Fases do Método

Fase de Pré-processamento

Passo 1 - Discretização do meio contínuo em elementos. Numeração dos nós

O primeiro passo consiste na aproximação/divisão do domínio do problema (meio contínuo) por um agregado de elementos finitos . Os elementos são caracterizados pela geometria e pelo número de nós. Os elementos:

- não devem ter pontos interiores comuns (não se devem sobrepor); - a sua reunião deve aproximar o domínio original.

Desta forma o domínio será aproximado por uma malha de elementos com interli- gações nas fronteiras. O número e a tipologia de elementos, usados para aproximar um determinado domínio, depende do conhecimento que o utilizador tem do fenómeno em estudo.

Os nós correspondem a pontos do domínio, aos quais estão associadas quantidades incógnitas (variáveis primárias ou secundárias). Pode existir mais do que um valor incógnito associado a um mesmo nó (graus de liberdade). Nos problemas tratados neste trabalho, a um nó corresponde apenas uma incógnita (grau de liberdade).

Os nós de cada elemento devem ser numerados. Desta forma expressa-se uma identificação e uma ordem sequencial de cada nó local. A cada nó presente na malha deve ser atribuído também e sequencialmente um número global. Definem-se, assim, dois sistemas de numeração: a numeração local e a numeração global. A relação entre os nós locais de cada elemento e os nós globais de toda a malha é expressa na matriz de conectividade

[B] = [bij],

onde bij designa o número do nó global correspondente ao j-ésimo nó local do i-ésimo

elemento.

A forma de numerar os nós reveste-se de grande importância, pois vai condicionar a estrutura da matriz dos coeficientes do modelo global em elementos finitos.

Em alguns problemas, se a numeração for feita de modo adequado, a matriz do sistema global será uma matriz em banda. Em termos computacionais, a largura da banda vai determinar o número de bytes necessários para armazenar a matriz banda. Por outro lado, os métodos numéricos para a resolução de sistemas de equações podem tirar partido da estrutura em banda e, deste modo, reduzir o esforço computacional face aos métodos convencionais [5].

Em termos matemáticos e computacionais, a discretização de um domínio bidi- mensional é representada pela matriz de conectividade[B]e pelo seguinte conjunto de dupletos

Λ=

(xi, yi) : i=1, 2, ..., Nng

onde Λi = (xi, yi) designa as coordenadas globais do i-ésimo nó global e Nng repre-

senta o número total de nós globais considerados na aproximação.

Na figura 2.1, mostra-se uma discretização do domínio

Ω= {(x, y) : 0.22 < (x−0.5)2+ (y−0.5)2<0.52}

Figura 2.1. Discretização do domínioΩ com oito elementos quadriláteros lineares

usando 8 elementos quadriláteros. Os quadrados representam os nós globais e neles figura o seu número de ordem. Junto a cada nó global, no interior do elemento respe- tivo, representa-se o número que lhe corresponde como nó local.

Na cor azul, representa-se o erro cometido nesta aproximação do domínio.

A geometria da discretização considerada na figura 2.1, é descrita pela matriz de conectividade [B] =                   2 5 8 7 2 1 4 5 1 3 6 4 3 10 9 6 9 10 15 12 12 15 16 13 11 13 16 14 7 8 11 14                   , e pelos dupletos Λ= {(0.5, 0),(0.146447, 0.146447),(0.853553, 0.146447),(0.5, 0.3), (2.50) (0.358579, 0.358579),(0.641421, 0.358579),(0, 0.5),(0.3, 0.5), (0.7, 0.5),(1, 0.5),(0.35, 0.65),(0.65, 0.65), (0.5, 0.7),(0.146447, 0.853553),(0.853553, 0.853553),(0.5, 1)}.

O erro de discretização do domínio depende do número e/ou do tipo de elementos usados. Se for considerado um maior número de elementos, então o erro de discretiza- ção será menor. Por outro lado, com a utilização de elementos com um maior número de nós locais−elementos de ordem superior −pode conseguir-se uma redução subs- tancial do erro de aproximação do domínio para um mesmo número de elementos.

Na figura 2.2 mostra-se a redução do erro de discretização do domínio circular pela utilização de apenas quatro elementos curvos não lineares isoparamétricos de oito nós.

Figura 2.2. Discretização do domínioΩ com quatro elementos não lineares curvos

Passo 2 - Dedução das funções de interpolação

Depois de se ter fixado o número e os nós em cada elemento− o que é efetuado pela definição da malha − deduzem-se as funções de interpolação usadas na apro- ximação da variável dependente sobre cada elemento. Estas funções são deduzidas automaticamente pois dependem apenas da geometria do elemento, do número de nós locais e dos requisitos de continuidade inter-elemento. Geralmente, utilizam-se polinómios como funções de interpolação por serem de fácil manipulação matemática. As expressões das funções de interpolação, associadas a cada tipo de elemento, podem ser consultadas em diversas referências bibliográficas [38, 41, 50].

O grau das funções de interpolação/polinómios considerados sobre um dado ele- mento depende do número de nós locais do elemento e do número e natureza das incógnitas associadas a cada nó (graus de liberdade). Além disso, há também que con- siderar certos requisitos de continuidade nos nós e ao longo da fronteira. O primeiro e segundo passo concluem a fase de pré-processamento.

Fase de Processamento

Passo 3 - Construção das equações-elemento: Sistemas-elemento

Uma vez estabelecido o modelo do domínio em elementos finitos, isto é, estando definidos os elementos e as correspondentes funções de interpolação, o passo seguinte

consiste na determinação do sistema de equações que expressa as propriedades de cada um dos elementos. Estes sistemas podem ser postos na forma matricial

[K(e)]{u(e)} = {F(e)},

onde, considerando o elemento “e”, [K(e)] designa a matriz de rigidez, {F(e)} repre- senta o vector-força e{u(e)}designa o vetor das incógnitas nodais.

Para determinar as equações-elemento podem ser utilizadas as abordagens referi- das anteriormente: direta, variacional e em resíduos pesados. Os sistemas-elemento podem ser vistos como sistemas de equações lineares nas incógnitas primárias (valo- res nos nós locais). No vector-força podem surgir também incógnitas. Estas incógnitas denominam-se variáveis secundárias.

Passo 4−Montagem das equações-elemento. Modelo global

Para determinar a formulação em elementos finitos do problema em todo o do- mínio, previamente modelizado por uma rede de elementos, devem reunir-se todos os sistemas-elemento. A relação entre os vários sistemas-elemento é estabelecida pela correspondência entre os nós locais de cada elemento e os nós globais presentes no domínio, representada na matriz de conectividade.

Pelo processo de montagem obtém-se um sistema de equações globais nas incóg- nitas primárias −o valor da aproximação nos nós globais. No vetor-força do sistema global, podem figurar também incógnitas−as variáveis secundárias.

Passo 5−Imposição das condições de fronteira. Modelo concreto

O modelo global que se obteve no passo anterior depende apenas da equação re- gente e da discretização de domínio considerada, pelo que se estabelece assim um modelo geral de equações para uma classe de problemas independente das condições de fronteira. A particularização do modelo geral é determinada pela imposição das condições de fronteira.

As condições de fronteira que prescrevem valores da variável dependente nos nós da fronteira−condições essenciais−vão traduzir uma redução da dimensão da ma- triz do sistema global, que agora passa a ter menos incógnitas primárias. As condições naturais, por seu turno, vão reduzir o número de incógnitas secundárias presentes no vetor-força.

Passo 6−Resolução do sistema global concreto. Cálculo das variáveis primárias

Do modelo global concreto podem extrair-se dois subsistemas matriciais, o subsis- tema das variáveis primárias, constituído por todas as equações que contém variáveis primárias−o valor nos nós globais−por determinar, e o subsistema secundário que é constituído por todas as equações que correspondem a valores nodais globais já de- terminados (resultantes da imposição das condições essenciais de fronteira).

A resolução do subsistema primário nas incógnitas primárias conclui a fase de pro- cessamento.

A solução aproximada pelo MEF ˆu em todo o domínioΩ é dada por

ˆ u= Nng

∑

onde U_i são os valores aproximados da variável dependente nos nós globais eΨi são

as funções de interpolação globais [19].

A solução aproximada sobre um elemento particularΩe, ˆue, é obtida pela restrição da

aproximação global MEF ˆu ao elementoΩe

ˆ u|_Ωe =uˆe = Nne

∑

onde Nne é o número de nós locais do elemento, ui é o valor da variável dependente

no i-ésimo nó local e ψ(_ie) é a i-ésima função de interpolação do elementoΩe.

Pós-processamento

Passo 7−Representação da solução e cálculo das variáveis secundárias

Nesta fase apresentam-se os resultados obtidos nas fases anteriores. Esta apresen- tação pode ser feita na forma tabular ou em termos de representação gráfica. Existem ainda alguns cálculos que se costumam associar a este passo, nomeadamente o cálculo das variáveis secundárias e o cálculo dos gradientes da solução aproximada.