regime transitório
6.3.1
Introdução
Nesta secção, consideramos o problema da condução do calor numa placa quadrada de lado unitário, em regime transitório, constituída por um material homogéneo, iso- trópico, com coeficiente de condutividade unitário e com fonte de calor Q =1.
− ∂2T ∂x2 + ∂2T ∂y2 +∂T ∂t = −∇ 2T+∂T ∂t =1 para 0<x, y<1, t >0, (6.8) sujeita às condições de fronteira
CF1 : qn = ∂T ∂y =0, Γ1 = {(x, 0): 0≤ x<1}, t>0, (6.9a) CF2 : T=0 emΓ2= {(1, y): 0≤y <1}, t≥0, (6.9b) CF3 : T=0 emΓ3= {(x, 1) : 0≤x ≤1}, t≥0, (6.9c) CF4 : qn = ∂T ∂x =0 emΓ4= {(0, y): 0<y <1}, t>0, (6.9d) e à condição de valor inicial
T(x, y, t) = 0, t=0. (6.10) O modelo geral das equações elemento é obtido de (4.44) considerando {Fq(t)} = 0 e
{FQ(t)}independente do tempo
[C]{˙T(t)} + [Kc]{T(t)} = {FQ}. (6.11)
Nas subsecções que se seguem resolve-se, com auxilio da implementação compu- tacional, o problema considerado e discutem-se os resultados.
6.3.2
Análise em elementos finitos
Nesta secção, apresentamos as soluções MEF, com malhas de elementos de 8 nós locais (elementos Q8), para o regime transitório e comparamos a solução com a que obtém com a versão do problema no regime permanente. Tal deve-se ao facto de que à medida que o tempo decorre a distribuição da temperatura tende a estabilizar-se convergindo para o regime permanente. Para o problema em estudo, a solução para um tempo t suficientemente elevado é dada por (Cf. [37], pp.50):
T(x, y) = 1 2 ( (1−y)2+4 ∞
∑
n=1 (−1)ncos(αny)cosh(αnx) (αn)3cosh(αn) ) , (6.12) onde αn = 12(2n−1)πCom estas ideias em mente, apresentamos os gráficos de contorno e tabelas de re- sultados, para a solução aproximada pelo MEF para a distribuição da T(x, y, t)em al- guns instantes temporais . Apresentamos também e também a solução correspondente
para o regime permanente. Para o algoritmo de resolução do sistema global, em cada passo temporal, consideram-se as fórmulas de recorrência baseadas em diferenças fi- nitas, discutidas anteriormente, considerando θ = 23 ou θ = 12 (o método de Galerkin e Crank-Nicolson, respectivamente).
A resolução de problemas transitórios pelo MEF envolve a aplicação de um método numérico de resolução de um sistemas de equações diferenciais ordinárias em relação ao tempo. Para assegurar a convergência é necessário escolher o passo de integração dt adequado. Neste estudo, utilizamos o seguinte critério para a escolha de dt:
||Th,dt−Th,2dt||∞ <δ, (6.13)
onde Th,dté a solução MEF obtida numa malha de parâmetro característico h com um
passo de integração no tempo dt e δ é um parâmetro associado à precisão pretendida. A norma utilizada é definida pela aproximação
||Th,dt||∞ =supΩ(Th) ≈ Max{∆h,dt}, (6.14)
onde,{∆h,dt}é o vetor contendo a solução MEF nos nós globais, no instante pretendido t, para o passo dt.
Para os instantes de tempo t =0.05 seg, t =0.5 seg. e considerando θ =0.5 temos os resultados expressos na tabela 6.3:
dt norma (t=0.05) norma (t=0.5) 0.02500 0.003800 0.0029390 0.01250 0.000731 0.0001526 0.00625 0.000024 0.0000351
Tabela 6.3. Estimativa do passo de integração
Considerando uma malha de 64 elementos Q8 e uma tolerância δ= 0.001 verifica- mos que o passo de integração (máximo) que deve ser escolhido é dt =0.0125 seg.
Nas tabelas 6.4 e 6.5, estudamos a evolução da solução MEF da temperatura Th(x, y, t)
no ponto de coordenas espaciais P1 = (0.5, 0.5) em dois instantes de tempo. No pri-
meiro instante, t1 = 0.05 seg, a temperatura ainda não estabilizou estando, assim, as-
sociado ao regime transitório. O instante t2, representa tempo suficientemente elevado
no qual, a solução transitória estabilizou sendo, no limite, igual à solução do problema para o regime permanente.
Para o estabelecimento do tempo máximo de integração, t2, a partir do qual a solu-
ção MEF estabiliza no regime permanente usamos o critério de paragem
supΩ(|Th(x, y, t2) −Th(x, y, t, t2−dt)|) <10−5. (6.15)
Segundo este critério de acordo com o passo dt =0.0125 seg. obtivemos o valor apro- ximado de tm =3 seg. o qual corresponde, dividindo por dt, a 240 iterações.
Realizamos este estudo considerando malhas, considerando sucessivamente refina- das, de 4, 16 e 64 elementos . Consideramos também a aplicação do MEF em conjunção com o método de Crank-Nicolson (θ = 0.5) com passos de discretização temporal dt iguais a 0.05 seg, 0.025 seg. e 0.0125 seg.
h dt=0.05 dt=0.025 dt =0.0125 |T1−T0| |T2−T1|
0 0.040259 0.046454 0.0448649 6.2 10−3 1.6 ˙10−3 1 0.045951 0.046404 0.0466136 4.5 10−4 5.7 ˙10−4 2 0.046608 0.046491 0.0464757 1.2 10−4 1.2 ˙10−5
Tabela 6.4. Solução MEF Th(0.5, 0.5, 0.05)
onde Thé a temperatura aproximada, h0 =0.5
√
2 é o parâmetro característico da malha inicial constituída por 4 elementos Q8. Os parâmetros h1 = 0.25
√
2 e h2 = 0.125
√
2 caraterizam as malhas de 16 elementos e 64 elementos Q8, respetivamente.
Conforme se pode verificar, a diferença entre duas soluções MEF diminui com a redução do passo de integração dt em todas as malhas, respeitando assim o critério de convergência. Esta análise pontual confirma, para a tolerância δ = 0.001 a utilização do passo de integração dt =0.0125 seg.
Na tabela 6.5, comparam-se as soluções obtidas com os três tipos de malhas no tempo t2onde a solução estabilizou. Na coluna “erro. abs” calcula-se o erro absoluto
para o passo de integração dt = 0.0125 seg. com a solução exata do problema para o regime permanente dada em (6.12).
h dt =0.05 dt =0.025 dt =0.0125 sol. exata erro abs.(dt =0.0125) 0 0.178806 0.181190 0.181142 0.181145 0.000003
1 0.178791 0.181122 0.181153 0.181145 0.000008 2 0.178791 0.181092 0.181148 0.181145 0.000003
Tabela 6.5. Solução MEF Th(0.5, 0.5, 3)e solução exata
A análise dos resultados obtidos na tabela anterior revela uma aproximação con- sistente para a solução exata com a diminuição do passo de integração temporal e o
aumento do número de elementos.
Na figura 6.12, representa-se a dinâmica temporal da temperatura no ponto central da placa, de coordenadas espaciais P1 = (0.5, 0.5)
Figura 6.12. Dinâmica temporal da temperatura Th(0.5, 0.5, t)
Conforme se pode observar na figura anterior, a temperatura evolui estabilizando no valor obtido em regime permanente à medida que o tempo aumenta.
Na figura 6.13 representa-se graficamente a solução exata e a solução MEF obtida num tempo “elevado”. O gráfico mostra claramente a qualidade da aproximação MEF. A evolução das soluções transitórias obtidas pelo MEF é representada na figura 6.14.
(a) Solução exata regime permanente (b) Solução MEF para t=3 segundos
(a) Solução MEF para t=0.05 seg. (b) Solução MEF para t=0.25 seg. (c) Solução MEF para t=0.5 seg.
Figura 6.14. Soluções MEF transitórias
6.3.3
Nota final
Na secção anterior resolveu-se por intermédio do módulo MEF2PRO um problema de condução de calor em regime transitório com condições essenciais de Dirichlet e condições naturais de Neumann (fluxo nulo na fronteira). Com o auxílio do módulo
MEF2POSelaboramos as representações gráficas que demonstram a convergência das soluções transitórias para a solução exata. Estudámos a convergência das soluções MEF num ponto onde a temperatura está num regime transitório e num ponto onde a temperatura está estabilizada. Verificámos experimentalmente que as soluções MEF melhoram com o aumento do número de elementos e com a diminuição do passo de integração temporal.