineares.
Definição 1 Um sistema linear homogêneo em equações diferenciais é dado por:
˙x = Ax (1-1)
ondex ∈ Rn, A é uma matriz n× n e
˙x = dx dt = dx1 dt .. . dx2 dt .
Teorema 1 Sejam A uma matriz n × n e x0∈ Rn. Então a aplicaçãox(t) = eAtx0é a única
solução do problema de valor inicial
( ˙x = Ax x(0) = x0. Onde eAt= ∞
∑
k=0 tkAk k! . Para mais detalhes veja a página 12 de [19].Definição 2 Um ponto x0∈ Rné ditoponto de equilíbrio do sistema (1-1) se Ax = 0.
Observação 1 Uma matriz A é semelhante a uma matriz B, se existe uma matriz inversí-vel P tal que P−1AP= B, então o sistema linear ˙x = Ax é transformado no sistema ˙x = Bx pela mudança de coordenadasx = Py.
O retrato de fase de um sistema de equações diferenciais como (1-1) com x ∈ Rn é o conjunto de todas as curvas de solução de (1-1) no espaço de Rn. Tendo em conta a observação 1 temos as seguintes definições.
Definição 3 Para o sistema linear (1-1), com A uma matriz 2 × 2, se diz que tem um ponto sela na origem, se a matriz A é semelhante à matriz
B= λ 0
0 µ !
com λ < 0 < µ,
e seu retrato de fase é equivalente ao retrato de fase apresentado na Figura 1.1
Definição 4 Para o sistema linear (1-1), com A uma matriz 2 × 2, se diz que tem um ponto nó estável na origem (resp. nó instável ), se a matriz A é semelhante à matriz
B1= λ 0 0 µ ! com λ ≤ µ < 0 (resp. 0 < λ ≤ µ) ou B2= λ 1 0 λ ! com λ < 0 (resp. λ > 0),
e seu retrato de fase é equivalente a um dos apresentados na Figura 1.2.
(a) Associado à matriz B1. (b) Associado à matriz B1.
(c) Associado à matriz B2.
Figura 1.2: Retrato de fase de um nó atrator na origem.
Definição 5 Para o sistema linear (1-1), com A uma matriz 2 × 2, se diz que tem um foco estável (resp. foco instável) na origem, se a matriz A é semelhante à matriz
B= a −b
b a
!
com a< 0 (resp. a > 0)
e seu retrato de fase é equivalente ao retrato de fase a um dos apresentados na Figura 1.3.
(a) b > 0. (b) b < 0.
Figura 1.3: Retrato de fase de um foco estável na origem.
Observações 1
• na Definição 4, a estabilidade do ponto nó é determinada pelo sinal dos valores próprios da matriz associada; estável se λ ≤ µ < 0, e instável se λ ≥ 0 > µ. O diagrama de fase de um nó instável é semelhante à Figura 1.2 com a diferença que a direção de percurso de todas as trajetórias muda simultaneamente de sentido; • na Definição 5, se a > 0 as trajetórias em espiral se afastam da origem a medida
que aumenta o tempo e a origem se denomina um foco instável;
• Um nó ou um foco estável pode ser chamado também nó ou foco atrator, analoga-mente, um nó ou um foco instável é chamado um um nó ou um foco repulsor.
Definição 6 Para o sistema linear (1-1), com A uma matriz 2 × 2, se diz que tem um centro na origem, se a matriz A é semelhante à matriz
B= 0 −b
b 0
!
e seu retrato de fase é linearmente equivalente ao retrato de fase de algum dos retratos de fase apresentados na Figura 1.4.
(a) b > 0. (b) b < 0.
O teorema a seguir permite classificar o comportamento das soluções do sistema (1-1) próximo a um ponto de equilíbrio, quando o sistema (1-1) é planar, isto é, um sistema definido em R2.
Teorema 2 Seja x0um ponto singular do sistema (1-1), e sejam A uma matriz2 × 2, com
determinante e traço δ e τ respectivamente, então
(a) Se δ < 0, o sistema (1-1) tem um sela em x0.
(b) Se δ > 0 e τ2− 4δ ≥ 0, o sistema (1-1) tem um nó em x0e é atrator se τ < 0, e repulsor
se τ > 0.
(c) Se δ > 0 e τ2− 4δ < 0, e τ 6= 0, o sistema (1-1) tem um foco em x0, e é atrator se
τ < 0, e repulsor se τ > 0.
(d) Se δ > 0 e τ = 0, o sistema (1-1) tem um centro em x0.
(e) nos outros casos o sistema (1-1) não possui pontos de equilíbrio isolados.
Prova. A demonstração deste teorema pode ser encontrada na página 25 de [19]. Este resultado está ilustrado na Figura 1.5.
τ
δ
Figura 1.5: Diagrama de bifurcação do sistema (1-1) conside-rando o ponto de equilíbrio na origem e δ 6= 0.
1.1.2
EDO’s não lineares
No que segue estudaremos sistemas de equações diferenciais autônomas, ou seja, que não dependem explicitamente do tempo. Além disso, estamos interessados no estudo qualitativo de sistemas de equações não lineares, pois o estudo para determinar seu retrato de fase é de grande relevância, já que na maioria das vezes não é possível encontrar explicitamente suas soluções.
Definição 7 Seja U um subconjunto aberto do plano Euclidiano Rn. Umcampo vetorial de classe Ck, 1 ≤ k ≤ ∞, em U é uma aplicação F : U → Rn de classe Ck. Ao campo vetorial F associamos a equação diferencial
˙x = F(x) (1-2)
Definição 8 Uma solução para o sistema (1-2) é uma aplicação diferenciável ϕ : I → U , comx ∈ U , tal que:
dϕ
dt (t) = F(ϕ(t)) (1-3)
para todo t∈ I, estas soluções são chamadas trajetórias ou curvas integrais de F ou do sistema (1-2).
Definição 9 Um ponto x0∈ U é dito ponto de equilíbrio do sistema (1-2) se F(x0) = 0 e
ponto regular do sistema (1-2) se F(x0) 6= 0.
Considerando Ip o intervalo de existência da solução ϕ(t) através de p, temos a seguinte
definição.
Definição 10 O conjunto γp= {ϕ(t, p),t ∈ Ip}, isto é, a imagem da curva integral de F
pelo ponto p, chama-seórbita de (1-2) pelo ponto p.
Definição 11 O conjunto aberto U , munido da decomposição em órbitas de F, chama-se retrato de fase do sistema (1-2).
Definição 12 Seja x0um ponto de equilíbrio do sistema (1-2)
a) O sistema linear (1-1) com a matriz A = DF(x0) é chamado de linearização de (1-2)
emx0.
b) O ponto x0 é chamado um ponto de equilíbrio hiperbólico de (1-2) se nenhum dos
valores próprios da matriz DF(x0) tem parte real nula.
Considere o seguinte sistema de equações com condição inicial
(
˙x = F(x)
x(0) = x0.
Definição 13 Seja U um subconjunto aberto de Rn e seja F ∈ C1(U ). Para p ∈ U , seja
φ(t, p) a solução do sistema (1-4) definido no intervalo Ip. Então, para t∈ Ip, o conjunto
de aplicações φt definido por
φt(p) = φ(t, p) (1-5)
é chamado o fluxo da equação diferencial (1-2) ou o fluxo definido pela equação diferencial(1-2) ; φt, também é referido como o fluxo do campo vetorial F(x).
A seguinte definição é de grande relevância porque, construindo um homeomor-fismo, é possível estudar as propriedades de soluções de um sistema de equações diferen-ciais “difícil” através de um sistema mais simples.
Definição 14 Sejam ϕ1: D1→ Rn e ϕ2: D2→ Rn os fluxos gerados pelos campos F1:
U1→ Rn, e F2: U2→ Rn, respectivamente. Diz-se que F1étopologicamente conjugado
a F2quando existe um homeomorfismo H: U1→ U2tal que
H(ϕ1(t, x)) = ϕ2(t, H(x)) (1-6)
para todo(t, x) ∈ D1. Onde Di= UixI, com Uié um aberto de Rne I um intervalo de R.
O teorema a seguir nos permite estudar o comportamento das trajetórias de um sistema não linear próximo a um ponto singular hiperbólico através de sua linearização.
Teorema 3 ( Hartman-Grobman) Seja U um subconjunto aberto do Rn contendo a origem eF ∈ C2(U ). Considere φt o fluxo do sistema não linear
˙x = F(x)
com x ∈ Rn. Suponha que F(x0) = 0 e que a matriz A = DF(x0) não tem autovalores
com parte real nula. Então existe um homeomorfismo H de um subconjunto aberto ˜U de x0 em um subconjunto aberto ˜V contendo a origem tal que para cadax0∈ ¯U existe um
intervalo aberto I(x0) ⊆ R contendo a origem tal que para todo x0∈ ¯U e t∈ I(x0)
H◦ φt(x0) = eAtH(x0)
Prova. Veja página 120 de [19].
Pelas Definições 10 e 13 temos que γ e φ(t, x) são conjuntos, então para a seguinte definição vamos considerar que dado A e B conjuntos temos que
d(A, B) = inf
Definição 15 Uma órbita periódica de (1-2) é qualquer curva solução fechada de (1-2) que não seja um ponto de equilíbrio de (1-2). Uma órbita periódica γ é chamada de estável (ou atratora) se para cada ε > 0 existe uma vizinhança U de γ tal que para todox ∈ U e t ≥ 0, d(φ(t, x), γ) < ε. Uma órbita periódica γ é chamada de instável (ou repulsora) se não é estável.
Definição 16 Sejam U um aberto de R2e F : U → R2 um campo vetorial de classe C1. Uma órbita periódica γ de F chama-se ciclo limite se existe una vizinhança V de γ tal que γ é a única órbita fechada de F que intercepta V .
Para o seguinte teorema podemos pensar que uma região simples conexa é uma região que não possui buracos; todas as curvas fechadas podem ser reduzidas a um ponto sem passar por pontos no complemento da região.
Teorema 4 (Critério de Dulac) Seja f ∈ C1(E), onde E é uma região simples conexa em R2. Se existe uma função B∈ C1(E) tal que o O(B f ) não é identicamente nulo e não
muda de sinal em E, então (1-2) não tem uma órbita fechada contida inteiramente em E.
Prova. A demonstração deste resultado pode ser encontrada em [19].
Definição 17 Um setor que é topologicamente equivalente ao setor mostrado na Figura 1.6-(a) é chamado um setor hiperbólico. Um setor topologicamente equivalente ao setor mostrado na Figura 1.6-(b) é chamado um setor parabólico. Finalmente, um setor topologicamente equivalente ao setor mostrado na Figura 1.6-(c) é chamado um setor elíptico.
(a) Um sector hiperbólico. (b) Um sector parabólico.
(c) Um sector elíptico
Suponhamos que existe uma vizinhança U da origem tal que o único ponto de equilíbrio do sistema planar dx dt = P(x, y) dy dt = Q(x, y). (1-8)
em U é a origem, ou seja, a origem é um equilíbrio isolado de (1-9), onde P e Q são analíticas em alguma vizinhança da origem. Apresentaremos alguns resultados estabele-cidos para o caso em que a matriz associada à parte linear A = D f (0) possui um ou dois autovalores nulos, mas A não é uma matriz nula.
Um ponto sela-nó é um ponto de equilíbrio do tipo não hiperbólico para o sistema planar (1-8) que consiste de dois setores hiperbólicos e um setor parabólico, bem como as três separatrizes e o ponto de equilíbrio, ver Figura 1.7-(a). Um outro tipo de comportamento que pode ocorrer em um ponto de equilíbrio não hiperbólico, ilustrado na Figura 1.7-(b), consiste de dois setores hiperbólicos e duas separatrizes. Este ponto de equilíbrio é chamado uma cúspide.
(a) Ponto sela-nó. (b) Ponto cúspide.
Figura 1.7: Pontos de equilíbrio sela-nó e cúspide.
Agora, consideramos o caso em que a matriz A possui dois autovalores nulos, ou seja, detA = 0 e trA = 0 mas A 6= 0. Neste caso, é mostrado em [2] que o sistema (1-9), próximo da origem, pode ser escrito na forma normal
dx dt = y dy dt = akxk(1 + h(x)) + bnxny(1 + g(x)) + y2r(x, y). (1-9)
onde h(x), g(x) e R(x, y) são funções analíticas numa vizinhança da origem, tais que h(0) = g(0) = 0, ak6= 0 e n ≥ 0. Temos o seguinte teorema.
Teorema 5 Seja k = 2m, com m ≥ 1, na forma normal (1-7). Então a origem do sistema (1-5) é
a) Uma cúspide se bn= 0 ou se bn6= 0 e n ≥ m.
b) Um ponto sela-nó se bn6= 0 e n < m.
Prova. Veja páginas 357-362 de [2].
1.2
Bifurcações Locais
Considere o seguinte sistema de equações diferenciais ordinárias dependendo de um o mais parâmetros
˙x = f (x, α), x ∈ Rn; α ∈ Rm (1-10) com n = 1, 2 e m = 1, 2. Se o parâmetro α é perturbado ligeiramente próximo de α0 e a
estrutura topológica do retrato de fase de (1 − 10) permanece inalterada; então α0é
cha-mado de valor regular do parâmetro α e o sistema (1 − 10) é chacha-mado estruturalmente estável em relação às perturbações de α. Se, para perturbações arbitrariamente pequenas α próximo a α0, a estrutura topológica do retrato de fase para o sistema (1 − 10) é alterada,
então dizemos que α0 é um valor de bifurcação e a mudança na estrutura topológica é
chamada de bifurcação.
Neste sentido a teoria das bifurcações estuda como o retrato de fase do sistema (1-10) muda quando o parâmetro α varia, fazendo perturbações arbitrariamente pequenas e ob-servar fenômenos de bifurcação.
Assim, nesta seção estamos interessados em estudar bifurcações locais que são anali-sadas completamente por mudanças nas propriedades de estabilidade de seus pontos de equilíbrio. Além disso, observar fenômenos de bifurcação como surgimento ou desapare-cimento de pontos singulares e ciclos limite.
1.2.1
Bifurcação sela-nó
A bifurcação sela-nó é caracterizada pela presença, no valor de bifurcação, de um ponto de equilíbrio com um autovalor zero e os demais com parte real diferente de zero, além do surgimento ou desaparecimento de pontos de equilíbrio quando o parâmetro é perturbado.
No exemplo a seguir, estudamos a forma normal da bifurcação sela-nó, isto é, um sistema de equações mais simples de analisar que satisfaz as mesmas propriedades qualitativas que um sistema que apresenta este tipo de bifurcação.
Exemplo 1 (A forma normal da bifurcação sela-nó, x ∈ R)
Considere o seguinte sistema unidimensional, dependendo de um parâmetro:
˙
x= α + x2= f (x, α). (1-11)
Em α = 0 este sistema tem um equilíbrio não-hiperbólico x0= 0. Na Figura 1.8 podemos
observar o comportamento do sistema (1-11) quando perturbamos o parâmetro α.
x x x α < 0 α = 0 α > 0 y y y y= f (x, α) y= f (x, α) y= f (x, α) x0 x1 x2
Figura 1.8: Diagrama de bifurcação sela-nó, x ∈ R. Para α < 0 existem dois equilíbrios no sistema: x1,2(α) = ±
√
−α , o esquerdo o qual é estável, enquanto o direito é instável. Para α > 0 não existem equilíbrios no sistema. Enquanto α passa por α0= 0, de negativo para positivo, os dois equilíbrios
(estável e instável) “colidem”, formando em α = 0 um equilíbrio com autovalor λ = 0, e desaparecem.
Para mais detalhes sobre essa bifurcação veja a página 81 de [16].
O teorema a seguir caracteriza as condições dos sistemas que apresentam a bifurcação sela-nó em R.
Teorema 6 Suponha que um sistema unidimensional
˙
x= f (x, α) x ∈ R; α ∈ R, (1-12)
com f suave, tem em α = 0 o equilíbrio x = 0, e seja λ = fx(0, 0) = 0. Suponha que as
seguintes condições sejam satisfeitas: (A.1) fxx(0, 0) 6= 0,
(A.2) fα(0, 0) 6= 0.
Então há uma mudança de coordenadas invertíveis e de parâmetros que transformam o sistema(1-12) em
˙
Para um ponto de equilíbrio x0 do sistema (1-12), tal que D f (x0) tem associado um
autovalor λ1= 0 e um autovalor λ2< 0, existe a variedade central Wαcque para os valores
de |α| suficientemente pequenos é possível restringir o sistemar (1-10) a Wαc. Ademais, a variedade Wαcpode ser representada por um sistema suave da forma
˙x = Φ(x, α) (1-13)
que, expandindo em série de Taylor para α = 0, é equivalente ao sistema
˙x = ax2+ O(x3). (1-14)
Além disso, se a 6= 0 o sistema (1-14) atende às condições do Teorema 6, portanto pode ser escrito como
˙x = α + σx2+ O(x3). (1-15)
Assim, com estes conceitos e esta notação, temos o seguinte resultado.
Teorema 7 (A forma normal da bifurcação sela-nó, x ∈ R2) Suponha que um sistema bidimensional
˙x = f (x, α) x ∈ R2; α ∈ R, (1-16)
com f suave, tem em α = 0 o equilíbrio x0= 0, com um autovalor λ1= 0 e um autovalor
λ26= 0. Então, se a 6= 0 o sistema (1-16) é localmente topologicamente equivalente ao
sistema ( ˙˜x = α + σ ˜x2 ˙ y = − ˜y, (1-17) com σ = ±1.
O diagrama de fase do campo vetorial 7 quando σ = 1 é dado na Figura 1.9. Para mais detalhes dessa forma normal veja as páginas 157-160 de [16].
1.2.2
Bifurcação de Hopf
A bifurcação de Hopf está relacionada com o aparecimento ou desaparecimento de um ciclo limite. Também é caracterizada pelo fato de que variando o parâmetro de bifurcação o ponto de equilíbrio do sistema bidimensional (1-10) possui dois autovalores imaginários puros.
Uma das condições necessárias para a existência de uma órbita periódica na bifurcação de Hopf para um valor α, é verificar que os autovalores imaginários puros λ1,2 cruzem
(a) α < 0 (b) α = 0
(c) α > 0
Figura 1.9: Diagrama de bifurcação sela-nó, x ∈ R2
o eixo imaginário com uma velocidade não nula, o qual pode ser visualizado de uma maneira melhor no seguinte teorema.
Teorema 8 Seja ˙x = f (x, α) = A(α)x + F(x, α) de classe Ck, com k > 2, um campo vetorial que depende de um parâmetro escalar α tal que F(α, 0) = 0 e DxF(α, 0) = 0
para todo|α| suficientemente pequeno. Suponha que a parte linear A(α) tem, na origem, autovalores próprios λ1,2= η(α) ± iβ(α) com η(0) = 0 e β(0) 6= 0. Além disso, suponha
que
dη
dα(0) 6= 0 (1-18)
Então, em qualquer U ⊆ R2 vizinhança da origem e dado qualquer α0> 0 existe um ˜α
com| ˜α| < α0tal que a equação diferencial
˙x = f (x, ˜α) = A( ˜α)x + F (x, ˜α) (1-19)
tem uma órbita periódica não trivial em U .
Uma segunda condição na bifurcação de Hopf que nos permite estudar a esta-bilidade da órbita periódica que aparece ou desaparece, é dada em termos do primeiro coeficiente de Lyapunov, tal que se consideramos um sistema planar da forma
( ˙
x = αx − y + p(x, y) ˙
y = x + αy + q(x, y) (1-20)
onde p(x, y) e q(x, y) são funções analíticas definidas como
p(x, y) =
∑
i+ j≥2 ai jxiyj=(a20x2+ a11xy+ a02y2) + (a30x3+ a21x2y+ a12xy2+ a03y3) + . . . q(x, y) =∑
i+ j≥2 bi jxiyj=(b20x2+ b11xy+ b02y2) + (b30x3+ b21x2y+ a12xy2+ a03y3) + . . .Denotamos o coeficiente de Lyapunov por l1, para achar l1temos em conta [19]
e [3]. Seja P(s) a aplicação de Poincaré para um foco na origem de um sistema planar analítico (1-20) com b 6= 0 e suponha que P(s) está definida para 0 < s < δ0. Então temos
a definição a seguir.
Definição 18 Seja a função d(s) = P(s) − s, o valor da i-ésima derivada da função d(s) na singularidade, isto é, d(i)(0), é chamado o i-ésimo valor focal do foco na singularidade.
Lema 1 Se existe k tal que
d0(0) = 0, d00(0) = 0, . . . , d(k−1)(0) = 0, dk(0) 6= 0 (1-21) então k é um numero ímpar.
Prova. Veja a página 243 de [3].
Definição 19 Se as condições de (1-21) são satisfeitas, e k = 2m + 1, m > 0, dizemos que o foco na origem é um foco de multiplicidade m.
Aplicando série de Maclaurin à função d(s) e com a condição (1-21) temos
d(s) = d
(k)(0)
k! s
k.
Então, se k = 2m + 1 ≥ 1, o foco é estável quando d(k)(0) < 0 e instável quando d(k)(0) > 0.
Tendo em conta o sistema (1-20) quando α = 0, e o sistema em coordenadas polares é dado por
dρ
dθ = R(ρ, θ). (1-22)
A função R(ρ, θ) pode se expressar então em uma série de potências da seguinte forma
R(ρ, θ) = R1(θ)ρ + R2(θ)ρ2+ . . . , (1-23)
Esta série é convergente para algum r1 e para todo 0 ≤ θ ≤ 2π. A função solução do
sistema (1-22) definida como segue
ρ = f (θ; 0, ρ0),
satisfaz a condição inicial
f(0; 0, θ0) = ρ0,
onde é também uma função analítica.
Desta forma podemos estender a solução anterior em termos do valor inicial ρ0
ρ = f (θ; 0, ρ0) = u1(θ)ρ0+ u2ρ2+ . . . (1-24)
Pelo anterior temos que
u1(0) = 1, u2(0) = u3(0) = . . . = 0 , (1-25)
trocando a expansão (1-24) na variável ρ da expressão (1-23) temos a relação
u01(θ) = R1(θ)u2(θ),
u02(θ) = R1u2(θ) + R2(θ)u31(θ),
u03(θ) = R1u3(θ) + 2R2(θ)u1(θ)u2(θ) + R3(θ)u21(θ).
. . .
(1-26)
Por outro lado sejam p(x, y) e q(x, y) de (1-20) como
p(x, y) = P1(x, y) + P2(x, y) + . . . e q(x, y) = Q1(x, y) + Q2(x, y) + . . .
onde Pi(x, y) e Qi(x, y) são polinômios homogêneos de i-ésimo grau. Assim, da equação
(1-22) podemos fazer R(ρ, θ) = ∑ ∞ m=2ρmum(cos(θ), sen(θ)) 1 + ∑∞ m=2ρm−1vm(cos(θ), sen(θ) (1-27)
onde
um(cos(θ), sen(θ)) = Pm(cos(θ), sen(θ))cos(θ) + Qm(cos(θ), sen(θ))sen(θ),
e
vm(cos(θ), sen(θ)) = Qm(cos(θ), sen(θ))cos(θ) − Pm(cos(θ), sen(θ))sen(θ)
Agora, fazendo iguais as equações (1-23) e (1-27) temos o seguinte sistema de equações
u2= R2, u3= R3+ R2v2, u4= R4+ R3v22 + R2v3, . . . e, em consequência, R2= u2, R3= u3− R2v2, R4= u4− R3v2+ R2v3. . . . (1-28)
Dessa forma, trocando (1-28) em (1-26) temos as soluções de ui(2π) = αi e com isso
di(0) = i!αi.
Particularmente, como nosso foco é de multiplicidade 1 basta calcular d000(0) = 3!α3, isto
é fazendo P2(x, y) = a20x2+ a11xy+ a02y2, P3(x, y) = a30x3+ a21x2y+ a21xy2+ a03y3, Q2(x, y) = b20x2+ b11xy+ b02y2, Q3(x, y) = b30x3+ b21x2y+ b21xy2+ b03y3,
podemos encontrar, pelo processo acima, que
α3= π 4[3(a30+ b03) + (a12+ b21) − 2(a20b20− a02b02) + a11(a02+ a20) − b11(b02+ b20)]. Portanto, l1= d 000 (0) = 3!α3= 3π 2 [3(a30+ b03) + (a12+ b21) − 2(a20b20− a02b02) + a11(a02+ a20) − b11(b02+ b20)]. (1-29)
O teorema a seguir mostra a relação entre o número de Lyapunov e a bifurcação de Hopf. Teorema 9 Se l1 6= 0, então uma bifurcação de Hopf acontece no ponto de equilíbrio
limite estável bifurca o equilíbrio0, isto enquanto α acresce do zero; e se l1> 0, então
um único ciclo limite instável bifurca o ponto0, isto enquanto α decresce a partir de zero.
Prova. Veja as páginas 261-264. de [3].
Observações 2
i) Se l1< 0 então o sistema (1-20) apresenta uma bifurcação de Hopf frequentemente
chamada bifurcação de Hopf supercrítica porque o ciclo limite é estável e existe para valores maiores do parâmetro α (“após”a bifurcação).
ii) Se l1> 0 então o sistema (1-20) apresenta uma bifurcação de Hopf frequentemente
chamada bifurcação de Hopf subcrítica porque o ciclo limite é instável e existe para valores menores do parâmetro α (“antes”da bifurcação).
No exemplo a seguir, estudamos a forma normal da bifurcação de Hopf para analisar o comportamento qualitativo de seu diagrama de bifurcação.
Exemplo 2 (A forma normal da bifurcação de Hopf) Considere o seguinte sistema de duas equações diferenciais dependendo de um parâmetro:
( ˙
x = αx − y − x(x2+ y2) ˙
y = x + αy − y(x2+ y2) (1-30)
com α ∈ R, que também pode ser escrito como:
˙x ˙ y = α −1 1 α ! x y − (x2+ y2)x y = F(x, α). (1-31)
Este sistema possui um único ponto de equilíbrio na origem0 = (0, 0) para todo α com a matriz Jacobiana: A= DxF(0, α) = α −1 1 α ! (1-32)
Os autovalores da matriz A são λ1,2= α ± i, portanto a origem é um foco atrator se α < 0
e um foco repulsor se α > 0. Quando α = 0 temos autovalores imaginários puros. A mudança do retrato de fase do sistema (1-30) conforme o parâmetro α passa pelo valor zero pode ser analisada usando coordenadas polares(x = rcos(θ), y = rsen(θ)), pois leva o sistema (1-30) a um sistema de equações desacopladas, dado por
(
˙r = r(α − r2)
Considerando r≥ 0 a primeira equação tem dois pontos de equilíbrio, em r = 0 para todos os valores de α, e em r =√α para α > 0. O equilíbrio r = 0 é linearmente estável se α < 0; ele permanece estável em α = 0, mas não linearmente porque não é um ponto de equilíbrio hiperbólico; para α > 0 o equilíbrio torna-se linearmente instável. O equilíbrio r =√α para α > 0 é linearmente estável. A segunda equação descreve uma rotação com velocidade constante. Na Figura 1.10 se ilustra o diagrama de bifurcação para o sistema (1-30).
(a) α < 0 (b) α = 0
(c) α > 0
Figura 1.10: Diagrama de bifurcação de Hopf supercrítica.
No valor do parâmetro crítico α = 0 o equilíbrio 0 não é linearmente estável e topologicamente equivalente ao que é conhecido como foco fraco. Este equilíbrio é circundado para α > 0 por uma órbita fechada isolada (ciclo limite) que é única e estável. O ciclo é um círculo de raio r=√α e centro na origem. Todas as órbitas que começam fora ou dentro do ciclo, exceto na origem, tendem ao ciclo quando t → ∞, pois para o equilíbrio0 quando α > 0, se r >√α temos que ˙r< 0, e quando 0 < r <
√ α temos ˙r> 0. No caso do sistema ( ˙ x = αx − y + x(x2+ y2) ˙ y = x + αy + y(x2+ y2) (1-34)
pode ser analisado da mesma maneira que o sistema (1-30), fazendo uma mudança para coordenadas polares. Neste caso, a diferença do sistema (1-30) existe um ciclo limite instável, que desaparece quando α cruza o valor zero de valores negativos para positivos. O equilíbrio na origem tem a mesma estabilidade para α = 0 como no sistema (1-30), é um foco atrator para α < 0 e um foco repulsor para α > 0. A estabilidade do equilíbrio 0 em α = 0 é oposta àquela em (1-30): não é linearmente instável no parâmetro crítico.
(a) α < 0 (b) α = 0
(c) α > 0
Figura 1.11: Diagrama de bifurcação de Hopf subcrítica.
Esta bifurcação também é chamada de Andronov-Hopf, [16].
No seguinte teorema, descrevemos as condições necessárias para que um sis-tema planar qualquer tenha um comportamento qualitativo equivalente à forma normal estudada.
Teorema 10 Suponha que um sistema bidimensional
˙x = f (x, α), x ∈ R2; α ∈ R, (1-35) com f suave, tem para todo|α| suficientemente pequeno o equilíbrio x = 0 com autova-lores λ1,2= η(α) ± iβ(α), onde η(0) = 0 e β(0) = β0> 0.
(A.1) η0(0) 6= 0,
(A.2) l1(0) 6= 0, onde l1é o primeiro coeficiente de Lyapunov.
Então, existem mudanças de coordenadas, parâmetros invertíveis e uma reparametriza-ção de tempo que transformam o sistema (1-35) em
d dτ ˜x ˜ y = α˜ −1 1 α˜ ! ˜x ˜ y ± ( ˜x2+ ˜y2) ˜x ˜ y + O(k( ˜x, ˜y)k4). (1-36)
Prova. Veja página 100 de [16].
1.2.3
Bifurcação de Bogdanov-Takens
Considere o sistema planar
˙
x= f (x, α), x ∈ R2; α ∈ R2, (1-37) onde f é suave, suponha que o sistema (1-37) em α = 0 tem um ponto de equilíbrio x = 0 com dois autovalores nulos, λ1,2= 0.
Exemplo 3 (A forma normal da bifurcação de Bogdanov-Takens ) Consideremos o seguinte sistema
( ˙ x = y, ˙ y = µ1+ µ2x+ x2± xy. (1-38)
A fim de determinar os vários tipos de comportamentos dinâmicos que ocorrem para o sistema (1-38), vamos começar determinando a localização e natureza dos pontos de equilíbrio.
Vamos estudar as bifurcações locais que surgem no sistema (1-38) a partir de seus pontos de equilíbrio.
Temos que quaisquer equilíbrios do sistema (1-38) estão localizados no eixo horizontal, y= 0, e satisfazem a equação
µ1+ µ2x+ x2= 0. (1-39)
A equação (1-39) pode ter entre zero e duas raízes reais, depende de seu discriminante dado por: ∆ = µ22− 4µ1. No caso de ∆ > 0 as duas raízes são dadas por:
x1= −µ2− √ ∆ 2 e x2= −µ2+ √ ∆ 2 .
Note que para µ1= µ2= 0, ∆ = 0, portanto a equação (1-39) tem uma única
raíz em x= 0, e o sistema (1-38) tem um ponto de equilíbrio não hiperbólico na origem E0= (0, 0), e segue que o sistema (1-38) tem uma cúspide na origem.
Para µ1> 0 e µ2> 0, a curva
T+= {(µ1, µ2) ∈ R2: µ2= 2
√
µ1} (1-40)
corresponde aos pontos onde se tem bifurcações do tipo sela-nó. Pois para(µ1, µ2) ∈ T+
temos que ∆ = 0 e a equação (1-39) tem uma única raiz em x = −µ2
2 , e o sistema (1-38) tem um ponto de equilíbrio E =
−µ
2
2 , 0
com um autovalor zero, λ1= 0, e outro
auto-valor diferente de zero, λ2= µ2. Além disso, se µ2> 2
√
µ1 temos que ∆ > 0, e o sistema (1-38) tem dois pontos de equilíbrio, E1= (x1, 0) que é um nó estável, e E2= (x2, 0) que
é um ponto sela. No caso µ2< 2
√
µ1, ∆ < 0, portanto não temos pontos de equilíbrio.
Para µ1> 0 e µ2< 0, a curva corresponde aos pontos onde se tem bifurcações
do tipo sela-nó. Fazemos uma análise análoga a anterior, para (µ1, µ2) ∈ T− o sistema
(1-38) tem um ponto de equilíbrio E com um autovalor zero e outro autovalor diferente de zero. Além disso, se µ2 < 2√µ1 o sistema (1-38) tem dois pontos de equilíbrio, E1= (x1, 0) que é um nó instável, e E2= (x2, 0) que é um ponto sela. No caso µ2> 2
√ µ1 temos pontos de equilíbrio.
Para µ1= 0 e µ2< 0 temos dois pontos de equilíbrio, E1= (0, 0) que tem dois
autovalores imaginários puros λ1,2 = ±
√
−µ2i, e E2 = (−µ2, 0) que é um ponto sela.
Portanto, na curva
H= {(µ1, µ2) ∈ R2: µ1= 0 e µ2< 0} (1-41)
há um bifurcação de Hopf. Calculando o primeiro coeficiente de Lyapunov, temos que l1< 0, então temos uma bifurcação supercrítica no ponto de equilíbrio E1= (0, 0), onde
o ciclo limite é estável. O ponto E2permanece como um sela para todos os parâmetros à esquerda da curva T−e não se bifurca até cruzar a curva T+. Não há outras bifurcações locais na dinâmica do sistema (1-38).
Faça uma viagem de ida e volta perto do ponto Bogdanov-Takens (µ1, µ2) =
(0, 0) a partir da região 1 onde não há pontos de equilíbrio e portanto nenhum ciclo li-mite é possível. Passando da região1 à região 2, através da curva de bifurcação sela-nó T− produz dois equilíbrios: uma sela e um nó estável. Então, o nó se transforma em foco e perde a estabilidade quando cruzamos a bifurcação de Hopf na curva H. Se continu-armos a jornada no sentido horário e finalmente retorncontinu-armos à região 1, nenhum ciclo limite deverá permanecer. Portanto, deve haver bifurcações globais “destruindo”o ciclo em algum lugar entre H e T+.
µ
1µ
23
3
2
2
T− T+ T− T+
1
1
4
4
0
P PFigura 1.12: Diagrama de bifurcação do sistema (1-38): Bogdanov-Takens.
Temos duas bifurcações globais de codimensão 1 em sistemas planares: uma bifurcação homoclínica de sela e uma bifurcação homoclínica de sela-nó. Como o ponto de equilí-brio sela-nó na curva T+ não pode ter uma órbita homoclínica, a bifurcação global é uma órbita homoclínica que aparece no ponto sela E2.
Assim, deve existir pelo menos uma curva de bifurcação P originada em(µ1, µ2) = (0, 0),
ao longo da qual o sistema (1-38) tem uma bifurcação homoclínica de sela. À medida que traçamos a órbita homoclínica ao longo da curva P em direção ao ponto de Bogdanov-Takens, a órbita em forma de anel encolhe e desaparece. O diagrama de bifurcação do sistema (1-38) é apresentado na Figura 1.12.
O próximo lema descreve a curva P onde ocorre a bifurcação homoclínica de sela no sistema (1-38).
Lema 2 Existe uma curva suave única P correspondente a uma bifurcação homoclínica sela no sistema (1-38) que se origina em µ= (µ1, µ2) = (0, 0) e tem a seguinte
represen-tação local: P= {(µ1, µ2) ∈ R2: µ1= −6 25µ 2 2+ o(µ22), µ2< 0} (1-42)
Além disso, para kµk2 pequeno, o sistema (1-38) tem um único ciclo limite hiperbólico
e estável para valores de parâmetros dentro da região limitada pela curva de bifurcação de Hopf H e pela curva de bifurcação homoclínica P, e nenhum ciclo fora desta região.
Prova. Veja em [16].
No seguinte teorema são dadas as condições necessárias para que um sistema planar qualquer tenha um comportamento qualitativo equivalente à forma normal estudada.
Teorema 11 Considere o sistema planar
˙
x= f (x, α), x ∈ R2; α ∈ R2, (1-43) onde f é suave, suponha que o sistema (1-43) em α = 0 tem um ponto de equilíbrio x0= 0
com dois autovalores nulos, λ1,2 = 0. Se em α = 0, o ponto de equilíbrio x0 exibe uma
bifurcação de Bogdanov-Takens, então, é localmente topologicamente equivalente, perto do equilíbrio, a seguinte formas normal
( ˙ x = y, ˙ y = µ1+ µ2x+ x2± xy. (1-44) Prova. Veja em [16].
Modelos presa-predador: sistemas suaves
Nesta seção estudamos dois modelos, o modelo 1 que é um sistema presa-predador sem colheita e o modelo 2, um sistema presa-presa-predador que se diferença do modelo 1 por ter uma colheita não linear no predador. Para este estudo temos interesse no comportamento das soluções do sistema em uma vizinhança dos pontos de equilíbrio, nos dois modelos será provado que sempre temos a existência dos pontos de equilíbrio trivial e limite, isto é, E0e EK, respetivamente. O ponto de equilíbrio E0é o ponto onde não temos
população de presas nem predadores, o ponto EK é o ponto onde a população de presas
é a máxima que o ambiente pode suportar para garantir sua alimentação, crescimento e reprodução e que a população de predadores esta extinta. Além disso, os pontos de equilíbrio de maior relevância para entender a dinâmica das populações de presas e predadores serão dados pelos pontos de equilíbrio admissíveis, que serão os pontos que existirão em uma região de interesse biológico, que será determinada de tal forma que as populações de presas e os predadores sejam positivas.
2.1
Modelo 1: presa-predador sem colheita
Considere o sistema presa-predador
X−: dx dt = rx(1 − xK) − βxy, dy dt = κβxy − αy, (2-1) com parâmetros:
r: taxa intrínseca de crescimento da população presa, K: capacidade de suporte,
β: taxa de captação por predado,.
κ: taxa de eficiência com que a presa capturada é convertida em novos predadores, α: taxa de mortalidade do predador.
E condições iniciais x(0) = x0e y(0) = y0no conjunto de interesse biológico:
Ω =(x, y) ∈ R2; x > 0 e y > 0 .
Ao sistema de equações diferenciais ordinárias (2-1) associamos um campo vetorial f : Ω → R2, dado por f (x) = ( f1(x), f2(x))T e, assim, reescrevemos a equação (2-1)
da forma
˙x = f (x). (2-2)
Fazendo f (x) = 0, podemos encontrar os pontos de equilíbrio do sistema dado (2-1), isto é, onde as populações de presas e predadores permanecem constantes conforme o tempo varia. Neste caso, os pontos de equilíbrio são: E0= (0, 0), EK = (K, 0) e E1= (x1, y1)
com x1= α κβ e y1= r β 1 − α κβK . (2-3)
Como o sistema (2-1) é um sistema de equações diferenciais em R2 não linear, vamos estudar a matriz Jacobiana a fim de tentar utilizar o Teorema de Hartman-Grobman e observar o que acontece com as soluções do sistema perto dos pontos de equilíbrio. A matriz Jacobiana associada ao sistema (2-1) é
Df(x) = r−2rx K − βy −βx κβy κβx − α .
Sejam τ o traço e ς o determinante da matriz D f (x), o teorema a seguir classifica os pontos de equilíbrio encontrados acima.
Teorema 12 Para o sistema presa-predador (2-1) temos que
a) E0é uma sela,
b) Se κβK − α > 0 então, EK é um ponto sela e E1é um foco estável,
c) Se κβK − α < 0 então, EK é um nó estável e E1não é de interesse biológico.
Prova.Dividiremos a demonstração em alguns passos:
(a) Avaliamos o ponto E0na matriz Jacobiana A = D f (E0) e obtemos ς = −αr < 0 pois
α e r são parâmetros positivos. Desta forma os autovalores de A são reais não nulos e de sinais opostos. Segue do Teorema de Hartman-Grobman que E0é um ponto de
equilíbrio do tipo sela para o sistema (2-1).
(b) Suponha que κβK − α > 0. No ponto de equilíbrio EK, temos que para A = D f (EK),
Teorema de Hartman-Grobman EK é uma sela para o sistema (2-1).
No caso do ponto de equilíbrio E1, temos que para A = D f (E1), ς = rα
κβK(κβK − α) > 0 pois por hipótese κβK − α > 0, e τ =−αr
κβK < 0. Além disso, o discriminante
τ2− 4ς < r2− 4ς < 0.
Logo, pelo Teorema 2 e pelo Teorema de Hartman-Grobman E1é um foco estável
para o sistema (2-1). (c) Suponha que κβK − α < 0.
No ponto de equilíbrio EK, temos que para A = D f (EK), ς = −r(κβK − α) > 0 e
τ = κβK − α − r < 0, pois por hipótese, κβK − α < 0. Além disso, o discriminante
τ2− 4ς = (r + κβK − α) ≥ 0.
Logo, pelo Teorema 2 e pelo Teorema de Hartman-Grobman EK é um nó estável
para o sistema (2-1).
No caso do ponto de equilíbrio E1, y1< 0, pois y1= r
β κβK − α κβK e temos que κβK − α < 0, portanto a população de predadores seria negativa, não é de interesse biológico.
Portanto, pelos itens (a), (b) e (c) o resultado está demonstrado. Em resumo, na Tabela 2.1, podemos visualizar a classificação dos pontos de equilíbrio do sistema (2-1) em relação às condições dadas.
Condição Estabilidade
Ek E1 E0
κβK − α < 0 Nó estável Não tem sentido biológico Sela κβK − α > 0 Sela Foco estável
Tabela 2.1: Classificação dos pontos de equilíbrio de acordo com o Teorema 12
Na Figura 2.1 podemos ver o comportamento das curvas integrais do sistema (2-1) perto dos pontos de equilíbrio para valores fixos dos parâmetros. Agora, verifica-remos que sob as condições dadas o sistema (2-1) não admite ciclos limite na região de interesse biológico.
x x K= 0.9 κ = 0.5
κβK − α > 0 κβK − α < 0
y y
K= 0.5 κ = 0.1
Figura 2.1: Retrato de fase do sistema (2-1).
Prova. Sejam
P= dx
dt = rx(1 − xK) − βxy, Q=dydt = κβxy − αy,
e B = xmyn, com m e n números inteiros. Então ∂(BP) ∂x + ∂(BQ) ∂y = x mynh(r − r Kx− βy)(m + 1) + (κβx − α)(n + 1) − r Kx i .
Note que para m = −1 e n = −1, obemos
∂(BP) ∂x + ∂(BQ) ∂y = − r Ky < 0 para todo x, y em Ω.
Deste modo, a função B = 1xy com B ∈ C1(Ω), é tal que o O(B f ) não é identicamente zero e não muda de sinal em Ω. Assim pelo Critério de Dulac, o sistema (2-1) não tem órbitas fechadas contidas inteiramente em Ω, isto é, na região de interesse biológico não temos ciclos limite. Portanto, EK e E1são assintoticamente estáveis em todo Ω se κβK − α < 0
2.2
Modelo 2: presa-predador com colheita do predador
Considere o sistema de colheita
X+: dx dt = rx(1 − xK) − βxy, dy dt = κβxy − αy − qy 1 + wy, (2-4) com os parâmetros:
r: taxa intrínseca de crescimento da população presa, K: capacidade de suporte,
β: taxa de captação por predado,.
κ: taxa de eficiência com que a presa capturada é convertida em novos predadores, α: taxa de mortalidade do predador.
Além disso,
• 1+ωyqy : representa a colheita do predador (função de saturação), • ω : constante adequada,
• q : taxa de colheita.
E condições iniciais x(0) = x0e y(0) = y0no conjunto de interesse biológico:
Ω =(x, y) ∈ R2; x > 0 e y > 0 .
Ao sistema de equações diferenciais ordinárias (2-4) associamos um campo vetorial g : Ω → R2, dado por g(x) = (g1(x), g2(x))T e, assim, reescrevemos a equação (2-4)
da forma
˙x = g(x). (2-5)
2.2.1
Existência dos pontos de equilíbrio
O sistema de colheita (2-4) sempre tem o ponto de equilíbrio trivial E0= (0, 0)
e o ponto de equilíbrio da extinção do predador Ek= (K, 0), pois, avaliando o ponto E0=
(0, 0) na função g definida em (2-5), temos que g(E0) = g(0, 0) = (0, 0). Analogamente,
para o ponto Ek = (K, 0) temos que g(EK) = g(K, 0) = (0, 0). Assim para determinar
para as seguintes equações: r(1 − x K) − βy = 0, (2-6) κβx − α − q 1 + ωy = 0. (2-7) Da equação (2-6), obtemos y=r(K − x) Kβ (2-8)
e, substituindo em (2-7), obtemos a equação quadrática
ax2+ bx + c = 0 (2-9)
com a = −κβωr, b = κβ2K+ κβKωr + αωr e c = −αωrK − qβK − αβK.
Para garantir a existência de uma solução x em Ω temos que observar o sinal do discriminante “∆”da equação (2-9), consideremos
M = κβ2K+ αωr − κβKωr,
N = q + α − κβK. (2-10)
Nosso objetivo é escrever ∆ em termos de M e N, pois a partir do estudo de seu signo podemos encontrar novos parâmetros que nos permitirão estudar a classificação dos pontos de equilíbrio, então
∆ = (κβ2K+ κβkωr + αωr)2− 4κβωr(αωrK + qβK + αβK), = (κβ2K+ αωrK − κβkωr + 2κβkωr)2− 4κβKωr(q + α) − 4κβ2Kω2r2 α, = (κβ2K+ αωr − κβKωr)2− 4κβ2Kωr(q + α − κβK). Logo, ∆ = M2− 4κβ2KωrN. (2-11)
Para a equação (2-9) temos que suas raízes são dadas por:
x1= b− √ ∆ −2a e x2= b+√∆ −2a .
Além disso, para encontrar os pontos de equilíbrio as raízes da equação (2-9), x1,2, devem
ser menores que K, pois se x1,2< K então pela equação (2-8) teríamos y1,2> 0, e, portanto,
(a) ∆ < 0, não temos nenhuma raiz real e as seguintes condições são satisfeitas
M2
4κβ2Kωr < N e N> 0.
(b) ∆ = 0, temos uma raiz positiva com multiplicidade dois
x1=
κβ2K+ κβkωr + αωr
2κβωr , (2-12)
com a condição, M2= 4κβ2KωrN e N ≥ 0. Além disso,
x1− K =
M
2κβωr < 0 ⇔ M < 0.
Portanto, o sistema (2-4) tem um ponto de equilíbrio E1= (x1, y1) em Ω quando
M< 0, N > 0 e M2= 4κβ2KωrN.
No caso em que ∆ = 0 com a condição M = N = 0 temos o ponto de equilíbrio limite EK = (K, 0).
(c) ∆ > 0, temos duas raízes x1e x2com a condição
M2
4κβ2Kωr > N.
Pela equação (2-8) analisamos o sinal de x1− K e x2− K, de onde obtemos que
• x2− K = M+ √ ∆ −2a , e para
i) M > 0, x2− K > 0 então y2< 0. Portanto, o ponto de equilíbrio E2não
está em Ω;
ii) M < 0 analisamos o sinal de
∆ − M2= −4κβ2KωrN seu sinal é determinado pelo sinal de N
se N < 0 ⇒ ∆ − M2> 0 ⇒ x2> K, se N = 0 ⇒ ∆ − M2= 0 ⇒ x2= K, se N > 0 ⇒ ∆ − M2< 0 ⇒ x2< K.
Portanto, E2∈ Ω se M< 0 e 0 < N < M 2 4κβ2Kωr. • x1− K = M−√∆ −2a , então
i) Para M < 0, x2− K < 0 então y2> 0. Portanto, o ponto de equilíbrio
E1= (x1, y1) está em Ω.
ii) Para M > 0 analisamos o sinal de
∆ − M2= −4κβ2KωrN seu sinal é determinado pelo sinal de N
se N < 0 ⇒ ∆ − M2> 0 ⇒ x1< K, se N = 0 ⇒ ∆ − M2= 0 ⇒ x1= K, se N > 0 ⇒ ∆ − M2< 0 ⇒ x1> K. Portanto, E1∈ Ω se N< 0 e [M < 0 ou M = 0 ou M > 0] , M< 0 e N= 0 ou N = M 2 4κβ2Kwr .
A Figura 2.2 a seguir mostra a relação entre M, N e a existência dos pontos de equilíbrio de acordo com as condições dadas.
