lineares em regime transitório
A determinação da solução aproximada, utilizando o MEF, consiste na resolução do sistema global nas variáveis primárias−os valores aproximados da função incógnita, nos nós.
Este sistema é o conjunto de equações lineares, que resulta da montagem da contri- buição de cada elemento para o sistema global.
A base que sustenta o processo de montagem é a de que a solução aproximada deve ser contínua em todas as fronteiras inter-elemento, estabelecendo-se assim a correspon- dência entre os valores nodais locais de cada elemento e os valores nodais globais.
Por último, impõem-se as condições de fronteira de todo o problema o que acar- reta a “redução ou condicionamento” do sistema global que, em geral, passa a ter um menor número de incógnitas.
A resolução de problemas de condução linear de calor consiste na resolução do sistema global que resulta da montagem das equações (4.37) ou (4.43), conforme se considera o regime permanente ou transitório, respetivamente. A resolução numérica dos sistemas-elemento que resultam de problemas de condução linear em regime per- manente pode, deste modo, ser efetuada sem grandes dificuldades.
Tendo em consideração os resultados obtidos na secção 4.5, os sistemas-elemento podem ser calculados recorrendo à integração numérica isoparamétrica. Depois de montado e condicionado, o sistema global pode ser resolvido, utilizando algum mé- todo numérico apropriado para a resolução de sistemas lineares.
Serão aqui tratados numericamente os problemas de condução em regime transitó- rio, de 2aordem nas variáveis espaciais e 1a ordem na variável tempo.
Sem perda de generalidade considere-se o modelo das equações-elemento em re- gime transitório, dado por
[C]{˙T(t)} + [Kc]{T(t)} = {F(t)} = {FQ(t)} + {Fq(t)}, (4.67) onde {FQ} = Z Ωe Q{Ψ}dx dy, (4.68) {Fq} = Z Γq qs{Ψ}ds. (4.69)
Considere-se uma família de métodos baseados em diferenças finitas. Seja tn um
instante temporal genérico por forma a que tn+1 =tn+∆t, onde t=0, 1, 2, ..., N, e seja
∆t o passo temporal, que consideramos fixo por simplicidade.
Estes métodos aproximam as derivadas do sistema de equações diferenciais ordiná- rias de primeira ordem na variável tempo que resulta de (4.67) por uma aproximação em diferenças finitas num instante intermédio tθ. A família de métodos −método θ
− consiste na introdução de um parâmetro θ, de tal forma que tθ = tn +θ∆t, onde
0≤θ ≤1.
Tome-se (4.67) discretizada no instante tθ
[C]{˙T(tθ)} + [Kc]{T(tθ)} = {F(tθ)} = {Fq(tθ)} + {FT(tθ)}. (4.70)
{˙T(tθ)} = {˙T(tn+1)} − {˙T(tn)} ∆t , (4.71) {T(tθ)} = (1−θ){T(tn)} +θ{T(tn+1)}, (4.72) {F(tθ)} = (1−θ){F(tn)} +θ{F(tn+1)}. (4.73) Substituindo (4.71-4.73) em (4.71), obtém-se θ[Kc] + 1 ∆t[C] {T(tn+1)} = −(1−θ)[Kc] + 1 ∆t[C] {T(tn)} + (1−θ){F(tn)} +θ{F(tn+1)} (4.74)
onde{T(tn+1)}é o vetor das incógnitas−valores nodais no instante tn+1−e todos os
termos do lado direito de (4.74) são conhecidos. Esta equação traduz um conjunto de métodos de recorrência. A escolha de um método particular depende da escolha do valor de θ (tabela 4.1):
θ Método-θ
0 Método de Euler (diferenças finitas ascendentes)
1
2 Método de Crank-Nicolson 2
3 Método de Galerkin
1 Método das diferenças fintas descendentes
Tabela 4.1. Variantes do método θ
Para um dado θ, a equação (4.74) é uma fórmula de recorrência para o cálculo de {T(tn+1)} à custa dos valores calculados no inicío de cada passo, nomeadamente
{T(tn)}. O algoritmo inicia-se com o conhecimento de{T(t0)}que advém diretamente
da condição de valor inicial. O processo termina quando ||{T(tn+1)} − {T(tn)}|| < δ , onde δ deve ser um valor suficientemente pequeno para que se possa verificar a con- vergência para um regime permanente.
A expressão(4.74) é um sistema de equações lineares que pode ser colocado na forma
[K¯]{T(tn+1)} = {F¯(tn+1)}, (4.75)
[K¯] =θ[Kc] + 1 ∆t[C], (4.76) e {F¯(tn+1)} = [M]{T(tn)} + (1−θ){F(tn)} +θ{F(tn+1)}, (4.77) em que [M] = −(1−θ)[Kc] +∆t1 [C]. (4.78)
Consequentemente, esta família de métodos requer a solução de um sistema de equa- ções em cada passo temporal. Esta resolução repetitiva do sistema global provoca um acréscimo considerável nos cálculos, quando comparada com os algoritmos para o re- gime permanente que só envolvem uma resolução do sistema global.
Note-se que, em cado passo temporal, cada sistema de equações a resolver distingue- se do anterior apenas nos termos independentes. Este facto conduz à ideia de reduzir o esforço computacional pela redução da matriz global[K¯]à sua forma triangular, antes de se iniciar o processo recorrente.
Então, para cada passo temporal, a resolução do sistema global correspondente pode ser levada a cabo por um método consideravelmente mais económico−o método de susbtituição inversa para a resolução de
[K¯]{T(tn+1)} = {Fˆ(tn+1)},
nos valores nodais{T(tn+1)}, onde{Fˆ(tn+1)}é obtido a partir de{F¯(tn+1)}por elimi-
nação direta de{T(tn+1)}usando os elementos-pivot de[K¯].
Uma vez que, em problemas de condução de calor, a matriz[K]tem uma estrutura em banda e além disso é simétrica, a utilização de um armazenamento por “diagonais superiores” e de algoritmos de eliminação direta e inversa adaptados a matrizes banda consegue-se um acréscimo de economia computacional.
4.6.1
Algoritmo para o cálculo das solução MEF para o regime transi-
tório
Baseando-nos nas ideias apresentadas anteriormente expomos, de seguida, um algo- ritmo para o cálculo das variáveis primárias do sistema de equaçoes globais, em cada instante temporal, obtido a partir do cálculo das equações elemento de todos os ele- mentos considerados na malha.
Algoritmo 4.1:CÁLCULO DA SOLUÇÃO MEFPARA O REGIME TRANSITÓRIO
1 [ Cálculos iniciais ]
1.1 Selecionar θ,∆t e δ.
1.2 Inicializar{T(tn)}no instante inicial t0=0,{T(0)}.
1.3 Montar as equações-elemento, produzindo a matriz[K¯](4.7.6) dos coeficientes do sistema global.
1.4 Modificar[K¯], introduzindo as condições essenciais de fronteira.
1.5 Reduzir a matriz[K¯]à forma triangular.
1.6 t ←0
2 [Cálculo da solução aproximada em cada instante ]
Repetir
2.1 ta ←t
2.2 t ←t+∆t
2.3 Calcular os vetores dos sistemas-elemento{F(ta)},{F(t)}.
2.4 Assemblar{F¯(ta)}. (4.7.7)
2.5 Modificar{F¯(ta)}para as condições naturais de fronteira.
2.7 Resolver[K¯]{T(t)} = {Fˆ(ta)}, por substituição inversa e imprimir/guardar
a solução{T(t)}
Enquanto||{T(t)} − {T(ta)}||∞ <δ
Fim algoritmo.
4.6.2
Oscilação e estabilidade
A integração do sistema de equações diferenciais lineares ordinárias de 1a ordem, se- gundo(4.75-4.78), introduz erros numéricos em virtude da aproximação das derivadas por diferenças finitas.
Estes erros serão cada vez menores à medida que∆t→0. Em contraste, para “gran- des” passos temporais∆t, as fórmulas de recorrência apresentadas podem apresentar erros e oscilações, capazes de tornar os métodos θ instáveis e os cálculos infrutíferos.
Conforme referido em (Reddy [37], pp 52) pode mostrar-se que a família de esque- mas numéricos (4.75-4.78) é estavel se o valor próprio mínimo λmin da equação
|[M] −λ[K¯]| =0
não é negativo.
Mais precisamente, para λmin ∈] −1, 0[o método é ainda estável, mas produz osci-
lações limitadas. Se λmin< −1 o método é instável.
É possível também mostrar-se que os algorimos de Crank-Nicolson e Galerkin−θ igual a 12 e 23, respetivamente−são incondicionalmente estáveis2 e, portanto, serão os métodos eleitos no sentido de uma implementação computacional.
No entanto, mesmo usando um método incondicionalmente estável, o uso de pas- sos temporais “grandes” pode introduzir oscilações indesejáveis.
Em termos de economia computacional, é desejável a utilização de passos tão gran- des quanto possível, sem no entanto comprometer a precisão e estabilidade do método. Assim é, de grande interesse prático o conhecimento dos passos temporais críticos.
O seguinte resultado (Cf. Reddy, [37]) fornece uma estimativa para o passo crítico:
∆tcr = 2
λmin
,
onde λminé o menor valor próprio do problema
−∇2T = λT, (x, y) ∈Ω,
T = 0, (x, y) ∈ Γ.