Análise computacional da condução de calor em domínios bidimensionais

Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro

Análise computacional da condução de calor em

domínios bidimensionais

Tese de Doutoramento em

Engenharia Eletrotécnica e de Computadores

Luís Adriano Preto Mendes Afonso

Orientador:

Professor Doutor José António Tenreiro Machado

Coorientadores:

Professor Doutor José Boaventura Ribeiro da Cunha

Professora Doutora Teresa Paula Azevedo Perdicoúlis

Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro

Análise computacional da condução de calor em

domínios bidimensionais

Tese de Doutoramento em

Engenharia Eletrotécnica e de Computadores

Luís Adriano Preto Mendes Afonso

Orientador:

Professor Doutor José António Tenreiro Machado

Coorientadores:

Professor Doutor José Boaventura Ribeiro da Cunha

Professora Doutora Teresa Paula Azevedo Perdicoúlis

Composição do júri:

Professor Doutor Vitor Manuel de Jesus Filipe

Professor Doutor Josenalde Barbosa de Oliveira

Professor Doutor José Boaventura Ribeiro da Cunha

Professor Doutor José António Tenreiro Machado

Professor Doutor José Carlos Lourenço Quadrado

Professor Doutor Alexandre Manuel Moutela Nunes da Mota

Professor Doutor António Manuel Ferreira Mendes Lopes

Tese realizada

por Luís Adriano Preto Mendes Afonso sob a orientação

do Professor Doutor José António Tenreiro Machado, do Departamento de Engenharia Eletrotécnica do

Instituto Superior do Engenharia do Instituto Politécnico do Porto

e coorientação

do Professor Doutor José Boaventura Ribeiro da Cunha, do Departamento de Engenharias

da Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro e

da Professora Doutora Teresa Paula Azevedo Perdicoúlis, do Departamento de Matemática

Resumo

A tese “Análise computacional da condução de calor em domínios bidimensionais” estuda, interpreta e implementa uma metodologia flexível, eficiente, e de caráter geral para a análise de problemas de condução de calor, seja em regime permanente, seja em regime transitório.

A metodologia abordada consiste na utilização do método dos elementos finitos em combinação com o método de Crank-Nicolson onde é estabelecida a formulação em elementos finitos discreta para a análise do fenómeno da condução de calor em regime permanente e a formulação semi-discreta para a análise da condução em regime transitório.

É abordado o problema da discretização do domínio espacial em elementos, usando várias geometrias e conectividades. Estas geometrias incluem o uso de elementos tri-angulares lineares, elementos quadriláteros lineares e elementos não lineares “serendi-pidade1 com oito nós locais. É discutida uma técnica baseada no uso de transforma-ções isoparamétricas que permite a definição dos elementos flexíveis e que sistematiza a integração numérica dos sistemas elemento.

São desenvolvidos algoritmos para a implementação da metodologia adaptada a sistemas que admitem uma formulação como problema de valor de fronteira com ope-radores diferenciais lineares e com condições de fronteira que envolvem a prescrição de temperatura (condições de Dirichlet), de fluxo (condições de Neumann) e de convec-ção (condições de Robin). Desenvolve-se uma implementaconvec-ção computacional abran-gendo toda as fases da metodologia: a fase de pré-processamento, processamento e pós-processamento. Analisam-se alguns problemas de condução de calor usando a

1_{Cf. Dicionário Porto Editora: “Aptidão de atrair a si acontecimentos favoráveis de maneira fortuita;}

implementação computacional. A solução destes problemas é comparada com a solu-ção exata quando conhecida. A corresolu-ção dos resultados obtidos confirma a validade dos conceitos teóricos, dos algoritmos e da implementação estabelecida neste trabalho.

Palavras chave: Equação da condução do calor, métodos variacionais, formulação fraca, método de Galerkin, método de Crank-Nicolson, método dos elementos finitos, elementos isoparametricos, algoritmos, Wolfram mathematica, ambientes computaci-onais.

Abstract

The thesis "Computational analysis of the heat conduction equation in two dimensio-nal domains"studies, interprets and implements a comprehensive, flexible and efficient methodology for the analysis of heat conduction problems, in steady or transient state. The methodology consists in the use of the finite element method coupled with the Crank-Nicolson method, establishing the discrete finite element formulation for the analysis of the heat conduction in steady-state and the semi discrete formulation for the analysis of conduction in transient state.

The problem of the spatial discretization of the domain into elements is tackled, using various geometries and connectivities. These geometries include the use of li-near triangular elements, quadrilateral lili-near elements and nonlili-near “serendipity” elements with eight local nodes. A technique based on isoparametric transformations which allow the definition of flexible elements and systematize the numerical integra-tion of the element systems is discussed.

The algorithms implementing the methodology are developed for systems that ad-mit a formulation as a boundary value problem with differential linear operators and boundary conditions that comprise the prescription of temperature (Dirichlet condi-tions), of flow (Neumann conditions) and convection (Robin conditions). A compu-tational implementation is developed comprising all the phases of the methodology: Pre-processing, processing and post-processing. Some problems of heat conduction are analysed by computation implementation means. The solution of these problems is compared with the analytical solution when known. The results confirm the vali-dity of the theoretical concepts, algorithms and the correction of the implementation established in this work.

Key words: Heat conduction equation, variational methods, weak formulation, Ga-lerkin’s method, Crank-Nicolson method, Finite element method, isoparametric ele-ments, algorithms, Wolfram mathematica, computational systems.

Agradecimentos

Os meus maiores agradecimentos são dirigidos à minha mulher Luísa Afonso, ao meu filho Luís Rafael, aos meus pais Arnaldo Afonso e Alcina Afonso e à minha irmã Ana Paula pelo seu apoio, encorajamento e compreensão que sempre manifestaram na pros-secução dos meus estudos académicos. É à minha família, a rocha sobre a qual construo a minha vida, que dedico este trabalho.

Ao longo do tempo da realização deste trabalho contei com o apoio de pessoas e instituições, que de uma forma geral, contribuíram para que este trabalho fosse con-cluído. A todas elas exprimo aqui os meus sinceros agradecimentos.

O meu agradecimento muito especial ao meu orientador, Professor Doutor José António Tenreiro Machado, pela forma como orientou os meus trabalhos de Douto-ramento. O seu apoio, paciência, dedicação, lealdade e disponibilidade foram uma constante ao longo de todo este trabalho. A sua experiência e competência profissional contribuíram decisivamente para a realização deste trabalho. Agradeço ainda o esforço desenvolvido na leitura e as sugestões de revisão que permitiram o enriquecimento do texto desta tese. Agradeço também ao Professor Doutor José Boaventura Cunha a à Professora Doutora Teresa Paula Azevedo Perdicoúlis a sua coorientação.

Os meus agradecimento estendem-se também aos meus colegas de trabalho do Ins-tituto Superior de Engenharia do Porto (ISEP) e à Manuela Ferreira do InsIns-tituto Po-litécnico de Viseu, pela sua amizade, apoio e sugestões. Agradeço também à minha colega de departamento Luísa Hoffbauer a sua amizade e disponibilidade. Agradeço às colegas Gabriela Gonçalves, à Presidente do departamento de matemática Alcinda Barreiros a Ana Júlia Viamonte e à Ana Moura pelo apoio e compreensão na realização das minhas atividades letivas e institucionais.

Porto (IPP) pela promoção do programa de formação avançada, edição 2015/2016, cri-ando condições para que este trabalho fosse possível.

Índice

Índice xv

Lista de tabelas xx

Lista de figuras xxi

Lista de algoritmos xxiv

Lista de símbolos xxv

Lista de acrónimos xxviii

1 Introdução 1

1.1 Objetivos . . . 1

1.2 Estrutura da tese . . . 2

2 Conceitos fundamentais do MEF 5 2.1 Problemas contínuos . . . 5

2.1.1 Introdução . . . 5

2.1.2 Equações diferenciais, condições de fronteira e condições de va-lor inicial . . . 6

2.2 O Método dos resíduos pesados . . . 9

2.3 Métodos variacionais . . . 12

2.3.2 Formulação variacional . . . 14

2.3.3 A aproximação Galerkin-Rayleigh-Ritz . . . 17

2.4 Problemas dependentes do tempo . . . 19

2.4.1 Introdução . . . 19

2.4.2 Formulação fraca semidiscreta . . . 19

2.4.3 Aproximação semidiscreta Galerkin-θ . . . . 21

2.5 Breve introdução ao Método dos Elementos Finitos . . . 26

2.5.1 Nota histórica . . . 26

2.5.2 Linhas gerais do Método dos Elementos Finitos . . . 28

2.5.3 Fases do Método . . . 32

2.5.4 Considerações sobre as aplicações do MEF . . . 38

2.6 Exemplo de aplicação do MEF num domínio bidimensional . . . 38

2.6.1 Discretização do domínio em elementos e numeração dos nós . . 41

2.6.2 Dedução das funções de interpolação para elementos triangula-res lineatriangula-res . . . 44

2.6.3 Funções de interpolação para elementos quadriláteros lineares . 51 2.6.4 Construção das equações-elemento . . . 53

2.6.5 Reunião das equações-elemento: Montagem . . . 55

2.6.6 Imposição das condições de fronteira . . . 64

2.6.7 Resolução do sistema concreto para as variáveis primárias . . . . 65

2.6.8 Pós-processamento . . . 67

2.6.9 Refinamento da malha e convergência . . . 69

2.6.10 Notas finais . . . 71

3 Elementos de referência e transformações isoparamétricas 73 3.1 Introdução . . . 73

3.2 Elementos de referência . . . 73

3.3.1 Propriedades elementares das transformações de coordenadas . . 75

3.3.2 Transformações de coordenadas, elemento de Referência e ele-mento de Domínio. . . 76

3.3.3 Construção das transformações isoparamétricas Tτ e . . . 77

3.4 Cálculo dos sistemas-elemento . . . 79

3.4.1 Transformações elemento . . . 80

3.4.2 Integração numérica do sistemas-elementos . . . 81

3.5 Elementos bidimensionais isoparamétricos . . . 83

3.5.1 Introdução . . . 83

3.5.2 ER para quadriláteros lineares de 4 nós . . . 84

3.5.3 Elementos de ordem superior . . . 86

3.5.4 ER para elementos triangulares lineares . . . 89

4 Formulações elemento para problemas de condução de calor 91 4.1 Introdução . . . 91

4.1.1 Nota histórica . . . 91

4.1.2 Objetivos . . . 92

4.2 Formulação diferencial do problema de condução do calor . . . 93

4.3 Formulação em elementos finitos . . . 95

4.4 Modelos matemáticos particulares para a equação da condução do calor nos elementos . . . 101

4.4.1 Introdução . . . 101

4.4.2 Modelos lineares em regime permanente . . . 102

4.4.3 Modelos lineares em regime transitório . . . 103

4.4.4 Modelos não lineares em regime permanente e em regime tran-sitório . . . 103

4.5 Cálculo isoparamétrico dos sistemas-elemento . . . 104

4.5.1 Introdução . . . 104

4.5.3 Cálculo isoparamétrico dos integrais de fronteira . . . 107

4.6 Cálculo da solução MEF para modelos de condução lineares em regime transitório . . . 109

4.6.1 Algoritmo para o cálculo das solução MEF para o regime transi-tório . . . 113

4.6.2 Oscilação e estabilidade . . . 114

4.7 Algoritmos para o cálculo das equações-elemento . . . 115

4.7.1 Cálculos numéricos independentes das condições de fronteira. . 116

4.7.2 Cálculos numéricos dependentes das condições de fronteira. . . 117

5 Implementação do MEF em Wolfram Mathematica 121 5.1 Motivação e objetivos . . . 121

5.2 Problema modelo . . . 123

5.2.1 Equação governativa . . . 123

5.2.2 Condições de fronteira e de valor inicial . . . 124

5.3 Modelo particular para a descrição da implementação . . . 124

5.4 Estruturas de dados . . . 125

5.4.1 Representação da geometria do domínio e conectividade . . . 126

5.4.2 Representação dos coeficientes da equação diferencial . . . 128

5.4.3 Representação das condições de fronteira . . . 129

5.4.4 Representação das condição de valor inicial . . . 130

5.5 Linhas gerais da implementação . . . 130

5.6 Módulo de pré-processamento . . . 131

5.7 Módulo de processamento . . . 133

5.8 Módulo de pós-processamento . . . 134

5.9 Notas finais . . . 135

6 Estudo de alguns casos de condução de calor 137 6.1 Introdução . . . 137

6.2 Caso de estudo I: Problema de condução de calor em regime permanente 138

6.2.1 Introdução . . . 138

6.2.2 Análise em elementos finitos . . . 139

6.2.3 Análise dos resultados . . . 144

6.2.4 Exploração da simetria da condições de fronteira . . . 147

6.3 Caso de estudo II: Problema de condução de calor em regime transitório 149 6.3.1 Introdução . . . 149

6.3.2 Análise em elementos finitos . . . 150

6.3.3 Nota final . . . 154

6.4 Caso de estudo III - Problema de condução de calor em regime transitó-rio com condições de fronteira naturais do tipo convectivo . . . 154

6.4.1 Introdução . . . 154

6.4.2 Análise em elementos finitos . . . 156

6.4.3 Representação da dinâmica da condução do calor . . . 157

6.5 Conclusões finais . . . 160

7 Conclusões e perspetivas de evolução futura 161 7.1 Conclusões . . . 161

7.2 Perspetivas de evolução . . . 162

A Equação da condução do calor 165 A.1 Introdução . . . 165

A.2 Lei de Fourier da condução do calor . . . 166

A.3 Lei do arrefecimento de Newton . . . 167

A.4 Condução do calor num meio tridimensional . . . 167

A.5 Formulação diferencial do problema da condução do calor. Condições de fronteira e condiçoes iniciais . . . 172

A.6 Condução do calor num meio bidimensional . . . 173

B.1 Expressões para integrais de fronteira em elementos triangulares lineares 177 B.2 Expressões para integrais de fronteira em elementos quadriláteros lineares179 B.3 Expressões para integrais de fronteira em elementos de ordem superior 182

Lista de Tabelas

2.1 Variantes do método dos resíduos pesados . . . 11

2.2 Iterações do algoritmo 2.4 . . . 68

3.1 Funções de interpolação do ER quadrilátero de 9 nós . . . 88

3.2 Funções de interpolação do ER “serendipidade” de 8 nós . . . 89

4.1 Variantes do método θ . . . 111

6.1 Soluções MEF no nó global P1 = (0.5, 0.5) . . . 141

6.2 Soluções MEF interpoladas no ponto P2(0.49, 0.49) . . . 141

6.3 Estimativa do passo de integração . . . 151

6.4 Solução MEF Th(0.5, 0.5, 0.05) . . . 152

6.5 Solução MEF Th(0.5, 0.5, 3)e solução exata . . . 152

Lista de Figuras

2.1 Discretização do domínioΩ com oito elementos quadriláteros lineares . 33 2.2 Discretização do domínioΩ com quatro elementos não lineares curvos . 35 2.3 Discretização do domínio com elementos triangulares lineares . . . 43 2.4 Discretização do domínio com quatro elementos quadriláteros lineares . 43 2.5 Elemento triangular linear . . . 46 2.6 Elemento quadrilátero linear . . . 51 2.7 Discretização do domínio e identificação das condições de fronteira . . . 64

3.1 Elemento de referência quadrilátero linear ˆΩ, elemento de domínio Ωe

e TC associada. . . 75 3.2 Elemento de domínio e elemento de referência quadrilátero linear . . . . 84 3.3 Elemento de domínio e elemento de referência não linear com 9 nós . . . 86 3.4 Elemento de domínio e elemento de referência “serendipidade” de 8 nós

locais . . . 88 3.5 Elemento de domínio e elemento de referência linear triangular . . . 89

5.1 Discretização de domínio e identificação das condições de fronteira . . . 125 5.2 Esquema geral da implementação . . . 131 5.3 Sequência temporal de soluções MEF . . . 135

6.1 Discretização inicial . . . 139 6.2 Primeiro refinamento . . . 140 6.3 Segundo refinamento . . . 140

6.4 Solução exata e solução com malha inicial T3 . . . 142 6.5 Soluções MEF com 64 e 128 elementos T3 . . . 142 6.6 Solução exata e solução com malha inicial Q4 . . . 143 6.7 Soluções MEF com 16 e 64 elementos Q4 . . . 143 6.8 Solução exata e solução com malha inicial Q8 . . . 144 6.9 Soluções MEF com 16 e 64 elementos Q8 . . . 144 6.10 Curvas de erro segundo a norma L2 . . . 146

6.11 Solução MEF do problema equivalente com 64 elementos Q4 . . . 149 6.12 Dinâmica temporal da temperatura Th(0.5, 0.5, t) . . . 153

6.13 Solução exata e solução no instante t=3 segundos . . . 153 6.14 Soluções MEF transitórias . . . 154 6.15 Domínio espacial e linhas de simetria . . . 155 6.16 Malha de 144 elementos Q4 . . . 157 6.17 Solução MEF no instante final t =0.85 seg. e escala de cores . . . 158 6.18 Solução MEF nos instantes t=0.005 seg. e t =0.1 seg. . . 158 6.19 Solução MEF global, no regime permanente . . . 159 6.20 Evolução temporal da temperatura Th(4, 1, t) . . . 160

Lista de Algoritmos

2.1 MONTAGEM DO SISTEMA GLOBAL . . . 57

2.2 DETERMINAÇÃO"ANTECIPADA"DA LARGURA DA MEIA-BANDA . . . 60

2.3 MONTAGEM DO SISTEMA GLOBAL"EM BANDA" . . . 62 2.4 CÁLCULO DAS VARIÁVEIS SECUNDÁRIAS . . . 68 4.1 CÁLCULO DA SOLUÇÃOMEFPARA O REGIME TRANSITÓRIO . . . 113

4.2 CÁLCULO DOS INTEGRAIS DE DOMÍNIO[Kc],[C]E{FQ} . . . 116

4.3 CÁLCULO DE{Fq}l SOBRE UM LADOl . . . 118

Lista de Símbolos

δ Função δ de Dirac

∇ Operador gradiente

∇2 _{Operador de Laplace}

L operador diferencial linear B(·,·) Forma fraca

l(·) Funcional linear

δnJ Variação de ordem n do funcional J Q Fonte de calor

c Calor específico

h Coeficiente de troca de calor por convecção ρ Densidade

T Temperatura

qn Fluxo na direção normal à fronteira

k Coeficiente de condutividade Ω Domínio Ωe Elemento de domínio ˆ Ω Elemento de referência Γ Fronteira

ψ_ie Função de interpolação associada ao i-ésimo nó local do e-ésimo elemento ˆ

ψi Função de interpolação associada ao i-ésimo nó local do elemento de referência

Cn_{(Ω) Espaço das funções continuamente diferenciáveis até à ordem no domínioΩ}

H(Ω) Espaço de Hilbert das funções definidas sobreΩ Hm(Ω) Espaço de Sobolev de ordem m sobreΩ

H₀1(Ω) Espaço das funções admissíveis sobreΩ

||.||_L2 Norma L2

Lista de acrónimos

CAD Desenho assistido por computador

CF Condição de fronteira

CVI Condição de valor inicial

ED Equação diferencial

EDO Equação diferencial ordinária

EDP Equação às derivadas parciais

ER Elemento de referência

MCP Método da colocação pontual

MCSD Método da colocação por subdomínios

MDF Método das diferenças finitas

MEF Método dos Elementos finitos

MG Método de Galerkin

MMQ Método dos mínimos quadrados

MRP Método dos resíduos pesados

PVF Problema de valor de fronteira

PVFI Problema de valor de fronteira com condição inicial

TC Transformação de coordenadas

Q4 Elemento isoparamétrico quadrilátero linear

Q8 Elemento isoparamétrico não linear de oito nós locais

T3 Elemento isoparamétrico triangular linear

TC Transformação de coordenadas

Capítulo 1

Introdução

1.1

Objetivos

O objetivo central desta tese traduz-se no estudo e implementação de uma metodologia flexível, eficiente e de carácter geral para a análise de problemas de condução de calor seja em regime permanente, seja em regime transitório em domínios bidimensionais.

A classe de problemas tratados neste trabalho está restrita aos casos particulares de condução de calor linear em domínios bidimensionais, com condições de fronteira que podem envolver a prescrição de temperatura (condições de Dirichlet), de fluxo (condições de Neumann) e de convecção (condições mistas de Robin).

A metodologia abordada neste trabalho inclui o método dos elementos finitos (MEF), em articulação com o método de Crank-Nicolson, para a análise de problemas de con-dução de calor em regime transitório.

O MEF é um método poderoso e de complexidade assinalável. Neste sentido, abor-damos essa complexidade tendo com objetivo o desenvolvimento de uma interpre-tação dos aspetos fundamentais do MEF. Estes aspetos serão estudados num âmbito geral e no contexto dos problemas de condução de calor. O objetivo aqui traduz-se no desenvolvimento de modelos MEF adaptados a problemas de condução de calor com condições de fronteira que envolvem a prescrição de temperatura e de fluxo, com e sem convecção, nas fronteiras do domínio espacial de interesse.

uma implementação computacional tomamos como objetivo adicional o estabeleci-mento de formulações e implementações computacionais para a análise em eleestabeleci-mentos finitos de problemas de valor de fronteira com e sem condição de valor inicial.

O objetivo final deste trabalho consiste na análise de alguns problemas de condução de calor, definidos por uma especificação correta, usando a implementação do MEF. A validação dos resultados obtidos comprova a correção do trabalho e das formulações desenvolvidas nos capítulos anteriores.

1.2

Estrutura da tese

A tese sobre o tema “Análise computacional da condução do calor em domínios bidi-mensionais"está organizada em sete capítulos e dois anexos.

O Capítulo 1 - Introdução - Corresponde à presente introdução, onde se definem o problema, objetivos e por último, se faz a descrição dos capítulos que compõem esta tese.

No Capítulo 2 - Conceitos fundamentais do MEF - Caracterizam-se alguns mé-todos globais de aproximação para problemas de valor de fronteira (PVF). Discute-se a formulação variacional e a formulação fraca de problemas de valor de fronteira independentes do tempo. Seguidamente, abordam-se os métodos globais para PVF dependentes do espaço e do tempo. Neste sentido, caracteriza-se um método base-ado na formulação discreta no espaço e contínua no tempo. Nesta ordem de ideias, desenvolve-se o método Galerkin-θ, conjugando o método de Galerkin com o método de Crank-Nicolson.

Uma vez estabelecidos os métodos globais que estão na génese do MEF e da ar-ticulação com o método de Crank-Nicolson, segue-se uma introdução aos vários as-petos do MEF. São discutidas as fases de pré-processamento, processamento e pós-processamento e é apresentado um exemplo ilustrativo.

No Capítulo 3 - Elementos de referência e transformações isoparamétricas - Descreve-se uma técnica versátil que permite simplificar a construção das funções de interpola-ção e o cálculo das equações-elemento por quadratura numérica - o chamado cálculo isoparamétrico - e apresentam-se alguns tipos de elementos de referência e correspon-dentes funções de interpolação. Desenvolvem-se ainda os algoritmos de montagem do

sistema global e de cálculo das variáveis secundárias.

No Capítulo 4 Formulações elemento para problemas de condução de calor -Abordam-se os aspetos particulares associados ao MEF quando aplicado a problemas de condução de calor em domínios bidimensionais. Deduzem-se os modelos para o cálculo das equações-elemento de problemas de condução de calor lineares em regime permanente e transitório. Estabelecem-se as formulações computacionais do MEF e os algoritmos para o cálculo numérico isoparamétrico dos sistemas elemento, integrais de domínio e integrais de fronteira.

No Capítulo 5 - Implementação do MEF em Wolfram Mathematica - Usam-se os conceitos desenvolvidos anteriormente para descrever uma interpretação computaci-onal original desenvolvida no ambiente computacicomputaci-onal Wolfram Mathematica.

A descrição da implementação computacional é desenvolvida em alto nível e abrange todas as fases do método. Apresenta-se o modelo conceptual da implementação e descrevem-se, por meio de um exemplo, as notações computacionais para a especifica-ção do problema. Estas notações computacionais facilitam e estruturam a especificaespecifica-ção do problema de valor de fronteira a ser resolvido.

No Capítulo 6 - Estudo de alguns casos de condução de calor - Analisam-se alguns caso de estudo com o recurso à implementação e aos conceitos desenvolvidos ante-riormente. Os casos de estudo incluem problemas de condução lineares em regime permanente e em regime transitório com diversos tipos de condições de fronteira.

Procuramos estudar com estes exemplos, a dinâmica espacial e temporal do fenó-meno da condução do calor. Estuda-se também a convergência para a solução exata medida que se utilizam diversos tipos de elementos e malhas cada vez mais refinadas e compara-se o desempenho de alguns tipos de elementos. É discutido neste capítulo a relevância da exploração das simetrias das condições de fronteira do domínio.

No Capítulo 7 - Conclusões e perspetivas de evolução futura - São apresentadas as conclusões de todo o trabalho realizado, bem como a abordagem das perspetivas de trabalho futuro.

No Apêndice A - Equação da condução do calor - Apresenta-se a dedução da equa-ção da conduequa-ção do calor bem como as condições de fronteira e de valor inicial que lhe estão associadas.

Este trabalho fica concluído com o Apêndice B - Expressões para o cálculo de ter-mos de fronteira - Onde se apresenta a dedução de algumas fórmulas analíticas para os integrais de fronteira associados a certos casos especiais.

Capítulo 2

Conceitos fundamentais do MEF

2.1

Problemas contínuos

2.1.1

Introdução

Para a resolução matemática de problemas que traduzem fenómenos físicos, como é o caso da condução do calor, é essencial a construção de modelos matemáticos. Estes modelos, por seu turno, baseiam-se na natureza e propriedades do meio físico onde se desenrola o fenómeno de interesse.

Na construção dos modelos matemáticos são geralmente adotadas duas perspeti-vas quanto à natureza da matéria. Do ponto de vista Newtoniano, a matéria é encarada como um conjunto discreto de partículas, que mantém as suas propriedades à medida que estas se deslocam no espaço.

O outro ponto de vista−que aqui adotamos−é adequado à utilização do cálculo infinitesimal, pois encara o meio físico de interesse como um domínio contínuo, em to-dos os seus pontos e admite que todas as quantidades de interesse são suficientemente diferenciáveis nas variáveis independentes, espaço e tempo.

Deste modo, utilizaremos a noção de problemas contínuos para descrever os fenó-menos em modelos matemáticos e em particular o fenómeno da condução do calor.

Estes problemas decorrem dos fenómenos da natureza que podem ser caracteriza-dos por equações diferenciais com derivadas parciais e condições de fronteira.

Os problemas contínuos da física matemática são geralmente designados por pro-blemas de valor de fronteira (PVF), pois a sua solução é enquadrada num domínio definido por uma fronteira, onde certas condições, designadas condições de fronteira, são especificadas.

2.1.2

Equações diferenciais, condições de fronteira e condições de

va-lor inicial

Uma equação diferencial (ED) é uma equação que envolve variáveis independentes x1, x2, ..., xn, t, uma função u destas variáveis, e derivadas de u relativamente às

mes-mas. À função u chama-se variável dependente, sendo a única incógnita presente na equação.

Se apenas uma variável independente está envolvida, então a ED designa-se equa-ção diferencial ordinária (EDO). Se mais do que uma destas variáveis é utilizada então a ED designa-se equação diferencial com derivadas parciais (EDP).

A ordem de uma ED define-se como sendo a ordem da mais alta derivada, que aparece na equação.

A equação da condução do calor dada por

∂u ∂t − ∂ ∂x  k(x, y, u)∂u ∂x  − ∂ ∂y  k(x, y, u)∂u ∂y  =Q(x, y), (2.1)

é uma EDP de 2aordem na variável dependente u(x, y, t)que caracteriza a distribuição da temperatura num material com condutividade térmica k(x, y, u)e que depende, seja das coordenadas espaciais, seja da temperatura. A função Q(x, y) representa o calor gerado internamente.

Se a condutividade térmica é função apenas das coordenadas espaciais, então (2.1) simplifica-se e fica ∂u ∂t − ∂ ∂x  k(x, y)∂u ∂x  − ∂ ∂y  k(x, y)∂u ∂y  =Q(x, y). (2.2)

Por último, se a distribuição da temperatura não depende do tempo − caso da condução do calor no regime permanente−e, além disso, se k é constante, então (2.2)

reduz-se à equação de Poisson − ∇2u= Q(x, y) k = f(x, y), k6= 0, (2.3) onde∇2₌ ∂2 ∂x2 + ∂2

∂y2 é o operador de Laplace em duas dimensões. Uma ED é linear, se pode ser posta na forma

Lu = f ,

onde L é um operador diferencial linear de um espaço H1em H2−espaços de Hilbert

−ou seja, tal que

L(u+v) = Lu+Lv ∀u, v∈ H1, , (2.4)

L(αu) = αLu, ∀α ∈R. (2.5)

Se a ED não verifica (2.4) e (2.5), ela é não linear. Nos exemplos apresentados, a equação (2.1) é não linear e as equações (2.2) e (2.3) são EDP lineares.

Em termos físicos, uma ED deve ser satisfeita num subconjunto Ω ∈ Rn _{e, se o}

tempo está presente como variável independente, deve ser satisfeita sobre um intervalo de tempo prescrito.

Segue-se que um modelo matemático apropriado para descrever um problema fí-sico deve conter, além da ED, a especificação do domínio espacial Ω e, se o tempo estiver presente, a especificação do domínio temporal.

Por exemplo, nas equações (2.1) e (2.2) é necessário especificar o domínio espacial Ω bem como o domínio da variável tempo.

Se, por exemplo, pretendemos estudar o problema da condução do calor numa placa quadrada de lado unitário e procuramos uma solução para todos os instantes de tempo, então devemos complementar (2.1) e (2.2) com as expressões que definem os domínios. Elas são

(x, y) ∈ Ω=]0, 1[×]0, 1[, t ∈ [0,+∞[.

Uma vez especificado o domínio de interesse, o próximo passo na formulação do problema consiste na prescrição do valor da função incógnita u − a variável depen-dente −e, se necessário, das suas derivadas, na fronteira Γ (caso o domínio de inte-resse seja espacial). Se, além disso, o tempo for também uma variável independente é necessário especificar o valor da função incógnita no instante inicial t=0.

À prescrição dos valores de u e de suas derivadas na fronteira dá-se o nome de condições de fronteira. À prescrição do valor da variável dependente, no instante tem-poral inicial t =0, chama-se condição de valor inicial (CVI).

Se o domínio de interesse Ω depende apenas das coordenadas espaciais, então a ED deve ser complementada apenas pela especificação de condições de fronteira (CF) em Γ. Ao conjunto constituído pela ED e respetivas condições de fronteira chama-se problema de valor de fronteira.

Se, além destas condições, existirem também condições de valor inicial, então a todo o conjunto costuma chamar-se problema de valor de fronteira com condição de valor inicial (PVFI).

Exemplo de um PVF:

−Determinar a função u(x, y)que verifica a equação

−∇2u=g(x, y), ∀(x, y) ∈Ω=]0, 1[×]0, 1[, sujeita às condições de fronteira

u(x, 0) = u(x, 1) =h(x), para 0≤x ≤1,

∂u

∂x(0, y) = ∂u

∂x(1, y) =0, para 0 ≤y≤1. Exemplo de um PVF com CVI:

∂u ∂t − ∂ ∂x  k(x, y)∂u ∂x  − ∂ ∂y  k(x, y)∂u ∂y  =Q(x, y), ∀(x, y) ∈ Ω=]0, 1[×]0, 1[,∀t∈]0,+∞[, sujeita às condições de fronteira

u(x, 0, t) =u(x, 1, t) =h(x, t), para 0≤x ≤1, t∈ [0,+∞[, ∂u ∂x(0, y, t) = ∂u ∂x(1, y, t) = 0, para 0≤y≤1, t ∈ [0,+∞[ e à CVI u(x, y, t) = 0 para t=0.

Supõem-se todas as funções conhecidas, exceto a variável dependente u.

A teoria sobre os PVF baseia-se nas propriedades do operador diferencial presente na ED. O estudo das condições de fronteira que devem ser adicionadas à ED−a equa-ção que rege o fenómeno−de modo a constituirem um PVF bem formulado está fora do âmbito desta tese.

Nas secções seguintes expõem-se alguns métodos apropriados para a obtenção de soluções aproximadas para PVF.

2.2

O Método dos resíduos pesados

Os métodos dos resíduos pesados (MRP), quando aplicados a um PVF, procuram a função, que aproxima a variável dependente, na forma

ˆ u=ψ+ M

∑

ou seja, como uma combinação linear de funções{ψ, φ1, φ2, ..., φM}, designadas

funções-forma, ou funções-base. A chave do sucesso deste método consiste na escolha criteriosa das referidas funções. Assim, considerando-se o PVF colocado na forma geral:

- condições de fronteira: Gu =r, x ∈ Γ, onde G é um operador linear apropriado

e r é independente de u.

A ideia central é tornar “pequeno” o resíduo R_Ω = Luˆ−g. Isto consegue-se, anu-lando “em média” o resíduo, isto é, considerando

Z

Ωwl(Luˆ−g)dΩ =0, (2.7)

onde {wl; l = 1, 2, ..., M} é um conjunto de funções linearmente independentes, cujos

elementos se designam funções-peso. As funções wldevem ser escolhidas por forma a

que os integrais em (2.7) existam. Escolha das funções forma:

- a função ψ deve satisfazer as condições de fronteira do problema: Gψ =r, x ∈ Γ;

- as funções φm devem satisfazer a forma homogénea das condições de fronteira

do problema: Gφm =0, x ∈ Γ(m =1, 2, ..., M).

Deste modo, garante-se (por construção) que a função de aproximação ˆu dada em (2.6) coincide como a função incógnita u em todos os pontos da fronteira Γ. Temos assim que u =u, xˆ ∈ Γ.

Substituindo nas equações (2.7) a função u pela sua aproximação ˆu, e notando que o operador L é linear, obtemos

M

∑

que constitui o sistema de equações lineares

[K].{a} = {f},

onde,

[K] = [klm] e klm =

Z

{f} = {fl} e fl =

Z

Ωwl(g−Lψ)dΩ, (2.10)

{a} = (a1, a2, ..., aM)T. (2.11)

Uma vez escolhidas as funções-peso wl e resolvido o sistema, determinam-se os

parâmetros a1, a2, ..., aM substituem-se em ( 2.6), ficando determinada a solução

apro-ximada no sentido do MRP.

Em geral, designa-se a matriz [K] por matriz de rigidez e o vector {f} por vetor-força.

Escolha das funções peso. Variantes do MRP

Dependendo da escolha das funções-peso, surgem métodos particulares de cálculo, como sejam o método da colocação pontual (MCP), o método da colocação por sub-domínios (MCSD), o método de Galerkin (MG) e o método dos mínimos quadrados (MMQ).

A tabela 2.1 mostra os vários sistemas lineares, que resultam da escolha particular das funções-peso, isto é, da escolha particular daqueles métodos [50].

Método função peso klm fl

MCP wl =δ(x−xl) L(φm)(xl) (g−Lψ)(xl) MCSD wl = 1_{0 outros valores}xl <x <xl+1 R Ωl LφmdΩ R Ωl(g−Lψ)dΩ MG wl =φl R ΩφlLφmdΩ R Ωφl(g−Lψ)dΩ MMQ wl =Lφl R ΩLφlLφmdΩ R_ΩLφl(g−Lψ)dΩ

Tabela 2.1. Variantes do método dos resíduos pesados

Em [2, 50] pode encontrar-se uma discussão sobre as vantagens e desvantagens de cada variante do MRP.

2.3

Métodos variacionais

Nas subsecções que se seguem, discute-se o interesse na determinação de uma formu-lação alternativa e conveniente de um PVF−a formulação fraca, ou variacional−de ordem par, e em particular, de 2a ordem − a classe de PVF em que o problema de condução do calor se insere.

De seguida, caracteriza-se a aproximação à solução de um PVF posto na forma fraca ou variacional, sugerida pelos métodos de Galerkin e Ritz. Os métodos de aproxima-ção baseados nesta formulaaproxima-ção alternativa designam-se métodos variacionais. Uma vez que estes métodos conduzem ao mesmo sistema de equações lineares ( tendo o método de Galerkin um âmbito mais alargado) pois inclui o método de Ritz, expomos os dois métodos conjuntamente e agrupamo-los na chamada aproximação de Galerkin-Rayleigh-Ritz.

2.3.1

Formulação fraca simétrica de um PVF de 2

ordem

Considere-se um PVF com equação regente

Lu =g, emΩ, (2.12)

onde L é um operador diferencial linear limitado, de ordem par e g é independente de u.

Neste caso, u ∈U =C2(Ω).1

Podemos multiplicar ambos os termos da equação diferencial por uma função teste v, arbitrária, suficientemente regular, e integrar sobre o domínio e então

Z

ΩvLu dΩ=

Z

Ωvg dΩ (2.13)

Aplicando a fórmula de Green, no membro esquerdo desta equação, obtém-se:

Z ΩCvDu dΩ= − Z Ωvg dΩ+ Z ΓvEu dΓ (2.14)

1_{Uma função u(x, y)diz-se de classeC}r_{(Ω)se for continuamente diferenciável emΩ até à ordem r}

onde C, D e E são operadores diferenciais de ordem inferior à de L [6].

No caso do operador L ser de ordem par, verificamos que C e D são da mesma ordem, e podemos identificar o membro esquerdo com uma forma bilinear simétrica B(v, u)e o membro direito com um funcional l(v).

Para um PVF de ordem 2, verificamos que na forma integral (2.13) a função teste v deve ser uma função de V = H0(Ω)2 e a função u deve pertencer ao espaço U =

H2(Ω). Nesta situação, verifica-se uma situação “assimétrica”, pouco conveniente, do ponto de vista teórico e computacional, que advém do facto dos espaços de funções, que são admissíveis para u e v, serem diferentes.

Todavia, é possível corrigir esta situação, quando o operador L é de ordem par, apli-cando sucessivamente a fórmula de Green, até ao ponto em que C e D são da mesma ordem e, dessa forma, chegar a uma formulação fraca simétrica.

Para um PVF de 2aordem apenas é necessária uma aplicação da fórmula de Green, sendo tanto C como D operadores diferenciais de ordem 1. Então, os requisitos de regularidade exigidos a u e v são iguais, à partida: ambas as funções podem ser esco-lhidas num mesmo espaço−o espaço H1(Ω).

O resultado [22],

Ck+1_{(Ω) ⊂ H}k_{(Ω) ⊂C}k_{(Ω), k∈ N (2.15)}

estabelece uma hierarquia de requisitos de regularidade nos espaços de funções. Em particular temos queC2(Ω) ⊂ H1(Ω).

Na formulação fraca verificamos que os requisitos de regularidade da função solu-ção u ficam enfraquecidos [47]: é necessário que u ∈ H1(Ω), um espaço que permite uma maior possibilidade de escolha do que o espaço solução C2(Ω) da formulação clássica. Então, é possível encontrar uma solução variacional, que seria impossível ob-ter a partir da formulação clássica. Prova-se que: sempre que a solução variacional for suficientemente regular para poder ter solução clássica, então a solução variacional é

2_{O conjunto H}m_{(Ω)é o espaço formado por todas as funções com derivadas de quadrado integrável}

até à ordem m. Em particular, H0(Ω)é o espaço L2(Ω):= {u :R_Ωu2dΩ<∞}.

Os espaços Hm(Ω)desempenham um papel central no estudo das equações diferenciais. São os es-paços de Sobolev [26], cuja definição, para m inteiro não negativo, é : Hm(Ω) = {u : Dk_{u ∈ L}2_{(Ω), k=}

0, ..., m}.

Os subespaços de H_om(Ω)de Hm(Ω)são também muito utilizados no estudo das equações diferenci-ais. A sua definição é: Hom(Ω) = {u ∈ Hm(Ω) : Dku|Γ = 0 , k =0, ..., m−1}. Por outras palavras, os

espaços Hom(Ω)são formados por todas as funções com derivadas parciais de quadrado integrável até à

ordem m, sendo nulas, porém, todas as derivadas parciais até à ordem m−1, na fronteiraΓ do domínio Ω.

única e coincide com a solução clássica [6].

Verifica-se, por outro lado, que os requisitos de diferenciação das funções admissí-veis v aumentaram: v ∈ V = H1(Ω). Dá-se, pois, uma transferência dos requisitos de regularidade da função u para a função teste v.

Um método “natural” para classificar as condições de fronteira consiste na análise do termo de fronteira em (2.14).

Assim, os termos de u, quando especificados, na forma em que v aparece no integral de fronteira, constituem as condições essenciais de fronteira. Os coeficientes de v e de suas derivadas, naquele integral, se especificados na fronteira, constituem as condições naturais de fronteira [29].

No sentido de não ocorrer a introdução de novas incógnitas no problema, através desta nova formulação, é imperativo que v cumpra a forma homogénea das condições essenciais de fronteira3. Por fim, as condições naturais de fronteira, se especificadas, são introduzidas diretamente no termo de fronteira.

Fica então determinada a formulação fraca equivalente:

determinar u ∈ U = H1(Ω), que verifica as condições essenciais de fronteira, tal que

B(v, u) = l(v), (2.16)

com v ∈ H₀1(Ω), sendo este o subespaço de H1(Ω), cujas funções verificam a forma homogénea das condições essenciais de fronteira. Neste sentido, podemos dizer que H₀1(Ω)é o espaço das funções admissíveis.

2.3.2

Formulação variacional

É possível associar princípios variacionais a certos problemas físicos, cujos modelos matemáticos se traduzem por problemas de valor de fronteira, consistindo então a sua resolução em determinar a função, que torna um determinado funcional estacionário.

3_{Da perpectiva variacional, pode-se afirmar que, representando v uma variação à solução}

aproxi-mada u, então, nos pontos onde u está prescrito, deve-se anular v. Por outras palavras, v deve satisfazer a forma homogénea das condições essenciais de fronteira.

De facto, se na formulação fraca, equação(2.16), B(·,·)for bilinear simétrica e defi-nida positiva e l(·)linear, então a formulação fraca pode ser obtida por um processo alternativo.

Consideremos o funcional

J(·) = 1

2B(·,·) −l(·) (2.17) e procuremos a função u ∈ V, que torna mínimo o seu valor.

Em virtude de u ser uma função minimizadora, então é necessariamente

J(u) ≤ J(u+αv),

onde αv, com α ∈ R e v ∈ V∗, representa uma perturbação (variação admíssivel) à função minimizante u.

As condições de mínimo, em relação ao escalar α, são

 ∂ ∂αJ(u+αv)  α=0 =0, (2.18)  ∂2 ∂α2J(u+αv)  α=0 >0, (2.19)

onde (2.18) é a condição de estacionaridade e (2.19), a condição de mínimo.

A 1a variação do funcional J denota-se δJ e define-se como

δ J =  ∂ ∂αJ(u+αv)  α=0 e a 2a variação δ2J =  ∂2 ∂α2J(u+αv)  α=0 . De (2.17), vem J(u+αv) = 1 2B(u+αv, u+αv) −l(u+αv) (2.20)

Ora, as propriedades de bilinearidade e simetria de B e a linearidade de l permitem escrever, respetivamente B(u+αv, u+αv) = 1 2B(u, u) +αB(v, u) + α2 2 B(v, v) (2.21) e l(u+αv) =l(u) +αl(v). (2.22)

Substituindo, então, (2.21) e (2.22) em (2.20) e notando que

J(u) = 1 2B(u, u) −l(u), tem-se J(u+αv) = J(u) +1 2α 2_{B(v, v) +} αB(v, u) −αl(v) (2.23) e, portanto, d dαJ(u+αv) = αB(v, v) +B(v, u) −l(v). (2.24) De (2.18) e (2.24) vem, então, δ J =0 ⇔ d dαJ(u+αv)  α=0 =0 ⇔B(v, u) =l(v),

que é precisamente a forma fraca. Este resultado torna difícil uma distinção clara entre a formulação fraca e a formulação variacional, pelo que muitos autores usam indistin-tamente os termos formulação fraca e formulação variacional [39].

Por outro lado, a equação

B(v, u) = l(v),

é precisamente a equação de Euler associada ao funcional quadrático.

A condição de mínimo, (2.19), obriga a que

e, então, é

B(v, v) >0, ∀v 6=0∈ V,

visto ser definida positiva a forma bilinear B(·,·).

2.3.3

A aproximação Galerkin-Rayleigh-Ritz

A aproximação de Galerkin pode tomar como ponto de partida a formulação fraca si-métrica (2.16). O seu objetivo é a determinação da solução aproximada num subespaço de dimensão finita do espaço solução U, tomando como ponto de partida a formulação fraca:

determinar a função u∈ U, que verifica a equação

B(v, u) = l(v) (2.25)

com v ∈ V∗e as condições essenciais de fronteira.

Um aspeto importante da formulação fraca advém do facto de que as condições naturais de fronteira, se especificadas, são incluídas, por construção, na formulação fraca. Deste modo, as únicas condições de fronteira, que restam, são as essenciais e deverão ser satisfeitas pela função de aproximação ˆu.

Considera-se a solução aproximada na forma

ˆ u=φ0+ n

∑

onde ci, i = 1, 2, ..., n são os coeficientes a determinar e as funções, que aí figuram,

verificam as condições, a seguir, referidas.

c1) As funções φi, i = 0, 1, ..., n, devem ser suficientemente diferenciáveis por forma

a que (2.25) exista [6];

c2) A função φ0deve satisfazer as condições essenciais de fronteira do problema e as

que ˆu satisfaça, à partida, as condições essenciais de fronteira;

c3) O conjunto de funções{φi}i=,1,...,ndeve ser completo e os seus elementos φi, i =

1, ..., n, devem ser linearmente independentes, constituindo assim uma base de um subespaço Un de U.

Uma vez selecionadas convenientemente as funções φ0e φi, substitui-se u, em (2.25),

pela sua aproximação ˆu de (2.26), e v por φi,(i=1, ..., n), pois as funções φisatisfazem

os requisitos para função teste, uma vez que são suficientemente regulares e satisfa-zem a forma homogénea das condições essenciais de fronteira. Obtém-se, assim, um sistema de equações algébricas e lineares nos parâmetros ci (i =1, ..., n)isto é,

B(φi, φ0+ n

∑

i=j

cjφj) =l(φi), para i =1, ..., n,

que, por ser B bilinear e l linear, fica

cj n

∑

j=1

B(φi, φj) = l(φi) −B(φi, φ0,)para i=1, ..., n,

ou, em notação matricial,

[K] {c} = [F], (2.27)

onde os componentes da matriz[K]são expressos por Kij = B(φi, φj),(i, j=1, ..., n), os

componentes do vetor{F}são dados por Fi =l(φi) −B(φi, φ0)e o vetor das incógnitas

é dado por {c} = (c1, c2, ..., cn)T, o qual permite determinar os coeficientes ci,(i =

1, ..., n)e, portanto, a solução aproximada ˆ

u=φ0+c1φ0+...+cnφn.

Quando a forma fraca B(u, v) = l(v)é a equação de Euler associada a um princípio variacional, este método é conhecido por método de Rayleigh-Ritz. Este método leva à determinação dos coeficientes {cj, j = 1, ..., n} em (2.26) de modo que ˆu minimize o

funcional J(·)em (2.17). Com efeito, a determinação do mínimo de

J(uˆ) = J(φ0+ n

∑

j=1

ciφi) = J(c1, c2, .., cn),

∂ J(c1, ..., cn)

∂ci

=0 (i=1, ..., n),

o que conduz a um sistema linear nas incógnitas c1, c2, ..., cn, que é precisamente o

mesmo que se obteve, aplicando o método de Galerkin, a partir da formulação fraca, isto é, o sistema de equações (2.27).

2.4

Problemas dependentes do tempo

2.4.1

Introdução

Nas secções, que se seguem, expomos um método para a determinação de uma solução aproximada para problemas de valor de fronteira dependentes do tempo, de 2aordem nas variáveis espaciais e de 1aordem na variável tempo. Esta aproximação é conhecida como aproximação variacional semidiscreta, isto é, relativa às variáveis no espaço.

Com o auxílio de um exemplo, começamos por determinar a forma fraca equiva-lente para o PVF considerado. Segue-se a caracterização de um método de aproxima-ção baseado na formulaaproxima-ção alternativa assim obtida: a determinaaproxima-ção de uma aproxi-mação puramente espacial, conforme o método de Galerkin, seguida da aproxiaproxi-mação temporal, baseada em diferenças finitas, segundo o método θ. Designamos o método, que resulta da utilização conjunta dos métodos referidos por método Galerkin-θ.

2.4.2

Formulação fraca semidiscreta

Consideremos o PVF associado à equação do calor em regime transitório num meio isotrópico com coeficiente de condutividade nas direções x e y dados, respetivamente, por kxe kynum domínioΩ limitado pela fronteira Γ =Γu+Γq, com calor específico c

e fonte interna de calor f :

determinar a função u, que verifica a equação

c∂u ∂t − ∂ ∂x(k1 ∂u ∂x) − ∂ ∂y(k2 ∂u ∂y) + f =0, (x, y) ∈Ω, t>0 (2.28)

e as condições de fronteira

u(x, y, t) = u¯(x, y), (x, y) ∈ Γu, t>0, (2.29)

qn = ¯qn, (x, y) ∈Γq, t >0, (2.30)

onde qn =nx(k1∂u_∂x)ˆı+ny(k2∂u_∂y). Aqui ˆn=nxˆı+nyˆ representa o vetor unitário normal

exterior à fronteiraΓ, devendo ainda verificar a condição inicial

u(x, y, 0) =u0(x, y), (x, y) ∈Ω, (2.31)

onde, u0, ¯u e ¯qn são funções conhecidas.

Começamos por multiplicar todos os termos de (2.28) por uma função teste v e integramos, seguidamente, sobre o domínioΩ :

− Z Ωv  ∂ ∂x(k1 ∂u ∂x) + ∂ ∂y(k2 ∂u ∂y)  dx dy+ Z Ωv(c ∂u ∂t)dx dy= − Z Ωv f dx dy (2.32)

Como a função teste v é uma função de posição e não do tempo, o problema é dis-cretizado relativamente às dimensões espaciais. Deste modo, a formulação fraca que se pretende obter é semi-discreta e aquela operação dá-se o nome de semi-discretização.

Procededo à transferência dos requisitos de diferenciabilidade da função u para a função teste v (integrando por partes) conforme a fórmula de Green, obtemos

Z Ω  ∂v ∂x(k1 ∂u ∂x) + ∂v ∂y(k2 ∂u ∂y)  dx dy+ Z Ωv(c ∂u ∂t)dx dy= − Z Ωv f dx dy+ Z Γvqnds ou seja, B(v, u) +C(v, ˙u) =l(v), (2.33) onde

˙u = ∂u ∂t, (2.34) B(v, u) = Z Ω  ∂v ∂x(k1 ∂u ∂x) + ∂v ∂y(k2 ∂u ∂y)  dx dy, (2.35) C(v, u) = Z Ωv(cu)dx dy, (2.36) l(v) = − Z Ωv f dx dy+ Z Γvqnds. (2.37)

A formulação fraca (semi-discreta)que se obtém, reduz-se então a um problema de valor inicial, constituído por um sistema de equações diferenciais e por uma condição de valor inicial relativamente à variável t.

Verifica-se facilmente, analisando o integral de fronteira, que as condições essenci-ais de fronteira correspondem à prescrição dos valores de u na fronteiraΓu, e as

condi-ções naturais à prescrição do fluxo qn, na fronteiraΓq

A formulação fraca semi-discreta equivalente traduz-se, então, no problema:

determinar a função u∈ U, que verifica a equação

B(v, u) +C(v, ˙u) =l(v), (2.38)

e as condições essenciais de fronteira, sendo v uma função de V, que verifica a forma homogénea das condições essenciais de fronteira.

2.4.3

Aproximação semidiscreta Galerkin-θ

Um método aproximativo para resolver o problema dependente do tempo, consubs-tanciado nas equações (2.28-2.31) parte da formulação fraca equivalente, eq (2.38), e desenvolve-se em duas fases consistindo ambas na aplicação de um método aproxi-mativo.

Na primeira fase, faz-se a aproximação da função u como função das variáveis es-paciais (aproximação semi-discreta no espaço). Chega-se, como se irá ver, a um sistema de equações diferenciais ordinárias relativamente à variável tempo. Na segunda fase,

procede-se à resolução aproximada deste sistema de equações diferenciais ordinárias relativamente à variável tempo.

Aproximação espacial

Consideremos a solução aproximada, no sentido do método de Galerkin, relativamente apenas às variáveis espaciais:

ˆ u(x, y, t) =φ0(x, y) + n

∑

onde φ0 deve satisfazer as condições essenciais de fronteira. A família de funções

{φj, j = 1, ..., n} deve ser escolhida de forma a que as funções que a constituem

sa-tisfaçam a forma homogénea das condições essenciais de fronteira (2.29), ou seja,

φi =0(x, y) ∈ Γu,(i=1, 2, .., n). (2.40)

Substituindo, em (2.38), u por ˆu e v por φi(x, y), (i =1, ..., n), e tendo em conta que

B e C são lineares, vem

B(φi, φ0) + n

∑

∑

∑

∑

isto é, um sistema de equações diferenciais ordinárias de 1aordem, nas funções-incógnita cj(t),(j =1, ..., n). Em notação matricial: [M]{˙c} + [N]{c} = {F}, (2.43) onde Mij = C(φi, φj), (2.44a) Nij = B(φi, φj), (2.44b) Fi = l(φi) −B(φi, φ0), (2.44c) ˙ci = ∂ci(t) ∂t , (2.44d) ci = ci(t). (2.44e) Aproximação temporal

Na segunda fase, utiliza-se um método de quadratura numérica para problemas de valor inicial, para aproximar as derivadas de 1aordem, na variável tempo.

Considera-se, nesta fase, a aplicação do método-θ, traduzindo-se numa regra de quadratura do recângulo, intermédia entre o retângulo à esquerda e o retângulo à direita [34]. Assim, aproxima-se a média ponderada da derivada temporal, em dois passos consecutivos, tn e tn+1, da variável tempo, pela interpolação linear da variável

dependente nesses instantes temporais,

θ{˙c}n+1+ (1−θ){˙c}n =

{c}n+1− {c}n

∆tn+1

, 0 ≤θ ≤1, (2.45)

onde se considera o tempo discretizado pela malha{t0 = 0, t1, t2, ..., tn}, sendo∆tn =

tn−tn−1a amplitude do n-ésimo passo, pelo que se a malha for regular−passo

cons-tante igual a∆t−é tn =n∆t.

Note-se que, para θ=0, é

{˙ci}n = ˙ci(tn) = dci

(tn)

dt '

ci(tn+1) −ci(tn)

o que corresponde a aproximar cada uma das derivadas ˙cipor diferenças finitas

ascen-dentes. Para θ =1 resulta uma aproximação das derivadas por diferenças descenden-tes.

Para valores intermédios de θ, nomeadamente θ = 1₂ e θ = 2₃ (ou seja, os esquemas de Crank-Nicolson e Galerkin, respetivamente)a aproximação tem uma maior precisão e o método é incondicionalmente estável.

Discretização das equações no sentido das diferenças finitas

A aplicação da aproximação temporal (2.45), em (2.43), é feita como se segue.

Começamos por discretizar (2.43), no instante tn+1,e multiplicamos por θ, obtendo

θ[M]{˙c}n+1+θ[N]{c}n+1 =θ{F}n+1.

Procedendo de modo análogo para o instante tn e multiplicando agora por ¯θ = 1−θ,

vem

¯θ[M]{˙c}n+ ¯θ[N]{c}n = ¯θ{F}n.

Somando ordenadamente estas duas igualdades, obtém-se

[M](θ{˙c}n+1+ ¯θ{˙c}n) + [N](θ{c}n+1+ ¯θ{c}n) = θ{F}n+1+ ¯θ{F}n.

Entrando aqui com a aproximação (2.45), vem

1 ∆tn+1

[M]({c}_n+1− {c}n) +θ[N]{c}n+1+ ¯θ[N]{c}n =θ{F}n+1+ ¯θ{F}n,

donde, resolvendo em ordem a{c}n+1, resulta

( 1 ∆tn+1 [M] +θ[N]){c}n+1+ (− 1 ∆tn+1 [M] + ¯θ[N]){c}n =θ{F}n+1+ ¯θ{F}n,

isto é, ([M] +∆tn+1θ[N]){c}n+1=∆tn+1(θ{F}n+1+ ¯θ{F}n) + ([M] −∆tn+1¯θ[N]){c}n, que, considerando [Mˆ] = [M] +∆t_n+1θ[N], (2.46) [Nˆ] = [M] −∆t_n+1¯θ[N], (2.47) {F}_n,n+1 = ∆tn+1(θ{F}n+1+ ¯θ{F}n), (2.48) se pode escrever [Mˆ]{c}_n+1 = [Nˆ]{c}n+ {F}n,n+1. (2.49)

É este o sistema recorrente, que permite determinar o vector{c}_n+1 à custa do

co-nhecimento de{c}n. Para o instante t = 0, a solução{c}0 pode ser obtida a partir da

condição inicial, uma vez que o vector {F}é conhecido em todos os instantes. Então, para o instante t1, uma vez conhecido{c}0, [Nˆ]{c}n+ {F}n,n+1 é um vector

determi-nado, digamos{Fˆ}, pelo que se tem{c}₁ = (c1(t1), ..., cn(t1))T = [Mˆ]−1{Fˆ}4.

Determinação da solução aproximada no instante inicial

Podemos recorrer ao método dos resíduos pesados, variante de Galerkin, para deter-minar os coeficientes ci(0)em (2.39).

Com efeito, definimos o resíduo, a partir de (2.39) em (2.31):

R_Ω =uˆ(x, y, 0) −u0(x, y).

Aplicando aqui o método dos resíduos pesados, obtém-se

Z

ΩwlRΩdxdy=0 para l =1, 2, .., n.

4_{A matriz[Mˆ]é invertível, dada a natureza das funções de interpolação, que formam um conjunto}

Substituindo as funções peso wlpelas funções de aproximação φl, conforme o método de Galerkin, obtém-se Z Ωφl " φ0+ n

∑

∑

Trata-se de um sistema de equações lineares, isto é,

[K]{c}₀= {f}, onde Klm = Z Ωφlφmdx dy, fl = Z Ωφl(u0−φ0)dx dy, de onde se obtém {c}₀=[K]−1{f}.

Os restantes coeficentes{c}nde (2.39) são calculados, por recorrência, a partir de (2.49).

Deste modo, o método permite conhecer a solução aproximada ˆu(x, y, tk), num

con-junto finito de instantes temporais t = tk,(k =0, 1, 2, ...), ou seja, de uma forma

contí-nua no espaço e discreta no tempo.

2.5

Breve introdução ao Método dos Elementos Finitos

2.5.1

Nota histórica

Os conceitos que estabeleceram o Método dos Elementos Finitos foram originados pe-los avanços na análise estrutural aeronáutica [19, 30].

Em 1941, Hrenikoff apresentou a resolução de problemas de elasticidade, usando o “framework method”. Poucos anos mais tarde, Courant [8] descreveu um método para modelizar problemas de torção, usando interpolação polinomial por troços sobre sub-regiões triangulares.

Em 1956, Turner e outros [42] apresentaram um trabalho, onde são deduzidas ma-trizes de rigidez para vigas, torção e outras características .

Cerca de quatro anos mais tarde, Greenstadt [17] descreveu um processo para apro-ximar uma função desconhecida por uma série de funções, cada uma das quais associ-ada a uma “célula”. O autor considerava o domínio discretizado por um conjunto de células (subdomínios), ao invés de uma discretização por pontos. Depois de associar as funções de aproximação às respetivas células, calculou a solução aproximada em cada uma delas, usando princípios variacionais, tendo usado os requisitos de continuidade para as “ligar”, construindo desta forma uma aproximação global. Pelo uso da referida técnica, Greenstadt reduziu um problema contínuo a um problema discreto.

A teoria de Greenstadt permite o uso de malhas irregulares de células e contém muitas das ideias fundamentais do Método dos Elementos Finitos.

Em 1960, foi introduzido na terminologia matemática o termo “elemento finito”, empregue pela primeira vez por Clough [7]. No início desta década, assiste-se à difu-são do método, aplicado por engenheiros na análise da elasticidade, fluxo de fluídos, transferência de calor e em muitas outras áreas.

O livro de Argyris [1], lançado em 1955, com enfoque sobre teoremas de energia e métodos matriciais, lança bases teóricas para novos desenvolvimentos na área do es-tudo dos elementos finitos. Em 1965 o método dos elementos finitos foi interpretado numa perspetiva mais abrangente por Zienkiewics e Cheung [48]. Neste trabalho os autores referem que o método dos elementos finitos pode ser aplicado a todos os pro-blemas que admitam formulação variacional. O primeiro livro inteiramente dedicado aos elementos finitos, deve-se a Zienkiewicz e Cheung, tendo sido publicado em 1967 [49]. Nos finais dos anos 60 e início da década seguinte, a análise em elementos finitos foi usada na resolução de problemas não lineares e de problemas de deformação, em larga escala. O livro de Oden sobre meios contínuos não lineares publicado em 1972 [32] encontra-se entre os primeiros que abordaram esta nova temática. As fundamen-tações matemáticas do método foram lançadas nos anos 70, dando origem a poderosos estudos de convergência e ao desenvolvimento de novos tipos de elementos.

O Método dos Elementos Finitos (MEF) tornou-se, ao longo das últimas décadas, uma ferramenta poderosa na resolução numérica de uma grande variedade de proble-mas da engenharia, estendendo-se a áreas que vão desde a análise da deformação dos materiais (estruturas de pontes, edifícios, entre outros) até à análise de fluxos (de calor, magnetismo, escoamento, ...).

Os avanços na tecnologia dos computadores e da informática possibilitaram o de-senvolvimento de sistemas de desenho assistido por computador (CAD) e a integração dos mesmos com programas de cálculo baseados no MEF. Com estes sistemas com-putacionais tornou-se possível modelizar, de forma relativamente simples, problemas com geometria complexa e estudar várias configurações alternativas antes do primeiro protótipo ser construído. A adoção destas ferramentas no meio industrial permitiu uma redução de custos no estudo de novos produtos.

Para acompanhar devidamente todos estes desenvolvimentos é essencial o enten-dimento dos aspetos matemáticos fundamentais, das técnicas de modelização e dos aspetos computacionais do Método dos Elementos Finitos.

No Método dos Elementos Finitos, uma região complexa definindo um meio con-tínuo, é dividida (discretizada) em formas geométricas simples, denominadas elemen-tos finielemen-tos. Sobre estes elemenelemen-tos são consideradas as propriedades dos materiais bem como as equações que descrevem o fenómeno de interesse (equações regentes) e expressas em termos de valores a determinar (variáveis incógnitas) nos nós dos ele-mentos, constituindo as elemento. O processo de montagem das equações-elemento, considerando as condicionantes de todo o problema (requisitos de continui-dade de aproximação e condições de fronteira) conduz a um conjunto de equações globais. A solução destas equações fornece-nos a descrição aproximada do fenómeno no meio contínuo.

2.5.2

Linhas gerais do Método dos Elementos Finitos

O Método dos Elementos Finitos é uma ferramenta, compreendendo várias técnicas numéricas, orientada para a obtenção de soluções aproximadas para uma grande vari-edade de problemas de interesse para a engenharia, física e matemática.

O MEF teve a sua génese nos estudo de tensões em problemas de estruturas ae-ronáuticas, tendo sido expressamente desenvolvido com enfoque nestes problemas.

Todavia, o seu âmbito rapidamente ultrapassou estas fronteiras, sendo estendido por forma a ser aplicável a um espectro muito alargado de problemas da mecânica contí-nua.

Devido à sua flexibilidade e adaptabilidade, o MEF tem vindo a ser muito estudado ao nível académico e industrial, constituindo um bom exemplo de interligação entre as valências do mundo académico e as oportunidades do mundo industrial. Os pro-blemas que vão emergindo no domínio das ciências aplicadas, têm mostrado que os modelos matemáticos que descrevem os problemas na sua esmagadora maioria, não permitem a obtenção de uma solução analítica simples.

Uma alternativa mais económica consiste na utilização de métodos numéricos efi-cientes. Estes métodos, em teoria, permitem a determinação de uma solução aproxi-mada, onde o esforço computacional depende do grau de precisão que se pretende atingir. A generalidade dos métodos de aproximação quando aplicados a problemas de base real, onde existem muitos dados, conduzem a sistemas de equações de grande dimensão. Tal representa um acréscimo, aparentemente incomportável, no volume de cálculos tornando-os inadequados ao cálculo manual. Este grande obstáculo é, hoje em dia, ultrapassado com a utilização de sistemas computacionais. Pode afirmar-se, por isso, que o desenvolvimento dos sistemas computacionais conferiu grande atualidade e alcance aos métodos numéricos. O MEF é, neste contexto, um exemplo paradigmá-tico.

Ao longo do tempo têm evoluído vários métodos de aproximação . O método das diferenças finitas (MDF) é ainda uma técnica muito usada. Este método aplica a equação regente num conjunto finito de pontos do domínio de interesse e aproxima as deriva-das presentes na equação regente e as condições de fronteira, pelas correspondentes aproximações (fórmulas de diferenças finitas). Deste modo, desenvolve-se o modelo do problema em diferenças finitas traduzindo um sistema de equações. As fórmulas de diferenças finitas deduzem-se rapidamente a partir do desenvolvimento em série de Taylor da função incógnita. O modelo em diferenças finitas torna-se mais preciso com o aumento do número de pontos em que é discretizado do domínio.

Com diferenças finitas podem resolver-se problemas razoavelmente complicados. Contudo, na presença de problemas definidos sobre domínios geometricamente com-plexos, a técnica das diferenças finitas levanta muitas dificuldades na aproximação destes domínios.